概率论 第一章 随机事件与概率
第一章 随机事件及其概率
自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：
一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或
观察，它的结果总是确定的。这类现象称为确定性现象。
另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观
察，或出现这种结果或出现那种结果。这类现象称为随机现象。
随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重
复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。 随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
§1 随机事件
一、随机试验与样本空间
我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写
字母E 表示。
举例如下：
E 1：抛一枚硬币，观察正面H 、反面T 出现的情况；
E 2：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H 、反面T 出现的情况；
E 3：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H 出现的次数；
E 4：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；
E 5：记录某超市一天内进入的顾客人数；
E 6：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。
随机试验具有以下三个特点：
（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；
（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；
（3）试验可以在相同的条件下重复进行。
随机试验E 的所有可能结果的集合称为E 的样本空间，记作Ω。样本空间的元素，即
E 的每个结果，称为样本点，一般用ω表示，可记{
}ω=Ω。 上面试验对应的样本空间：
{}T H ,1=Ω；
{}TT TH HT HH ,,,2=Ω；
{}2,1,03=Ω；
{}6,5,4,3,2,14=Ω；
{} ,4,3,2,1,05=Ω；
{}06≥=Ωt t 。
注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。
二、随机事件
试验E 样本空间Ω的子集称为E 的随机事件，简称事件，通常用大写字母A ，B ，C ,…
表示。设A 是一个事件，当且仅当试验中出现的样本点A ∈ω时，称事件在该次试验中发
生。
由一个样本点组成的单点集称为基本事件。
样本空间Ω称为E 的必然事件，每次试验中它都发生。空集?称为E 的不可能事件，
每次试验中它都不发生。
例如，E 4中“出现偶数点”、“出现奇数点”都是随机事件，“出现点数不超过6”是必
然事件，“出现点数超过7”是不可能事件。
【例】一个袋中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从中任意取出一球，试写出样
本空间及下列事件是由哪些基本事件组成的。
（1）事件A ：“摸出的是白球”；
（2）事件B ：“摸出的是黑球”。
解 先对球编号，令1、2、3号球为白球，4、5号球为黑球，并设i ω=“取得第i 号球”
其中(15i ≤≤)。则样本空间}{ωωωωωΩ=12345
,,,,, 和 （1）事件{}A ωωω=123,,；
（2）事件}{B ωω=
45
,。 三、事件的关系与运算
事件间的关系和运算按照集合间的关系和运算来处理。
1．事件的包含与相等
在试验中，若事件A 发生必然导致事件B 发生， 则称事件B 包含事件A 或称事件A 包
含于事件B ，记为B A ?或A B ?。此时，事件A 中的基本事件必属于事件B ，即A 是B
的一个子集。
例如，4E 中，若记{}1,3,5A =表示“出现奇数点”，{}1,2,3,4,5B =表示“出现点数
不超过5”，显然A B ?，即事件B 包含事件A 。
事件的包含关系有以下性质：
（1）A A ?；
（2）若A B ?，B C ?，则A C ?；
（3）?A ??Ω。
若A B ?，且B A ?，则称事件A 和事件B 相等，记为A B =。此时，A 与B 拥有完
全相同的基本事件。
2．事件的并（和运算）
在试验中，事件A 与事件B 至少有一个发生的事件，称为事件A 与事件B 的并（或和
事件），记为A B 。 此时，A B 就是由属于事件A 或属于事件B 的全部基本事件组成
的集合。
例如，4E 中，若记{}1,3,5A =表示 “出现奇数点”，{}1,2,3,4B =表示“出现点数
不超过4”，则{}5,4,3,2,1=B A 表示“出现点数不超过5”。
易知，若A B ?，则B B A = 。
类似地，称“n 个事件12,,,n A A A 中至少有一个发生”的事件为n 个事件1A ，2A ，…，
n A 的并，记为
121n
n i i A A A A ==
。
3．事件的交（积运算）
在试验中，事件A 与事件B 同时发生的事件，称为事件A 与事件B 的交（或积事件），
记为A B (或AB )。此时，A B 就是由既属于事件A 又属于事件B 的全部基本事件组成
的集合。
例如，4E 中，若记{}1,3,5A =表示 “出现奇数点”，{}1,2B =表示“出现点数不超
过2”， 则{}1AB =表示“出现点数为1”。
易知，若A B ?，则AB A =。
类似地，称“n 个事件12,,
,n A A A 同时发生”的事件为n 个事件1A ，2A ，…，n A 的
交，记作
121n n i i A A A A ==
或 121n
n i i A A A A ==∏ 4．事件的差（差运算）
在试验中，事件A 发生而事件B 不发生的事件称为事件A 与事件B 的差（或差事件）
，
记为A B -。此时，A B -就是由属于事件A 而不属于事件B 的全部基本事件组成的集合。
例如，4E 中，若记{}1,3,5A =表示 “出现奇数点”，{}1,2,3,4B =表示“出现点数
不超过4”，则{}5A B -=表示“出现点数为5”。
5．互不相容事件
在试验中，若事件A 与事件B 不能同时发生，则称事件A 与事件B 是互不相容的 (或
互斥的)，记为A B =? (或AB =?)。此时，事件A 与事件B 不相交，或它们的交是空
集，即事件A 与事件B 没有公共的基本事件。
例如，2E 中，若记{}1,3,5A =表示 “出现奇数点”，{}2,4B =表示“出现小于5的
偶数点”，则A B =?，即,A B 是互不相容事件，不可能同时“出现奇数点”和“出现偶
数点”。
在一次试验中，任意两个基本事件都不能同时发生，所以基本事件是互不相容的。
对于n 个事件12,,
,n A A A ，如果其中任取两个,()i j A A i j ≠，均有i j A A =?，则称此n 个事件12,,,n A A A 是两两互不相容的。
6．对立事件（逆事件）
在试验中，若事件A 与事件B 必有一个发生且仅有一个发生，即事件A 和事件B 满足
条件：
Ω=B A 且 AB =?
则称事件A 和事件B 是对立事件（或互逆事件），记为B A =，A B =。因此，事件A 的逆事件A 就是由属于Ω而不属于A 的全部基本事件组成的集合，即A 是A 的补集。
例如，4E 中，若记{}1,3,5A =表示“出现奇数点”，则{}2,4,6A =表示“出现偶数
点”。
易知有以下性质：
（1） A A =
（2） A A =Ω-
（3） A B AB -=
注意：互逆事件与互不相容事件是两种不同的关系。在一次试验中，两个互不相容事件
仅仅是不能同时发生，并不能排除它们同时都不发生；而两个互逆的事件不仅不能同时发生，
而且同时不发生也是不可能的。所以有结论：互逆事件一定是互不相容的，但互不相容事件
却不一定是互逆的。
常见的事件的关系与运算的规则归纳如下：
1．有关包含
?A ??Ω，B A A ?， A B A -?， AB A ?
2．有关并
A ?A =， Ω=Ω A ， Ω=A A ，A A A = ，
A B B A =， )()(C B A C B A =
3．有关交
AA A =， AA =?， A ?=?，A A Ω=，
AB BA =，()()AB C A BC =
4．分配律
)()()(C A B A C B A =， )()()(C B C A C B A =，
()()()A B C A C B C =， ()()()A B C A B A C =
5．德·摩根律
B A B A =， B A B A =
6．有关逆与差
Ω=?，?=Ω，A A =，
A A =Ω-，A
B AB -=，
A A
B A =- )(，B A B B A =-)(
【例1】 一名射手连续向某个目标射击三次，令A =“第1次击中目标”，B =“第2
次击中目标”，C =“第3次击中目标”，试用,,A B C 表示以下各事件：
（1）3次都击中目标；（2）3次均未击中目标；（3）第2次击中目标，而第1、3次都
没击中；（4）第2次击中目标而第3次没击中；（5）恰好有1次击中目标；（6）至少有1
次击中目标（其逆事件为3次均未击中目标）；（7）至多有1次击中目标。
解 （1）ABC ； （2）A B C ； （3）ABC ；
（4）BC ； （5）C B A C B A C B A ；
（6）C B A 或 C B A ；
（7）C B A C B A C B A C B A 。
【例2】 吴书p.6.例2。
某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1，2，3组成，试用事件
=i A {第i 号管道正常工作} )3,2,1(=i
表示事件“城市能正常供水”和“城市断水”。
【例3】 已知随机事件A 与B 是互逆事件，求证：A 与B 也是互逆事件。
证明：由于A 与B 是互逆事件，有
Ω=B A ， AB =?
于是
==AB B A ?=Ω 且有 =Ω==B A B A ? 所以A 与B 也是互逆事件。
【例4】 对随机事件A 、B ，求证：AB A B A -=-。 证明：====-B A A A B A A AB A AB A )(?B A B A B A -==
§2 事件的概率与等可能概型（古典概型）
一、频率与概率
定义1 若事件A 在n 次相同条件下的重复试验中发生了A n 次，则称
n
n A f A n =)( 为事件A 在这n 次试验中出现的频率，并称A n 为事件A 在这n 次试验中出现的频数。
由定义易知，频率具有以下性质：
1．非负性 0)(≥A f n
2．规范性 1)(=Ωn f
3．有限可加性 若k 个事件k A A A ,,,21 两两互不相容，则有
)()()()(2121k n n n k n A f A f A f A A A f +++=
随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量重复试验或观察中，其发生却具
有规律性。
例如，历史上，多人做过抛掷硬币的试验，其结果如下表所示
从表中可以看出，当抛掷次数足够多时，正面向上的频率在0.5附近摆动，这种现象称
为随机事件的频率稳定性，这是概率这一概念的经验基础。
定义2 在相同条件下做大量重复随机试验，事件A 出现的频率总在某一常数p 附近
摆动，且试验次数越多，摆动幅度越小，则称常数p 为事件A 的概率，记作()P A p =。
该定义通常称为概率的统计定义。概率的统计定义虽无法确定概率的准确值，但可取当
试验次数n 充分大时，事件A 出现的频率作为它的近似值，这一点在实践中有着重要意义。
概率()P A 表示随机事件A 发生的可能性大小，它是事件A 本身客观存在的一种固有属
性。由频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出概率的公理化定义。
定义 设E 是随机试验，Ω是它的样本空间，对于E 的每一个事件A 赋予一个实数，
记为()P A ，如果集合函数)(?P 满足下列条件，则称()P A 为事件A 的概率：
1．非负性 对每一个事件A ，有0)(≥A P
2．规范性 对必然事件Ω，有1)(=ΩP
3．可列可加性 设事件 ,,21A A 是两两互不相容的事件，则有
++=)()()(2121A P A P A A P 或 ∑∞
=∞==11)()(i i i i A P A P
二、概率的性质
性质1 (P ?)0=
性质2 (有限可加性) 若事件n A A A ,,,21 两两互不相容，则有
)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=
性质3 若事件B A ,满足A B ?，则有
)()()(A P B P A B P -=-， )()(A P B P ≥
性质4 对任一事件A ，1)(≤A P
性质5 （逆事件概率） 对任一事件A ，有
)(1)(A P A P -=
性质6 （加法公式）对任意两个事件B A ,，有
)()()()(AB P B P A P B A P -+=
推广到对任意三个事件C B A ,,，则有
)()(()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=
【例1】 随机调查某班的一次考试成绩，数学及格的学生占72%，语文及格的学生占
69%，两门都及格的学生占50%，问至少一门及格的学生的概率？
解 设A 表示“数学及格的学生”，B 表示“语文及格的学生”，则“两门都及格的学生”
可用AB 表示，“至少有一门及格的学生”可用B A 表示。
已知()P A =72%，()P B =69%，()P AB =50%，于是由加法公式得
=-+=)()()()(AB P B P A P B A P 91%
【例2】 已知事件A 和B 满足()(P AB P A =)B ，且()P A t =，求()P B 。
解 因为A B A B =+，于是有
)]()()([1)(1)()()(AB P B P A P B A P B A P B A P AB P -+-=-===
化简得 ()()1P A P B +=
所以 ()1()1P B P A t =-=-。
【例3】（减法公式）对任意两个事件B A ,，有
)()()(AB P A P B A P -=-
证明：因为AB A B A -=-，且A AB ?，所以有
)()()()(AB P A P AB A P B A P -=-=-
【例4】设事件C B A ,,，当3.0)(,6.0)(==B P B A P 时，求)(B A P 。
解 )()]()()([)()()()(B P AB P B P A P AB P A P B A P B A P --+=-=-=
3.03.06.0)()(=-=-=B P B A P
三、等可能概型（古典概型）
先看两个例子。
【例1】 在抛掷硬币试验中，试验只有2个结果：“出现正面”和“出现反面”。由于
硬币是均质的，这两个结果发生的可能性相同，即它们的概率都是1/2。
【例2】 在投掷骰子试验中，试验的结果有6个：“出现的点数为i ”(1,2,3,4,5,6i =)。
由于骰子是均质的，每一个结果发生的可能性相同，即它们的概率都是1/6。
以上两个例子具有如下共同点：
（1）有限性 试验可能发生的结果是有限的，即样本空间中只含有限个基本事件；
（2）等可能性 试验中每个基本事件发生的可能性是相同的。
具有上述特点的随机试验称为等可能概型（古典概型）。 定义 在古典概型中，设样本空间Ω的基本事件总数为n ，事件A 包含的基本事件数
为k ，则事件A 的概率为
==n
k A P )(事件A 包含的基本事件数/样本空间Ω中基本事件的总数。 该定义通常称为概率的古典定义。
【例3】 吴书p.11.例3。
将一枚硬币抛两次，
（1）设事件1A 为“恰好有一次出现正面”，求)(1A P ；
（2）设事件2A 为“至少有一次出现正面”，求)(2A P 。
【例4】 盛书p.10.例2，放回抽样；吴书p.12.例4，不放回抽样。
设口袋装有6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中取球2次，每次取一个。试分别
就放回抽样和不放回抽样两种情况求
（1）取到的2个球都是白球的概率；
（2）取到的2个球颜色相同的概率；
（3）取到的2个球中至少有一个是白球的概率。
【例5】 盛书p.12.例4
设有N 件产品，其中有D 件次品，今从中任取n 件，问其中恰有)(D k k ≤件次品的概
率是多少？（超几何分布）
【例5`】 一个袋里有5个白球，4个黑球，从袋中任取3个球，（1）求3个球都是黑
球的概率；（2）求至少有1个黑球的概率；（3）求至少有2个黑球的概率。
解 从全部9个球中任取3个球，共有39C 种取法。
(1) 设A 表示“取出3个球都是黑球”。从4个黑球中任取3个黑球有3
4C 种取法。
所以 3349()/4/840.083P A C C ===。
（2）设B 表示“取出3个球至少有1个黑球”，则B 表示“取出3个球都是白球”。由
于
3359()/10/840.119P B C C ===
所以 ()1()10.1190.881P B P B =-=-=。
(3) 设C 表示“取出3个球至少有2个黑球”，D 表示“取出3个球恰有2个黑球”，E
表示“取出3个球恰有3个黑球”，则C D E =+，且D 、E 互不相容。于是
()()()()P C P D E P D P E =+=+
2133345949//30/844/840.405C C C C C =+=+=。
【例6】 吴书p.13.例5（盛书p.11.例3）。
将n 个球放入)(n N N ≥个盒子中去，设盒子容量不限，试求
（1）每个盒子至少有一个球的概率；
（2）n 个盒子中各有一个球的概率。
【例7】 吴书p.14.例6（盛书p.12.例5）。
袋中有a 个白球，b 个红球，k 个人依次在袋中任取一个球，（1）作放回抽样；（2）作
不放回抽样，求第),,2,1(k i i =人取到白球（记为事件B ）的概率)(b a k +≤。（抽签原
理）
【例8】 盛书p.13.例6。
在1~2000的整数中随机地取一个数，求取到的整数即不能被6整除，又不能被8整除
的概率。
【例9】 盛书p.13.例7。
将15名新生随机地平均分配到3个班级中去，这15名新生中有3名优秀生。求
（1）每个班级各分配到1名优秀生的概率；
（2）3名优秀生分配在同一班级的概率。
【例10】吴书p.15.例7。
（女士品茶）一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯冲好的奶茶中辨别出该奶茶是先放牛
奶还是先放茶冲制而成.做了10次测试，结果是她都正确地辨别出来了.问该女士的说法是否
可信？（实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中实际上几乎不会发生）
【例10`】 从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字，计算它们组成的两位数大于30
的概率。
解 设事件A 表示“取到的两位数大于30”，先从3,4,5中任取一个数作为十位数，有
13C 种取法，再从余下的四个数中任取一个数作为个位数，有14C 种取法，故事件A 包含的
基本事件数为
11343412C C =?=。
而从1,2,3,4,5中任取一个数作为十位数，有1
5C 种取法，再从余下的四个数中任取一个数作
为个位数有14C 种取法，故样本空间包含的基本事件总数为
11545420C C =?=。
所以 11113454()/12/200.6P A C C C C ===。
§3 条件概率
一、条件概率
在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率称为条件概率，记作(|)P B A 。
【例1】 吴书p.19.例1。
一个家庭有2个小孩，已知其中至少一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少（假
定生男生女是等可能的）？
一般情况下)|()(A B P B P ≠，原因是计算概率时，样本空间由Ω变成了A Ω。 定义 设B A ,是两个事件，且0)(>A P ，则称
)
()()|(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
类似地，有当0)(>B P 时，有
)
()()|(B P AB P B A P = 可以验证条件概率满足概率定义中的三个条件，所以条件概率也是概率，具有概率的一
切性质。
【例2】 吴书p.20.例2。
袋中有10个球，其中3个黑球、7个白球，依次从袋中不放回取2球，
（1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；
（2）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率。
【例3】 已知灯泡使用到1000小时的概率为0.75，使用到1500小时的概率为0.25。
一只灯泡已经使用了1000小时，求这只灯泡使用到1500小时的概率。
解 设A 表示事件“灯泡使用到1000小时”，B 表示事件“灯泡使用到1500小时”。
显然，B A ?，所以AB B =。所求的概率为(|)P B A ，由条件概率的定义
(|)()/()()/()0.25/0.750.33P B A P AB P A P B P A ====。
【例4】设C B A ,,是事件，2.0)(,5.0)(,6.0)(===AB P B P A P ，求)|(A B B P 。
解 )
()()()]([)|(B A P B A P A B P A B B P A B B P == 其中 )()](1[)()()()(AB P A P AB P A P B A P B A P --=-=-=
2.02.0)6.01(=--=
)()](1[)](1[)()()()(AB P B P A P AB P B P A P B A P --+-=-+=
7.02.0)5.01()6.01(=--+-=
所以 7
27.02.0)|(==
A B B P 。 二、乘法公式
由条件概率的公式，立即可得 定理（乘法公式）对任意事件A 、B ，有
()()(|)P AB P A P B A = (()0P A >)
()(|)P B P A B = (()0P B >)
如果A 先发生，则使用第一式；如果B 先发生，则使用第二式
可以推广到有限多个事件的情形：n 个事件的乘法公式为
12121312121()()(|)(|)(|)n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=
特别地，当3n =时，有
()()(|)(|)P ABC P A P B A P C AB = (()0,()0P A P AB >>)
【例5】 吴书p.22.例4。
袋中有a 个白球，b 个红球，现从中依次不放回地取出2个球，求两次都取到白球的概
率。
【例6】 袋中共有100个球，已知有10个黑球，90个红球，现从中依次取出2个球，
求（1）不放回取出时，第2次才取到红球的概率；（2）取出第一个球放回后，再取出第二
个球，第2次才取到红球的概率。
解 设i A 表示事件“第i 次取到红球”（1,2i =），则i A 表示事件“第i 次取到黑球”。
（1）所求的概率为12()P A A ，由乘法公式
091.099
9010010)|()()(12121=?==A A P A P A A P 。 （2）此时所求的概率仍记为12()P A A ，由乘法公式
090.0100
9010010)|()()(12121=?==A A P A P A A P 。 【例7】 吴书p.22.例5。
已知某厂的一批产品共100件，其中有5件废品。某采购员对产品进行不放回抽样检查，
如果被抽查的5件产品中至少有一件是废品，则拒绝购买这批产品。求采购员拒绝购买这批
产品的概率。
三、全概率公式
定理1（全概率公式）设试验E 的样本空间为Ω，A 为E 的事件，n B B B ,,,21 是Ω
的一个划分（即n B B B ,,,21 两两互不相容，且
Ω== n i i B 1），而0)(>i B P ),2,1(n i =，
则 ∑==++=n
i i i n n B P B A P B P B A P B P B A P A P 111)()|()()|()()|()(
定理2（贝叶斯公式）设试验E 的样本空间为Ω，A 为E 的事件，n B B B ,,,21 是Ω
的一个划分，且0)(,0)(>>i B P A P ),2,1(n i =，则
∑==n i i
i i i i B P B A P B P B A P A B P 1)()|()
()|()|(，),2,1(n i =
【例1】 吴书p.23.例6（盛书p.18.例5）。
某厂的两个车间生产同型号产品。据以往记录，第一车间的次品率为0.15，第二车间的
次品率为0.12。两个车间生产的成品混放在一个仓库里且无区分标志，假定第一、二车间生
产的成品比例为3:2。
（1）在仓库中随机取1件成品，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机取1件成品，若已知取到的是次品，求该次品分别由第一、二车间
生产的概率。
如果存在与A 有关的Ω的一个划分n B B B ,,,21 ，且每个i B 都先于A 发生，将由所有
可能“原因” i B 的概率求“结果” A 的概率的问题称为全概率问题，可用全概率公式解
决；将由“结果” A 的概率推断各种可能“原因” i B 的概率的问题称为逆概率问题，可
用贝叶斯公式解决，已知的)(i B P 称为先验概率，求出的)|(A B P i 称为后验概率。
【例2】 吴书p.25.例7。
假设在某时期内影响股票价格变化的因素只有银行存款利率的变化。经分析，该时期内
利率不会上调，利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%。根据经验，利率下调时
某支股票上涨的概率为80%，利率不变时，这支股票上涨的概率为40%，求这支股票上涨
的概率。
【例3】 吴书p.25.例8（盛书p.20.例8）。
根据记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，
以C 表示事件“被检查者患有癌症“，则有95.0)|(,95.0)|(==C A P C A P 。现对自然人
群进行普查，设被检查者患有癌症的概率为0.005，即005.0)(=C P ，试求)|(A C P 。
【例4】 吴书p.26.例9。
玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，和
0.1。某顾客欲买一箱玻璃杯，在购买时随机查看4个，若无次品则买下这箱玻璃杯，否则
退回。试求
（1）顾客买下这箱玻璃杯的概率；
（2）在顾客买的这箱玻璃杯中，确实没有次品的概率。
§4 独立性 定义 若事件A 的发生不影响事件B 的概率，即
(|)()P B A P B =
则称事件B 对A 是独立的，否则称为不独立的。
根据乘法公式，()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==，如果事件B 对A 是独立的，
则()(|)P B P B A =，代入乘法公式得()(|)P A P A B =，即事件A 对B 也是独立的。所以，
事件A 、B 之间的独立性是对称的，即是相互独立的。
定理1 事件A 与事件B 相互独立的充要条件是
()()()P AB P A P B =
推广到有限个事件的情形：如果n 个事件12,,,n A A A 相互独立，则
1212()()()
()n n P A A A P A P A P A =。 理论上定理1可用于事件独立性的判断。但在具体应用中，往往先根据事件的实际意
义判断A 、B 的独立性，然后利用定理1求出()P AB 。
定理2 如果事件A 与B 相互独立，则事件A 与B 、A 与B 、A 与B 也相互独立。
定理3 如果事件A 与B 相互独立，则
)()(1)(B P A P B A P -=
推广到有限个事件的情形：如果n 个事件12,,,n A A A 相互独立，则
)()()(1)(2121n n A P A P A P A A A P -=。
【例1】 从甲、乙两个箱子中随机抽取奖券，中奖率分别为0.6和0.5，现在两个箱
子中各随机抽取一张，求两张都中奖的概率。
解 设A 表示 “甲箱中抽出一张中奖”，B 表示“乙箱中抽出一张中奖”，则
()0.6P A =，()0.5P B =。显然A 与B 是相互独立的，
因而 ()()()0.3P AB P A P B ==。
【例2】 吴书p.29.例2。
甲乙二人独立地对目标各射击1次，甲射中目标的概率为0.5，乙射中目标的概率为0.6，
求目标被射中的概率。
【例3】 一条线路中有3个电阻，每个电阻断电的概率都是(01)r r <<，分别计算
（1） 3个电阻并联时，整条线路断电的概率；
（2） 3个电阻串联时，整条线路断电的概率。
解 设(1,2,3)i A i =表示“第i 个电阻断电”，A 表示“并联时整条线路断电”, B 表示
“串联时整条线路断电”。
（1）并联时，只有3个电阻全断电线路才会断电,即123A A A A =。因而有
3123123()()()()()P A P A A A P A P A P A r ===。
（2）串联时, 只要有一个电阻断电整条线路就会断电,即321A A A B =。因而有
3321321)1(1)()()(1)()(r A P A P A P A A A P B P --=-== 。
【例4】 吴书p.31.例4。
有电路如图，其中1，2，3，4为继电器接点，设各继电器接点闭合与否相互独立，且
每一个继电器接点闭合的概率均为p ，求L 至R 为通路的概率。
【例5】 吴书p.31.例3。
（保险赔付）设有n 个人向保险公司购买人身意外保险（保险期为1年），假定投保人
在1年内发生意外的概率为0.01。
（1）求保险公司赔付的概率；
（2）当n 为多大时，使得以上赔付的概率超过2
1。 注意：事件B A ,相互独立与事件B A ,互不相容是不同范畴中的两个概念，一般来说它们
是没有关系的。但当B A ,相互独立，且0)(,0)(>>B P A P 时，B A ,必相容。
2012北京邮电大学概率论与随机过程试题
北邮人： 一、填空题 1. 设事件,A B 满足()0.7,()0.3P A P AB ==, 则()P AB = 2. 袋中有10个球，其中1个红球，10个人不放回地依次抽取，每次抽取一个，问最后一个人取到红球的概率是 3. 设平面区域D 由1,0,x y y x ===围成，平面区域1D 由21,0,x y y x ===围成。现向D 内依次随机地投掷质点，问第3次投掷的质点首次落在1D 内的概率是 4. 设随机变量(1,2),(2,4)X N Y N 且相互独立，求23X Y +-的概率密度函数()f x = 5. 设平稳过程{(),0}X t t ≤≤+∞的功率谱密度为28()+14X S ωω= +，则其自相关函数为 6.设一灯管的使用寿命X 服从均值为1/λ的指数分布，现已知该灯管用了10小时还没有坏，该灯管恰好还能再用10小时的概率为 7.设电话总机在(0,]t 内接受到电话呼叫次数()N t 是强度（每分钟）为0λ>的泊松过程，(0)0N =， 则2分钟收到3次呼叫的概率 8.设随机过程(),0X t tY t =≥，其中Y 服从正态分布，即(1,4)Y N ，求103()E tX t dt ??= ??? ? 二、设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 , 0(,)0, 其他 y e x y f x y -?<<=??
(1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y ，(2) 求条件概率密度|(|)Y X f y x ， |(|)X Y f x y ，(3)求条件概率(1|1),{1}P Y X P X Y ≤≤+<. 三、在某交通路口设置了一个车辆计数器，记录南行北行的车辆总数。设X(t)和Y(t)分别表示在[0,t]内南行和北行的车辆数，它们是强度分别为1λ和2λ的possion 过程，且相互独立。如果在t(>0)时记录的车辆总 数为n ，求其中南行车辆有k(0 第二章 概率论与随机过程 2 2-16 图P2-16中的电路输入为随机过程 X(t)，且E[X(t)]=O, xx ()= (),即X(t)为白噪 过程。 (a )试求谱密度 yy ( f )。 2 (b )试求 yy ( )和 E[Y (t)]。 ----kW 1 R X(t) 图 P2-16 2 (b) E [y (t)]= yy (0) 解：由功率密度谱的定义知 C 二 Y(t) xx xx ( )e j2f d ()e j2f d 又系统函数 H(f)=^ X(f) 1 j2 fc 1 j 2 fc 1 __ j2 fc yy (f) xx (f)H(f)2 (2 fcR)2 yy () yy (f)e j2 df 2 1 R 2f^e j2f df 莎汀 2 ?- E [y (t)]= yy (0) 2Rc 2-20 一离散时间随机过程的自相关序列函数是 (k) (1/2)W ，试求其功率密度谱。 (f)= k (k)e j2 fk 2-24 系统的噪声等效带宽定义为 B eq 认 2 H(f) df 1/知 o XJ) ???命题得证。 2-23 试证明函数 在区间［ (f) 1 (2) k 2 I k l e 2 j fk / 1 2 j f 、 2 1e j2f 2 1 !e j2f 2 1e j2f 2 1 1 e j2 2 sin[2 W(t f k (t)= ］上为正交的，即 G e o 2 1 1 le j2f 2 即为所求。 2W )] k 2 W(t ) 2W ,k = o , 所以，抽样定理的重建公式可以看作带限信号 s(t)的级数展开式，其中权值为 s(t)的样值, 且｛ f k (t )｝是级数展开式中的正交函数集。 证明： 由题得 k sin[2 W(t -)] f k (t)f j (t)dt = ---------- 2 W(t —) 2W sin[2 W(t j )] 込dt 2 W(t j ) 1 cos[( j k) 2 cos[4 wt (k j) ] dt (2 wt k)(2 wt j) 概率统计系的发展与未来 何书元(编写) 2005年 概率统计系的前身是概率统计教研室。1956年初，我国第一个科学发展规划将概率统计列为数学研究中的重点发展方向之一。为落实这一规划，同时在苏联著名数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）建议的基础上, 北京大学数学系成立了全国第一个概率统计教研室, 由许宝騄(1910-1970)教授任教研室主任。同年，根据教育部的安排，一些综合大学选派了进修教师和学生共50多人到北京大学，在许先生的主持下从事概率统计的学习和研究。同年秋，中国科学院的王寿仁、张里千先生、中山大学的郑曾同先生被邀请到北京大学讲授概率统计方面的课程。许先生亲自主持讨论班。这批学员是我国培养的第一批为数可观的概率统计人才，许多人日后成为我国概率统计界的学术骨干。到“文化革命”前，概率统计专业共培养了七届学生，约200人。这时的教学和科研同时在统计推断、试验设计、概率极限定理、马氏过程、多元分析等多方面开展，受到国际同行的好评。这时的毕业生也以基础深厚，学风严谨著称。 当时的概率统计在北京大学是一派兴旺，集中了大批优秀老师和学生，得到数学系领导的关心和大力支持。许先生更是带有一些神秘的英雄色彩(参考“道德文章垂范人间”的前言)。他像磁石一样把莘莘学子吸引到北京大学。大家都十分羡慕那些能得到许先生指导的同学。许先生亲自主持制定概率统计专门化学生的培养计划和教学大纲，指导了五届毕业论文。一些专门化课程的教材也是根据许先生的讲稿整理而成。他领导的讨论班不仅有北大的教师学生参加，还有中科院数学研究所的同志参加，内容涉及到概率论和数理统计的多个方面。在这段时间中，先后有波兰的菲茨(Fisz)教授来北大讲授统计分析，乌尔巴尼克（Urbanike）教授讲授广义随机过程，邓肯(E. Dynkin)教授讲授马氏过程。许先生与这些专家共同制定讲学计划，帮助年轻人消化整理专家们的讲学内容，使北大成为大规模培养概率统计人才的第一基地。 许先生有很高的学术成就，在国际上享有盛誉。他对待教学工作极为认真，讲课条理清晰，作风严谨，十分注意鼓励和培养年轻人。他早年的学生就曾经写到：“许先生坚持简洁，对事物深刻的了解，不畏避困难，凡事追求高标准，这些优秀的品质深深地吸引着我们，使我们成为他的学生。”许先生身体一直不好，加上“文革”期间受到不公正的待遇，终于1970年冬去世。当时由于信息不畅，加上概率统计教研室和数学系的许多老师还在江西鲤鱼洲劳动，使得许先生的过早 《概率论与随机过程》第一章习题 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录 抽取的次数。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选 举的结果。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察 装球的情况。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与C 不发生。 （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 （3） A ，B ，C 都发生。 （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 （5） A ，B ，C 都不发生。 （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。 （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。 （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，??????≤<=121x x A ，? ?????<≤=234 1x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，求A ， B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？ （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？ 11. 将8本书任意放到书架上，求其中3本数学书恰排在一起的概率。 12. 某人买了大小相同的新鲜鸭蛋，其中有a只青壳的，b只白壳的，他准备将青壳蛋加工成咸蛋，故将鸭 蛋一只只从箱中摸出进行分类，求第k次摸出的是青壳蛋的概率。 13. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随 意将这些油漆发给顾客。问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆，2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到订货的概率是多少？ 14. 将12名新技工随机地平均分配到三个车间去，其中3名女技工，求： （1）每个车间各分配到一名女技工的概率；（2）3名女技工分配到同一车间的概率。 15．从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有两只配对的概率。 16．从0，1，2，......，9十个数中随机地有放回的接连取三个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列事件的概率：（1）三个数字排成一奇数；（2）三个数字中0至多出现一次； （3)三个数字中8至少出现一次；（4）三个数字之和等于6。 （利用事件的关系求随机事件的概率） 17. 在1~1000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被4整除，又不能被6整除的概率是多少？ 18. 甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张， （1）若甲抽后将牌放回乙再抽，问甲或乙拿到四张A的概率； （2）若甲抽后不放回乙再抽，问甲或乙拿到四张A的概率。 19. 在某城市中发行三种报纸A,B,C，经调查，订阅A报的有45%，订阅B报的有35%，订阅C报的有30%，同时订阅A及B的有10%，同时订阅A及C的有8%，同时订阅B及C的有5%，同时订阅A,B,C 的有3%。试求下列事件的概率： （1）只订A报的；（2）只订A及B报的；（3）恰好订两种报纸。 《概率论》课后练习（一） 第一章§1-1随机事件与概率 班级 姓名 座号 成绩 一．填空题（每空1.6分,共计8分） 1．一份试卷上有6道题。某学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误。现观察该学生做完试卷他答对的题数，则样本空间=Ω____________________。 2．十件产品中三件次品，每次从中取1件（不放回抽样）直到将三件次品都取出，记录抽取到的正品数；则样本空间=Ω_______________ 。 3. 一口袋中有许多红色、白色、蓝色的乒乓球，在其中任取出4 只，观察它们具有颜色的种数。则样本空间=Ω______________________。 4..设某人向靶子射击3次，用 i A 表示“第i 次射击击中靶子” )3,2,1(=i ，试用语言描述下列事件：(1)— ——321A A A (2) 21A A 二． 单项选择题（每小题2,共计8分） 1. 射击3次，事件i A 表示第i 次命中目标)3,2,1(=i ，则表示至少命中一次的是 （ ） )(A 321A A A )(B 321A A A -Ω )(D A A A A A A A A A 21321321 )(D 321A A A 2. 以A 表示事件“甲种产品畅销或乙种产品滞销”，则其对立事件A 表示（ ）。 )(A “甲种产品滞销，乙种产品畅销” )(B “甲、乙两种产品均畅销” )(C “甲种产品滞销” )(D “甲种产品滞销或乙种产品畅销” 3. 对于任意事件A 和B ，则与B B A =+不等价的是（ ）。 )(A B A ? )(B A B ? )(C φ=B A )(D φ=B A 4. 对于事件A ，C B ，,则下列等式不成立的是（ ）。 )(A B B A A -+=)( )(B ))(()(C A B A AB A ++=+ )(C 如果AB A =，则B A ? )(D )(C B A C B A +-=-- 三．下列说法是否正确？（必须说明理由 ）（每小题2分，共计4分） （1）若Ω=+B A ，则B A ,互为对立事件。 (2) 若φ=ABC ，则C B A ,,两两互斥。 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 《概率论论文》 概率论论文（一）： 《概率论与数理统计》论文 摘要 概率论的发展具有很长的历史，多位数学家对概率论的构成做出了巨大贡献。纵观其发展史，在实际生活中具有很强的应用好处。正是有了前人的努力，才有了现代的概率论体系。本文将从概率论的研究好处、定义，以及发展历程进行叙述。 概率论的发展与起源 1.1概率论的定义 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象 而言的，随机现象是指在基本条件不变的状况下，一系列或观察会得到不同结果的现象。每一次实验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，抛一枚硬币，可能会出现正面或者反面；在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或者一组基本事件统称为随机事件，或者简称为事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下超多重复的随机实验却往往呈现出明显的数量规律。例如，连续多次抛一枚硬币，出现正面的频率随着抛次数的增加逐渐趋近于1/2；犹如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且测量值大多落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某种程度的对称性。大数定律和中心极限定律就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变状况。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而构成不规则的运动，即布朗运动，这就是随机过程。随机过程的统计特征、计算与随机过程有关的某些事件的概率，个性是研究 与随机过程样本轨道（及过程的一次实现）有关的问题，是现代概率论的主要课题。 在当代，随着概率论本身的发展和学科之间的交叉融合，囊括了概率理论和 统计理论两大部分的广义概率论已经成为一门应用十分广泛的学科，概率方法与统计方法逐渐渗透到了其它学科的研究工作当中。无论是在自然科学领域还是社会科学领域，各门学科中都能看到概率论的身影。概率论已经成为一种重要的工具，在社会发展中发挥着巨大的作用。 1.2课题背景及研究的目的和好处 现代社会步调快，信息更新快，信息量大，如何从中选取分析最有效的信息 成为发展的先决条件，故概率统计学有着不可比拟的重要地位与作用。无论是在日常生活中，还是商业经济、科学研究，小到日常下雨，大到卫星发射，各种事物发展中都有概率统计的影子。在这个科技革新的时代，概率统计学必将发挥前所未有的重大影响，所以研究概率学具有十分重要的好处。 《概率论与随机过程》第一章习题 1.写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。 （4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5）一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。 （6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9）有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。 （10）测量一汽车通过给定点的速度。 （11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1）A发生，B与C不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C都发生。 （4）A，B，C中至少有一个发生。 （5）A，B，C都不发生。 （6）A，B，C中至多于一个发生。 （7）A，B，C中至多于二个发生。 （8）A，B，C中至少有二个发生。 3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，?????? ≤<=121x x A ，? ?????<≤=2341x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，1)(=AC P ，求A ，B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算） （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少 8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求 第4只次品管子在下列情况发现的概率。 （1） 在第5次测试发现。 （2） 在第10次测试发现。 9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一 事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ?。 10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概 率。 （1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。 （3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。 11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率 随机过程论文 题目: 通信系统中随机过程的模型研究 姓名刘鲁鹏 学院电子工程学院 专业电子科学与技术 班级概率论与随机过程1班学号2014110632 本人签字 2014 年12月 通过幅度概率分布研究通信系统中的骚扰问题 摘要：通过目前学术界广泛关注的幅度概率分布(APD)检测方法与传统电磁兼容测量方法的比较,说明了幅度概率分布统计测量方法的优越性.并且采用统计测量方法来研究骚扰对数字通信系统的影响,以PAM二进制调制系统为例,推导出了骚扰的APD与通信系统误码概率之间的关系式,给出了骚扰的幅度概率分布测量结果与对应干扰下的数字通信系统的误码概率两者之间的联系.本文的研究结果对于制订电子设备的电磁辐射限值具有参考价值. 关键词：电磁兼容;幅度概率分布;数字通信系统;误码概率;测量检波器 随着数字通信技术的飞速发展,各种电子设备大量涌现,这使得我们的电磁环境变得越来越复杂.如何保证通信系统在如此复杂的电磁环境下能够正常工作是通信技术发展面临的难题,因此电磁兼容性问题变得越来越重要.研究骚扰对通信系统的影响就是要求当骚扰通过通信系统之后,对接收机所产生的最终结果.现有标准中所采用的方法是直接测量这种最终结果,以表示干扰的大小.例如在话音通信中,接收者就是凭听觉来判断干扰的存在和强弱的.由于骚扰经准峰值检波器之后的电表指示与人耳的主观感觉一样,所以准峰值常用来评价骚扰对调幅通信系统的影响,在国际无线电干扰特别委员会(CISPR)出版物中规定的各种骚扰限值都是以准峰值表示的.但是现在面临的问题是准峰值无法反映出骚扰对数字通信系统的影响,如何解决这一问题,是目前CISPR关注的焦点.目前针对这一问题的解决方案主要有:①研究一种新型的加权评估检波器;②采用传统的有效值(RMS)检波器;③采用APD统计测量方法. 其中,方案①研究进展比较缓慢,很难找到一种新型的评估检波器,能像准峰值检波器对模拟通信系统的评估一样有效.RMS检波器只是在评估类似于高斯型噪声对数字通信系统方面得到了验证,对于脉冲型噪声的评估方面,仍显得无能为力.APD统计参量描述的是,骚扰的随机包络的统计特性,它与数字通信系统的误码率有着紧密的联系,而且可以用来建立脉冲干扰的统计模型.目前APD统计测量方法已经得到了CISPR的初步认可,CISPR已经投票通过了APD测量仪的标准草案,而关于APD限值标准则,正在征求各个产品分委会的意见. 本文分析了APD测量方法的理论基础及APD测量方法的优越性,推导了干扰的APD统计结果与二进制PAM调制系统误码率之间的关系,并通过实验数据说明了干扰APD测量结果对于预测通信系统性能的可行性. 1.APD统计测量基础 APD统计测量方法是建立在概率论和数理统计的基础之上的,统计测量最重要的一个目的是获得无线电骚扰的概率密度函数. CISPR给出的APD定义为:干扰幅度超过规定电平的时间概率,用下式表示为 式中:R是门限电平;T是测量总时间;tk是第k个幅度超过R的脉冲的持续时间应用概率论的知识可以把APD表示为 式中,P(R)是干扰包络的累积概率分布. 从式(1)中可以看出,APD与包络的概率密度函数有着直接的联系.以高斯白噪声为例,其概率密度函数满足正态分布为 式中,mx和σ2分别是随机变量x的均值和方差. 由式(1)可以得出高斯白噪声的APD分布为 05-06概率论与随机过程试题（A ） 一、选择题 1．设0 2． 设随机变量X 的密度函数为, 0 1, ()0, .ax x f x < H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计（论文） 课程名称：应用随机过程 设计题目：随机过程简史 院系：电气工程学院 班级： 11S0104 设计者：孙延博 学号： 11S001070 指导教师：田波平 设计时间： 2011-10-23 随机过程简史 摘要 本文简要地介绍了随机过程从20世纪初创立至今，100年的发展历程考察了导致随机过程产生的历史契机，以及早期数学家在这方面作出的杰出工作。并简要介绍了随机过程的概念，研究方法 和研究内容，在现代工程技术领域的应用。 关键词：随机过程平稳随机过程平稳随机序列 1.随机过程的概念研究方法及研究内容 随机过程是现代概率论研究的一个重要分支。数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。数学上的随机过程可以简单的定义为一组随机变量，即指定一参数集，对于其中每一参数点t指定一个随机变量x(t)。如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以ω表示随机变量x(t)的定义域中的一点，并以x(t，ω)表示随机变量在ω的值，则随机过程就由刚才定义的点偶(t，ω)的函数以及概率的分配完全确定。如果固定t，这个二元函数就定义一个ω的函数，即以x(t)表示的随机变量。如果固定ω，这个二元函数就定义一个t的函数，这是过程的样本函数。由于物理学生物学，通讯和控制管理科学等学科的需要随机过程逐步发展起来的。马尔柯夫最早研究了随机过程。研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度轮、微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。实际研究中常常两种方法并用。另外组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。研究的主要内容有：多指标随机过程、无穷质点与马尔可夫过程、概率与位势及各种特殊过程的专题讨论等。中国学者在平稳过程、马尔科夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面做出了较好的工作。 2.随机过程的历史 1900年，Bachelier在分析股票市场波动时．发现了随机过程的一个重过程——独立增量过程的特恻。1905年，物理学家Einstein在研究Brown运动时，也遇到了相同的过程．1923年，Wiener 给出了Brown运动的数学描述- wiener过程。 Lunbderg在1903年研究一个保险公司所承担索赔累计数的变化规律时．导出了另一类型的随机过程——Lundberg过程。而众所周知、应用甚广的Poisson过程是当所有得付出的索赔总数中每一笔数目都相同时的Lundberg过程。 1909年，Erlang在研究电话业务时引入了Poisson过程，并被物理学家Rutherford和Geiger用于分析放射性蜕变。这些早期对随机过程的研究都是同实际问题紧密联系在一起的。虽然在数学上用了不太严密的方法，却表现出了直观处理这些概念和方法的绝妙能力。 大学2015～2016学年秋季学期本科生 课程自学报告 课程名称：《概率论与随机过程》 课程编号：07275061 报告题目：大数定律和中心极限定理在彩票选号的应用学生： 学号： 任课教师： 成绩： 评阅日期： 随机序列在通信加密的应用 2015年10月10日 摘 要：大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限订婚礼，并利用大数定律与中心极限定理得到较多模型的收敛性。但对于他们的适用围以及在实际生活中的应用涉及较少。本文通过介绍大数定律与中心极限定理，给出了其在彩票选号方面的应用，使得数学理论与实际相结合，能够让读者对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有更深刻的理解。 1. 引言 在大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，起源于十七世纪，发展到现在，已经深入到了社会和科学的许多领域。从十七世纪到现在，很多国家对这两个公式有了多方面的研究。长期以来，在大批概率论统计工作者的不懈努力下，概率统计的理论更加完善，应用更加广泛，如其在金融保险业的应用，在现代数学中占有重要的地位。 本文主要通过对大数定律与中心极限定理的分析理解，研究探讨了其在彩票选号中的应用，并给出了案例分析，目的旨在给出大数定律与中心极限定理应用对实际生活的影响，也对大数定律与中心极限定理产生更深刻的理解。 2. 自学容小结与分析 2.1 随机变量的特征函数 在对随机变量的分析过程中，单单由数字特征无法确定其分布函数，所以引入特征函数。特征函数反映随机变量的本质特征，可唯一的确定随机变量的分布函数、随机变量X 的特征函数定义为： 定义1 ][)()(juX jux e E dx e x p ju C ==? +∞ ∞ - (1) 性质1 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。 性质1意味着在傅立叶变换之后，时域的卷积变成频域的相乘，这是求卷积的简便方法。类比可知求独立随机变量之和的分布的卷积，可化为乘法运算，这样就简便了计算，提高了运算效率。 性质2 求矩公式：0)(|) ()(][=-=u n u x n n n du C d j X E (2) 性质3 级数展开式：!)(][!|)()()(0 00n ju X E n u du u C d u C n n n n n n n n X ∑∑∞ ==∞ === (3) 2.2 大数定律与中心极限定理 定义2 大数定律：设随机变量相互独立，且具有相同的μ=)(k X E 和,...2,1,)(2 ==k X D k σ, 则0∈>?,有 概率论在物理学方面的应用 概率论是现代数学的一个重要学科。一方面，他有丰富的数学理论，与其他数学学科有深入的相互渗透。另一方面，它与自然科学、技术科学、管理科学、经济科学以至人文科学有广泛的交叉。很多问题都可以归结为概率模型，应用概率论和随机过程的理论和方法加以研究．并且这些问题也向概率论提出了新的重要研究课题。统计物理学便是这样一个新的概率论分支。 概率论与统计物理的联系可以上溯到19世纪统计物理建立之初。一个世纪以来，统计物理学中经常运用概率(统计物理中常用几率这一术语)的概念和方法，而数学家也常常探讨统计物理中的概率论问题。但是似乎并没有从这两个学科的基础上进行联系, 这当然和两个学科的发展水平有关。 伽尔顿模板实验。如图1所示，在一块竖直的木板上有规律地排列着许多钉子，模板的下端被隔成许多等宽的狭槽，从顶部中央的漏斗形入口处可投入小球，板前覆盖玻璃，以使小球留在狭槽内，这个装置叫做伽尔顿板。 设：层挡板，向左走的概率为，小球落下时，向左走的步数为，相右走的步数为 且，落入位置为，则有： 将和式代入式，则有： 所以位移的均方涨落为 相对涨落为： 加尔顿板模型相应参数值以及理论结果： 每个小球的总步数及当班的层数，每一步向右的概率为0.5，所以有时可以求得小球位移的均方涨落为： 相对涨落为： 实验的一些效果图： ①当小球个数为80时，统计图为图2： 误差为： ②当小球个数为200时，统计图为图3： 误差为： ③ 当小球个数为5000时，统计图为图4： 误差为：%00.2%10000 .2000.2040.20=?- 从实验中可以看到，随着投入的小球数量的增多，看到落在各槽中的小球数目是不相等的，靠近入口槽内的小球较多，离入口越远的槽内小球的数目越少。 北京大学概率论课程介绍及选课建议 一．课程简介 从许宝騄先生开始经过几代人的不懈努力，北京大学数学科学学院开设的概率论课程已经比较的系统和完善了。为了便于同学们选课，现介绍如下。 1.概率论数学学院必修课，每年春季开设，每次分两个班，拟再开设一 个提高班。 常用教科书:《概率论基础》, 李贤平编著高等教育出版社；《概率 论引论》，汪仁官编著北京大学出版社；何书元编著《概率论》北 京大学出版社 2.应用随机过程数学学院选修课，概率统计专业必修课，每年秋季开 设。 常用教科书:《应用随机过程》，钱敏平、龚光鲁、陈大岳、章复熹编 著高等教育出版社 3.测度论数学学院选修课，每年春季开设。 常用教科书: 《测度论与概率论基础》，程士宏编著北京大学出版社 4.应用随机分析数学学院选修课，奇数年春季开设。 常用教科书: 《随机微分方程及应用概要》，龚光鲁编著清华大学出 版社 (2014年1月印刷版)；教师自编讲义 5.统计物理与随机过程数学学院选修课(同时欢迎理科院系本科生研究 生选修) 常用教科书: 教师自编讲义 6.高等概率论概率统计和金融数学专业研究生必修课，每年秋季开设。 常用教科书R. Durrett Probability Theory: Theory and Examples , 3rd Edition 或4th Edition 7.随机过程论概率统计专业研究生必修课，每年春季开设。 8.随机分析概率统计专业研究生选修课，奇数年秋季开设。 常用教科书《随机微分方程引论》，龚光鲁编著北京大学出版社； Karatzas, Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer；教 师自编讲义 9.随机过程论II 概率统计专业研究生选修课，偶数年秋季开设。 《概率论与随机过程》第一章习题答案 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 解： ? ??????=n n n n S 100 , ,1,0 ，其中n 为小班人数。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 解：{}18,,4,3 =S 。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录 抽取的次数。 解： {}10,,4,3 =S 。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 解： { } ,11,10=S 。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选 举的结果。 解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察 装球的情况。 解： {}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示球a 放 在盒子A 中，余者类推。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 解：{}0>=v v S （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 解： (){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，第三段的 长度。# 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与C 不发生。 解：C A （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 解： C AB （3） A ，B ，C 都发生。 解： ABC （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 解： C B A ?? （5） A ，B ，C 都不发生。 解： C B A （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。 解： A C C A ?? （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。 解： C B A ?? （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 解： CA BC AB ??. # 3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 解： {}5=B A ； （2）B A ?。 解： { }10,9,8,7,6,5,4,3,1=?B A ； （3）B A 。 解：{}5,4,3,2=B A ； 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A AB - （B ）()A B B ?- （C ）AB （D ）AB 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C ] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A ] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<概率论与随机过程题集
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《概率论与随机过程》第1章习题
概率论与随机过程论文
05-06概率论与随机过程试题(A卷)
随机过程简史
《概率论与随机过程》课程自学内容小结
概率论在物理学方面的应用
北京大学概率论课程介绍及选课建议
《概率论与随机过程》第1章习题答案
概率论第一章随机事件及其概率答案