05-06概率论与随机过程试题(A卷)

05-06概率论与随机过程试题（A ）

一、选择题

1．设0

X 的分布函数为x B A x F a r c t a n

)(-= )(+∞<<-∞x ，则常数A 、B 分别等于( ).

（A ）

π

1

、

2

1； （B ）

2

1、

π

1

；（C ）

π

1

、2

1-

；（D ）

2

1、π

1

-

.

3．设相互独立的两个随机变量X 和Y 均服从参数为

2

1的0-1分布，则随机变量

},max{Y X Z =的分布律是( ).

X 和

Y 的相关系数等于( ).

（A ） 1 （B ） 0 （C ） 0.5 (D) 1- 5．设随机变量

,,,,n X X X 21相互独立，且服从同一分布，其分布函数为

b x

a x F arctan

)(π

1

+

=，0≠b ，则辛钦大数定理对此序列( ).

（A ）适应 （B ）无法判别（C ）当常数b a ,取适当的数值时适应 （D ）不适应

二、计算题（共9小题，每小题满分10分，共90分）

1．设C

B A ,,是三个事件，

,4

1)()()(=

==C P B P A P 1()(),8P A B P B C ==

()0P AC =．求：（1）C B A ,,都发生的概率；（2）C B A ,,至少有一个发生的概率；(3)

C

B A ,,都不发生的概率．

2． 设随机变量X 的密度函数为, 0 1,

()0, .ax x f x <

?其他 试求：（1）常3. 设随机变

量X 在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y 在1～X 中等可能地取一整数值．试求(,)X Y 的分布律及关于Y X ,的边缘分布律．

4. 设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为22

1

,2,(,)20,.

x y f x y π

?+≤?

=???

其他 试验证

X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．数a ；

（2）X 的分布函数()F x ． 5．某单位内部有260部电话分机，每部分机有4%的时间使用外线与外界通话，可以认

为每部电话分机用不用外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以95%把握保证各分机在用外线时不必等候．（(1.64)0.9495Φ=，(1.65)0.9505Φ=，(1.66)0.9515Φ=）

6. 研究一机械装置，设它在),0[t 内发生“震动”的次数)(t N 是强度为5（次/h ）的泊松过程，并且当第100次“震动”发生时，此机械装置发生故障，试求(1)这一装置寿命的概率密度；(2)这一装置的平均寿命；（3）相继两次“震动”时间间隔的概率密度；（4）相继两次“震动”的平均时间.

7．设齐次马氏链}1),({≥n n X 的状态空间}2,1,0{=I ，一步转移概率矩阵为

????

?

?????=2/12

/10

03/23

/16/13/12/1P ， 它的初始状态的概率分布为

1{(0)0}6

P X ==

，2{(0)1},3

P X ==1{(0)2}6

P X ==，

试求概率}2)2(,0)1(,1)0({===X X X P 及极限分布。

8. 设),(),cos()(+∞-∞∈+=t t a t X Θω，其中a 和ω是常数，Θ是在)2,0(π上服从均匀分布的随机变量．讨论随机过程()cos()X t a t ω=+Θ的各态历经性．

9．有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品，今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取两次做不放回抽样，求：（1）第一次取得

零件是一等品的概率；（2）已知第一次取得的零件是一等品，第二次取到的零件也是一等品的概率。