北邮-概率论与随机过程-年期末试题A标准答案

北邮-概率论与随机过程-年期末试题A答案

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3 北京邮电大学2009——2010学年第二学期

《概率论与随机过程》期末考试试题（A ）

考试注意事项：学生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上一律无效

一． 填空 (每小题4分，共40分)

1. 若321,,A A A 相互独立，且3,2,1,)(==i p A P i i ，则321,,A A A 这3个事件至少有一个发生的概率为 )1)(1)(1(1321p p p ---- ．

2. 设连续型随机变量X 的分布函数为

?????

>+=-他其,

0;

0,)(22

x be a x F x

则b a ,分别为 1，-1 ．

3. 设),(Y X 的概率密度为 )]2(1[1Φ---πe

??

?>>=+-他其,

0;

0,0,),()1(y x xe y x f y x 则=>-}1{Y X P （用标准正态分布的分布函数表示）． 4. 设),(Y X 的概率密度为

??

???<<<-= ,其它 , 0,

10 ,11

),(y x x y x f

则对任意给定的)10(<

5. 设随机变量X 与Y 互相独立，且1)()(==Y D X D ，则=--)13(Y X D

4 10 ．

6. 设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从]1,0[上的均匀分布，则

Y X Z -=的分布函数??

?

??≥<≤-<=1,110,20,

0)(2z z z z z z F Z ．

7. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，)0()()(2≥+=t t t W t X ，则)(t X 的相关函数=),(t s R X 222),m in(t s t s +σ ．

8. 设平稳过程)(t X 的均值为8，且)()(t X t Y '=，则)(t Y 的均值为 0 ． 9. 设随机过程t Z Y t X +=)(，t ∈T =(-∞,+∞),其中Y ，Z 是相互独立的服从N (0,1)的随机变量，则?t ,)(t X 服从 )1,0(2t N + 分布（写明参数）．

10. 设马氏链},2,1,0,{Λ=n X n 的状态空间为}2,1{=E ,转移概率矩阵为

,32313132

????

?

? ??则=∞→)(11

lim n n p 1/2 ．

二．（10分）某保险公司多年的统计表明：在索赔户中被盗索赔户占20%，

以X 表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数。(1) 写出X 的概率分布；(2) 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户，且不多于30户的概率的近似值． [附表]设)(x Φ是标准正态分布的分布函数

x

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 )(x Φ

0.692

0.841

0.933

0.977

0.994

解 (1))2.0,100(~b X ，即

5 {}100,,1,0)8.0()2.0(100100

Λ===-k C k X P k k k

(3分)

(2)16)(,20)(==X D X E ， （3分）

927

.01)5.1()5.2()5.1()5.2(}

1620

301620162014{}3014{=-Φ+Φ=-Φ-Φ=-≤-≤-=≤≤X P X P (4分)

三．（10分）设)(t X ，)(t Y 均为平稳随机过程，+∞<<∞-t ，且相互独

立，均值都是0，相关函数分别为||)(ττ-=e R X ，ττcos 21

)(=Y R ，证明

)()()(t Y t X t Z +=是平稳过程，并求其自相关函数和谱密度。

证明：(1) 0)]([)]([)]([=+=t Y E t X E t Z E . （2分）

)()()]()([τττY X R R t Z t Z E +=+ （2分）

于是Z (t)为平稳过程． （1分） (2) 由(1)知)(t Z 的自相关函数为

τττττcos 2

1

)()()(||+=+=-e R R R Y X Z （2分）

(3)谱密度为

=

)(ωZ S )].1()1([12

)(2

++-++=

-+∞

∞

-?ωδωδπωττωτ

d e R i Z （3分）

四．（10分）设线性系统的脉冲响应函数为)(3)(3t u e t h t -=，其输入平稳过

程)(t X 的自相关函数)(τX R ||42τ-=e ，求输出的平稳过程自相关函数)(τY R 及其谱密度)(ωY S ．

6 解： ω

ωi H t u e t h t +=

?=-33

)()(3)(3， (2分) ,1616

)(2

ω

ω+=

X S (2分)

(1) )

9)(16(144

)(|)(|)(2

22ωωωωω++=

=X Y S H S (3分) (2) |

|4||37

18724)(21

)(ττωτ

ωωπ

τ--+∞

∞

--==

?e e d e S R i Y

Y ． (3分) 五．（12分）设马氏链},2,1,0,{Λ=n X n 的状态空间为}4,3,2,1{=E , 初始分

布为)4

1

,41,41,41(，一步转移概率矩阵?????????

?

??=210

2

14121041043410

002121P , 计算 (1) }2{2=X P ； (2) }4,1,2{532===X X X P ； (3) }3|2,1{032===X X X P .

解： 二步转移概率矩阵为 ?????

?

????

??==410

412

14141818316316916116308383412

)

2(P P (3分)

7 (1) }2{2=X P 641341811618341,41,41,41=??????

???

? ????

?

??=. (3分)

(2) }4,1,2{532===X X X P =)

2(14212)2(p p p =0 (3分)

(3) }3|2,1{032===X X X P =12)2(31p p =16

3

. (3分)

六．（13分）设马氏链},2,1,0,{Λ=n X n 的状态空间为}4,3,2,1,0{=E ，一步

转移概率矩阵 ?????????

?

?

?=00

1

000210021100003203100

0210021

P ， 试画出此马氏链的状态转移图，讨论其状态空间的分解、状态分类、各状

态的周期和平稳分布.

解：图略 (2分) }3,0{1=C ，均为遍历状态； (2分)

}4,2{2=C ，均为正常返状态，周期为2； (2分)

}1{=D ，为非常返状态，无周期. 21C C D E ++=. (2分) 解方程组

8 ?

?

????

?????

=++++=+=+=+=+132

2

1

2131

2

12104321421330212

030πππππππππππππππππ (3分)

得平稳分布1,0,1,

2,2,2,0,2≤≤=+??

?

??q p q p q p q p . (2分)

七．（5分）设马氏链}{n X 的状态空间为}2,1,0{Λ=E ，一步转移概率矩阵为

?????

????

???ΛΛ

ΛΛ

Λ

Λ

ΛΛΛ000

0000222111

00

p r q p r q p r ，其中,,2,1,0,0,,Λ=>i r q p i i i 它是不可约的.记)1(,1211100≥=

=-j q q q p p p a a j

j j ΛΛ，试证此链存在平稳分布的充要条件是

∞<∑∞

=0

j j

a

.

证明 由P ππ=，得

)1(1111111000≥???

??=++++=+=++--j q r p q r p q r i

i i j j j j j j j πππππππ (2分)

则 00011πππr q -=

)1(1111≥-=---++j p q p q j j j j j j j j ππππ

9 得 Λ,,2

1121001q p q p π

πππ==

)1(0211101

2

211

1≥=

==

=

-------j q q q p p p q q p p q p j

j j j j j j j

j j j ππππΛΛΛ (2分)

而

1100100

j =++++?=∑∞

=ΛΛππππ

j j

a a

即此链存在平稳分布的充要条件是

∞<∑∞

=0

j j

a

. (1分)