函数单调性练习题
函数单调性练习题
1. （1）已知函数f(x)＝x 2
+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a
的取值范围是 .
（2）已知函数f(x)＝x 2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，则实数a 的取值范围是 .
（3）已知x ∈[0，1]，则函数 的最大值为_______最小值为_________
2.讨论函数f(x)＝
2
1x
ax
- (a≠0)在区间(-1，1)内的单调性. 解：设-1＜x 1＜x 2＜１，则f(x 1)-f(x 2)＝2111x ax --2
2
2
1x ax -＝)1)(1()1)((22212121x x x x x x a --+- ∵x 1，x 2∈(-1，1)，且x 1＜x ２，∴x 1-x 2＜0，1+x 1x 2＞0，(1-x 21)(1-x 22)＞0
于是，当a ＞0时，f(x 1)＜f(x 2)；当a ＜0时，f(x 1)＞f(x 2).
故当a ＞0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a ＜0时，函数在(-1，1)上为减函数.
3.判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x )是增函数还是减函数？
4. 已知：f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1) 5.设y=f (x )的单增区间是(2，6)，求函数y=f (2－x )的单调区间． x x y --+=122） ， （－ 在 ， 由复合函数单调性可知 是单减的， 上 在 又 ） ， （－ ） ， （ 而 ）上是增函数， ， （ 在 则由已知得 解：令 0 4 )] ( [ ) 2 ( ) 0 , 4 ( 2 ) ( 0 4 6 2 2 ) ( 6 2 ) ( , 2 ) ( ∈ = - - ∈ - = ∈ ∴ ∈ - = ∈ - = x x t f x f x x x t x x x t t t f x x t 6．函数21 )(++= x ax x f 在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a 的取值范围是（ ） A.210< 1 >a C.a<-1或a>1 D.a>-2 解：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2a x ＋2＋a . 任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1 1－2a x 1＋2－1－2a x 2＋2 ＝(1－2a )(x 2－x 1) (x 1＋2)(x 2＋2) . ∵函数f (x )＝ax ＋1 x ＋2 在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f (x 1)－f (x 2)<0. ∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴1－2a <0，a >1 2 . 即实数a 的取值范围是????12，＋∞. 7.已知函数f (x )＝? ???? x 2 ＋4x ，x ≥0， 4x －x 2 ，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析：f (x )＝? ???? x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4，x ≥0， 4x －x 2＝－(x －2)2 ＋4，x <0，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2 8.已知f (x )在其定义域R +上为增函数，f (2)=1，f (xy )=f (x )+f (y )，解不等式f (x )+f (x －2) ≤3 9.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2 1 x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值； （2）判断f(x ）的单调性； （3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2. （1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。 （2）当0 < x < y 时，y/x > 1，所以f(y) - f(x) = f(y/x) < 0 。故f 单调减。 （3）f(3) = -1，f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3)，f(9) = -2而 f （｜x ｜)＜-2 = f(9)，且f 单调减，所以| x | > 9 x ＞9或x ＜-9 3)2()4()8(2)2()2()4()()()(=+=∴=+=∴+=f f f f f f y f x f xy f 解：)2()2()(2 x x f x f x f -=-+又) 8()2(2 f x x f ≤-由题意有?????≤->->∴8 2020R )(2x x x x x f 上的增函数为＋ (]42，解得∈x 10.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2 -m-2)＜3. （1）设x1,x2∈R ，且x1＜x2, 则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1. f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1＞0. ∴f （x2）＞f(x1). 即f(x)是R 上的增函数. （2）∵f （4）=f （2+2）=f （2）+f （2）-1=5，∴f （2）=3，∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2), ∵f(x)是R 上的增函数，∴3m2-m-2＜2, 解得-1＜m ＜ ,故解集为 . 11.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y x f -= （1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）； （2）设f （2）=1，解不等式2)3 1 ( )(≤--x f x f 。 （1）证明：)()()(y f x f y x f -=，令x=y=1，则有：f （1）=f （1）-f （1）=0， )()()]()1([)()1 ()()1()(y f x f y f f x f y f x f y x f xy f +=--=-==。 （2）解：∵)]3()1([)()3 1 ( )(---=--x f f x f x f x f )3()3()(2x x f x f x f -=-+=， ∵2=2×1=2f （2）=f （2）+f （2）=f （4）， ∴2)3 1 ( )(≤--x f x f 等价于：)4()3(2f x x f ≤-①， 且x>0，x-3>0[由f （x ）定义域为（0，+∞）可得 ∵03)3(2 >-=-x x x x ，4>0，又f （x ）在（0，+∞）上为增函数， ∴①41432 ≤≤-?≤-?x x x 。又x>3，∴原不等式解集为：{x|3 3－ax a －1 (a ≠1)． (1)若a >0，则f (x )的定义域是________； (2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析： 34? ?? ??-34,1 (1)当a >0且a ≠1时，由3－ax ≥0得x ≤3 a ，即此时函数f (x )的定义域是????－∞，3a ； (2)当a －1>0，即a >1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需3－a ×1≥0，此时10，此时a <0. 综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]． 13. 定义在R 上的函数()y f x =，(0)0f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的a b R ∈、 ，有()()()f a b f a f b +=?. (1)求(0)f 的值；(2)求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >；(3)若2()(2)1f x f x x ?->，求x 的取值范围. 解：（1）解：令0a b ==，则2(0)(0).f f = 又(0)0f ≠，(0)1f =. （2）证明：当0x <时，0x ->，∴()1f x -> ∵(0)()()1f f x f x =?-=，∴ 1 ()0() f x f x = >- 又0x ≥时， ()10f x ≥> ∴对任意的x R ∈，恒有()0f x >. （3）解：设12x x <，则210x x ->. ∴21()1f x x ->. 又1()0 f x > ∴ 1212111211()()()[()]()()()f x f x f x f x x x f x f x x f x -=--+=--? =121()[1()]0f x f x x --< ∴ 12()()f x f x <.∴ ()f x 是R 上的增函数. 由2 ()(2)1f x f x x ?->，(0)1f =得 2 (3)(0)f x x f ->.∴ 230x x ->，∴03x <<∴所求的x 的取值范围为(0,3) 14.已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2 3 . (1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． (1)解法一：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1) 解法二：设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1) 函数的单调性练习题 一 选择题： 1. 函数f （x ）=x 2+2x-3的递增区间为 ( ) A ．（-∞，-3] B ．[-3，1] C ．（-∞，-1] D ．[-1，+∞） 2. 如果函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A.[－3，＋∞) B.(－∞，－3] C.(－∞，5] D.[3，＋∞) 3. 函数111 y x =-- （ ） A ．在（-1，+∞）内是单调递增 B ．在（-1，+∞）内是单调递减 C ．在（1，+∞）内是单调递减 D ．在（1，+∞）内是单调递增 4. 如果函数()f x kx b =+在R 上单调递减，则（ ） A. 0k > B. 0k < C. 0b > D. 0b < 5. 在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ） A ．2y x =- B ．2y x = C ．||y x = D ．2y x =- 6. 函数2()2f x x x =-的最大值是（ ）. A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 7. 函数y x =+ ）. A. 0 B. 2 C. 4 D. 二 填空题： 8. 函数f （x ）=2x 2一mx+3，在（一∞，一1）上是减函数，在[一1，+∞）上是增函数，则m=_______。 9.已知()x f 是定义在()2,2-上的减函数，并且()()0211>---m f m f ，则实数m 的取值范围______________。 三 解答题： 10. 利用单调函数的定义证明：函数)2,0(2)(在区间x x x f + =上是减函数. 11.已知定义在区间（0，+∞）上的函数()x f 满足()()2121x f x f x x f -=???? ??，且当1>x 时 ()0 2．3．1 函数的单调性·例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y＝|x2＋2x－3| (2)y (3)y ＝ ＝ x x x x x 2 2 2 11 23 - -- --+ || 解(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4． 先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图2．3－1所示． 由图像易得： 递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞) 递减区间是(－∞，－3]，[－1，1] (2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间． 解当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x． 当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1) 减区间是[1，2)和(2，＋∞) (3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1． 令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1] 上是在x∈[－1，1] 上是． 而＝在≥上是增函数． y u0 u ∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]． 【例2】函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范 围． 解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数． 当≠时，对称轴＝ ， 若＞时，由＞≤，得＜≤． a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a a a --??? ?? 若a ＜0时，无解． ∴a 的取值范围是0≤a ≤1． 【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小： (1)f(6)与f(4) (2)f(2)f(15)与 解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4) (2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜ ＜，函数在≥15 时为减函数． ∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2) 【例4】判断函数＝ ≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 2 1 - 解 任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2． ∵－＝ ∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴ ＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 100 12121221a x x x x x x x x x x x x ()()()() ()()()() 122112 22 12 12 122112 22 111111+---+--- 当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数． 当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数． 【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 证 取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2． ∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 0 2112221212 1212 1222 122 121212 1222证法一 1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．x y 2 = C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．y ＝｜x －1｜＋2 3．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( ) A ．必是增函数 B ．不一定是增函数 C ．必是减函数 D ．是增函数或减函数 (二)填空题 5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______． 6．若函数x a x f = )(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． (三)解答题 10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断： 甲说f (x )在定义域上是增函数； 乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。 11．已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 12．已知函数| |1)(x x f = ． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式； 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数， 在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，； 2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0 函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： （1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； （2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 （1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性： 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间． 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升?哪些区间下降？ 解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降； （2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降? ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ （2）f (x )=x 2． ①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ ②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ 解：（1）①从左至右图象是上升的； ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大． （2）①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着减小； ②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大． 【例3】函数()y f x =在定义域的某区间D 上存在12,x x ，满足12x x <且12()()f x f x <，那么函 数()y f x =在该区间上一定是增函数吗？ 解：不一定，例如下图： 【例4】下图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数． 解：函数()y f x =的单调区间有[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)---； 其中在区间[5,2),[1,3)--上是减函数，在区间[2,1),[3,5)-上是增函数. 【例5】证明函数()32f x x =+在R 上是增函数. 函数的性质的运用 1．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 y f x =()图象上的是（ ） A.(())a f a ，- B.(())--a f a ， C.(())---a f a ， D.(())a f a ，- 2. 已知函数)(1 22 2)(R x a a x f x x ∈+-+?= 是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 3．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1 1)()(-= +x x g x f ，则f （x ） 的解析式为_______． 4．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有 实根之和为________． 5.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立， 求实数k 的取值范围． 6.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2 1 x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值； （2）判断f(x ）的单调性； （3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2. 7.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2 -m-2)＜3. 8.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y x f -= （1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）； （2）设f （2）=1，解不等式2)3 1 ( )(≤--x f x f 。 9.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同 的实数根，则这6个实根的和为（ ） A ． 0 B ．9 C ．12 D ．18 10.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 123 2 x x <<， 则实数m 的取值范围 11.已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =， 则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12.已知函数()f x 满足：4x ≥，则()f x ＝1()2 x ；当4x <时()f x ＝(1)f x +，则 2(2log 3)f +＝ A 124 B 112 C 18 D 38 13.已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f ( 2 1 )=－1,当且仅当0 高一数学同步测试（6）—函数的单调性 一、选择题： 1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ） A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2＋1 C ．y = x 2 D ．y =2x 2 ＋x ＋1 2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数， 则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0， 2 1) B ．( 2 1，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数 7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4) C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞） 8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5 －t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ） A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞ C ．]1,(),,0[-∞+∞ D ),1[),,0[+∞+∞ 函数的单调性及典型习题 一、函数的单调性 1、定义： （1）设函数y f (x) 的定义域为A，区间 M A ，如果取区间 M 中的任意两个值x1, x2 ,当改变量x 2 x1 时，都有f ( x 2) f ( x1 ) 0，那么就称函数y f ( x) 在区间M上是增函数，如图（1）当改变量x2x10 时，都有 f ( x2 ) f (x1) 0，那么就称函数y f (x) 在区间M上是减函数，如图（2） 注意：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．2、巩固概念： 1、定义的另一种表示方法 如果对于定义域I内某个区间 D 上的任意两个自变量x1,x2,若f ( x 1 ) f (x2 )0 即 x1x2 y ，则函数 y=f(x)是增函数，若f ( x1 ) f ( x2 ) 0 即y0 ，则函数y=f(x)为减函数。 x1x2 x x 判断题： ①已知 f (x)1 1) f(2) ，所以函数 f ( x) 是增函数． 因为 f ( x ②若函数 f ( x) 满足 f (2) f (3)则函数 f ( x) 在区间2,3 上为增函数． ③若函数 f ( x) 在区间 (1,2] 和 (2,3) 上均为增函数，则函数 f ( x) 在区间 (1,3) 上为增函数． ④ 因为函数 1 在区间,0),(0,) 上都是减函数，所以 f ( x) 1 f ( x)在 x x ( ,0)(0, ) 上是减函数. 通过判断题，强调几点： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域 ( 如一次函数 ) ，可以是定义域内某个 区间 ( 如二次函数 ) ，也可以根本不单调 ( 如常函数 ) ． ③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。 ④函数在定义域内的两个区间A,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在 A B 上 是增（或减）函数． 熟记以下结论，可迅速判断函数的单调性． 1．函数 y ＝－ f （ x ）与函数 y ＝ f （ x ）的单调性相反． 1 2．当 f （ x ）恒为正或恒为负时，函数 y ＝ f ( x) 与 y ＝ f （ x ）的单调性相反． 3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等 3．判断函数单调性的方法 （ 1）定义法． （ 2）直接法．运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数，二次函数的单 调性均可直接说出． （ 3）图象法． 例 1、证明函数 f ( x) 1 ）是减函数． 在（ 0， + x 练习 1：证明函数 f ( x) x 在 0, 上是增函数． 1 1 x 例 2、设函数 f （x ）＝ x 2 ＋ lg 1 x ,试判断 f （ x ）的单调性，并给出证明． 例 3、求下列函数的增区间与减区间 (1)y ＝ |x 2 ＋ 2x － 3| x 2 2x (2)y ＝ 1| 1 |x (3)y ＝ x 2 2x 3 函数单调性练习题 1、函数()x x f 1-=的增区间是_____ ___ 2、函数()x x f 2=的减区间是_____ ___ 3、函数()222+-=x x x f 的增区间是_____ ；减区间是_____ ___ 4、函数()228x x x f -+=的增区间是_____ ；减区间是_____ ___ 5、若函数b mx y +=在()+∞∞-,上是增函数，则 A ．0>b B ．0m D ．0 11、函数()()2122+-+=x m x x f 在(]4,∞-上为减函数，则m 的取值范围是_ 12、函数()542+-=mx x x f 在[)+∞-,2上为增函数，则()1f 的取值范围是 A ．()251≥f B ．()251=f C ．()251≤f D ．()251 (2)第一章函数的基本性质之单调性 一、基本知识 1 .定义：对于函数y f (x)，对于定义域内的自变量的任意两个值x「X2，当捲x2时，都有f(x i) f (X2)(或f (x i) f(X2))，那么就说函数y f (x)在这个区间上是增(或减)函数。 重点2 .证明方法和步骤： (1) 取值: 设X i,X2是给定区间上任意两个值，且X i X2 ； (2) 作差: f(xj f(X2)； (3) 变形: (如因式分解、配方等)； (4) 宀口 定 号： 即f (x i) f(x2) 0或f (x i) f(x2) 0 ； (5) 根据定义下结论。 3?常见函数的单调性 ⑴ 心) 也+乩k o|时，回在R上是增函数；k 5.函数的单调性的应用： 判断函数y f(x)的单调性；比较大小；解不等式；求最值(值域) 例题分析 T 2 例1 :证明函数f(x)=区_1在(0， + 上是减函数。 例2 :证明F@) = / + 3|在定义域上是增函数。 例3 :证明函数f(x)=x 3的单调性。 例4 :讨论函数y =一； 1 — x2在［—1,1］上的单调性. 3 例5 :讨论函数f(x) =W 的单调性. 2.2.1 导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数 f(x)= ax 1 在区间（ -2， +∞）上为增函数，那么实数 a 的取值范围为（ ） x 2 A.0 函数的单调性与奇偶性-练习题-基础 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．x y 2 = C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．y ＝｜x －1｜＋2 3．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( ) A ．必是增函数 B ．不一定是增函数 C ．必是减函数 D ．是增函数或减函数 (二)填空题 5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______． 6．若函数x a x f = )(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． (三)解答题 10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性 作出如下的判断： 甲说f (x )在定义域上是增函数； 乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。 11．已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 12．已知函数| |1)(x x f = ． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式； 函数的单调性 一、选择题 1.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是…………………………………( ) A.y ＝3－x B. y ＝x 2＋1 C. y ＝－x 2 D. y ＝x 2－2x －3 2.若函数y ＝(a ＋1)x ＋b ，x ∈R 在其定义域上是增函数，则…………………( ) A.a ＞－1 B. a ＜－1 C. b ＞0 D. b ＜0 3.若函数y ＝kx ＋b 是R 上的减函数，那么…………………………………( ) A.k<0 B. k>0 C.k ≠0 D. 无法确定 4.函数 f(x)＝? ?? ?? 2x ＋6 x ＋7 x ∈［1，2］x ∈［－1，1］ ，则f(x)的最大值、最小值为……( ) A.10,6 B. 10,8 C.8,6 D.以上都不对 5.下列四个函数在()-0∞，上为增函数的有（ ） （1）y x = （2）x y x = （3）2 x y x =- （4）x y x x =+ A.(1)和(2) B.（2）和（3） C.（3）和（4） D.（1）和（4） 6.设()f x 是(),-∞+∞上的减函数，则（ ） 7.设函数()()21f x a x b =-+在R 上是严格单调减函数，则（ ） 8.下列函数中，在区间（0,2）上为增函数的是（ ） 9.已知函数22 4,0()4,0x x x f x x x x ?+≥?=?-，则实数a 的取值范围是（ ） 10.已知()f x 为R 上的减函数，则满足()11f f x ?? > ??? 的实数x 的取值范围是（ ） 11．函数 的增区间是（?? ）。 A ． ? B ． C ． ? D ． 12． 在 上是减函数，则a 的取值范围是（? ）。 A ． ? B ． ? C ． ? D ． 13．当 时，函数 的值有正也有负，则实数a 的取值范围是（?? ） A ． ? B ． ? C ． ? D ． 14、已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则（ ） 15、设()f x 是连续的偶函数，且当x >0时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x +?? = ?+?? 的所有 x 之和为（ ） A ．3- B ．3 C ．8- D ．8 16、若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ ） 函数单调性和奇偶性 一、选择题(每小题5分，一共12道小题，总分60分) 1．命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是（ ） A ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数 B ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数 C ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数 D ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数 2．下列函数是偶函数的是（ ） A ．sin y x = B ．sin y x x = C ．21x y = D ．x x y 212- = 3．下列函数中，在其定义域是增函数而且又是奇函数的是（ ） A ．2x y = B ．2x y = C ．22x x y -=- D ．22x x y -=+ 4．下列函数中，不是偶函数的是（ ） A ．24y x =+ B ．tan y x = C ．cos 2y x = D ．33x x y -=- 5．（2015秋?校级月考）下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞+∞）上单调递增的是（ ） A ．y=﹣ B ．y=sinx C ．y=x D ．y=ln|x| 6．如图，给出了偶函数()y f x =的局部图象，那么()1f 与()3f 的大小关系正确的是 ( ) A wxc.833200./.()()13f f ≥ B wxc.833200./.()()13f f ≤ C wxc.833200./.()()13f f > D wxc.833200./.()()13f f < 7．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A ．)()(x g x f 是偶函数 B ．)(|)(|x g x f 是奇函数 函数的单调性 一、单选题(共10道，每道10分) 1.若函数与在区间(0，+∞)上都是减函数，则在区间(0，+∞)上是( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的判断与证明 2.函数( ) A.在(-1，+∞)上单调递增 B.在(-1，+∞)上单调递减 C.在(1，+∞)上单调递增 D.在(1，+∞)上单调递减 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 3.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 4.函数的一个单增区间是( ) A. B. C. D.无单增区间 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 5.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递减区间是( ) A.， B.， C.， D.， 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 7.设函数，则的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 8.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 9.已知函数是定义在上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，那么不等式组的解集是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 10.已知函数的图象关于直线x＝1对称，且在上单调递减， ，则的解集为( ) 函数的单调性和奇偶性 例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间． 解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数． 评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上． （2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围． 分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征． 解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x ＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3． 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合． 例2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝- （2）f（x）＝（x-1）． 解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数． 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称． （2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性．(完整版)函数的单调性练习题及答案
函数的单调性·典型例题精析
(完整版)函数的单调性与奇偶性练习题基础
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
导数与函数的单调性练习题
函数的单调性知识点总结与经典题型归纳
(完整版)函数单调性奇偶性经典例题
函数的单调性练习题
(完整word版)函数的单调性典型例题.docx
高中数学必修一函数单调性练习题
必修一函数的单调性专题讲解(经典)
(完整版)导数与函数的单调性练习题.docx
函数的单调性与奇偶性练习题基础
必修一函数的单调性经典易错习题
函数单调性和奇偶性练习题
函数的单调性测试题(含答案)
函数的单调性和奇偶性-典型例题