,222,2245cos -=-=
?l l
l 这时，.221=+=l
a
综上所述，a 的值为,222或+
>
如图Ⅰ－1－1－1中).0,22(),0,2(+B A
【评述】上述两题均为1987年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解题过程中体会此类题目的解法.
Ⅱ．集合之间的基本关系
充分应用集合之间的基本关系（即子、交、并、补），往往能形成一些颇具技巧的集合综合题.请看下述几例.
例4：设集合},|6
1
3{},|21{},|{},|2{Z Z Z Z ∈+=∈+
=∈=∈=n n D n n C n n B n n A 则在下列关系中，成立的是
（ ）
图Ⅰ－1－1－1
A ．D C
B A ≠
≠
≠
???
B ．φφ=?=?D
C B A ,
C ．
D C C B A ≠
??=,
D ．φ=?=?D C B B A ,
【思路分析】应注意数的特征，即.,6
12613,21221Z ∈+=++=+
n n n n n 【解法1】∵},|6
1
3{},|21{},|{},|2{Z Z Z Z ∈+=∈+=∈=∈=n n D n n C n n B n n A
]
∴D C C B A ≠
??=,.故应选C.
【解法2】如果把A 、B 、C 、D 与角的集合相对应，令
}.|6
3{},|2{},|{},|2{
Z Z Z Z ∈+=∈+='∈='∈='n n D n n C n n B n n A π
πππππ 结论仍然不变，显然A ′为终边在坐标轴上的角的集合，B ′为终边在x 轴上的角的集 合，C ′为终边在y 轴上的角的集合，D ′为终边在y 轴上及在直线x y 3
3
±
=上的角的集合，故应选（C ）.
【评述】解法1是直接法，解法2运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的的角的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解.
例5：设有集合B A B A x x B x x x A ??<==-=和求和},2|||{}2][|{2
（其中[x ]表示不超过实数x 之值的最大整数）.
【思路分析】应首先确定集合A 与B.
从而 .2,.21A x ∈≤≤-显然 ∴}.22|{≤<-=?x x B A 若 },2,1,0,1{][,2][,2
--∈+=?∈x x x B A x 则
:
从而得出 ).1]([1)1]([3-=-===x x x x 或 于是 }3,1{-=?B A
【评述】此题中集合B 中元素x 满足“|x |<3”时，会出现什么样的结果，读者试解之. 例6：设})],([|{},),(|{),,()(2R R R ∈==∈==∈++=x x f f x x B x x f x x A c b c bx x x f 且， 如果A 为只含一个元素的集合，则A=B.
【思路分析】应从A 为只含一个元素的集合入手，即从方程0)(=-x x f 有重根来解之. 【略解】设0)(},|{=-∈=x x f A 则方程R αα有重根α，于是,)()(2
α-=-x x x f
)],([..)()(2x f f x x x x f =+-=从而α即 ,)()]()[(222x x x x x +-+-+-=ααα
整理得,0]1)1[()(2
2
=++--ααx x 因α,x 均为实数
.,01)1(2αα=≠++-x x 故 即.}{A B ==α
【评述】此类函数方程问题，应注意将之转化为一般方程来解之. {
例7：已知N N M a y x y x N x y y x M =?≤-+=≥=求}.1)(|),{(},|),{(2
2
2
成立时，a 需满足的充要条件.
【思路分析】由.,M N N N M ?=?可知 【略解】.M N N N M ??=?
由).1()12(1)(2
2
2
2
2
a y a y y x a y x -+-+-≤≤-+得于是， 若0)1()12(2
2
≤-+-+-a y a y ①
必有.,2M N x y ?≥即而①成立的条件是 ,04
)12()1(422max ≤-----=a a y
即 ,0)12()1(42
2
≤-+-a a 解得 .4
11≥a
【评述】此类求参数范围的问题，应注意利用集合的关系，将问题转化为不等式问题来求解. 例8：设A 、B 是坐标平面上的两个点集，}.|),{(2
22r y x y x C r ≤+= 若对任何0≥r 都有B C A C r r ???，则必有B A ?.此命题是否正确
~
【思路分析】要想说明一个命题不正确，只需举出一个反例即可. 【略解】不正确.
反例：取},1|),{(2
2
≤+=y x y x A B 为A 去掉（0，0）后的集合. 容易看出,B C A C r r ???但A 不包含在B 中.
【评述】本题这种举反例判定命题的正确与否的方法十分重要，应注意掌握之. Ⅲ．有限集合中元素的个数
有限集合元素的个数在课本P 23介绍了如下性质： 一般地，对任意两个有限集合A 、B ，有
).()()()(B A card B card A card B A card ?-+=?
我们还可将之推广为： ~
一般地，对任意n 个有限集合,,,,21n A A A 有
)(1321n n A A A A A card ?????-
)]()([)]()()()([3121321A A card A A card A card A card A card A card n ?+?-++++=
)]
()]([)]()(1232111n n n n n n A A A card A A A card A A card A A card ??++??+?++?++---
).()1(311n n A A A card ????-+--
应用上述结论，可解决一类求有限集合元素个数问题.
【例9】某班期末对数学、物理、化学三科总评成绩有21个优秀，物理总评19人优秀，化学总评有20人优秀，数学和物理都优秀的有9人，物理和化学都优秀的有7人，化学和数学都优秀的有8人，试确定全班人数以及仅数字、仅物理、仅化学单科优秀的人数范围（该班有5名学生没有任一科是优秀）.
【思路分析】应首先确定集合，以便进行计算.
【详解】设A={数学总评优秀的学生}，B={物理总评优秀的学生}，C={化学总评优秀的学生}. 则.8)(,7)(,9)(,20)(,19)(,21)(=?=?=?===A C card C B card B A card C card B card A card 《
∵)()()()()()()(A C card C B card B A card C card B card A card C B A card ?-?-?-++=??
),(C B A card ??+ ∴.3689201921)()(=--++=??-??C B A card C B A card
这里，)(C B A card ??是数、理、化中至少一门是优秀的人数，)(C B A card ??是这三科全优的人数.可见，估计)(C B A card ??的范围的问题与估计)(C B A card ??的范围有关.
注意到7)}(),(),(min{)(=???≤??A C card C B card B A card C B A card ，可知
7)(0≤??≤C B A card . 因而可得.43)(36≤??≤C B A card
又∵.5)(),()()(=??=??+??C B A card U card C B A card C B A card 其中 ∴.48)(41≤≤U card 这表明全班人数在41~48人之间. 仅数学优秀的人数是).(C B A card ??
∴)()()()()(B card C B A card C B card C B A card C B A card -??=?-??=??
.32)()()(-??=?+-C B A card C B card C card
~
可见,11)(4≤??≤C B A card 同理可知 ,10)(3≤??≤C A B card
.12)(5≤??≤A B C card 故仅数学单科优秀的学生在4~11之间，仅物理单科优秀的学生
数在3~10之间，仅化学单科优秀的学生在5~12人之间.
第二讲 映射及映射法
知识、方法、技能
1．映射的定义
设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作.:B A f → （1）映射是特殊的对应，映射中的集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是截然不同的.
（2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.
（3）映射包括集合A 和集合B ，以及集合A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可. * （4）对于一个从集合A 到集合B 的映射来说，A 中的每一个元素必有惟一的，但B 中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.
2．一一映射
一般地，设A 、B 是两个集合，.:B A f →是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做A 到B 上的一一映射.
3．逆映射
如果f 是A 与B 之间的一一对应，那么可得B 到A 的一个映射g ：任给B b ∈，规定
a b g =)(，其中a 是b 在f 下的原象，称这个映射g 是f 的逆映射，并将g 记为f —1.
显然有（f —
1）—
1= f ，即
如果f 是A 与B 之间的一一对应，则f —1是B 与A 之间的一一对应，并且f —
1的逆映射是f .
事实上，f —1是B 到A 的映射，对于B 中的不同元素b 1和b 2，由于它们在f 下的原象不
同，所以b 1和b 2在f —1下的像不同，所以f —
1是1－1的.
任给b a f A a =∈)(,设，则a b f
=-)(1
.这说明A 中每个元素a 在f —1都有原象.因此，f
—1
是映射上的. , 这样即得f
—1
是B 到A 上的1－1映射，即f
—1
是B 与A 之间一一对应.从而f —
1有逆映射
.:B A h →由于任给b a h A a =∈)(,设，其中b 是a 在f —1下的原象，即f —1(b)=a ，所以，
f(a)=b ，从而f h a f b a h ===得),()(，这即是f
—1
的逆映射是f .
赛题精讲
Ⅰ映射
关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题.
例1：设集合},,,,|),,,{(},,110|{M d c b a d c b a F x x x M ∈=∈≤≤=集合Z 映射f ：F →Z.使得
v u y x v x y u y x v u cd ab d c b a f
f f ,,,,66),,,(,39),,,(.),,,(求已知→→-→的值.
【思路分析】应从cd ab d c b a f
-→),,,(入手，列方程组来解之. 【略解】由f 的定义和已知数据，得
?
??∈=-=-).,,,(66,39M y x v u xv uy xy uv 将两式相加，相减并分别分解因式，得
—
.27))((,105))((=+-=-+x u v y x u v y
显然，},110|{,,,,0,0Z ∈≤≤∈≥-≥-x x x v u y x v y x u 在的条件下，,110≤-≤v u
,21)(,15)(,105|)(,2210,221]11
105[21
=+=++≤+≤≤+≤+v y v y v y v y v y 可见但即 对应可知.5)(,7)(21=-=-x u x u
同理，由.9)(,3)(223,221]11
27
[
,11021=+=+≤+≤≤+≤+≤-≤x u x u x u x u v y 又有知 对应地，.3)(,9)(21=-=-v y v y 于是有以下两种可能：
（Ⅰ）???????=-=+=-=+;3,9,7,15v y x u x u x y （Ⅱ）?????
??=-=+=-=+.
3,9,5,21v y x u x u v y
由（Ⅰ）解出x =1，y=9，u =8，v =6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M 中元素的范
围.因此，（Ⅱ）无解.
【评述】在解此类问题时，估计x u v y x u v y +--+,,,的可能值是关键，其中，对它们的取值范围的讨论十分重要. 例2：已知集合}.0|),{(}333|),{(><<=x
y
y x x y y x A 和集合求一个A 与B 的一一对应f ，并写出其逆映射.
'
【略解】从已知集合A ，B 看出，它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合（如图Ⅰ－1－2－1）.
集合A 为直线x y x y 33
3
==
和所夹角内点的集合，集合B 则是第一、三象限内点的集合.所要求的对应实际上可使A 区域拓展成B 区域，并要没有“折叠”与“漏洞”.先用极坐标表示集合A 和B ： },3
6,
,0|
)sin ,cos {(π
θπ
ρρθρθρ<<∈≠=R A }.2
0,,0|)sin ,cos {(π
?ρρ?ρ?ρ<
<∈≠=R B
令).6
(3),sin ,cos ()sin ,cos (π
θ??ρ?ρθρθρ-=→f 在这个映射下，极径ρ没有改
变，辐角之间是一次函数2
3π
θ?-
=，因而?θ和之间是一一对应，其中),3
,6(
π
πθ∈
).2
,0(π
?∈所以，映射f 是A 与B 的一一对应.
逆映射极易写，从略.
【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握. /
Ⅱ映射法
应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题.
例3：设X={1，2，…，100}，对X 的任一非空子集M ，M 中的最大数与最小数的和称为M 的特征，记为).(M m 求X 的所有非空子集的特征的平均数. 【略解】设.}|101{,:,X A a a A A A f X A ≠
≠
?∈-=''→?令
于是A A f '→:是X 的非空子集的全体（子集组成的集），Y 到X 自身的满射，记X 的非空子集为A 1，A 2，…，A n （其中n=2100－1），则特征的平均数为
.))()((21)(11
1∑∑=='+=n
i i i n i i A m A m n A m n 由于A 中的最大数与A ′中的最小数的和为101，A 中最小数与A ′中的最大数的和也为
】
101，故,202)()(='i i A m A m 从而特征平均数为
.10120221
=??n n
如果A ，B 都是有限集合，它们的元素个数分别记为).(),(B card A card 对于映射B A f →:来说，如果f 是单射，则有)()(B card A card ≤；如果f 是满射，则有)()(B card A card ≥；如果f 是双射，则有)()(B card A card =.这在计算集合A 的元素的个数时，有着重要的应用.即当)(A card 比较难求时，我们就找另一个集合B ，建立一一对应B A f →:，把B 的个数数清，就有)()(B card A card =.这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例. 例4：把△ABC 的各边n 等分，过各分点分别作 》
各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平 行线所组成的平行四边形，试计算这些平等四边 形的个数.
【略解】如图Ⅰ－1－2－2所示，我们由对称性， 先考虑边不行于BC 的小平行四边形.把AB 边和 AC 边各延长一等分，分别到B ′，C ′，连接
B ′
C ′.将A ′B ′的n 条平行线分别延长，与B ′C ′相交，连同B ′，C ′共有n+2个分点，从B ′至C ′依次记为1，2，…，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B ′C ′于i ，j ，k ，l .记
A={边不平行于BC 的小平行四边形}， }.21|),,,{(+≤<<<≤=n l k j i l k j i B
把小平行四边形的四条边延长且交C B ''边于四点的过程定义为一个映射：B A f →:.
.
下面我们证明f 是A 与B 的一一对应，事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相
同，那么交于C B ''的四点亦不全同.所以，四点组),,,(l k j i 亦不相同，从而f 是A 到B 的1－1的映射.
任给一个四点组21),,,,(+≤<<<≤n l k j i l k j i ，过i ，j 点作AB 的平行线，过k ，l 作AC 的平行线，必交出一个边不平行于BC 的小平行四边形，所以，映射f 是A 到B 的满射. 总之f 是A 与B 的一一对应，于是有.)()(4
2+==n C B card A card
加上边不平行于AB 和AC 的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是.34
2+n C 例5：在一个6×6的棋盘上，已经摆好了一些1×2的骨牌，每一个骨牌都恰好覆盖两上相邻的格子，证明：如果还有14个格子没有被覆盖，则至少能再放进一个骨牌. 【思路分析】还有14个空格，说明已经摆好了 11块骨牌，如果已经摆好的骨牌是12块，
图Ⅰ－1－2－3所示的摆法就说明不能再放入骨牌.
所以，有14个空格这一条件是完全必要的.我们 要证明当还有14个空格时，能再放入一个骨牌， <
只要能证明必有两个相邻的空格就够了.如果这种 情况不发生，则每个空格的四周都有骨牌，由于正
方形是对称的，当我们选定一个方向时，空格和骨牌就有了某种对应关系，即可建立空格到骨牌的一种映射，通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系，可以得到空格分布的一个很有趣的结论，从而也就证明了我们的命题. 【略解】我们考虑下面5×6个方格中的空.
如果棋盘第一行（即最上方的一行）中的空格数多于3个时，则必有两空格相邻，这时问题就得到解决.
现设第一行中的空格数最多是3个，则有11314)(=-≥X card ，另一方面全部的骨牌数为11，即.11)(=Y card 所以必有),()(Y card X card =事实上这是一个一一映射，这时，将发生一个很有趣的现象：最下面一行全是空格，当然可以放入一个骨牌.
【评述】这个题目的证明是颇具有特色的，从内容上讲，这个题目具有一定的综合性，既有覆盖与结构，又有计数与映射，尤其是利用映射来计数，在数学竞赛中还较少见.
当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如，用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其中两行的结构，也能比较容易地解决这个问题，请读者作为练习.
例6：设N={1，2，3，…}，论证是否存一个函数N N f →:使得2)1(=f ，n n f n f f +=)())((对一切N ∈n 成立，)1()(+（1）如果上方的这个方格是空格，则问题得到解决. &
（2）如果上方的这个方格被骨牌所占，这又有三种情况.
（i ）骨牌是横放的，且与之相邻的下方的另一个方格也是空格，则这时有两空格相邻，即问
题得到解决；
（ii ）骨牌是横放的，与之相邻的下方的另一个方格不是空格，即被骨牌所覆盖； （iii ）骨牌是竖放的.
现在假设仅发生（2）中的（ii ）和（iii ）时，我们记X 为下面5×6个方格中的空格集合，Y 为上面5×6个方格中的骨牌集合，作映射Y X →:?，由于每个空格（X 中的）上方都有骨牌（Y 中的），且不同的空格对应于不同的骨牌.所以，这个映射是单射，于是有
)()(Y card X card ≤，对一切N ∈n 成立.
【解法1】存在，首先有一条链.
1→2→3→5→8→13→21→… ①
链上每一个数n 的后继是)(n f ，f 满足
n n f n f f +=)())(( ②
-
即每个数是它产面两个数的和，这种链称为f 链. 对于①中的数m>n ，由①递增易知有
n m n f m f -≥-)()( ③
我们证明自然数集N 可以分析为若干条f 链，并且对任意自然数m>n ，③成立（从而)()1(n f n f >+）
，并且每两条链无公共元素）.方法是用归纳法构造链（参见单壿著《数学竞赛研究教程》江苏教育出版社）
设已有若干条f 链，满足③，而k+1是第一个不在已有链中出现的数，定义
1)()1(+=+k f k f ④
这链中其余的数由②逐一确定.
对于m>n ，如果m 、n 同属于新链，③显然成立，设m 、n 中恰有一个属于新链.若m 属于新链，在m=k+1时，,1)(1)()()(n m n k n f k f n f m f -=+-≥-+=-
设对于m ，③成立，则n m f m n m n f m m f n f m f f -≥+-≥-+=-)()()()())(( [由②易知)(2m f m ≥]. 即对新链上一切m ，③成立.
?
若n 属于新链，在n=k+1时，
.11)()()()(n m k m k f m f n f m f -=--≥--=-
设对于n ，③成立，在m>n 时，m 不为原有链的链首。 记
).()())(())(()(,)(),(n s n f m n n f m s n f f m f n f m x f m -+-=+-+=->=时则在
而在)(,0)()(,n f m s n s f n f n s >≥-≥-≤与矛盾，所以)())(()(,n f m n f f m f n s -≥->. 即对新链上一切，③成立. 因而添入一条新链后，③仍成立.
这样继续添加，直到所有自然数均在链中出现，所得函数N N f →:即为所求. 【解法2】令][),15(2
1
,)]1([)(x n n n f -=
++=ββ其中表示x 的整数部分.显然)(n f 严格递增，并且.2)1(=f 又由于1)1(=+ββ，
∴)]1)(([)())((++=n f n f n f f β
）
.
)()]}1([1{)()
][}({)}1()]1([)1({)()}
1()]1([{)(2n n f n n n f x x x x n n n n f n n n f +=+-++=-=+++-++=++++=βββββββββ的分数部分为
因此，n n ++)]1([β就是满足要求的函数.
第三讲 函数的概念和性质
知识、方法、技能
！
I ．函数的定义
设A ，B 都是非空的数集，f 是从A 到B 的一个对应法则.那么，从A 到B 的映射f ：A →B 就叫做从A 到B 的函数.记做y=f(x)，其中x ∈A ，y ∈B ，原象集合，A 叫做函数f(x)的定义域，象的集合C 叫做函数的值域，显然C ?B.
II ．函数的性质
（1）奇偶性 设函数f(x)的定义域为D ，且D 是关于原点对称的数集.若对任意的x ∈D ，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x ∈D ，都有f(－x)=f(x),则称f(x)是偶函数. （2）函数的增减性 设函数f(x)在区间D ′上满足：对任意x 1, x 2∈D ′，并且x 1f(x 2)),则称f(x)在区间D ′上的增函数（减函数），区间D ′称为f(x)的一个单调增（减）区间. III ．函数的周期性
对于函数 f(x),如果存在一个不为零的正数T ，使得当x 取定义域中的每个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T 称做这个周期函数的周期.如果函数f(x)的所有周期中存在最小值T 0，称T 0为周期函数f(x)的最小值正周期.
IV ．高斯函数
对任意实数x,我们记不超过x 的最大整数为[x]，通常称函数y=[x]为取整函数，又称高斯函数.
进一步，记{x}=x －[x]，则函数y={x}称为小数部分函数，它表示的是x 的小数部分. @
根据高斯函数的定义，可得到其如下性质. 性质1 对任意x ∈R ，均有
x －1<[x]≤x<[x]+1.
性质2 对任意x ∈R ，函数y={x}的值域为)1,0[.
性质3 高斯函数是一个不减函数，即对任意x 1, x 2∈R ，若x 1≤x 2, 则[x 1] ≤[x 2]. 性质3 若n ∈Z , x ∈R ,则有 [x+n]=n+[x], {n+x}={x} 后一个式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.
性质4 若x , y ∈R ， 则 [x]+ [y]≤[x+y] ≤[x]+ [y]+1. 性质5 若n ∈N*, x ∈R , 则[nx]≥n[x] 性质6 若n ∈N*, x ∈R , 则]][[
][n
x n x =. |
性质7 若n ∈N*, x ∈R +, 则在区间[1,x]内，恰有][n
x 个整数是n 的倍数.
性质8 设p 为质数，n ∈N*,在p 在n!的质因数分解式中的幂次为
++=][][)!(2p
n
p n n p
赛题精讲
函数是高中数学，也是高等数学的基础.因此，也是高考和高中数学竞赛的重要内容.下面分类介绍此类题目.
I 函数的定义域和值域
例1 当x 为何值时，x lg lg lg lg lg lg 才有意义.
【思路分析】应根据对数的意义，从最外层开始一层一层地逐步消去根号和对数符号求出x 的范围.
【略解】由x lg lg lg lg lg lg >0，得x lg lg lg lg lg ≥1
，
…… ∴10
210210
21010
???≥x
【评述】这种多层对数及根式问题，一定要逐层由外向内求解，要有耐心。
例2 设A={a|a=7p,p ∈N*},在A 上定义函数f 如下：若a ∈A ，则f(a)表示a 的数字之和，例如f(7)=7，f(42)=6，设函数f 的值域是集合M.求证：M={n|n ∈N*, n ≥2}.
【思路分析】注意从充要条件的角度来进行证明. 【略解】先证M ?{n|n ∈N*,n ≥2}. 任取x ∈M, 即x 是被7整除的正整数的数字之和，由于7×10n ，n=0, 1,2，…，所以x 的数字之和是大于1的正整数，因此x ∈{n|n ∈N*，n ≥2}.所以
M ?{n|n ∈N*,n ≥2}.
再证{n|n ∈N*，n ≥2} ?M.
任取x ∈{n|n ∈N*,n ≥2},即x 是大于1的正整数.下面分两种情形： 、
当x=2k(k ∈N*)时，由于7|100|，于是取 a= …1001，
k 个1001
则7|a ，且f(a)=2k,所以x ∈M.
当x=2k+1(k ∈N*)时，由于7|100|，7|21，于是取 b=…100121，
k －1个1001
则7|b ，且f(b)=2(k －1)+3=2k+1,故x ∈M,故x ∈M.所以 [
{n|n ∈N*, n ≥2}?M.
因此 M={n|n ∈N*, n ≥2}.
【评述】此类题目的证明严谨、科学. 例3 设正实数x, y 满足xy=1，求函数 f(x, y) =
1
][][]][[++++y x y x y
x 的值域.（其中（[x]表示不超过x 的最大整数）
【思路分析】由x 、y 的对称性，不妨设x ≥y ，则有x 2≥1，必分x=1与x>1两种情况讨论.
【详解】不妨设x ≥y ，则x 2≥1,x ≥1.有下面两种情形： （1）当x=1时，y=1，此时f(x,y)=
2
1. （2）当x>1时，设[x]=n ， {x}=x －[x]=α，则x=n+α,0≤α<1. 于是，y=
α
+n 1
<1，故[y]=0. !
11),(+++
+=
n n n y x f αα.
由函数g(x)=x+x
1
在x ≥1时是递增的和0≤α<1得
).4
5
,65[),,[),(,1.
,,.
)
2)(1(2
.)
1(11111
1,
11111.1
111),(11,1111112214332112
222即的值域为时于是当则设b a y x f x b b b a a a a a a n n n n a a n n n n b n
n n n n n n n n a n n n y x f n n n n n n n n n n n n n n n >>>>><<<=>++-=-++=+++
+=+--=++=++
=+++
+<≤++∴
+++<+++≤+
+ αα
综上所述，f (x , y)的值域为)4
5
,65[}21{ .
【评述】本例表面上为“二元函数”实为一元函数，因为y=
x
1
，消去y 后就是关于x 的函数了.
II ．函数性质的应用
在数学竞赛中，常见的应用函数性质的题目有以下几类： 1．求值、求最值
例4 设函数f(x)是定义在R 上的周期为3的奇函数，且f(1)=2,求f(2)+f(3)的值. 【思路分析】要抓住函数为奇函数且周期为3进行变形求值. ; 【略解】对定义在R 上的奇函数，必有 f(0)=－f(0),即f(0)=0.
∴f(3)=f(0)=0, f(2)=f(－1+3)=f(－1)=－f(1)=－2. ∴f(2)+f(3)=－2.
例5 设f(x)，g(x)都是定义在R 上的奇函数，F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间（0，+∞）上的最大值是5，求F(x)在（－∞，0）上的最小值.
【思路分析】应注意F(x)－2是奇函数，这是解题的一条途径. 【略解】令?(x)=F(x)－2=af(x)+bg(x),
易知?(x)为奇函数，且在（0，+∞）上有最大值3. ∴?(x)在（－∞，0）上有最小值－3.
故F(x)在（－∞，0）上的最小值为－1. )
【评述】将代数式转化为奇函数的思想十分重要，应注意掌握这种“转化思想”.
例6 设函数f(x), 对任意x, y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，若x>0时，f(x)<0且f(1)=－2.
（1）证明：f(x)是奇函数；
（2）求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值.
【思路分析】因为x∈R，由区间的特殊点，即x=0入手，是解题的出发点.
【略解】（1）令x=y=0,则有
f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0.
再令y=－x，得f(0)=f(x)+f(－x),
∵f(0)=0, ∴f(－x)=－f(x),
∴f(x)是奇函数.
·
（2）设x1, x2∈R，且x1< x2,则
f(x2)=f[x1+(x2－x1)]=f(x1)+f(x2－x1),
∵x2>x1, ∴x2－x1>0.
由已知得f(x2－x1)<0,
∴f(x2)∴f(x)在[－3，3]上的最大值[f(x)]最大值=f(－3),最小值[f(x)]最小值=f(3).
又∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=－6, f(－3)=－f(3)=6.
故f(x)在[－3，3]上的最大值为6，最小值为－6.
【评述】本题中的“x2=x1+(x2－x1)”是完成证明函数是减函数的证明的主要过程，这一特点读者应有所体会.
2．求函数的解析式
！
例7 若f(x)=2x－2－x lga为奇函数，求实数a的值.
【思路分析】可由f(x)为奇函数，得到f(－x)=－f(x),构造方程来求a的值.
【略解】∵f(－x)=2－x－2x lga=－(2x－2－x lga)=－f(x),
∴(2x+2－x)－(2x+2－x)lga=0,
即(2x+2－x)(1－lga)=0,
∵2x+2－x>0, ∴1－lga=0,
故a=10.
【评述】利用“函数与方程的思想”来解题依然是本题的主线，但函数是奇函数是出发点。应注意找好每道题解题的出发点.
例8 已知定义在R上的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1)=2.
（1）求证：f(x)为奇函数；
|
（2）当t>2时，不等式f(klog2t)+f(log2t－log22t－2)<0恒成立，求实数k的取值范围.
【思路分析】由f(x)的定义域为R，从其特殊点，即x=y=0入手来解此题.
【略解】（1）令x=y=0得
f(0)=2f(0), ∴f(0)=0.
再令y=－x, 得f(0)=f(x)+f(－x),
∴f(－x)=－f(x), 即f(x)为奇函数.
]
（2）∵f(0)=0, f(1)=2,且f(x)是R 上的单调函数，故f(x)是R 上的单调递增函数.又f(x)是奇函数.
由)2log (log )2log (log )log (22
22
222+-=---0, $
∴(k+1)2－8<0,
∴－22故使不等式恒成立的实数k 的范围是（－1－22，22－1）.
【评述】本题（2）为函数不等式，此类题目十分典型，本节后面将专门加以介绍.
]
第四讲 常见的初等函数、二次函数
知识、方法、技能
常函数y=c ，幂函数y=x α
(α∈Q),指数函数y=a x ,对数函数y=log a x,三角函数（y=sinx, y=cosx , y=tanx 等），反三角函数（y=arcsinx, y=arccosx , y=arctanx 等）是数学中最为基本的函数，我们把它们统称为基本初等函数.
学习中应熟练掌握各基本初等函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并能利用这些性质快捷地比较两个数值的大小或解有关不等式.具体解题时，若绘出各基本初等函数的草图，往往能“一目了然”地获得问题的结果.
绘制幂函数y=x α(α=
,n
m
m 、n 是互质的整数)草图的一般步骤是： (1)根据指数α的大小判断函数图象在第一象限的情形如图 I-1-4-1.
(2)判断函数的奇偶性并确定函数图像在其他象限的情况
①m,n 均为奇数时，y=x α为奇函数，图象在一、三象限内关于原点中心对称.
]
②m 为偶数，n 为奇数时Y=x α为偶函数，图象在一、二象限内关于y 轴对称.
③m 为奇数，n 为偶数时，y=x α既不是奇函数也不是偶函数，函数只在第一象限有图像.
常见的函数往往是由基本初等函数通过有限次加减乘除运算或复合而得到的，我们称之为初等函数.其中二次函数和形如y=x+
x
k
的分式函数在高考和竞赛中具有尤为重要的地位.同学们要熟练掌握求二次函数解析式、值域的有关方法，并会用这些方法解决相关的问题；会判断二次方程根的分布情况；会利用函数y=x+x
k
的性质求出一些分式函数的值域.
赛题精讲
例1 3个幂函数y=4321,x y x 和y=6
5x 的图象如图I —1—4—2：试写出各个函数的图象的对应编号.
/
【思路分析】3个函数的定义域、值域、单调性都相同，具有类似的草图，仅从草图已无法区分这三者了.只能更为“精细”地考察和函数值的大小，不妨取x=2试一试.
【略解】当x=2时，3个函数值分别为6
54
32
12,2,2.因为 y=t
2为增函数，
而图中所以.222,6
5
432165
4321<<<<,x=2时，图象①的对应点纵坐标最大，图象③的对应点纵坐标最小，所以y=
6
54321,x y x y x ==和对应的图象依次为③，②，①.
【评述】一般地，当α越大大时，幂函数图像在x>1对应的部分越“高”.此外，本题方法也可应用于辨别两个草图相近的指数函数或对函数的图象.
例2 比较下列各题中两个值的大小：
（1）5
35
3)3()
2(-
---与；
（2）;)()14.3(3
232π--与 （3）5
432)()(ππ--与
（4）log 23与.
【思路分析】（1）中两数有相同的指数－5
3
，故可将这两者看做同一函数53
-=x y 的两
个不同函数值，利用函数单调性比较两数大小. -
【略解】（1）因为5
3
-=x
y 是（－∞，0）上的减函数，又,32->-所以
5
35
3)
3()
2(-
-
-<-.
（2）因为;)()14.3(,14.3)0,(3
23
23
2ππ-<-->--∞=所以上的减函数又是x y
（3）因为y=54
323
232)(,5
432,)(,),(πππππ<-<=-+∞-∞所以又上的增函数是x
（4）因为y=log 2x 是（0，+∞）上的增函数，又3<，所以log 23<. 例3 求下列函数的定义域：
（1）);1,0(log log log ≠>=a a x y a a a （2）.1
223log )31(91.03
+-+-=
x x y x
【略解】（1）据题意有log a log a x>0.
①a>1时，上式等价于log a x>1,即x>a. ?
②0x>a . 所以，当a>1时，函数定义域为（a,+∞）；而当0（2）据题意有????
?????≤-+->+-≤???
????≤+-<≤??????
?≥+-≥--.011223,01223,)31()31(.1122309)31(.01223log ,0)3
1(932
31
1.03x x x x x x x x x x x 即即 解得].3,3
2
(.321
.332
,
213232所以函数定义域为即或????
?
?
???≤<-≤<-<>-≥x x x x x
【评述】解指数、对数不等式时，要注意比较底数a 与1的大小，从而确定去掉指数、对数符号后不等号是否改向.
例4 解方程：
（1）;34)223()223(=++-x
x
（2）)0.(1446
>=x x x
【略解】（1）因为,1)223)(223(=+-所以原方程等价于
.34)
223(1)223(=-+
-x
x
、
12
66
66
612)(144144)(144
)2(.
2.21217.
341
,)223(6
6
6
6
====±=±==+=-x x x x x x x x x x t t t t 即则令
令y=x 6,显然y>1,则f(x)=y y 是y 的增函数.
所以y y =1212只有惟一解y=12. 即原方程有解.126=x
例5 比较下列各组数的大小 ： （1）sin48°, cos313°；
（2）cos96°, sin96°, tan69°.
【思路分析】 比较两数大小的一种方法是将两数看成同一函数的两个函数值，然后利用函数单调性来比较；另一种方法是寻找某个中介量（如0，1）等.
【略解】（1）cos313°=cos(360°－47°)=cos47°=sin43°(推荐)高中数学奥赛辅导
数列与递进 知识、方法、技能 数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题. 所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a 1, a 2, …,a n , …通常简记为{a n }.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式. 从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式. 对于数列{a n }，把S n =a 1+a 2+…+a n 叫做数列{a n }的前n 项和，则有 ?? ?≥-==-). 2(),1(11 n S S n S a n n n I ．等差数列与等比数列 1．等差数列 （1）定义：.2 )(2 11++++==-n n n n n a a a d a a 或常量 （2）通项公式：a n =a 1+(n －1)d . （3）前n 项和公式：.2 ) 1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= （4）等差中项：.2 21+++= n n n a a a （5）任意两项：a n =a m +(n －m)d. （6）性质： ①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n 的一次函数； ②公差为非零的等差数列的充要条件是前n 项和公式为n 的不含常数项的二次函数； ③设{a n }是等差数列，如果m 、n 、p 、q ∈N*，且m+n=p+q ，那么a m +a n =a p +a q ; ④设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m , …, S pm －S (p －1)m (m>1,p ≥3，m 、p ∈N*)仍成等差数列； ⑤设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则}{ n S n 是等差数列； ⑥设{a n }是等差数列，则{λa n +b}(λ,b 是常数)是等差数列；
高中数学竞赛系列辅导材料 集合
集合（一） 内容综述： 本讲先介绍了以下一些重要的概念：集合、子集、两集合相等、真子集、并集、交集、相对补集，然后介绍了著名的容斥原理，接着介绍了以下几个定律：零律、分配律、排中律、吸收律、补交转换律、德·摩根律。 然后通过6道例题分析了一部分集合题目的解题方法与技巧，同学们应在熟悉以上定义、定理、定律的基础上仔细分析例题材解法，争取可以独立解决训练题。 要点讲解： §1．基本理论 除了课内知识外，我们补充以下知识 相对补集：称属于A而不属于B的全体元素，组成的集合为B对A的相对补集或差集，记作A-B。 容斥原理：以表示集合A中元素的数目，我们有 ，其中为n个集合称为A的阶。 n阶集合的全部子集数目为。 A，B，C为三个集合，就有下面的定律。 （1）分配律 （2）零律
（3）排中律 （4）吸收律 （5）补交转换律 （6）德·摩根律的相对形式 例题分析： 例1：对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例 如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。那么，对于n=7。求所有子集的“交替和”的总和。 分析；n=7时，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空子集有个，虽然子集数 目有限，但是逐一计算各自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交替和”的定义，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}与{1，2，3，4，5，6}的“交替 和”是7；可以想到把一个不含7的集和A与的“交替和”之和应为7。那么，我们也就很容易解决这个问题了。 解：集合{1，2，3，4，5，6，7}的子集中，除去{7}外还有个非空子集合，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，结组原则是设 这是把结合为一组，显然，每组中，“交替和”之和应为7，共有组.所以,所有“交替和”之和应该为 。
南开中学初中数学竞赛辅导资料
初中数学竞赛辅导资料 第一讲数的整除 一、容提要： 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. 能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8
当末两位4x能被4整除时，x＝0，4，8 ∴x＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习一 1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积） ①756②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 987能被3整除，那么 a=_______________ 2、若四位数a x能被11整除，那么x＝__________ 3、若五位数1234 35m能被25整除 4、当m=_________时，5 9610能被7整除 5、当n=__________时，n 6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。 8、8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972 中，能被下列各数整除的有（填上编号）： 6________,8__________,9_________,11__________ 9、从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除 但不是5的倍数的共______个。 10、由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3 整除的数共有几个？为什么？
高一数学竞赛培训讲座之函数的基本性质
函数的基本性质 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题： 1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2 )，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤ 23时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A 3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有 101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303 C.152 D.2 305 提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝ 23 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.
即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝2 3对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于 23×100＝150 所有101个根的和为 23×101＝2303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5 y ＝______________. 解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x －sin(xy))2＋cos 2(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7 5. 已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________. 解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x －9919= ∴ x 2－219x ＋19＝99 即 x 2－80＝219x 再平方得x 4－160x 2＋6400＝76x 2 即 x 4－236x 2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c ＝6400 b ＋ c ＝6164 6. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根， 求证：a ＞4. 证法一：由已知条件可得 △＝b 2－4ac≥0 ① f⑴＝a ＋b ＋c ＞1 ②
高中数学奥赛的技巧(上篇)
奥林匹克数学的技巧（上篇） 有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。” 奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。 2-7-1 构造 它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。 例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。 证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天（包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤?=… 考虑154个数： 12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,?, 又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+ 故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+ 这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。 这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。 例 2-128 已知,,x y z 为正数且()1xyz x y z ++=求表达式()()x y y z ++的最最小值。 解：构造一个△ABC ，其中三边长分别为a x y b y z c z x =+??=+??=+? ，则其面积为 1?= 另方面2()()2sin x y y z ab C ?++==≥ 故知，当且仅当∠C=90°时，取值得最小值2，亦即222()()()x y y z x z +++=+
高中数学值得推荐的辅导书 看完都上清华北大
高中数学值得推荐的辅导书看完都上清华北大 很多同学进入高中后都会想要几本好的教辅书，下面是小编推荐的高中数学最好的辅导书，希望能对大家有所帮助。 ? ?高考数学最好的辅导书 1.《高中数学精编?代数》《高中数学精编解析 几何、立体几何》郑日锋浙江教育出版社这套书上世纪八十年代就已经风靡一时了，堪称经典。之前一直是四本，后来改成了两本，内容上也有更新，目前还是四校学生争先恐后刷掉的第一套书，可见其在高中教辅之中的地位。可作为同步教辅。2.《多功能题典?高中数学》(第三版)况亦军华东师范大学 出版社该书主编况亦军为上海中学数学教研组组长，各章编写者大多为华东师范大学第二附属中学的老师，可以保证该书品质。该书非常厚(1000页)，每个题目后配有详细解析，非常适合有一定基础之后再进行阅读，否则只看解析不动笔做容易造成眼高手低的状况。3.《高中五星级题库?数学(课改版)》《高中五星级题库难题解析数学(课改版)》(红皮)沈子兴上海科技教育出版社还有一套蓝皮的五星级题库不推荐给各位，因为那本书是全国教材的编写顺序，而红皮的是上海教材的编写顺序。该书为华师大二附中学生用于提高的教辅，部分五星题目达到高中联赛难度。4.《华东师大版一课一练》华东师 范大学出版社该书为部分中学同步教辅，号称改革开放以来最具影响力的300本书之一，经常遇到学生问到该书上的问题，如果学校要求做就做，不 要求做的话建议刷《精编》。5.《龙门专题高中数学》(12本专题+1思想方法)付荣强龙门书局高中教辅精五门之一(精编，五星级题库，龙门专题)，这是 高中常规体系教辅材料里面少有的分专题呈现的教辅，专题之间穿插很多，综合性强，不适合作为同步教辅，当然学习能力非常强的学生可用该书自学。
高中数学竞赛讲义
高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法；
如何学习数学竞赛
你知道数学竞赛怎么学 点击：248次，时间：2016-11-12 14:08:55 搞竞赛要找好苗子，首先他是热情的，勤奋的，其次是有抱负的，不畏艰难的；当然不能是临时抱佛脚的。冰冻三尺，非一日之寒。应该从高一前的暑假就开始不停的学习、训练。细细地说来，注意事项还有很多。 1、学习进度方面 要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中的数学内容全部学完，并在高一上学期应该完成像高三一样的两轮复习，基础太重要了，第一试占了150分，不可小视。然后，就是竞赛内容了，不要以为看几本竞赛书就可以了，因为那些书上讲得太粗略；这时候，对老师的要求就更高。老师不但要对竞赛内容非常熟悉，还要不断地总结重要的思想方法，使学生能够灵活运用。 2、入门书单 首先如果要涉猎竞赛，最基本的高中课程是一切的基础。接下来的书就是建立在此基础上的。我们最先做的当然是补全差距:课标大纲和竞赛大纲之间的差距。 1）《新编中学数学解题方法全书》，即基础衔接书。 2）《奥数教程》 经典奥数蓝皮书。优点是与课本知识联系紧密，适合你在第一遍学习高中数学知识的同时同步提高，帮助你打下坚实的基础，以讲解为主，以测试为辅。(与《培优教程》二选一即可，小编认为《培优》稍难，但很散，推荐《奥数教程》。) 3、提高书单 1）《奥赛小丛书》 专而精，很多专题非常精彩，难度涵盖联赛和冬令营，读起来也容易让同学们感兴趣。如果仅以省级国一为目标，其中概率、几何不等式可以不看，图论、组合几何、数论编的不错，集合变换、三角与几何虽然写的很好但不实用；其它的如函数、集合还好，可以看看。这套书中代数只有两本不等式，而且很不实用，不推荐。至于数学归纳法里面题很经典，不过很综合，可以放在该套书后面看。对于这套书要尽快看完，里面题要自己做，可能比较辛苦。总的来说这套书值得一看，要尽早开始看。 2）《奥赛经典》 内容比较全面，例题选取也比较新，难度也较高，适合着眼于联赛二试和冬令营的同学们；代数部分可以做为《奥赛小丛书》的补充。几何还可以，但定理可以只记最基本的，拓展的可以不记。组合，数论有时间可以看看,不过很多都和小丛书重复，没时间就算了。 3）《命题人讲座》 适合系统学习，冲刺冬令营，但没必要每本都做，挑其中较好的做便可。如《解析几何》、《函数迭代与函数方程》、《数列与数学归纳法》、《组合问题》、《三角函数与复数》、《向量与立体几何》、《初等数论》。 其中《初等数论》是目前数论方面非常系统、难度较高的一本书，很多学生读后也感觉受益匪浅。数论方面当然不能不提两位先生，一位是潘承彪教授，一位是余红兵教授，潘老师的《初等数论》是我们读书时的必读教材，也是大学里的教材，不仅仅局限于竞赛范畴；余老师关于数论的小册子《数学竞赛中的数论问题》，非常经典！ 另外华罗庚的《数论导引》则非常优秀，适合看完《初等数论》后再深化学习。此外非常值得推荐的是《哈代数论》，值得永世珍藏。 4）《数学竞赛研究教程(套装上下册)》 本书是参加数学竞赛的教练员和选手的必备用书。国内数学竞赛研究方面的权威参考书。 5）关于几何 《初等数学复习及研究平面几何》、《初等数学复习及研究立体几何》。有助于深化系统自己的几何基础。 6)关于组合 推荐单樽老师的《组合几何》《趣味图论》，以上均为上面提到过的数学奥赛辅导丛书的书，那一个系列基本上都非常出色，适合永世珍藏。
学高中数学竞赛辅导计划
学高中数学竞赛辅导计 划 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】
2016年高中数学竞赛辅导计划 为搞好2016年全国数学联赛备考工作，并以此为契机，培养我校学生数学学习的积极性，进一步提高我校的办学品位，特举办本届高中数学联赛辅导班。 一、指导思想： 以科学发展观、新课程理论为指导；以提高学生学习数学、应用数学的兴趣，提高学生的数学素养为宗旨；坚持以生为本、有利于学生的终生发展的原则，立足实际、因材施教，开展数学竞赛辅导班工作。 二、目标要求 1、适当拓宽学生数学知识视野，注重渗透一些常用的数学思想方法、加深对数学本质的认识。 2、注重培养学生良好的思维品质，提高学生的探究知识及运用数学知识和数学思想方法分析、解决问题的能力。 3、注意培养学生的应用意识、创新意识、协作意识，培养学生良好的科学态度。 4、使学生在探究知识，解决问题的过程中，感受数学文化的博大精深和数学方法的巨大创造力，感受数学的魅力，增强对数学的向往感；从而激发学生学习数学的热情。培养学生不畏困难、敢于攀登科学高峰的勇气。 5、力争在2016年高中数学联赛中至少有两人次取得省级三等以上的奖项，在本市同层次学校中名列前茅，为学校争光。 三、管理措施： 1、依据全国数学联赛考试大纲，结合近几年数学联赛试题特点，根据教学进度和学生认知结构特点，精心选择、合理安排教学内容，循序渐进，逐步提高。 2、精心准备，讲究实效。认真编写讲义（或教案），上课前一周将讲义制好并分发给学生。认真上好每一节辅导课，使学生真正学有所得。 3、以集体讲解与学生自主学习和小组合作学习相结合的学习形式组织学习，充分调动学生学习的积极性，保障学生的主体地位。 4、精编课后巩固练习与强化，及时检查、及时批改、及时反馈，确保质量。 5、制定辅导班班规，严格考勤制度。 6、争取学校有关领导、班主任及数学教师的支持，确保后勤保障。 五、学生选拔：先由学生本人自愿报名，经家长同意后，由有关班主任、任课教师协商并推荐人选，通过选拔考试择优录取50名。 六、辅导教师： 七、活动时间： 八、活动地点： 注： 1、若有特殊情况须作临时调整，则另行通知。 2、本计划有不周之处或未尽事宜，将在执行过程中进行不断完善。 年月日2016年高中数学联赛辅导课安排表
高中数学奥林匹克竞赛
高中数学奥林匹克竞赛 奥数学林匹克竞竞～竞称奥数。年和年～竞竞竞始在列格勒宁和莫斯科竞竞中竞竞～学数学19341935 并冠以数学奥林匹克的名～称年在布加勒斯特竞竞第一届国数学奥竞竞竞竞林匹克。竞竞竞竞国数学奥1959 林匹克作竞一竞竞性竞事～由竞国国数学教育竞家命竞。 我的高中竞竞分三竞,每年国数学月中旬的全竞竞～次年一月的国;冬令竞,～次年三10CMO月竞始的家国集竞竞的竞竞竞拔。与 “全高中竞竞国数学”;竞竞于年,～承竞方式初中竞竞相同～每年与月竞行～分竞一竞和198110二竞～在竞竞竞竞中取得竞成竞的全竞异国名生有竞格加由中主竞的“学参国数学会中林国数学奥90 匹克;,竞全中生冬令竞”;每年元月,。国学数学CMO 全竞竞分竞一竞、加竞国数学(即称俗的“二竞”)。各省自己竞竞的“初竞”、个份“初竞”、“竞竞”等等～都不是正式的全竞竞名及程序。国称一竞 全高中竞竞的一竞竞竞大竞～完全按照全日制中《大竞》中所竞定的要求国数学学数学教学教学 和容～高考所竞定的知竞范竞和方法～在方法的要求上略有提高～其中率和内即概微竞分初步 不考。 二竞 平面何几 基本要求,掌握初中竞竞大竞所定的所有容。确内
竞充要求,面竞和周竞方法。 几个重要定理,梅涅竞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极竞,到三角形三竞点距之和最小的点离——竞竞点。到三角形三竞点距的离平方 和最小的点重心。三角形到三竞距之竞最大的点重心。——内离—— 几何不等式。 竞竞的等周竞竞。了解下述定理, 在周竞一定的竞形的集合中～正竞形的面竞最大。n n 在周竞一定的竞竞竞曲竞的集合中～竞的面竞最大。 在面竞一定的竞形的集合中～正竞形的周竞最小。nn 在面竞一定的竞竞竞曲竞的集合中～竞的周竞最小。 几运何中的竞,反射、平移、旋竞。 竞数方法、向量方法。* 平面凸集、凸包及竞用。 代数 在一竞大竞的基竞上外要求的容,另内 周期函数与周期～竞竞竞竞的函的竞像。数三倍角公式～三角形的一些竞竞的恒等式～三角不 等式。 第二竞竞法。竞竞～一竞、二竞竞竞～数学特征方程法。 函迭代～求数次迭代～竞竞的函方程数。n** 个竞元的平均不等式～柯西不等式～排序不等式及竞用。n 竞的指形式～数数欧拉公式～美弗定理棣～竞位根～竞位根的竞用。竞排列～有重竞的排列竞合。竞竞的与竞合恒等式。
高中数学奥赛辅导讲课稿
数列与递进 知识、方法、技能 数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题. 所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a 1, a 2, …,a n , …通常简记为{a n }.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式. 从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式. 对于数列{a n }，把S n =a 1+a 2+…+a n 叫做数列{a n }的前n 项和，则有 ???≥-==-).2(),1(11n S S n S a n n n I ．等差数列与等比数列 1．等差数列 （1）定义：.2)(211++++= =-n n n n n a a a d a a 或常量 （2）通项公式：a n =a 1+(n －1)d . （3）前n 项和公式：.2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= （4）等差中项：.2 21+++=n n n a a a （5）任意两项：a n =a m +(n －m)d. （6）性质： ①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n 的一次函数； ②公差为非零的等差数列的充要条件是前n 项和公式为n 的不含常数项的二次函数； ③设{a n }是等差数列，如果m 、n 、p 、q ∈N*，且m+n=p+q ，那么a m +a n =a p +a q ; ④设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m , …, S pm －S (p －1)m (m>1,p ≥3，m 、p ∈N*)仍成等差数列； ⑤设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则}{n S n 是等差数列； ⑥设{a n }是等差数列，则{λa n +b}(λ,b 是常数)是等差数列；
(推荐)高中数学竞赛基本知识集锦
高中数学竞赛基本知识集锦 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 α αααααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan +=-=+-±= 积化和差 ()()[]βαβαβα-++=sin sin 2 1cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 2 1sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 2 1cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2 1sin sin 和差化积 2 cos 2sin 2sin sin βαβ αβα-+=+ 2 sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2 cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ 2 sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 万能公式 α αα2tan 1tan 22sin += α αα22tan 1tan 12cos +-= α αα2tan 1tan 22tan -= 三倍角公式 ()()αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()() αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 二、某些特殊角的三角函数值
三、三角函数求值 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子 求值：7 6cos 74cos 72cos πππ++ 提示：乘以72sin 2π，化简后再除下去。 求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 22 来个复杂的 设n 为正整数，求证n n n i n i 21212sin 1+=+∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲 四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。 例 求证：x 为锐角，sinx+tanx<2x 设12π ≥≥≥z y x ，且2π =++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值。 注：这个题目比较难
高中数学教辅资料推荐
江苏考生必看！哪些教辅适合江苏高考数学 高中孩子的时间紧，精力有限，市面上教辅繁多，所以选择一两本合适的教辅就非常重要了，能让孩子把有限的时间花在“刀刃”上，那如何来选择适合江苏考生的数学资料呢？主要考虑如下五个方面： 1、要有针对性：现在市面上的教辅主要分为4个版本：人教版（最多），苏教版（江 苏），北师大版（陕西），未说明版（通用），我们选择时候一定要看清楚是苏教版， 少数的通用版本也可以选择。 2、书不在多,在于适用和实用，不要盲目贪多，精选一到两本，一般一本基础的概念解 析教辅作为初学，一本拔高练习题集作为复习就够了。 3、出版时间和版次,一般选择在两年内出版,江苏高考每年都有变化和新题，教辅资料 一定要注意更新迭代，不然跟不上时代，其中重版的次数越多,说明越完善。 4、对书的质量的判断侧重例题和习题，不侧重答案讲解。应选择带重点题型例题讲解 的辅导书，其他带有详细答案的，不一定就是好的辅导书。 5、切忌盲目选择，不要被书的名目所迷惑。也不要被书店的店员推荐所误导，因为那 个店员可能就是某出版社的促销员。 讲完以上的方法，具体哪些辅导书值得我们选择呢？下面就给大家梳理下市面上常见教辅： 1、《重难点手册》 说明：总结重难点为题比较到位，比较针对性，但不适合初学者，用于复习时候补 漏拔高。 2、《江苏数学5年经典》 说明：优点是大部分都是江苏题型，比较有针对性，和小题狂做都属于恩波教育，南京本地的出版商，其中的一位主编是金陵中学的资深教师。属于题集形式，适合 用来复习。恩波教育的其他书籍如：《小题狂做》，《大题精做》，《优化38+2》等等 都是很好的江苏本地选择，就不一一介绍了。
江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 构造一次方程组的技巧
- 1 - 一、利用同类项的定义构造： 例1：已知m n m n b a --31999 1和1079999+-m n a b 是同类项，则.________22=+n m 二、利用二元一次方程的定义构造： 例2：若243724953=+--++n m n m y x 是二元一次方程，则n m 的值等于________. 三、利用方程组的解的定义构造： 例3：若???==12y x 是方程组???=+=-5 213by ax y ax 的解，求b a 、的值. 四、利用相反数的性质构造： 例4：已知a 的相反数是12+b ，b 的相反数是13+a ，则.________22=+b a 五、利用非负数性质构造： 例5：如果实数y x ,满足()022=++-y x x ，那么.________=y x 六、利用多项式恒等性质构造： 例6：已知多项式682322 2-+--+y x y xy x 可以分解为()()n y x m y x +-++22的形式，那么.________1 123=++n m 七、利用一次方程的解的特征构造： 例7：已知关于x 的方程()()()15133+=++-x x b x a 有无穷多个解，那么.________________,==b a 八、取特殊值构造： 例8：设b ax x x ++-2 32除以()()12+-x x 所得的余式为12+x ，那么.________________,==b a 九、弱化某些未知数构造： 例9：若,073, 0452=-+=++z y x z y x 则.________=-+z y x 十、利用新运算的定义构造： 例10：对于实数y x ,定义一种新运算*：,c by ax y x ++=*其中c b a 、、为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算. 已知：,2874, 1553=*=*那么.________11=*
高中数学竞赛校本教材[全套](共30讲)
高中数学竞赛校本教材[全套](共30讲，含详细答案) 目录 §1数学方法选讲（1） (1) §2数学方法选讲（2） (11) §3集合 (22) §4函数的性质 (30) §5二次函数(1) (41) §6二次函数(2) (55) §7指、对数函数,幂函数 (63) §8函数方程 (73) §9三角恒等式与三角不等式 (76) §10向量与向量方法 (85) §11数列 (95) §12递推数列 (102) §13数学归纳法 (105) §14不等式的证明 (111) §15不等式的应用 (122) §16排列，组合 (130) §17二项式定理与多项式 (134) §18直线和圆，圆锥曲线 (143) §19立体图形，空间向量 (161) §20平面几何证明 (173)
§21平面几何名定理 (180) §22几何变换 (186) §23抽屉原理 (194) §24容斥原理 (205) §25奇数偶数 (214) §26整除 (222) §27同余 (230) §28高斯函数 (238) §29覆盖 (245) §29涂色问题 (256) §30组合数学选讲 (265) §1数学方法选讲（1） 同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。 例题讲解 一、从简单情况考虑 华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。 1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。谁放入了最后一枚硬币谁获胜。问：先放的人有没有必定取胜的策略？
金湖县实验中学高中数学奥赛辅导整式的恒等变形
内容：（1）运用运算性质法则。（2）灵活运用乘公式。（3）配方法。 （4）应用因式分解。（5）代换法。 一．（运用性质和法则） 1． 设x , y , z 都是整数，且11整除7x+2y-5z , 求证：11整除3x-7y+12z . 2． 已知d cx x ax y +++=356，当x = 0 时，y = - 3 ;当x = -5 时，y = 9 , 求当x = 5时 y 的值。 二．（灵活运用乘法公式） 3． 计算：()()()()1121212123242+++++ 4． 设a , b , c 为有理数，且0,0333=++=++c b a c b a . 求证：对于任何正奇数n ，都有0=++n n n c b a 5． 当1,0222=++=++c b a c b a 时，试求下列各式的值： （1）ab ca bc ++ ；（2）444c b a ++ 6． 试求x x x x x x +++++392781243被1-x 除的余数。 三．（配方法） 7． 证明：当a , b 取任意有理数时，多项式116222++-+b a b a 的值总是正数。 8． 若() ()22223214c b a c b a ++=++，求a : b : c . 9． 已知a , b , c , d 为正数，且abcd d c b a 44444=+++， 求证： a = b = c = d . 11. 解方程：0441212322222=+-++-y y y x y x x 12．若a , b , c , d 是整数，且2222,d c n b a m +=+=， 求证：mn 可表示成两个整数的平方和。 13．已知2,122=+=+b a b a ，求77b a +的值。 四．（应用因式分解） 14．在三角形ABC 中，22216c b a -- 0106=++bc ab （a , b , c 是三角形的三边）， 求证：b c a 2=+ 15．已知c a bc a b c b ac b a 222222++=++，试求()()()a c c b b a ---的值。 五．（代换法） 16．已知a , b , c 适合,d c b a +=+ 3333d c b a +=+。
高中数学竞赛怎么学
数学竞赛怎么学 搞竞赛要找好苗子，首先他是热情的，勤奋的，其次是有抱负的，不畏艰难的；当然不能是临时抱佛脚的。冰冻三尺，非一日之寒。应该从高一前的暑假就开始不停的学习、训练。细细地说来，注意事项还有很多。 学习进度方面 要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中的数学内容全部学完，并在高一上学期应该完成像高三一样的两轮复习，基础太重要了，第一试占了150分，不可小视。然后，就是竞赛内容了，不要以为看几本竞赛书就可以了，因为那些书上讲得太粗略；这时候，对老师的要求就更高。老师不但要对竞赛内容非常熟悉，还要不断地总结重要的思想方法，使学生能够灵活运用。 入门书单 首先如果要涉猎竞赛，最基本的高中课程是一切的基础。接下来的书就是建立在此基础上的。我们最先做的当然是补全差距:课标大纲和竞赛大纲之间的差距。 1）《新编中学数学解题方法全书》，即基础衔接书。 2）《奥数教程》 经典奥数蓝皮书。优点是与课本知识联系紧密，适合你在第一遍学习高中数学知识的同时同步提高，帮助你打下坚实的基础，以讲解为主，以测试为辅。(与《培优教程》二选一即可，小编认为《培优》稍难，但很散，推荐《奥数教程》。) 提高书单 1）《奥赛小丛书》 专而精，很多专题非常精彩，难度涵盖联赛和冬令营，读起来也容易让同学们感兴趣。如果仅以省级国一为目标，其中概率、几何不等式可以不看，图论、组合几何、数论编的不错，集合变换、三角与几何虽然写的很好但不实用；其它的如函数、集合还好，可以看看。这套书中代数只有两本不等式，而且很不实用，不推荐。至于数学归纳法里面题很经典，不过很综合，可以放在该套书后面看。对于这套书要尽快看完，里面题要自己做，可能比较辛苦。总的来说这套书值得一看，要尽早开始看。
金湖县实验中学高中数学奥赛辅导数论初步—数的整除性
整数的整除性 定义：设a ，b 为二整数，且b ≠０，如果有一整数c ，使a ＝bc ，则称b 是a 的约数，a 是b 的倍数，又称b 整除a ，记作b|a. 显然，１能整除任意整数，任意整数都能整除０. 性质：设a ，b ，c 均为非零整数，则 ①．若c|b ，b|a ，则c|a. ②．若b|a ，则bc|ac ③．若c|a ，c|b ，则对任意整数m 、n ，有c|ma ＋nb ④．若b|ac ，且(a ，b)＝1，则b|c 证明：因为(a ，b)＝1 则存在两个整数s ，t ，使得 as ＋bt ＝1 ∴ asc ＋btc ＝c ∵ b|ac ? b|asc ∴ b|(asc ＋btc) ? b|c ⑤．若(a ，b)＝1，且a|c ，b|c ，则ab|c 证明：a|c ，则c ＝as(s ∈Z) 又b|c ，则c ＝bt(t ∈Z) 又(a ，b)＝1 ∴ s ＝bt'(t'∈Z) 于是c ＝abt' 即ab|c ⑥．若b|ac ，而b 为质数，则b|a ，或b|c ⑦．(a －b)| (a n －b n )(n ∈N)，(a ＋b)|(a n ＋b n )(n 为奇数) 整除的判别法：设整数N ＝121n 1a a a a - ①.2|a 1?2|N ， 5|a 1? 5|N ②.3|a 1＋a 2＋…＋a n ?3|N 9|a 1＋a 2＋…＋a n ?9|N ③.4|a a ? 4|N 25|a a ? 25|N ④.8|a a a ?8|N 125|a a a ?125|N ⑤．7||41n n a a a -－a a a |?7|N ⑥．11||41n n a a a -－a a a |?11|N ⑦．11|[(a 2n ＋1＋a 2n －1＋…＋a 1)－(a 2n ＋a 2n －2＋…＋a 2)] ?11|N
高中数学竞赛校本教材[全套](共30讲
高中数学竞赛校本教材[全套](共30讲，含详细答 案) 目录 §1数学方法选讲（1） (1) §2数学方法选讲（2） (11) §3集合 (22) §4函数的性质 (30) §5二次函数(1) (41) §6二次函数(2) (55) §7指、对数函数,幂函数 (63) §8函数方程 (73) §9三角恒等式与三角不等式 (76) §10向量与向量方法 (85) §11数列 (95) §12递推数列 (102) §13数学归纳法 (105) §14不等式的证明 (111) §15不等式的应用 (122) §16排列，组合 (130) §17二项式定理与多项式 (134) §18直线和圆，圆锥曲线 (143) §19立体图形，空间向量 (161)
§20平面几何证明 (173) §21平面几何名定理 (180) §22几何变换 (186) §23抽屉原理 (194) §24容斥原理 (205) §25奇数偶数 (214) §26整除 (222) §27同余 (230) §28高斯函数 (238) §29覆盖 (245) §29涂色问题 (256) §30组合数学选讲 (265) §1数学方法选讲（1） 同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。 例题讲解 一、从简单情况考虑 华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。谁放入了最后一枚硬币谁获胜。问：先放的人有没有必定取胜的策略？
