高中数学竞赛数列问题

一、高考数列知识及方法应用（见考纲）二、二阶高次递推关系

1．因式分解降次。例：正项数列{a n }，满足12+=n n a S ，求a n （化异为同后高次）

2．两边取对数降次。例：正项数列{a n }，a 1=1，且a n ·a n+12 = 36，求a n 三、线性递推数列的特征方程法定理1：若数列{a n }的递推关系为a n+2=λ1a n+1+λ2a n ，则设特征方程x 2=λ1x+λ2，

且此方程有相异两根x 1，x 2（x 1≠x 2），则必有

a n =c 1x 1n +c 2x 2n

，其中c 1，c 2由此数列已知前2项解得，即

???+=+=2

221122

2111x c x c a x c x c a 或由???+=+=2

21112

10x c x c a c c a 得到。（见训练及考试题）

定理2：若方程x 2=λ1x+λ2有相等重根x 0，则有

a n =（c 1+c 2n ）x 0n ，其中c 1，c 2仍由定理1方程组解得。

例如.：1，已知.数列{}n a 满足)(,11221+++∈+===N n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的

通项公式

2，.数列{}n a 中，设,2,1321===a a a 且)3(32

1≥+=

--+n a a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式

3，.数列}{n a 满足：.,2

457,12

10N n a a a a n n n ∈-+=

证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)求数列}{n a 的通项公式。 4，已知.数列{}n a 满足121,2,a a n N +==∈都有2144n n n a a a ++=-，求数列

{}n a 的通项公式

四、特殊递推的不动点法（ f （x ）= x 的解称为f （x ）的不动点）

定理1：若数列{a n }满足递推：a n+1=a ·a n +b （a ，b ∈R ），则设x=ax+b ，得不动点1

0--=

a b

x 且数列递推化为：a n+1-x 0=a （a n -x 0），进而用构造法解得。

定理2：若数列{a n }满足递推：）（01≠-+?+?=

+bc ad d

a c b

a a a n n n ，

则设d

cx b

ax x ++=

，得不动点x 1，x 2，若x 1≠x 2，则原递推化为：

）（2

212111x a x a c x a c x a x a x a n n n n ----=--++，再由构造

法解得。

若x1=x2=x0，即有唯一不动点x0时，原递推可化为：

a c

x a x a n n ++-=-+211001，再由构造法解得。

例如：1，在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),求该数列的通项a n

2，已知.数列{}n a 满足：1138

1,23

n n n a a a a ++==+，求该数列的通项a n 3，已知.数列{}n a 满足：112

1,23

n n n a a a a +--==

+，求该数列的通项a n

五、递推构造法

1．若数列递推满足a n+1=k 1a n +k 2·2n ，注意构造变形为（a n+1+A ·2n+1）= k 1（a n +A ·2n ），展开后与原递推相同，求出A 得值，再化为等比数列解决。 2．若数列递推满足a n+1=k 1a n +k 2n 2+k 3n ，注意构造变形为（a n+1+A(n+1)2+B(n+1)+c ）= k 1（a n +An 2+Bn+c ），

展开后与原递推相同而求出A ，B ，C 的值，再化为等比数列解决。 3．若数列为a n+1=-3a n +2n - n 呢？

例如：1，求所有a 0∈R ，使得由a n+1=2n -3a n （n ∈N ）所确定得数列a 0，a 1，a 2，…

是递增的。 2，某运动会开了n 天(1)n >，共发出m 枚奖牌：第一天发出1枚加上余

下的

17，第二天发出2枚加上余下的1

；如此持续了(1)n -天，第n 天发出n 枚. 该运动会开了________天，共发了____________枚奖牌.

后注：以上方法相辅相成，不可孤立理解，当条件不符合时不可随意应用。例：若不知a 1，a 2的确定值，a n+2=2a n+1+3a n 都不可以用特征方程法。

望大家结合数列其他讲义及考题认真领会。

数列训练题

1．（2006年广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之

上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示） .

2. ( 2006年重庆卷)在数列｛a n ｝中，若 a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数

列的通项 a n =_____.

3．（2006年全国卷II ）函数f (x )＝∑i ＝1

|x －n |的最小值为 ( )

（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45 4．（2006年全国卷I ）设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，

12380a a a =，则111213a a a ++=

A ．120

B ．105

C ．90

D ．75 5．（2006年江西卷）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（）

A ．100 B. 101 C.200 D.201 6．（2006年辽宁卷）在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也

是等比数列,则n S 等于

(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n - 7．(2006年山东卷）已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，…

（1）证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；

（2）设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项；

（3）记b n =211++n n a a ，求｛b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +132

-n T =1.

8．（2006年上海卷）已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2．设

该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1．

（1）求证：数列{n a }是等比数列；

（2）若a ＝2

22-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1

212n a a a n

???（n ＝1，2，┅，2k ），

求数列{n b }的通项公式；

（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －2

＋|k b 2－2

|≤4，求k 的值．

9．（2006年全国卷II ）设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0

有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…．（Ⅰ）求a 1，a 2；（Ⅱ）｛a n ｝的通项公式．（只须写出即可）

10. （2006年上海春卷）已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.

（1）若4020=a ，求d ；

（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；

（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 11．（2006年广东卷）已知公比为)10(<

无穷等比数列}{2n a 各项的和为5

(Ⅰ)求数列}{n a 的首项1a 和公比q ；

(Ⅱ)对给定的),,3,2,1(n k k ???=,设)(k T 是首项为k a ，公差为12-k a 的等差数列.求数列)(k T 的前10项之和；

(Ⅲ)设i b 为数列)(i T 的第i 项，n n b b b S +???++=21，求n S ，并求正整数

)1(>m m ，使得

m S

n n ∞→lim 存在且不等于零. 12．（2006年福建卷）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈

（I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）证明：*122311...().232

n n a a a n n

n N a a a +-<+++<∈

13．（2006年安徽卷）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知

()211

,1,1,2,2

n n a S n a n n n ==--=???

（Ⅰ）写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ≥，并求n S 关于n 的表达式；（Ⅱ）设()()()1

/,n n n n n S f x x b f p p R n

=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T 14．（2006年全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和

1412

2333

n n n S a +=-?+，1,2,3,

n =

（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；

（Ⅱ）设2n

n n

T S =，1,2,3,

n =，证明：1

i i T =<

∑ 15．（2006年江西卷）已知数列｛a n ｝满足：a 1＝

，且a n ＝n 1

n 13na n 2n N 2a n 1

*≥∈－－（，）＋－

求数列｛a n ｝的通项公式；

数列竞赛训练题

1.数列{}n a 中，设1,01=>a a n 且6

213=?+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式.

2.已知.数列{}n a 满足)2(1

1,21211≥-+==

-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式 3. 已知.数列{}n a 满足)(,11221+++∈+===N n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式

4. 已知.数列{}n a 满足1245,02

11++==+n

n n a a a a ，求数列{}n a 的通项公式 5. 数列{}n a 中，设,121==a a 且)1(2212≥+-=++n a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式

6. 数列{}n a 中，设,2,1321===a a a 且)3(32

1≥+=--+n a a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式

7.数列{}n a 满足：)3(21≥-=--n a a a n n n ，如果前1492项的和是1985，而前1985项的和为1492，求该数列的前2001项之和. 8. 已知.数列{}n a 满足1

)1(1

+++=n n n n a n ，求数列{}n a 的前n 项和.

参考答案

1. =)3(f 10，6

)

2)(1()(++=n n n n f

2. a n =123n +-.

3. C

4. B 12322153155a a a a a ++=?=?=，()()1232228080a a a a d a a d =?-+=，将

25a =代入，得3d =，从而()()11121312233103530105a a a a a d ++==+=?+=。

选B 。

5. 解：依题意，a 1＋a 200＝1，故选A

6. 【解析】因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则

2212112221

(1)(1)(1)22(12)01

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?=

即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。

7.（2）213n

n T -=,2131n

n a -=-;

9. 解：(Ⅰ)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，

于是(a 1－1)2

－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12

．

当n ＝2时，x 2

－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12

，

于是(a 2－12)2－a 2(a 2－12)－a 2＝0，解得a 1＝1

．

(Ⅱ)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即 S n 2－2S n ＋1－a n S n ＝0．

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得 S n －1S n －2S n ＋1＝0 ①

由(Ⅰ)知S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝2

3．

由①可得S 3＝3

4．

由此猜想S n ＝

n n ＋1

，n ＝1，2，3，…．

下面用数学归纳法证明这个结论． (i )n ＝1时已知结论成立． (ii )假设n ＝k 时结论成立，即S k ＝k k ＋1

，

当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2

，故n ＝k ＋1时结论也成立．综上，由(i )、(ii )可知S n ＝

n ＋1

对所有正整数n 都成立．于是当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1

n (n ＋1)，

又n ＝1时，a 1＝12＝1

1×2，所以

｛a n ｝的通项公式a n ＝

n n ＋1

，n ＝1，2，3，…．

10. [解]（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a .

（2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ，

???

????+??? ??+=4321102

30d a ，

当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞.

（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列. 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围. 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=，

依次类推可得 ()

???

??=+≠--?=+++=++.1),

1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n n n

当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等.

11.

解: (Ⅰ)依题意可知,???

??==????

????=-=-32358119

112121

q a q a q a

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1

323-??

???=n n a ,所以数列)2(T 的的首项为221==a t ,公差

3122=-=a d ,

155391021

21010=???+?=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155.

(Ⅲ) i b =()()121--+i i a i a =()()112---i a i i =()()1321231

--??

??--i i i ，

()()2132271845--??? ??+-=n n n S n n ，m n n n S ∞→lim =∞→n lim ()m n

m m n n n n n n 2132271845--??

? ??+- 当m=2时，m n n n S ∞→lim =－21

，当m>2时，m n n n

S ∞→lim =0，所以m=2

12. （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈ {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。即 2*21().n a n N =-∈

（II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+

122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-

即1(1)20,n n n b nb +--+=

③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+= {}n b ∴是等差数列。

证法二：同证法一，得令1,n =得1 2.b =

设22(),b d d R =+∈下面用数学归纳法证明 2(1).n b n d =+- （1）当1,2n =时，等式成立。

（2）假设当(2)n k k =≥时，2(1),k b k d =+-那么

这就是说，当1n k =+时，等式也成立。根据（1）和（2），可知2(1)n b n d =+-对任何*n N ∈都成立。

{}1,n n n b b d b +-=∴是等差数列。

（III ）证明：

1121211

,1,2,...,,1212

2(2)2

k k k k k k a k n a ++--==<=-- 13. 解：由()21n n S n a n n =--()2n ≥得：()21()1n n n S n S S n n -=---，即

()221(1)1n n n S n S n n ---=-，所以

1111

n n n n

S S n n -+-=-，对2n ≥成立。由1111n n n n S S n n -+-=-，121112n n n n S S n n ----=--，…，2132121

S S -=相加得：

1121n n S S n n +-=-，又111

S a ==，所以21n n S n =

+，当1n =时，也成立。（Ⅱ）由()11

n n n n S n f x x x n n ++==+，得()/n n n b f p np ==。

而23123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+， 234123(1)n n n pT p p p n p np +=+++

+-+，

14．解：（I ）

2111412

2333a S a ==-?+

，解得：12a = 所以数列{

}

2n n

+是公比为4的等比数列

所以：

()11

1224n n n a a -+=+?

得：42n n

n a =- （其中n 为正整数）

（II ）()()()1114124122

242221213333333n n n n n n n n S a +++=-?+=--?+=--

所以： 1

3113

1212n

n i T +=??=?-<

?--??∑

15.

将条件变为：1－n n a ＝n 11n 113a －－（－），因此｛1－n

a ｝为一个等比数列，其首项

为

1－11a ＝13，公比13，从而1－n n a ＝n 1

，据此得a n ＝n n n 331?－（n ≥1）………

高中数学竞赛数列问题

高中数学竞赛数列问题一、高考数列知识及方法应用（见考纲）二、二阶高次递推关系 1．因式分解降次。例：正项数列{a n }，满足12+=n n a S ，求a n （化异为同后高次） 2．两边取对数降次。例：正项数列{a n }，a 1=1，且a n ·a n+12 = 36，求a n 三、线性递推数列的特征方程法定理1：若数列{a n }的递推关系为a n+2=λ1a n+1+λ2a n ，则设特征方程x 2=λ1x+λ2，且此方程有相异两根x 1，x 2（x 1≠x 2），则必有 a n =c 1x 1n +c 2x 2n ，其中c 1，c 2由此数列已知前2项解得，即 ???+=+=2 222112 2 2111x c x c a x c x c a 或由???+=+=22111 2 10x c x c a c c a 得到。（见训练及考试题）定理2：若方程x 2=λ1x+λ2有相等重根x 0，则有 a n =（c 1+c 2n ）x 0n ，其中c 1，c 2仍由定理1方程组解得。例如.：1，已知.数列{}n a 满足)(,11221+++∈+===N n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式 2，.数列{}n a 中，设,2,1321===a a a 且)3(32 1 1≥+= --+n a a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式 3，.数列}{n a 满足：.,2 36 457,12 10N n a a a a n n n ∈-+= =+ 证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)求数列}{n a 的通项公式。 4，已知.数列{}n a 满足121,2,a a n N +==∈都有2144n n n a a a ++=-，求数列 {}n a 的通项公式四、特殊递推的不动点法（ f （x ）= x 的解称为f （x ）的不动点）定理1：若数列{a n }满足递推：a n+1=a ·a n +b （a ，b ∈R ），则设x=ax+b ，得不动点1 0--= a b x 且数列递推化为：a n+1-x 0=a （a n -x 0），

高中数学竞赛_数列【讲义】

第五章数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。二、方法与例题 1．不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2,

高中数学竞赛专题讲座数列

高中数学竞赛专题试题讲座——数列一、选择题部分 1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2 2 45 n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（ B ） ()A 1a ()B 2a ()C 3a ()D 4a 2（2006安徽初赛）正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a = （） A 、98 B 、99 C 、100 D 、101 3. （2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为（ A ） A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。则满足不等式|S n -n-6|<125 1 的最小整数n 是（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解：由递推式得：3(a n+1-1)=-(a n -1)，则{a n -1}是以8为首项，公比为- 3 1 的等比数列， ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)= 3 11] )31 (1[8+--n =6-6×(-31)n ，∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251，得：3n-1 >250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。 5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1= n n x x -+313，则 ∑=2005 1 n n x = （） A ．1 B ．-1 C ．2+3 D ．-2+3 解：x n+1= n n x x 3 3 133 - +，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6 π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1, x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有 ∑===2005 1 11n n x x 。故选A 。 6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n A ，n B 记

高中数学竞赛讲义(五)──数列

高中数学竞赛讲义（五） ──数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n}的一般形式通常记作a1, a2,a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。其中a1叫做数列的首项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。定理1 若S n表示{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式 a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式： S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m 为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B 至少有一个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.

定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{a n}称为等比数列，q叫做公比。定理3 等比数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n 项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n ≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n=ax n-1+bx n-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则x n=c1a n-1+c2βn-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则x n=(c1n+c2) αn-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。二、方法与例题 1．不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。

高中数学竞赛讲义_数列

数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。二、方法与例题 1．不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2,

《高中数学竞赛》数列

竞赛辅导数列(等差数列与等比数列) 数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列{a n}的第n项a n与项数(下标)n之间的函数关系可以用一个公式a n=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。一、等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。等差数列{a n}的通项公式为：前n项和公式为：从(1)式可以看出，是的一次数函()或常数函数()，()排在一条直线上，由(2)式知，是的二次函数()或一次函数()，且常数项为0。在等差数列{ }中，等差中项：且任意两项的关系为：它可以看作等差数列广义的通项公式。从等差数列的定义、通项公式，前项和公式还可推出：若二、等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母表示。等比数列{a n}的通项公式是：前项和公式是：

在等比数列中，等比中项：且任意两项的关系为如果等比数列的公比满足0＜＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为：从等比数列的定义、通项公式、前项和公式可以推出：另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂，则{}是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)，“错位相减”(等比数列)。数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n项和。三、范例例1．设a p，a q，a m，a n是等比数列{a n}中的第p、q、m、n项，若p+q=m+n，求证：证明：设等比数列{}的首项为，公比为q，则说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：a1+k·a n-k=a1·a n 对于等差数列，同样有：在等差数列{ }中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：a1+k+a n-k=a1+a n 例2．在等差数列{}中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10= A.20 B.22 C.24 D28 解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知或得 5a8=120，a8=24 而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。

高中数学竞赛专题之数列

高中数学竞赛专题之数列一、数列的性质等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的主要性质及容对照讨论如下：性质1：若K K ,,,,21n a a a 是等差（等比）数列，那么K K ,,,,kj i j i i a a a ++仍是等差（等比）数列。性质2：若}{n a 为等差数列，且 ∑∑===k l l k l l j i 11 ，那么 ∑∑===k l j k l i l l a a 1 1 （脚标和相同则对应的项的和相同）；若}{n a 为等比数列，且∑∑===k l l k l l j i 1 1 ，那么l l j k l i k l a a 1 1 ===ππ（脚标和相同则对应的项的积相同）。性质3：若}{n a 为等差数列，记K K ,,,,1 )1(1 2 1 1∑∑∑=-+=+==== k i k m i m k i k i k i i a S a S a S ，那么 }{m S 仍为等差数列，}{n a 为等比数列，记K K ,,,,)1(1 1 21 1k m i k l m k i k l i k l a P a P a P -+=+=====πππ，那么}{m P 仍为等比数列。性质4：若}{n a 为等比数列，公比为q ，且|q|〈1，则q a S n n -= ∞ →1lim 1 。例1、若}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若 1 32+=n n T S n n ，则=∞→n n n b a lim （）A.1 B. 36 C. 32 D.94 例2、等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（） A.130 B. 170 C. 210 D.260 例3、}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若 3 3131 3++=n n T S n n （1）求2828a b 的值，（2）求使n n a b 为整数的所有正整数n 。

高中数学竞赛数论

高中数学竞赛数论剩余类与剩余系 1.剩余类的定义与性质 (1)定义1 设m 为正整数，把全体整数按对模m 的余数分成m 类，相应m 个集合记为：K 0,K 1,…,K m-1,其中K r ={qm+r|q ∈Z,0≤余数r ≤m-1}称为模m 的一个剩余类(也叫同余类)。K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类. (2)性质(ⅰ)i m i K Z 1 0-≤≤=Y 且K i ∩K j =φ(i ≠j). (ⅱ)每一整数仅在K 0,K 1,…,K m-1一个里. (ⅲ)对任意a 、b ∈Z ，则a 、b ∈K r ?a ≡b(modm). 2.剩余系的定义与性质 (1)定义2 设K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类，从每个K r 里任取一个a r ，得m 个数a 0,a 1,…,a m-1组成的数组，叫做模m 的一个完全剩余系,简称完系. 特别地,0,1,2,…,m -1叫做模m 的最小非负完全剩余系.下述数组叫做模m 的绝对最小完全剩余系:当m 为奇数时,2 1 ,,1,0,1,,121,21--+----m m m ΛΛ;当m 为偶数时,12 ,,1,0,1,,12,2--+-- m m m ΛΛ或2,,1,0,1,,12m m ΛΛ-+-. (2)性质(ⅰ)m 个整数构成模m 的一完全剩余系?两两对模m 不同余. (ⅱ)若(a,m)=1，则x 与ax+b 同时遍历模m 的完全剩余系. 证明:即证a 0,a 1,…,a m-1与aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 同为模m 的完全剩余系, 因a 0,a 1,…,a m-1为模m 的完系时,若aa i +b ≡aa j +b(modm),则a i ≡a j (modm), 矛盾!反之,当aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 为模m 的完系时,若a i ≡a j (modm),则有 aa i +b ≡aa j +b(modm),也矛盾!

高中数学竞赛辅导讲义-第五章--数列【讲义】

定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时， S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即 b 2=a c (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为 q a -11 （由极限的定义可得）。定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程

递推数列竞赛题

构建新数列巧解递推数列竞赛题递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是根据题设提供的信息，构建新的数列，建立新数列与原数列对应项之间的关系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。其中，怎样构造新数列是答题关键。 1 求通项求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想。例1、数列{}n a 中，11=a ，() n n n a a a 2414116 1 1+++= +。求n a 。（1981年第22届IMO 预选题）分析本题的难点是已知递推关系式中的n a 241+较难处理，可构建新数列{}n b ，令n n a b 241+=，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。解：构建新数列{}n b ，使0241>+=n n a b 则 51=b ，n n a b 2412+= ，即24 1 2-=n n b a ∴ ??? ? ??+-?+=-+n n n b b b 241411612412 21 化简得 ()()2 2 132+=+n n b b ∴ 321+=+n n b b ，即 ()32131-=-+n n b b 数列 {}3-n b 是以2为首项，2 1 为公比的等比数列。

n n n b --=? ? ? ???=-21 22123 即 322+=-n n b ∴ 1 211222 31 232241---?+?+=-=n n n n n b a 2 证明不等式这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。例2、设10=a ，1 2 11 1---+= n n n a a a ()N n ∈，求证：2 2 +> n n a π 。（1990年匈牙利数学奥林匹克试题）分析利用待证的不等式中含有π及递推关系式中含有2 11-+n a 这两个信息，考虑进行三角代换，构建新数列{}n α，使n n tg a α=，化简递推关系式。证明：易知0>n a ，构建新数列{}n α，使n n tg a α=，?? ? ??∈2,0παn 则 2 sin cos 1111111 12-----=-= -+= n n n n n n tg tg tg a α αααα ∴ 2 1-=n n tg tg αα，2 1-=n n αα 又 10=a ，8 121π tg a =-= ，从而 8 1π α= 因此，新数列{}n α是以 8 π为首项，21 为公比的等比数列。 2 1 28 21+-= ? ? ? ? ??=n n n π π α

全国数学竞赛预赛试题分类：数列

全国数学竞赛预赛试题分类：数列 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

2014数学预赛试题分类：数列天津3．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，并且对任意正整数n 成立243n n S S +=+，则2a 的值是（） (A)．2(B)．6(C)．2或6(D)．2或-6 天津9．数列｛n a ｝满足11,2n n n a a a n +-=+≥．若78a =，则1210a a a +++等于．河北11、设{n a }是等差数列，且满足：①n a ∈N *，②项数≥3，③d>0，记{n a }所有项的和为S. （1）写出满足S=30的所有{n a }；（2）求证：对大于8的合数m ，总存在{n a }使得S=m. 河北14、数列{n a }满足：2 11,11 1-= =+n n a a a 。（1）求证：3 2≥ n a ；（2）求证：27 102< -n n a a . 山西1、将正整数数列1，2，3，…按如下方式自左至右分段，使得第一段有1×2 个数，第二段有2×3个数，…，第n 段有n ×(n+1)个数，…，则2014位于第段。山西10、数列{n a }，{n b }满足条件：n n n n n n b a b b a a b a +=+===++1111,2,1；证明：对每个正整数n ，下式成立：（1） 2,2221212><--n n n n b a b a ；（2） 2211-<-++n n n n b a b a 辽宁5．正项数列{}n a 满足 *1212 111 1()n n n n n n n a a a a a a ++++++=∈N ，136a a +=，1a ，2a ，3a 单调递增且成等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则[]2014S 的值是（其中表示不超过实数的最大整数）（） A ．5368B ．5367C ．5363D ．5362

高中数学竞赛数列练习

高中数学竞赛专题讲座之数列一、选择题部分 1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2 2 45 n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（ B ） ()A 1a ()B 2a ()C 3a ()D 4a 2．（2006安徽初赛）正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a = （） A 、98 B 、99 C 、100 D 、101 3. （2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为（ A ） A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。则满足不等式|S n -n-6|<125 1 的最小整数n 是（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解：由递推式得：3(a n+1-1)=-(a n -1)，则{a n -1}是以8为首项，公比为- 3 1 的等比数列， ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)= 3 11] )31 (1[8+--n =6-6×(-31)n ，∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251，得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。 5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=n n x x -+313，则 ∑=2005 1 n n x = （） A ．1 B ．-1 C ．2+3 D ．-2+3 解：x n+1= n n x x 3 3 133 - +，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6 π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1, x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有 ∑===2005 1 11n n x x 。故选A 。 6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n A ，n B 记(1)n n n n n n n C a B b A a b n =?+?-?>则数列{n C }的前10项和为 ( C ) A .1010A B + B. 1010 2 A B + C.1010A B ? 7．（2006年浙江省预赛）设)(n f 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 14321)123(222=++=f 。记)()(1n f n f =，))(()(1n f f n f k k =+，，?=,3,2,1k 则)2006(2006f ＝ (A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145. （ D ）解：将40)2006(=f 记做402006→，于是有 Λ→→→→→→→→→→→164204214589583716402006 从16开始，n f 是周期为8的周期数列。故.145)16()16()16()2006(48250420042006====?+f f f f 正确答案为D 。二、填空题部分 1.数列{}n a 的各项为正数,其前n 项和n S 满足)1 (21n n n a a S + =,则n a O O O M N N N 15101051146411331121111

(推荐)高中数学全国卷数列专题复习

数列专题复习（1）一、等差数列和等比数列的性质 1、已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a = （A ） 172 （B ）19 2 （C ）10 （D ）12 2、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A 5 B 7 C 9 D 11 4、已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a = A.2 B.1 1C.2 1 D. 8 5、等比数列｛a n ｝满足a 1=3， 135a a a ++ =21，则357a a a ++= A21 B42 C63 D84 6、等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = （A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ） ()12 n n + (D) ()12 n n - 7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8、等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1= （A ） 13 （B ）13 - （C ） 19 （D ）1 9 - 9、已知{n a }为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a += A7 B5 C －5 D －7 10、已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a = (A) 11、如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 12、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10=0，S 15 =25，则nS n 的最小值为________. 13、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3230S S +=，则公比q =___________。 14、设S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S k +2-S k =24，则k = (A)8 (B)7 (C) 6 (D) 5 15、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1， b 1＋ c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝ 2n n c a +，c n ＋1＝2 n n b a +，则( )．

全国数学竞赛预赛试题分类：数列

2014数学预赛试题分类：数列天津3．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，并且对任意正整数n 成立243n n S S +=+，则2a 的值是（） (A)．2(B)．6(C)．2或6(D)．2或-6 天津9．数列｛n a ｝满足11,2n n n a a a n +-=+≥．若78a =，则1210a a a +++L 等于．河北11、设{n a }是等差数列，且满足：①n a ∈N *，②项数≥3，③d>0，记{n a }所有项的和为S. （1）写出满足S=30的所有{n a }；（2）求证：对大于8的合数m ，总存在{n a }使得S=m. 河北14、数列{n a }满足：2 11,11 1-= =+n n a a a 。（1）求证：3 2≥ n a ；（2）求证：27 102< -n n a a . 山西1、将正整数数列1，2，3，…按如下方式自左至右分段，使得第一段有1×2 个数，第二段有2×3个数，…，第n 段有n ×(n+1)个数，…，则2014位于第段。山西10、数列{n a }，{n b }满足条件：n n n n n n b a b b a a b a +=+===++1111,2,1；证明：对每个正整数n ，下式成立：（1） 2,2221212><--n n n n b a b a ；（2） 2211-<-++n n n n b a b a 辽宁5．正项数列{}n a 满足 *1212 111 1()n n n n n n n a a a a a a ++++++=∈N ，136a a +=，1a ，2a ，3a 单调递增且成等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则[]2014S 的值是（其中表示不超过实数的最大整数）（） A ．5368B ．5367C ．5363D ．5362 辽宁15．（本小题满分25分）已知数列{}n a 中，12a =，对于任意的*,p q ∈N ，有p q p q a a a +=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；

15全国高中数学竞赛讲义-数列、组合

最新高中数学奥数竞赛试题排列，组合 1．排列组合题的求解策略（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略．（2）分类与分步有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理．（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数．（4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列．（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为3 11C ，这也就是方程12=+++d c b a 的正整数解的个数． 2．圆排列（1）由},,,,{321n a a a a A Λ=的n 个元素中，每次取出r 个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排列（或叫环状排列）．（2）圆排列有三个特点：（i ）无头无尾；（ii ）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii ）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列．（3）定理：在},,,,{321n a a a a A Λ=的n 个元素中，每次取出r 个不同的元素进行圆排列，圆排列数为r P r n ． 3．可重排列允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列．在m 个不同的元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么第一、第二、…、第n 位是的选取元素的方法都是m 种，所以从m 个不同的元素中，每次取出n 个元素的可重复的排列数为n m ． 4．不尽相异元素的全排列如果n 个元素中，有1p 个元素相同，又有2p 个元素相同，…，又有s p 个元素相同（n p p p s ≤+++Λ21），这n 个元素全部取的排列叫做不尽相异的n 个元素的全排列，它的排列数是! !!!21s p p p n ???Λ 5．可重组合（1）从n 个元素，每次取出p 个元素，允许所取的元素重复出现p ,,2,1Λ次的组合叫从n 个元素取出p 个有重复的组合．