高中数学竞赛数列问题
高中数学竞赛数列问题
一、 高考数列知识及方法应用（见考纲） 二、 二阶高次递推关系
1．因式分解降次。例：正项数列{a n }，满足12+=n n a S ，求a n （化异为同后高次）
2．两边取对数降次。例：正项数列{a n }，a 1=1，且a n ·a n+12 = 36，求a n
三、 线性递推数列的特征方程法 定理1：若数列{a n }的递推关系为a n+2=λ1a n+1+λ2a n ，则设特征方程x 2=λ1x+λ2，
且此方程有相异两根x 1，x 2（x 1≠x 2），则必有
a n =c 1x 1n +c 2x 2n
，其中c 1，c 2由此数列已知前2项解得，即
???+=+=2
222112
2
2111x c x c a x c x c a 或由???+=+=22111
2
10x c x c a c c a 得到。（见训练及考试题）
定理2：若方程x 2=λ1x+λ2有相等重根x 0，则有
a n =（c 1+c 2n ）x 0n ，其中c 1，c 2仍由定理1方程组解得。
例如.：1，已知.数列{}n a 满足)(,11221+++∈+===N n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的
通项公式
2，.数列{}n a 中，设,2,1321===a a a 且)3(32
1
1≥+=
--+n a a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式
3，.数列}{n a 满足：.,2
36
457,12
10N n a a a a n n n ∈-+=
=+
证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)求数列}{n a 的通项公式。 4，已知.数列{}n a 满足121,2,a a n N +==∈都有2144n n n a a a ++=-，求数列
{}n a 的通项公式
四、 特殊递推的不动点法 （ f （x ）= x 的解称为f （x ）的不动点 ） 定理1：若数列{a n }满足递推：a n+1=a ·a n +b （a ，b ∈R ）， 则设x=ax+b ，得不动点1
0--=
a b
x 且数列递推化为：a n+1-x 0=a （a n -x 0），
进而用构造法解得。
定理2：若数列{a n }满足递推：）（01≠-+?+?=
+bc ad d
a c b
a a a n n n ，
则设d
cx b
ax x ++=
，得不动点x 1，x 2， 若x 1≠x 2，则原递推化为：
）（2
1
212111x a x a c x a c x a x a x a n n n n ----=--++，再由构造
法解得。
若x1=x2=x0，即有唯一不动点x0时，原递推可化为：
d
a c
x a x a n n ++-=-+211001，再由构造法解得。
例如：1，在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),求该数列的通项a n
2，已知.数列{}n a 满足：1138
1,23
n n n a a a a ++==+，求该数列的通项a n 3，已知.数列{}n a 满足：112
1,23
n n n a a a a +--==
+，求该数列的通项a n
五、 递推构造法
1．若数列递推满足a n+1=k 1a n +k 2·2n ，注意构造变形为（a n+1+A ·2n+1）= k 1（a n +A ·2n ），展开后与原递推相同，求出A 得值，再化为等比数列解决。 2．若数列递推满足a n+1=k 1a n +k 2n 2+k 3n ，注意构造变形为 （a n+1+A(n+1)2+B(n+1)+c ）= k 1（a n +An 2+Bn+c ），
展开后与原递推相同而求出A ，B ，C 的值，再化为等比数列解决。 3．若数列为a n+1=-3a n +2n - n 呢？
例如：1，求所有a 0∈R ，使得由a n+1=2n -3a n （n ∈N ）所确定得数列a 0，a 1，a 2，…
是递增的。 2，某运动会开了n 天(1)n >，共发出m 枚奖牌：第一天发出1枚加上余
下的
17，第二天发出2枚加上余下的1
7
；如此持续了(1)n -天，第n 天发出n 枚. 该运动会开了________天，共发了____________枚奖牌.
后注：以上方法相辅相成，不可孤立理解，当条件不符合时不可随意应用。 例：若不知a 1，a 2的确定值，a n+2=2a n+1+3a n 都不可以用特征方程法。
望大家结合数列其他讲义及考题认真领会。
数列训练题
1．（2006年广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示） .
2. ( 2006年重庆卷)在数列｛a n ｝中，若 a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数
列的通项 a n =_____.
3．（2006年全国卷II ）函数f (x )＝∑i ＝1
19
|x －n |的最小值为 ( )
（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45 4．（2006年全国卷I ）设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，
12380a a a =，则111213a a a ++=
A ．120
B ．105
C ．90
D ．75
5．（2006年江西卷）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B u u u r ＝200OA a OC u u u r u u u r
＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ）
A ．100 B. 101 C.200 D.201 6．（2006年辽宁卷）在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也
是等比数列,则n S 等于
(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n - 7．(2006年山东卷）已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，…
（1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；
（2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项；
（3） 记b n =211++n n a a ，求｛b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +1
32
-n T =1.
8．（2006年上海卷）已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其
中常数a ＞1．
（1）求证：数列{n a }是等比数列；
（2）若a ＝2
1
22-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1
212n a a a n
???（n ＝1，2，┅，2k ），
求数列{n b }的通项公式；
（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －2
3
|
＋|k b 2－2
3
|≤4，求k 的值．
9．（2006年全国卷II ）设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0
有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…． （Ⅰ）求a 1，a 2； （Ⅱ）｛a n ｝的通项公式．（只须写出即可）
10. （2006年上海春卷）已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）. （1）若4020=a ，求d ；
（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；
（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a Λ是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能 得到什么样的结论？ 11．（2006年广东卷）已知公比为)10(< 无穷等比数列}{2n a 各项的和为5 81 . (Ⅰ)求数列}{n a 的首项1a 和公比q ； (Ⅱ)对给定的),,3,2,1(n k k ???=,设)(k T 是首项为k a ，公差为12-k a 的等差数列.求数列)(k T 的前10项之和； (Ⅲ)设i b 为数列)(i T 的第i 项，n n b b b S +???++=21，求n S ，并求正整数 )1(>m m ，使得 m S n n ∞→lim 存在且不等于零. 12．（2006年福建卷）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）证明：*122311...().232 n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈ 13．（2006年安徽卷）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 ()211 ,1,1,2,2 n n a S n a n n n ==--=??? （Ⅰ）写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ≥，并求n S 关于n 的表达式； （Ⅱ）设()()()1 /,n n n n n S f x x b f p p R n += =∈，求数列{}n b 的前n 项和n T 14．（2006年全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和 1412 2333 n n n S a +=-?+，1,2,3,n =g g g （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ； （Ⅱ）设2n n n T S =，1,2,3,n =g g g ，证明：1 32n i i T =<∑ 15．（2006年江西卷）已知数列｛a n ｝满足：a 1＝ 3 2 ，且a n ＝n 1 n 13na n 2n N 2a n 1 *≥∈－－（，）＋－ 求数列｛a n ｝的通项公式； 数列竞赛训练题 1.数列{}n a 中，设1,01=>a a n 且6 213=?+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式. 2.已知.数列{}n a 满足)2(1 1,21211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式 3. 已知.数列{}n a 满足)(,11221+++∈+===N n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式 4. 已知.数列{}n a 满足1245,02 11++==+n n n a a a a ，求数列{}n a 的通项公式 5. 数列{}n a 中，设,121==a a 且)1(2212≥+-=++n a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式 6. 数列{}n a 中，设,2,1321===a a a 且)3(32 1 1≥+=--+n a a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公 式 7.数列{}n a 满足：)3(21≥-=--n a a a n n n ，如果前1492项的和是1985，而前1985项的和为1492，求该数列的前2001项之和. 8. 已知.数列{}n a 满足1 )1(1 +++=n n n n a n ，求数列{}n a 的前n 项和. 参考答案 1. =)3(f 10，6 ) 2)(1()(++=n n n n f 2. a n =123n +-. 3. C 4. B 12322153155a a a a a ++=?=?=，()()1232228080a a a a d a a d =?-+=，将 25a =代入，得3d =，从而()()11121312233103530105a a a a a d ++==+=?+=。 选B 。 5. 解：依题意，a 1＋a 200＝1，故选A 6. 【解析】因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列， 则 2212112221 2 (1)(1)(1)22(12)01 n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?= 即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。 7.（2）213n n T -=,2131n n a -=-; 9. 解：(Ⅰ)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1， 于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝1 2 ． 当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－1 2 ， 于是(a 2－12)2－a 2(a 2－12)－a 2＝0，解得a 1＝1 6 ． (Ⅱ)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0， 即 S n 2－2S n ＋1－a n S n ＝0． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得 S n －1S n －2S n ＋1＝0 ① 由(Ⅰ)知S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝2 3． 由①可得S 3＝3 4． 由此猜想S n ＝ n n ＋1 ，n ＝1，2，3，…． 下面用数学归纳法证明这个结论． (i )n ＝1时已知结论成立． (ii )假设n ＝k 时结论成立，即S k ＝k k ＋1 ， 当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2 ， 故n ＝k ＋1时结论也成立． 综上，由(i )、(ii )可知S n ＝ n n ＋1 对所有正整数n 都成立． 于是当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1 n (n ＋1)， 又n ＝1时，a 1＝12＝1 1×2，所以 ｛a n ｝的通项公式a n ＝ n n ＋1 ，n ＝1，2，3，…． 10. [解]（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . （2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ， ??? ?????+??? ??+=4321102 30 d a ， 当),0()0,(∞+∞-∈Y d 时，[)307.5,a ∈+∞. （3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为 1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a Λ是公差为n d 的等差数列. 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围. 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=， 依次类推可得 () ??? ??=+≠--?=+++=++.1), 1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n n n Λ 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等. 11. 解: (Ⅰ)依题意可知,??? ??==???? ????=-=-32358119 112121 q a q a q a (Ⅱ)由(Ⅰ)知,1 323-?? ? ???=n n a ,所以数列)2(T 的的首项为221==a t ,公差 3122=-=a d , 155391021 21010=???+?=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155. (Ⅲ) i b =()()121--+i i a i a =()()112---i a i i =()()1321231 --?? ? ??--i i i ， ()()2132271845--??? ??+-=n n n S n n ，m n n n S ∞→lim =∞→n lim ()m n m m n n n n n n 2132271845--?? ? ??+- 当m=2时，m n n n S ∞→lim =－21 ，当m>2时，m n n n S ∞→lim =0，所以m=2 12. （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈Q 112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。 12.n n a ∴+= 即 2*21().n a n N =-∈ （II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+Q 12(...)42.n n k k k n nk +++-∴= 122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+= 21(1)20.n n nb n b ++-++= ③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+= *211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈ {}n b ∴是等差数列。 证法二：同证法一，得 1(1)20n n n b nb +--+= 令1,n =得1 2.b = 设22(),b d d R =+∈下面用数学归纳法证明 2(1).n b n d =+- （1）当1,2n =时，等式成立。 （2）假设当(2)n k k =≥时，2(1),k b k d =+-那么 122[2(1)]2[(1)1].1111k k k k b b k d k d k k k k += -=+--=++----- 这就是说，当1n k =+时，等式也成立。 根据（1）和（2），可知2(1)n b n d =+-对任何*n N ∈都成立。 {}1,n n n b b d b +-=∴Q 是等差数列。 （III ）证明：Q 1121211 ,1,2,...,,1212 2(2)2 k k k k k k a k n a ++--==<=-- 12231 (2) n n a a a n a a a +∴+++< 111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232 k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 13. 解：由()21n n S n a n n =--()2n ≥得：()21()1n n n S n S S n n -=---，即 ()221(1)1n n n S n S n n ---=-，所以 1111 n n n n S S n n -+-=-，对2n ≥成立。 由1111n n n n S S n n -+-=-，121112n n n n S S n n ----=--，…，2132121 S S -=相加得： 1121n n S S n n +-=-，又111 2 S a ==，所以21n n S n = +，当1n =时，也成立。 （Ⅱ）由()11 1 n n n n S n f x x x n n ++==+，得()/n n n b f p np ==。 而23123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+L ， 234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+L ， 231 1 1(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p p p np np p -++--=+++++-=--L 14．解：（I ） 2111412 2333a S a ==-?+ ，解得：12a = ()21111441 22333n n n n n n n a S S a a +++++=-=---()11242n n n n a a ++?+=+ 所以数列{} 2n n a +是公比为4的等比数列 所以： ()11 1224n n n a a -+=+? 得：42n n n a =- （其中n 为正整数） （II ）()()()1114124122 242221213333333n n n n n n n n S a +++=-?+=--?+=-- ()()112323112221212121n n n n n n n n T S ++??==?=?- ? ----?? 所以： 11 131********n i n i T +=??=?-< ?--??∑ 15. 将条件变为：1－n n a ＝n 11n 113a －－（－），因此｛1－n n a ｝为一个等比数列，其首项 为 1－11a ＝13，公比13，从而1－n n a ＝n 1 3 ，据此得a n ＝n n n 331?－（n ≥1）……… 1 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1) 高中数学竞赛数列问题 一、 高考数列知识及方法应用（见考纲） 二、 二阶高次递推关系 1．因式分解降次。例：正项数列{a n }，满足12+=n n a S ，求a n （化异为同后高次） 2．两边取对数降次。例：正项数列{a n }，a 1=1，且a n ·a n+12 = 36，求a n 三、 线性递推数列的特征方程法 定理1：若数列{a n }的递推关系为a n+2=λ1a n+1+λ2a n ，则设特征方程x 2=λ1x+λ2， 且此方程有相异两根x 1，x 2（x 1≠x 2），则必有 a n =c 1x 1n +c 2x 2n ，其中c 1，c 2由此数列已知前2项解得，即 ???+=+=2 222112 2 2111x c x c a x c x c a 或由???+=+=22111 2 10x c x c a c c a 得到。（见训练及考试题） 定理2：若方程x 2=λ1x+λ2有相等重根x 0，则有 a n =（c 1+c 2n ）x 0n ，其中c 1，c 2仍由定理1方程组解得。 例如.：1，已知.数列{}n a 满足)(,11221+++∈+===N n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的 通项公式 2，.数列{}n a 中，设,2,1321===a a a 且)3(32 1 1≥+= --+n a a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式 3，.数列}{n a 满足：.,2 36 457,12 10N n a a a a n n n ∈-+= =+ 证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)求数列}{n a 的通项公式。 4，已知.数列{}n a 满足121,2,a a n N +==∈都有2144n n n a a a ++=-，求数列 {}n a 的通项公式 四、 特殊递推的不动点法 （ f （x ）= x 的解称为f （x ）的不动点 ） 定理1：若数列{a n }满足递推：a n+1=a ·a n +b （a ，b ∈R ）， 则设x=ax+b ，得不动点1 0--= a b x 且数列递推化为：a n+1-x 0=a （a n -x 0）， 第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2 c b a p ++=为半周长。 1．正弦定理：C c B b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足) sin(sin a b a a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 2 1；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B b A a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq q p q c p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2 -2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π， 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得 qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq q p q c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+= §23抽屉原理 在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“把[0，1]内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数”。这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。 “抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。 （一）抽屉原理的基本形式 定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。 证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n 个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。 在定理1的叙述中，可以把“元素”改为“物件”，把“集合”改成“抽屉”，抽屉原理正是由此得名。 同样，可以把“元素”改成“鸽子”，把“分成n个集合”改成“飞进n个鸽笼中”。“鸽笼原理”由此得名。 例题讲解 1．已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于 2．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。 第五章 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2, 高中数学竞赛专题试题讲座——数列 一、选择题部分 1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2 2 45 n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（ B ） ()A 1a ()B 2a ()C 3a ()D 4a 2（2006安徽初赛）正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a = （ ） A 、98 B 、99 C 、100 D 、101 3. （2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为 （ A ） A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。则满足不等式|S n -n-6|<125 1 的最小整数n 是 （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解：由递推式得：3(a n+1-1)=-(a n -1)，则{a n -1}是以8为首项，公比为- 3 1 的等比数列， ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)= 3 11] )31 (1[8+--n =6-6×(-31)n ，∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251，得：3n-1 >250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。 5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1= n n x x -+313，则 ∑=2005 1 n n x = （ ） A ．1 B ．-1 C ．2+3 D ．-2+3 解：x n+1= n n x x 3 3 133 - +，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6 π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1, x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有 ∑===2005 1 11n n x x 。故选A 。 6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{}{}n n a b 、 的前n 项和分别为n A ，n B 记 第十七章 整数问题 一、常用定义定理 1．整除：设a,b ∈Z,a ≠0，如果存在q ∈Z 使得b=aq ，那么称b 可被a 整除，记作a|b ，且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数。b 不能被a 整除，记作a b. 2 带余数除法：设a,b 是两个给定的整数，a ≠0，那么，一定存在唯一一对整数q 与r ，满足b=aq+r,0≤r<|a|，当r=0时a|b 。3．辗转相除法：设u 0,u 1是给定的两个整数，u 1≠0，u 1 u 0,由2可得下面k+1个等式：u 0=q 0u 1+u 2,01且n 为整数，则k a k a a p p p n 2121 ，其中p j (j=1,2,…,k)是质数（或称素数），且在不计次序的意义下，表示是唯一的。 6．同余：设m ≠0,若m|(a-b)，即a-b=km ，则称a 与b 模同m 同余，记为a ≡b(modm)，也称b 是a 对模m 的剩余。 7．完全剩余系：一组数y 1,y 2,…,y s 满足：对任意整数a 有且仅有一个y j 是a 对模m 的剩余，即a ≡y j (modm)，则y 1,y 2,…,y s 称为模m 的完全剩余系。 8．Fermat 小定理：若p 为素数，p>a,(a,p)=1，则a p-1≡1(modp)，且对任意整数a,有a p ≡a(modp). 9．若(a,m)=1，则)(m a ≡1(modm), (m)称欧拉函数。 10．（欧拉函数值的计算公式）若k a k a a p p p m 2121 ，则 (m)=.)11(1 k i i p m 11．（孙子定理）设m 1,m 2,…,m k 是k 个两两互质的正整数，则同余组： x ≡b 1(modm 1),x ≡b 2(modm 2),…,x ≡b k (modm k )有唯一解， x ≡'1M M 1b 1+'2M M 2b 2+…+'k M M k b k (modM)， 其中M=m 1m 2m k ；i M =i m M ，i=1,2,…,k ；i i M M '≡1(modm i ),i=1,2,…,k. 二、方法与例题 1．奇偶分析法。 例1 有n 个整数，它们的和为0，乘积为n ，（n>1），求证：4|n 。 2．不等分析法。 例2 试求所有的正整数n ，使方程x 3+y 3+z 3=nx 2y 2z 2有正整数解。 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2, 高中数学竞赛讲义（五） ──数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n}的一般形式通常记作a1, a2,a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。其中a1叫做数列的首项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n表示{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式 a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式： S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m 为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B 至少有一个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn. 定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有 ，则{a n}称为等比数列，q叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n 项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。 定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n ≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n=ax n-1+bx n-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则x n=c1a n-1+c2βn-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则x n=(c1n+c2) αn-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是 人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 竞赛辅导 数列(等差数列与等比数列) 数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的 问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。 所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列{a n}的第n项a n与项数(下标)n之间的函数关系可以用一个公式a n=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。 一、等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。等差数列{a n}的通项公式为： 前n项和公式为： 从(1)式可以看出，是的一次数函()或常数函数()，()排在一条直线上，由(2)式知，是的二次函数()或一次函数()，且常数项为0。在等差数列{ }中，等差中项：且任意两项的关系为： 它可以看作等差数列广义的通项公式。 从等差数列的定义、通项公式，前项和公式还可推出： 若 二、等比数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母表示。等比数列{a n}的通项公式是： 前项和公式是： 在等比数列中，等比中项： 且任意两项的关系为 如果等比数列的公比满足0＜＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为： 从等比数列的定义、通项公式、前项和公式可以推出： 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂，则{}是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)，“错位相减”(等比数列)。 数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n项和。 三、范例 例1．设a p，a q，a m，a n是等比数列{a n}中的第p、q、m、n项，若p+q=m+n， 求证： 证明：设等比数列{}的首项为，公比为q，则 说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积， 即：a1+k·a n-k=a1·a n 对于等差数列，同样有：在等差数列{ }中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：a1+k+a n-k=a1+a n 例2．在等差数列{}中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10= A.20 B.22 C.24 D28 解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知或得 5a8=120，a8=24 而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。 §29涂色问题 涂色问题是数学竞赛中较为典型的问题，可以直接用抽屉原则解决涂色问题。另一方面，也可以将别的有关问题“涂色”，转化为涂色问题，涂色问题本身，有其深刻的数学背景。有些问题，本来就属于图论的内容。有些问题的解决，则需要用到数论、组合数学的理论和方法。这里介绍，只是中学数学竞赛中的有关问题。 1．小方格染色问题 最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题.解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧. 2．线段染色和点染色 (1)线段染色.较常见的一类染色问题是发样子组合数学中图论知识的所谓“边 染色”（或称“线段染色”），主要借助抽屉原则求解. （2）点染色.先看离散的有限个点的情况. 例题讲解 1．把正方形ABCD的一边AB分成n段，使奇数号的线段长度之和等于偶数号的线段长度之和（如图01—01）。过各分点作平行于AD的线段，得到n个矩形。每一个矩形又被对角线BD 分成两部分。将奇数号矩形左部及偶数号矩形的右部涂上同一颜色。证明：在对角线BD两侧的有同色的部分，其面积和相等。 2．在一张无限方格纸的某些方格上涂上红色，其余方格涂上蓝色，每一个2×3 的六方格矩形内恰好2个红方格。试问：一个9×11的99方格矩形内包含多少个红方格？ 3．在n×n（n≥2）个方格的正方形表中，有n－1个格子里涂了色，求证：通过交换 两行或两列的位置，总可以将所有涂色的方格移到正方形表的左上角顶点到右下角顶点的对角线下方。 4．有n×n（n≥3）个方格表中，先在表中任意选出n－1个方格都涂成黑色，然后将那些凡是至少与两个已涂色的方格相邻的方格也都涂黑色。求证：不论怎样选择最初的n－1个方格，都不能按这样的法则，将表中的所有方格全涂黑。 5．设ABC为正三角形，E为线段BC，CA，AB上点的集合（包括A，B，C在内）。将E分成两个子集，求证：总有一个子集中含有一个直角三角形的顶点。 6．设a1，a2，a3……是一个不减的正整数序列，定义b m是使a n≥m的n的最小值，若a19=85，试求a1+a2+…+a19+b1+b2+…+b85的值。 7．有1987块玻璃片，每块上涂有红、黄、蓝三色之一，进行下列操作：将不同颜色的两块玻璃片擦净，然后涂上第三种颜色。 （1）求证：无论开始时红、黄、蓝色玻璃片各有多少块，总可以经过有限次操作而使所有的玻璃片涂有同一种颜色； （2）求证：玻璃片最后变成哪种颜色，与操作顺序无关。 8．把集合M={1，2，…，1987}的元素用4种颜色涂色，求证：至少存在一种涂色方法，使得M中任何等差数列的10项，不是同一颜色。 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形 式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++= ， k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n π π2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1 1 21,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=， 高中数学竞赛专题之数列 一、数列的性质 等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的主要性质及容对照讨论如下： 性质1：若K K ,,,,21n a a a 是等差（等比）数列，那么K K ,,,,kj i j i i a a a ++仍是等差（等比）数列。 性质2：若}{n a 为等差数列，且 ∑∑===k l l k l l j i 11 ，那么 ∑∑===k l j k l i l l a a 1 1 （脚标和相同则对应的 项的和相同）；若}{n a 为等比数列，且∑∑===k l l k l l j i 1 1 ，那么l l j k l i k l a a 1 1 ===ππ（脚标和相同则对 应的项的积相同）。 性质3：若}{n a 为等差数列，记K K ,,,,1 )1(1 2 1 1∑∑∑=-+=+==== k i k m i m k i k i k i i a S a S a S ，那么 }{m S 仍为等差数列，}{n a 为等比数列，记K K ,,,,)1(1 1 21 1k m i k l m k i k l i k l a P a P a P -+=+=====πππ， 那么}{m P 仍为等比数列。 性质4：若}{n a 为等比数列，公比为q ，且|q|〈1，则q a S n n -= ∞ →1lim 1 。 例1、若}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若 1 32+=n n T S n n ， 则=∞→n n n b a lim （ ）A.1 B. 36 C. 32 D.94 例2、等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（ ） A.130 B. 170 C. 210 D.260 例3、}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若 3 3131 3++=n n T S n n （1）求2828a b 的值， （2）求使n n a b 为整数的所有正整数n 。 第十三章 排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。2 乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0 n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1 1--+=n n m n m n C C C ；（3） k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6） k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。 高中数学竞赛讲义（十五） ──复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用e iθ表示cosθ+isin θ，则z=re iθ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）； （3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8） |z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)， 则z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θθ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2e i(θ1+θ1- 2), 5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=r n(cosnθ+isinnθ). 6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则 ，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Z nq+r=Z r；（2）对任意整数m，当n≥2时，有=特别1+Z1+Z2+…+Z n-1=0；（3）x n-1+x n-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Z n-1)=(x-Z1)(x-)…(x-).高中数学竞赛_函数【讲义】
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