重庆中考数学题专题

重庆中考数学题专题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-

重庆中考几何

一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质

1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．

（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；

（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．

（1）证明：∵HE=HG，

∴∠HEG=∠HGE，

∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，

∴∠BEH=∠FGC，

∵G是HC的中点，

∴HG=GC，

∴HE=GC，

∵∠HBE=∠CFG=90°．

∴△EBH≌△GFC；

（2）解：过点H作HI⊥EG于I，

∵G为CH的中点，

∴HG=GC，

∵EF⊥DC，

HI⊥EF，

∴∠HIG=∠GFC=90°，

∠FGC=∠HGI，

∴△GIH≌△GFC，

∵△EBH≌△EIH（AAS），

∴FC=HI=BH=1，

∴AD=4-1=3．

2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE．

（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；

（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．

证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，

∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，

在△DAC和△BAE中，

AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，

∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴DC=BE；

（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，

由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，

∴∠DGF=∠FAE=90°，

又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°，

又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，

∴∠DBG=∠ABC=60°， 在△DGB 和△ACB 中，

∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ， ∴△DGB ≌△ACB （AAS ）， ∴DG=AC ，

又∵△AEC 为等边三角形，∴AE=AC ， ∴DG=AE ，

在△DGF 和△EAF 中，

∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ， ∴△DGF ≌△EAF （AAS ）， ∴DF=EF ，即F 为DE 中点．

3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB=BC ，AD 与BC 延长线交于点F ，G 是DC 延长线上一点，AG ⊥BC 于E ． （1）求证：CF=CG ；

（2）连接DE ，若BE=4CE ，CD=2，求DE 的长． 解答：（1）证明：连接AC ， ∵DC ∥AB ，AB=BC ，

∴∠1=∠CAB ，∠CAB=∠2， ∴∠1=∠2；

∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC ， ∴△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ；

∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4， ∴△FDC ≌△GEC ， ∴CF=CG ．

（2）解：由（1）知，CE=CD=2， ∴BE=4CE=8，

∴AB=BC=CE+BE=10，

∴在Rt △ABE 中，AE= AB 2-BE 2 =6， ∴在Rt △ACE 中，AC= AE 2+CE 2 =102 由（1）知，△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ，AD=AE ，

∴C 、A 分别是DE 垂直平分线上的点， ∴DE ⊥AC ，DE=2EH ；（8分）

在Rt △AEC 中，S △AEC =21 AECE=21

ACEH ，

∴EH=

AC CE

AE ? =10

226? =5103

∴DE=2EH=2×

5103=5

10

6

4、如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点，点Q 是AB 上一点，连接CQ ，DP ⊥CQ 于点E ，交BC 于点P ，连接OP ，OQ ； 求证：

（1）△BCQ ≌△CDP ； （2）OP=OQ ．

证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD ， ∴∠2+∠3=90°， 又∵DP ⊥CQ ， ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3，

在△BCQ 和△CDP 中，

∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ． ∴△BCQ ≌△CDP ． （2）连接OB ． 由（1）：△BCQ ≌△CDP 可知：BQ=PC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC ， 而点O 是AC 中点，

∴BO=21AC=CO ，∠4=2

1

∠ABC=45°=∠PCO ，

在△BCQ 和△CDP 中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO ∴△BOQ ≌△COP ， ∴OQ=OP ．

5、在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD 到E,使DE=AD,延长DC 到F ，使DC=CF,连接BE 、BF 和EF. ⑴求证：△ABE ≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan ∠EBC 的值. 解：（1）证明：连结CE ， 在△BAE 与△FCB 中，

∵ BA=FC ，∠A=∠BCF ，， AE=BC ， ∴△BAE ≌△FCB ；

（2）延长BC 交EF 于点G ，作AH ⊥BG 于H ，作AM ⊥BG ，

∵△BAE ≌△FCB ，∴∠AEB=∠FBG ，BE=BF ，∴△BEF 为等腰三角形，又∵AE ∥BC ， ∴∠AEB=∠EBG ，∴∠EBG=∠FBG ，∴BG ⊥EF ，∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°， ∴四边形AMGE 为矩形，∴AM=EG ， 在Rt △ABM 中，AM=ABsin60°=6×

2

3

=33 ，∴EG=AM=33， A

B

D

E

C

F

BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，∴tan ∠EBC=

5

3

1533==BG EG 6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 的中点，EF ∥AB 交BC 于点F

（1）求证：BF=AD+CF ；

（2）当AD=1，BC=7，且BE 平分∠ABC 时，求EF 的长．

（1）证明： 如图（1），延长AD 交FE 的延长线于N ∵∠NDE=∠FCE=90° ∠DEN=∠FEC DE=EC ∴△NDE ≌△FCE ∴DN=CF ∵AB ∥FN ， AN ∥BF ∴四边形ABFN 是平行四边形 ∴BF=AD+DN=AD+FC

（2）解：∵AB ∥EF ，∴∠ABN=∠EFC ，即∠1+∠2=∠3，又∵∠2+∠BEF=∠3，∴∠1=∠BEF ，∴BF=EF ， ∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，∴EF=BF ，又∵ BC+AD=7+1∴ BF+CF+AD=8 而由（1）知CF+AD=BF ∴ BF+BF=8 ∴2BF=8， ∴BF=4，∴BF=EF=4

7、已知：AC 是矩形ABCD 的对角线，延长CB 至E ，使CE=CA ，F 是AE 的中点，连接DF 、CF 分别交AB 于G 、H 点（1）求证：FG=FH ；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD 的面积．

（1）证明：连接BF ∵ABCD 为矩形

∴AB ⊥BC AB ⊥AD AD=BC ∴△ABE 为直角三角形 ∵F 是AE 的中点 ∴AF=BF=BE ∴∠FAB=∠FBA ∴∠DAF=∠CBF

∵ AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF , ∴△DAF ≌△CBF ∴∠ADF=∠BCF ∴∠FDC=∠FCD ∴∠FGH=∠FHG ∴FG=FH ；

（2）解：∵AC=CE ∠E=60°

∴△ACE 为等边三角形 ∴CE=AE=8 ∵AB ⊥BC

∴BC=BE=CE 21

=4

∴根据勾股定理AB=34

∴梯形AECD 的面积=

21×(AD+CE)×CD=2

1

×(4+8)×34=324 8、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，且CD=2AD ，tan ∠ABC=2，过点D 作DE ∥AB ，交∠BCD 的平分线于点E ，连接BE ． （1）求证：BC=CD ；

（2）将△BCE 绕点C ，顺时针旋转90°得到△DCG ，连接EG ．求证：CD 垂直平分EG ；

（3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点． 证明：（1）延长DE 交BC 于F ， ∵AD ∥BC ，AB ∥DF ，

∴AD=BF ，∠ABC=∠DFC ． 在Rt △DCF 中，

∵tan ∠DFC=tan ∠ABC=2， ∴CF

CD =2， 即CD=2CF ， ∵CD=2AD=2BF ， ∴BF=CF ，

∴BC=BF+CF=21CD+2

1

CD=CD ．

即BC=CD ．

（2）∵CE 平分∠BCD ， ∴∠BCE=∠DCE ， 由（1）知BC=CD ， ∵CE=CE ，

∴△BCE ≌△DCE ， ∴BE=DE ，

由图形旋转的性质知CE=CG ，BE=DG ， ∴DE=DG ，

∴C ，D 都在EG 的垂直平分线上， ∴CD 垂直平分EG ． （3）连接BD ， 由（2）知BE=DE ， ∴∠1=∠2． ∵AB ∥DE ，

∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．

∵AD ∥BC ，∴∠4=∠DBC ．由（1）知BC=CD ，∴∠DBC=∠BDC ，∴∠4=∠BDP ． 又∵BD=BD ，∴△BAD ≌△BPD(ASA)∴DP=AD ．

∵AD=21CD ，∴DP=2

1

CD ．∴P 是CD 的中点．

9．(2011南岸二诊)如图，已知点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作

EF ⊥DP ，交AB 于点E ，交CD 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接DF ．

（1）若23=DF ，求DP 的长； （2）求证：CF AE =.

10．如图，正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），

M 是线段AE 的中点，DM 的延长线交CE 于．

（1）线段AD 与NE 相等吗？请说明理由；

（2）探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．

11、如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=10cm ，AC 交BD 于G ，且∠AGD=60°，E 、F 分别为CG 、AB 的中点．

（1）求证：△AGD 为正三角形； （2）求EF 的长度．

解答：（1）证明：连接BE ，

∵梯形ABCD 中，AB=DC ，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC， 又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD 为等边三角形，

（2）解：∵BE 为△BCG 的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE 中，EF 为斜边AB 上的中线， ∴EF=AB=5cm ．

12、如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，DE=EC ，EF∥AB 交BC 于点F ，EF=EC ，连接DF ． （1）试说明梯形ABCD 是等腰梯形；

（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF 的形状；

（3）在条件（2）下，射线BC 上是否存在一点P ，使△PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB 的长；若不存在，请说明理由．

解答：解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC， ∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD 是等腰梯形； （2）△DCF 是等腰直角三角形， 证明：∵DE=EC，EF=EC ，∴EF=CD ，

∴△CDF 是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD 是等腰梯形，∴CF=（BC ﹣AD ）=1，∵DC=，

∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF 是等腰直角三角形； （3）共四种情况：

∵DF⊥BC，∴当PF=CF 时，△PCD 是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1； 当P 与F 重合时，△PCD 是等腰三角形，∴PB=2；

当PC=CD=（P 在点C 的左侧）时，△PCD 是等腰三角形，∴PB=3﹣； 当PC=CD=（P 在点C 的右侧）时，△PCD 是等腰三角形，∴PB=3+． 故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）

13．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，且DE ⊥AD 于D ，∠EBC=∠CDE ,∠ECB=45°．

G 24题图

P F

E D

C

B A

⑴求证：AB=BE ；

⑵延长BE ，交CD 于F ．若CE=2，tan∠CDE =3

1

，求BF 的长．

13．⑴证明：延长DE ，交BC 于G ．

∵DE ⊥AD 于D ，∴∠ADE =90°

又AD ∥BC ， ∴∠DGC =∠BGE =∠ADE =90°， 而∠ECB =45°, ∴△EGC 是等腰直角三角形， ∴EG=CG

在△BEG 和△DCG 中， ∴△BEG ≌△DCG (AAS ) ∴BE=CD=AB ⑵连结BD ．

∵∠EBC=∠CDE ∴∠EBC +∠BCD

=∠CDE +∠BCD =90°，即∠BFC =90°

∵CE=2，∴EG=CG=1又tan∠CDE =3

1

，

∴

1

3

CG DG =，∴DG =3 ∵△BEG ≌△DCG ，∴BG=DG=3∴2210BE BG EG =+= ∴CD=BE=10 法一：∵1122

BCD

S

BC DG CD BF =

=，11

431022BF ??=?∴6105BF = 法二：经探索得，△BEG ∽△BFC ，∴

BE BC

BG BF

=，∴104BF = ∴610BF = 14．如图，直角梯形ABCD 中，,90,45,AD BC ADC ABC AB ∠=∠=∥的垂直平分线

EG 交BC 于F ，交DC 的延长线于.G 求证：(1)CG CF =；(2).BC DG = 证明：(1) ,AB EF ⊥ 45B ∠=

(2)连接AF ， EF 是AB 的中垂线,AF BF FE AB ∴=⊥ 45=∠=∠∴BFE AFE 由(1)知CG CF = ,CG DC CF BF +=+∴即：DG BC = 二、有关“截长补短”题型

1、在ABCD 中，对角线,BD BC G BD ⊥为延长线上一点且ABG ?为等边三角形，

BAD ∠、CBD ∠的平分线相交于点E ，连接AE BD F 交于，连接GE 。 （1）若ABCD 的面积为93，求AG 的长； （2）求证：AE BE GE =+。

A

B

C D

E

F

G

2.如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AF 平分∠DAE (1)若正方形ABCD 的边长为4,BE=3,求EF 的长？ (2)求证：AE=EC+CD ．

2：解：

（1）5212222=+=+=CF CE EF …………4分 （2）证明：过F 作FH ⊥AE 于H

∵AF 平分∠DAE ，∠D=90°，FH ⊥AE ， ∴∠DAF=∠EAF ，FH=FD ， 在△AHF 与△ADF 中，

∵AF 为公共边，∠DAF=∠EAF ，FH=FD

∴△AHF ≌△ADF （HL ）．

∴AH=AD ，HF=DF ． 又∵DF=FC=FH ，FE 为公共边， ∴△FHE ≌△FCE ． ∴HE=CE ．

∵AE=AH+HE ，AH=AD=CD ，HE=CE ，

3．如图，直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°． （1）若AB=6cm ，

，求梯形ABCD 的面积；

（2）若E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上一点，且满足EF=GH ，

∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF ．

分析：（1）连AC ，过C 作CM⊥AD 于M ，在Rt△ABC 中，利用三角函数求出BC ，在Rt△CDM 中，∠D=45°，利用等腰直角三角形的性质得到DM=CM=AB=6，则AD=6+8=14，然后根据梯形的面积公式计算即可；

（2）过G 作GN⊥AD，则DN=GN ，由AD∥BC，得∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，得到∠BFE=∠GHN，易证Rt△BEF≌Rt△NGH，则BE=GN ，BF=HN ，经过代换即可得到结论． 解答：解：（1）连AC ，过C 作CM⊥AD 于M ，如图， 在Rt△ABC 中，AB=6，sin∠ACB==，

∴AC=10， ∴BC=8，

在Rt△CDM 中，∠D=45°， ∴DM=CM=AB=6， ∴AD=6+8=14，

∴梯形ABCD 的面积=（8+14）6=66（cm 2

）； （2）证明：过G 作GN⊥AD，如图， ∵∠D=45°，

∴△DNG 为等腰直角三角形， ∴DN=GN， 又∵AD∥BC，

A B

D F

E

∴∠BFH=∠FHN， 而∠EFH=∠FHG， ∴∠BFE=∠GHN， ∵EF=GH，

∴Rt△BEF≌Rt△NGH， ∴BE=GN，BF=HN ，

∴DH=HN+DN=HN+NG=BF+BE．

4、如上图，梯形ABCD 中，AB∥CD，AD=DC=BC ，∠DAB=60°，E 是对角线AC 延长线上一点，F 是AD 延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF． （1）当CE=1时，求△BCE 的面积； （2）求证：BD=EF+CE ．

考点：梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理。 专题：计算题。

分析：（1）先证明∠BCE=90°，∠CBE=30°，△BCE 为直角三角形，又CE=1，继而求出BE 的长，再根据三角形的面积公式求解即可；

（2）过E 点作EM⊥DB 于点M ，四边形FDME 是矩形，FE=DM ，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE ，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE ． 解答：（1）解：∵AD=CD， ∴∠DAC=∠DCA， ∵DC∥AB，

∴∠DCA=∠CAB， ∴

，

∵DC∥AB，AD=BC ， ∴∠DAB=∠CBA=60°，

∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°， ∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°， ∵BE⊥AB， ∴∠ABE=90°，

∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°， 在Rt△BCE 中，BE=2CE=2，，

∴

…（5分）

（2）证明：过E 点作EM⊥DB 于点M ， ∴四边形FDME 是矩形， ∴FE=DM，

∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°， ∴△BME≌△ECB， ∴BM=CE，

∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）

5．已知，如图，//,90,AD BC ABC AB BC ∠==，点E 是AB 上的点，45ECD ∠=，

连接ED ，过D 作DF BC ⊥于F .

(1)若75,3BEC FC ∠==，求梯形ABCD 的周长.

4545

DCE ECG DCE ECG DEC EGC ED EG

ED BE FC

∠=∴∠=∴∠=∠∴???∴=∴=+(2)求证：ED BE FC =+； 5．解：①75,90BEC ABC ∠=∠=

在Rt DFC ?中：60,3DCF FC ∠== 由题得，四边形ABFD 是矩形 延长EB 至G ，使BG =CF ，连接CG

6．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ．点E 是线段DO 上一点，连结CE ．点F 是∠OCE 的平分线上一点，且BF ⊥CF 与CO 相交于点M ．点G 是线段CE 上一点，且

CO =CG ．

（1）若OF =4，求FG 的长； （2）求证：BF =OG +CF ． 6．（1）解：∵CF 平分∠OCE ，

∴∠OCF =∠ECF

1

分）

又∵OC =CG ，CF =CF ，

∴△OCF ≌△GCF ．…………………………………………………（3分）

∴FG =OF =4，

即FG

的长为4．……………………………（4分） （2）证明：在BF 上截取BH =CF ，连结OH ．…………………………………（5分）

∵正方形ABCD 已知，

∴AC ⊥BD ，∠DBC =45°，

∴∠BOC =90°，

∴∠OCB =180°—∠BOC —∠DBC =45°． ∴∠OCB =∠DBC ．

∴OB =OC ．…………………………………………（6分） ∵BF ⊥CF ， ∴∠BFC =90°．

∵∠OBH =180°—∠BOC —∠OMB =90°—∠OMB ，

A B D

24题图

A B

D 24题答图

H

E

D A ∠OCF =180°—∠BFC —∠FMC =90°—∠FMC ， 且∠OMB =∠FMC ，

∴∠OBH =∠OCF ．………………（7分）

∴△OBH ≌△OCF ．

∴OH =OF ，∠BOH =∠COF ．………………（8分） ∵∠BOH +∠HOM =∠BOC =90°，

∴∠COF +∠HOM =90°，即∠HOF =90°． ∴∠OHF =∠OFH =2

1（180°—∠HOF ）=45°．

∴∠OFC =∠OFH +∠BFC =135°． ∵△OCF ≌△GCF ， ∴∠GFC =∠OFC =135°，

∴∠OFG =360°—∠GFC —∠OFC =90°． ∴∠FGO =∠FOG =2

1（180°—∠OFG ）=45°．

∴∠GOF =∠OFH ，∠HOF =∠OFG ． ∴OG ∥FH ，OH ∥FG ，

∴四边形OHFG 是平行四边形． ∴OG =FH ．……………………（9分） ∵BF =FH +BH ，

∴BF =OG +CF ．

7、如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 的中点，连接DP ，过点B 作 BE DP ⊥交DP 的延长线于点E ，连接AE ，过点A 作AF AE ⊥交DP 于点F ，连接BF 。

（1）若2AE =，求EF 的长； （2）求证：PF EP EB =+。

8.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠

ABC=90°，DG ⊥BC 于G,BH ⊥DC 于H ，CH=DH ，点

E 在AB 上，点

F 在BC 上，并且EF ∥DC 。 (1)若AD=3，CG=2，求CD;

(2)若CF=AD+BF ，求证：EF=2

1

CD.

8. (1)解：连接BD ………… 1分

∵AD ∥BC, ∠ABC=90°, DG ⊥BC ∴四边形ABGD 是矩形

∴AB=DG BG=AD=3∴BC=3+2=5∵BH ⊥DC ，CH=DH ，∴BD=BC=5 在Rt △ABD 中，AB=43522=-∴DG=4

在Rt △CDG 中,CD=522422=+ ………… 5分

(2)证明：延长FE 、DA 相交于M ………… 6分

∵ EF ∥DC, AD ∥CF ∴四边形CDMF 是平行四边形∴CF=MD ∵ CF=AD+BF, MD=AD+AM ∴ AM=BF ∵ AM ∥BF ∴ ∠M=∠BFE 又∵ ∠AEM=∠BEF

∴ △AEM ≌△BEF ………… 8分∴ ME=EF=

2

1MF ∵ 四边形CDMF 是平行四边形 ∴ MF=CD ∴ EF=

2

1CD 9、正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF=45o 。 请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？ 变形a 解：（简单思路）

解：数量关系为：EF= BF-DE.理由如下： 在BC 上截取BG ，使得BG=DF ，连接AG 。 由四边形ABCD 是正方形得

∠ADE=∠ABG=90o ，AD=AB

又DE=BG ∴?ADE ??ABG （SAS ）

∴∠EAD=∠GAB ， AE=AG ，由四边形ABCD 是正

方形得

∠DAB=90o =∠DAG+∠GAB=∠DAG+∠EAD=∠GAE ∴∠GAF=∠GAE-∠EAF=90o

-45o

=45o

∠GAF=∠EAF=45o 又AG=AE AF=AF

∴?EAF ??GAF （SAS ） ∴ EF=GF=BF-BG=BF-DE

10、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，BG ⊥CD 于点G ．

（1）若点P 在BC 上，过点P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥CD 于F ，求证：PE+PF=BG ． （2）若AD=4，BC=6，AB=2，求BG 的长．

解：（1）作PM ⊥BG 于M ．∵BG ⊥CD ，PF ⊥CD ，PM ⊥BG ，∴四边形PMGF 为矩形，PF=MG ．

∵ABCD 是等腰梯形，∴∠ABC=∠C ．∵PM ⊥BG ，CD ⊥BG ，∴PM ∥CD ．∴∠MPB=∠C=∠EBP ．

又∵∠BEP=∠PMB=90°，BP=PB ，∴△BEP ≌△PMB ，∴PE=BM ．∴PE+PF=BM+MG=BG ； （2）过点D 作DN ∥AB 交BC 于点N ．则ABND 是平行四边形，DN=AB=DC=4．∵BC=6，AD=4，

∴NC=4．∴△DNC 是等边三角形，∠C=60°．∴BG=BCsin60°=6×32=33．

E

F

D C

A B

11、正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，∠EAF=45o 。

请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？

12、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F 分别在AD、AB上，且∠FCE=1/2∠BCD．

（1）求证：BF=EF-ED；

（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．

（1）证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE ，∴EF′=EF=DF′+ED ，∴BF=EF-ED ；

（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，

而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°．13.如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE，连接BE，CE．

（1）求证：BE=BC；

（2）∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：；（3）若正方形的边长为2，当P点为BC的中点时，请直接写出CE的长为

（1）证明：∵BG⊥AP，AG=GE，∴BG垂直平分线段AE，∴AB=BE，在正方形ABCD 中，AB=BC，∴BE=BC；

（2）证明：∵AB=BE，∴∠BAG=∠BEG，∵BG⊥AP，∠ABC=90°，∴∠BAG=∠PBG=∠BEG，∵BN为∠CBE的平分线，∴∠EBN=∠CBN，∴∠PBG+∠CBN=∠EBN+∠BEG，即∠BNG=∠NGB=45°，∴△BNG是等腰直角三角形，BN= GN，

连接CN、AC，则∠CNE=2（∠EBN+∠BEG）=90°，又∠ADC=90°，∴A、D、C、N四点共圆，∴∠CND=∠CAD=45°，∴∠AND=45°，过D作DM⊥AE于点M，则△DNM为等腰直角三角形，∴DN= DM，∵∠DAM+∠ADM=90°，∠DAM+∠BAG=90°，∴∠ADM=∠BAG，在△ABG和△DAM中，

，∴△ABG≌△DAM（AAS），∴AG=DM，

∴BN+DN= GN+ AG= （GN+AG）= AN；

（3）根据勾股定理，AP= = = ，∴BG= = ，

∵BP=PC，∠BGP=∠CNP=90°，∴△BPG≌△CNP（AAS），∴CN=BG，∴CE= CN= × =

14、正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分∠DAC。

求证：AC/2=AD-EO

O E

B

A

C

F

E

D

C

A

B

（2）解：（简单思路）

过E 作EG ⊥AD 于G ∵四边形ABCD 是正方

形

∠ADC=90o ，BD 平分∠ADC ，AC ⊥BD ∴∠ADB=∠ADC/2=45o

∵AE 平分∠DAC ，EO ⊥AC ，EG ⊥AD ∴

∠EAO=∠EAG ， ∠DGE=∠AOE=∠AGE=90o 又AE=AE ，∴?AEO ??AEG

（AAS ）∴AG=AO ，EO=EG

又∠ADB=45o ，∠DGE=90o ∴?DGE 为等腰直角三角形

DG=EG=EO AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2

15．如图，正方形ABCD 中，点M 是边BC 上一点（异于点B 、C ），AM 的垂直平分线分别交AB 、CD 、BD 于E 、F 、K ，连AK 、MK ．

（1）若M 是BC 的中点，且BC =4，求EF 的长；（2）求证：AE =DF +BM ．

16、正方形ABCD 中，M 在CD 上，N 在DA 延长线上，CM=AN ，点E 在BD 上，NE 平分∠DNM 。

请问MN 、AD 、EF 有什么数量关系？ （2）加强版解：（简单思路） MN/2=AD-EF

过E 作EG ⊥AD 于G ，作EQ ⊥AB 于Q ， 过B 做BP ⊥MN 于P 按照（2）的解法，可求证，

?GNE ??FNE （AAS ） ?DGE 为等腰直角三角形 AG=AD-DG=AD-EF ， ∵四边形ABCD 为正方形， ∠ABC=∠GAQ=∠BCM=90o BD 平分∠ABC ，BC=BA

∠ABD=∠ABC/2=45o ，又∠EQB=90o ?EQB 为等腰Rt 三角形，∠BEQ=45o ∵∠GAQ=∠EGA=∠EQA=90o ∴四边形AGEQ 为矩形， EQ=AG=AD-EF ，

EQ ∠∠∠∠∠∠∠∠o ???∠∠∠o ∠∠∠∠∠?⊥?∠

o

∠∠∠∠∠∠∠∠∠

∠

o

∠∠∠∠

o

∠∠???∠o ∠o 3?⊥面如（1）所证，

?ADG ??ABF ，?EAG ??EAF ∠GAD=∠FAB=30o ，S ?EAG=S ?EAF 在Rt ?ADG 中，∠GAD=30o ，AD=3 ∠AGD=60o ，AG=2

3x，设EH=x 在Rt?EGH中和Rt?EHA中∠AGD=60o，∠HAE=45o HG=

3

AH=x

3x+x,EH=x=3-3 S?EAF=S?EAG=EH?AG÷2=3-3.

AG=2=HG+AH=

3