中考数学培优专题复习圆与相似练习题含答案
中考数学培优专题复习圆与相似练习题含答案
一、相似
1．如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D的直线于F，且∠BDF=∠CDB，BD与CG交于点N．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连结MN，猜想MN与AB的位置有关系，并给出证明．
【答案】（1）证明：∵直径AB经过弦CD的中点E，
， = ,
即
是的切线
（2）解：猜想：MN∥AB．
证明：连结CB．
∵直径AB经过弦CD的中点E，
∴ = , = ,
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∵
∴
∴
∴MN∥AB．
【解析】【分析】（1）要证DF是⊙O的切线，由切线的判定知，只须证∠ODF=即可。由垂径定理可得AB⊥CD，则∠BOD+∠ODE=，而∠ODF=∠CDF+∠ODE，由已知易得∠BOD=∠CDF，则结论可得证；
（2）猜想：MN∥AB．理由：连结CB，由已知易证△CBN∽△AOM，可得比例式
，于是由已知条件可转化为，∠ODB是公共角，所以可得△MDN∽△ODB，则∠DMN=∠DOB，根据平行线的判定可得MN∥AB。
2．如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是BC上一个动点，连接AD，以AD为边向右侧作等腰直角△ADE，其中∠ADE=90°．
（1）如图2，G，H分别是边AB，BC的中点，连接DG，AH，EH．求证：△AGD∽△AHE；
（2）如图3，连接BE，直接写出当BD为何值时，△ABE是等腰三角形；
（3）在点D从点B向点C运动过程中，求△ABE周长的最小值．
【答案】（1）证明：如图2，由题意知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠B=∠DAE=45°．
∵H为BC中点，
∴AH⊥BC．
∴∠BAH=45°=∠DAE．
∴∠GAD=∠HAE．
在等腰直角△BAH和等腰直角△DAE中，
AH＝ AB＝ AG，AE＝ AD．
∴，
∴△AGD∽△AHE；
（2）解：分三种情况：①当B与D重合时，即BD=0，如图3，此时AB=BE；
②当AB=AE时，如图4，此时E与C重合，
∴D是BC的中点，
∴BD= BC=2 ；
③当AB=BE时，如图5，过E作EH⊥AB于H，交BC于M，连接AM，过E作EG⊥BC于G，连接DH，
∵AE=BE，EH⊥AB，
∴AH=BH，
∴AM=BM，
∵∠ABC=45°，
∴AM⊥BC，△BMH是等腰直角三角形，
∵AD=DE，∠ADE=90°，
易得△ADM≌△DEG，
∴DM=EG，
∵∠EMG=∠BMH=45°，
∴△EMG是等腰直角三角形，
∴ME= MG，
由（1）得：△AHD∽△AME，且，
∴∠AHD=∠AME=135°，ME= DH，
∴∠BHD=45°，MG=DH，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴BD=DH=EG=DM= ；
综上所述，当BD=0或或2 时，△ABE是等腰三角形；
（3）解：当点D与点B重合时，点E的位置记为点M，连接CM，如图6，
此时，∠ABM=∠BAC=90°，∠AMB=∠BAM=45°，BM=AB=AC．
∴四边形ABMC是正方形．
∴∠BMC=90°，
∴∠AMC=∠BMC-∠AMB=45°，
∵∠BAM=∠DAE=45°，
∴∠BAD=∠MAE，
在等腰直角△BAM和等腰直角△DAE中，
AM＝ AB，AE＝ AD．
∴．
∴△ABD∽△AME．
∴∠AME=∠ABD=45°
∴点E在射线MC上，
作点B关于直线MC的对称点N，连接AN交MC于点E′，
∵BE+AE=NE+AE≥AN=NE′+AE′=BE′+AE′，
∴△ABE′就是所求周长最小的△ABE．
在Rt△ABN中，
∵AB=4，BN=2BM=2AB=8，
∴AN＝．
∴△ABE周长最小值为AB+AN＝4+4 ．
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠DAE=∠BAH=45°，所以
∠GAD=∠HAE，计算可得比例式：，根据有两对边对应相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似可得△AGD∽△AHE；
（2）根据等腰三角形的定义可知分3种情况讨论：①当B与D重合时，即BD=0，此时AB=BE；
②当AB=AE时，此时E与C重合，用勾股定理可求得BD的值；
③当AB=BE时，过E作EH⊥AB于H，交BC于M，连接AM，过E作EG⊥BC于G，连接DH，由已知条件和（1）的结论可求解；
（3）当点D与点B重合时，点E的位置记为点M，连接CM，作点B关于直线MC的对称点N，连接AN交MC于点E′，由已知条件易证四边形ABMC是正方形，由已知条件通过计
算易得比例式：,根据有两对边对应相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似可得△ABD∽△AME,则∠AME=∠ABD=45°，于是可得点E在射线MC上，根据轴对称的性质可得△ABE′就是所求周长最小的△ABE，在Rt△ABN中，用勾股定理即可求得AN的值，则△ABE周长最小值=AB+AN即可求解。
3．已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO
的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．
（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；
（2）请利用如图1所示的情形，求证： = ；
（3）若AO=2 ，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．
【答案】（1）解：∵2BM=AO，2CO=AO，
∴BM=CO，
∵AO∥BM，
∴四边形OCBM是平行四边形，
∵∠BMO=90°，
∴?OCBM是矩形，
∵∠ABP=90°，C是AO的中点，
∴OC=BC，
∴矩形OCBM是正方形
（2）解：连接AP、OB，
∵∠ABP=∠AOP=90°，
∴A、B、O、P四点共圆，
由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB，
∵AO∥BM，
∴∠AOB=∠OBM，
∴∠APB=∠OBM，
∴△APB∽△OBM，
∴
（3）解：当点P在O的左侧时，如图所示，
过点B作BD⊥AO于点D，
易证△PEO∽△BED，
∴，
易证：四边形DBMO是矩形，
∴BD=MO，OD=BM，
∴MO=2PO=BD，
∴，
∵AO=2BM=2 ，
∴BM= ，
∴OE= ，DE= ，
易证△ADB∽△ABE，
∴AB2=AD?AE，
∵AD=DO=DM= ，
∴AE=AD+DE=
∴AB= ，
由勾股定理可知：BE= ，
易证：△PEO∽△PBM，
∴，
∴PB= ；
当点P在O的右侧时，如图所示，
过点B作BD⊥OA于点D，
∵MO=2PO，
∴点P是OM的中点，
设PM=x，BD=2x，
∵∠AOM=∠ABP=90°，
∴A、O、P、B四点共圆，
∴四边形AOPB是圆内接四边形，
∴∠BPM=∠A，
∴△ABD∽△PBM，
∴，
又易证四边形ODBM是矩形，AO=2BM，
∴AD=BM= ，
∴，
解得：x= ，
∴BD=2x=2
由勾股定理可知：AB=3 ，BM=3
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形OCBM 是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出?OCBM是矩形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OC=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形得出结论；
（2）连接AP、OB，根据∠ABP=∠AOP=90°，判断出A、B、O、P四点共圆，由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB，根据二直线平行内错角相等得出∠AOB=∠OBM，根据等量代换得
出∠APB=∠OBM，从而判断出△APB∽△OBM，根据相似三角形对应边成比例得出;（3）当点P在O的左侧时，如图所示，过点B作BD⊥AO于点D，易证△PEO∽△BED，
根据相似三角形对应边成比例得出,易证：四边形DBMO是矩形，根据矩形的性质得出BD=MO，OD=BM，故MO=2PO=BD，进而得出BM,OE,DE的长，易证△ADB∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出AB2=AD?AE，从而得出AE,AB的长，由勾股定理可得BF 的长，易证：△PEO∽△PBM，根据相似三角形对应边成比例得出BE ∶PB=OM ∶PM=2 ∶3 ，根据比例式得出PB的长；当点P在O的右侧时，如图所示，过点B作BD⊥OA于点D，设PM=x，BD=2x，由∠AOM=∠ABP=90°，得出四边形AOPB是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质得出∠BPM=∠A，从而判断出△ABD∽△PBM，根据相似三角形对应边成比例得出 AD ∶BD=PM ∶BM，根据比例式得出x的值，进而得出BD，AB，BP的长。
4．
（1）【发现】如图①，已知等边，将直角三角形的角顶点任意放在边上（点不与点、重合），使两边分别交线段、于点、
.
①若，，，则 ________；
②求证： .________
（2）【思考】若将图①中的三角板的顶点在边上移动，保持三角板与、的两个交点、都存在，连接，如图②所示.问点是否存在某一位置，使平分
且平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
（3）【探索】如图③，在等腰中，，点为边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点处（其中），使两条边分别交边、于点、（点、均不与的顶点重合），连接 .设，则与的周长
之比为________（用含的表达式表示）.
【答案】（1）解：4；证明：∵∠EDF=60°，∠B=160°∴∠CDF+∠BDE=120°，∠BED+∠BDE=120°，
∴∠BED=∠CDF，
又∵∠B=∠C，
∴
（2）解：解：存在。如图，作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别为M，G，N，
∵平分且平分，
∴DM=DG=DN，
又∵∠B=∠C=60°，∠BMD=∠CND=90°，
∴△BDM?△CDN，
∴BD=CD，
即点D是BC的中点，
∴。
（3）1-cosα
【解析】【解答】（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°，∵AE=4，∴BE=2，则BE=BD，∴△BDE是等边三角形，∴∠BDE=60°，又∵∠EDF=60°，∴∠CDF=180°-∠EDF-∠B=60°，则∠CDF =∠C=60°，
∴△CDF是等边三角形，∴CF=CD=BC-BD=6-2=4。
（ 3 ）连结AO，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，垂足分别为G，D，H，
则∠BGO=∠CHO=90°，
∵AB=AC，O是BC的中点
∴∠B=∠C，OB=OC，
∴△OBG?△OCH，
∴OG=OH，GB=CH，∠BOG=∠COH=90°?α，
则∠GOH=180°-（∠BOG+∠COH）=2α，
∵∠EOF=∠B=α，
则∠GOH=2∠EOF=2α，
由（2）题可猜想应用EF=ED+DF=EG+FH（可通过半角旋转证明），
则 =AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG，
设AB=m，则OB=mcosα，GB=mcos2α,
【分析】（1）①先求出BE的长度后发现BE=BD的，又∠B=60°，可知△BDE是等边三角形，可得∠BDE=60°，另外∠EDF=60°，可证得△CDF是等边三角形，从而CF=CD=BC-BD；
②证明，这个模型可称为“一线三等角·相似模型”，根据“AA”判定相似；（2）【思考】由平分线可联系到角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，则DM=DG=DN，从而通过证明△BDM?△CDN可得BD=CD；（3）【探索】由已知不难求得
=2(m+mcos)，则需要用m和α的三角函数表示出， =AE+EF+AF；题中直接已知O是BC的中点，应用（2）题的方法和结论，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，可得EG=ED，FH=DF，则 =AE+EF+AF= AG+AH=2AG，而AG=AB-OB，从而可求得。
5．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；
②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值。
【答案】（1）
（2）①证明：在AD上取一点F使DF=DC，连接EF，
∵DE平分∠ADC，
∴∠FDE=∠CDE，
在△FED和△CDE中，
DF=DC，∠FDE=∠CDE，DE=DE
∴△FED≌△CDE（SAS），
∴∠DFE=∠DCE=90°，∠AFE=180°-∠DFE=90°
∴∠DEF=∠DEC，
∵AD=AB+CD，DF=DC，
∴AF=AB，
在Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）
∴∠AEB=∠AEF，
∴∠AED=∠AEF+∠DEF= ∠CEF+ ∠BEF= （∠CEF+∠BEF）=90°。∴AE⊥DE
②解：过点D作DP⊥AB于点P，
∵由①可知，B，F关于AE对称，BM=FM，
∴BM+MN=FM+MN，
当F，M，N三点共线且FN⊥AB时，有最小值，
∵DP⊥AB，AD=AB+CD=6，
∴∠DPB=∠ABC=∠C=90°，
∴四边形DPBC是矩形，
∴BP=DC=2，AP=AB-BP=2，
在Rt△APD中，DP= = ，
∵FN⊥AB，由①可知AF=AB=4，
∴FN∥DP，
∴△AFN∽△ADP
∴，
即，
解得FN= ，
∴BM+MN的最小值为
【解析】【分析】（1）根据角平分的做法即可画出图.（2）①在AD上取一点F使DF=DC，连接EF；角平分线定义得∠FDE=∠CDE；根据全等三角形判定SAS得△FED≌△CDE，再由全等三角形性质和补角定义得∠DFE=∠DCE=∠AFE=90°，
∠DEF=∠DEC；再由直角三角形全等的判定HL得Rt△AFE≌Rt△ABE，由全等三角形性质得∠AEB=∠AEF，再由补角定义可得AE⊥DE.
②过点D作DP⊥AB于点P；由①可知，B，F关于AE对称，根据对称性质知BM=FM，当F，M，N三点共线且FN⊥AB时，有最小值，即BM+MN=FM+MN=FN；在Rt△APD中，根据勾股定理得DP= = ；由相似三角形判定得△AFN∽△ADP，再由相似三
角形性质得，从而求得FN，即BM+MN的最小值.
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是边AB上的一动点，连结DP.
（1）若将△DAP沿DP折叠，点A落在矩形的对角线上点A′处，试求AP的长；
（2）点P运动到某一时刻，过点P作直线PE交BC于点E，将△DAP与△PBE分别沿DP 与PE折叠，点A与点B分别落在点A′，B′处，若P，A′，B′三点恰好在同一直线上，且A′B′＝2，试求此时AP的长；
（3）当点P运动到边AB的中点处时，过点P作直线PG交BC于点G，将△DAP与△PBG 分别沿DP与PG折叠，点A与点B重合于点F处，连结CF，请求出CF的长.
【答案】（1）解:①当点A落在对角线BD上时，设AP＝PA′＝x，
在Rt△ADB中，∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝＝5，∵AB＝DA′＝3，∴BA′＝2，
在Rt△BPA′中，（4﹣x）2＝x2+22，解得x＝，
∴AP＝ .
②当点A落在对角线AC上时，
由翻折性质可知：PD⊥AC，则有△DAP∽△ABC，
∴＝，∴AP＝＝＝ .
∴AP的长为或
（2）解:①如图3中，设AP＝x，则PB＝4﹣x，
根据折叠的性质可知：PA＝PA′＝x，PB＝PB′＝4﹣x，
∵A′B′＝2，∴4﹣x﹣x＝2，∴x＝1，∴PA＝1；
②如图4中，
设AP＝x，则PB＝4﹣x，
根据折叠的性质可知：PA＝PA′＝x，PB＝PB′＝4﹣x，
∵A′B′＝2，∴x﹣（4﹣x）＝2，
∴x＝3，∴PA＝3；
综上所述，PA的长为1或3
（3）解:如图5中，作FH⊥CD由H.
由翻折的性质可知；AD＝DF＝3.BG＝BF，G、F、D共线，
设BG＝FG＝x，在Rt△GCD中，（x+3）2＝42+（3﹣x）2，
解得x＝，∴DG＝DF+FG＝，CG＝BC﹣BG＝，
∵FH∥CG，∴＝＝，∴＝＝，
∴FH＝，DH＝，∴CH＝4﹣＝，
在Rt△CFH中，CF＝＝
【解析】【分析】（1）分两种情形：①当点A落在对角线BD上时，设AP=PA′=x，构建方程即可解决问题；②当点A落在对角线AC上时，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；（3）如图5中，作FH⊥CD由H.想
办法求出FH、CH即可解决问题
7．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数
的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC 下方的二次函数图象上.
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值；
（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：直线，当时，；当时，，∴， .
∵二次函数的图象经过，两点，
∴解得
∴二次函数的表达式为： .
（2）解：过点作轴于点，交于点，过点作于点，
依题意设，则 .
其中，
∴，
∴
，
，
，
，
，
∵，∴抛物线开口向下．
又∵，
∴当时，有最大值，
（3）解：或
在轴上取点，使，则 .
过点作∥交延长线于点，过点作轴于点，
设点的坐标为，则，
.
在中，，解得 .∴ .
当时，
∴ .
∴ .
易证∽ .
∴ .
∴ , .
∴ .
∵，
∴直线的函数表达式为： .
由，解得：，（舍）.
∴点的横坐标为2.
②当时，方法同①，可确定点的横坐标为
【解析】【分析】（1）先求得点B、C的坐标，再代入求得b、c的值，即可得二次函数的表达式；（2）过点作轴于点，交于点，过点
作于点，设，则 .用含有a的代数式表示出的长，再根据得到S与a的二次函数关系，利用二次函数的性质即可解答；（3）在x轴上取点K，使CK=BK，则∠OKC=2∠ABC，过点B作BQ∥MD交CD延长线于点Q，过点Q作QH⊥x轴于点H，分∠DCM=∠QCB=2∠ABC和∠CDM=∠CQB=2∠ABC两种情况求点D的横坐标即可.
8．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点 .在线段上有一动点（不与重合），过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作于点 .
（1）求直线的函数解析式；
（2）求证：；并求出当为何值时，和的相似比为 .
【答案】（1）解：令：，则，解得：，
（舍）∴
令，得，∴
设直线：，把，分别代入上式得：
解之得：
∴
（2）证明：∵
又∵
∴
∵，，，
∴，，
∵∴
∴，（舍）
【解析】【分析】(1) 设直线：，求出A、B点坐标，代入求出k,b即可.(2)利用两组对应角相等证明三角形相似，结合函数解析式，分别表示出AN、PN的长，再根据相似比列式计算即可.
二、圆的综合
9．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．
（1）OC的长为；
（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=；
（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．
【答案】（1）4；（2）3
5
；（3）点E的坐标为（1，2）、（
5
3
，
10
3
）、（4，2）．
【解析】
分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．
（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则
MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，
②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题．
详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH．
∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4．
∵∠BHA=90°，∠BAO=45°，
∴tan∠BAH=BH
HA
=1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4．
故答案为4．
（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）．
由（1）得：OH=2，BH=4．
∵OC与⊙M相切于N，∴MN⊥OC．
设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．
初三数学圆的专项培优练习题含答案
初三数学圆的专项培优练习题（含答案） ?EB 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三 2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆 的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．C．6 D． 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2． ——圆 ◆知识讲解 一．圆的定义 1、在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 2、圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。 3、确定一个圆需要两个要素：一是位置二是大小，圆心确定其位置，半径确定其大小。 4、连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弦记作“圆弧AB”，或者“弧AB”。大于半圆的弧叫作优弧（用三个字母表示，如ABC）叫优弧；小于半圆的弧（如AB）叫做劣弧。 二、垂直于弦的直径、弧、弦、圆心角 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弦。 2、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等。 在等圆中，弦心距相等的弦相等。 三、圆周角 1、定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角。 2、定理：一条弧所以的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 3、推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所以的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 四、点和圆的位置关系 1、设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。 则d>r ?点在圆外，d=r ?点在圆上，d 圆的培优专题4——圆与勾股定理 1、如图，⊙O 是△BCN 的外接圆，弦AC ⊥BC ，点N 是AB 的中点，∠BNC ＝60?， 求 BN BC 的值. 解：如图，连接AB ，则AB 为直径，∴∠BNA ＝90? 连接AN ，则BN ＝AN ，则△ABN 是等腰直角三角形 ∴BN AB ；又∠BAC ＝∠BNC ＝60?， ∴BC AB ， ∴BN BC （方法2，过点B 作BD ⊥CN ，即可求解） 2、如图，⊙O 的弦AC ⊥BD ，且AC ＝BD ，若AD ＝，求⊙O 半径. 解：如图，作直径AE ，连接DE ，则∠ADE ＝90? 又AC ⊥BD ，则∠ADB ＋∠DAC ＝∠ADB ＋∠EDB ＝90? ∴∠DAC ＝∠EDB ，则CD BE =，∴DE BC =， ∵ AC ＝BD ，∴AC CD =，则AD BC DE == ∴AD ＝DE ，即△ADE 是等腰直角三角形 ∴AE AD ＝4，即⊙O 的半径为2 3、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 为CB 延长线上一点，且∠CAD ＝45?， CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F. （1）求证：CE ＝EF ；（2）若DF ＝2，EF ＝4，求AC. （1）证：∵ AB 为⊙O 的直径，∠CAD ＝45?， 则△ACD 是等腰直角三角形，即AC ＝DC 又CE ⊥AB ，则∠CAE ＝∠ECB 如图，过点C 作CG 垂直DF 的延长线于点G 又CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，则四边形CEFG 是矩形，∠AEC ＝∠DGC ＝90? ∴EF ＝CG ，CE ∥DG ，则∠ECB ＝∠CDG ＝∠CAE ∴△ACE ≌△DCG （AAS ），则CE ＝CG ＝EF （2）略解：AC ＝CD =. 4、如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，AC CE =. （1）求证：AF ＝CF ； （2）若⊙O 的半径为5，AE ＝8，求EF 的长 1、在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积是1.28 ㎡,已知床单的长是2 m ，宽是1.2 m ，求花边的宽度. 解：设花边的宽度是x m. ()()28.122.122=--x x 028.06.12=+-x x ()36.08.02 =-x 2.01=x ，4.12=x （舍去） 答：花边的宽度是0.2 m. 2、某商场将进货价为30元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。 ⑴ 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ ⑵ 台灯的售价应定为多少时销售利润最大？ 解：⑴ 设台灯的售价为x 元，(x ≥40)根据题意得 [(600－10×(x －40))](x －30)＝10000 解得：x 1＝80 x 2＝50 当x ＝80时 进台灯数为600－10×(x －40)＝200 当x ＝50时 600－10×(x －40)＝500 ⑵ 设台灯的售价定为x 元时，销售利润最大，利润为y y ＝［600－10（x －40）］·（x －30） 答：⑴ 台灯的售价为80元，进台灯数为200个，台灯的售价为50元时，进台灯数为500个。 ⑵ 3、学校有若干个房间分配给九年级（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人。若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满），那么该班男生人数是多少？ 解：设有x 间，每间住4人，4x 人，15人无处住 所以有4x +15人 每间住6人，则恰有一间不空也不满 所以x -1间住6(x -1)=6x -6人 还有4x +15-6x +6＝-2x ＋21人 不空也不满 所以0＜-2x +21＜6 -6＜2x -21＜0 15＜2x ＜21 7.5＜x ＜10.5 所以x =8, x =9, x =10 不到50人 一共4x +15＜50 所以x =8 所以应该是4×8+15=47人 一运用辅助圆求角度 1、 如图，△ ABC 内有一点 D , DA = DB = DC ，若 DAB = 20 , DAC = 30 , 1 贝U 乙 BDC = _______ . ( ? BDC = "2- ■ BAC = 100 ) 2、 如图，AE = BE = DE = BC = DC ,若 C = 100 ，则 BAD = __________________ . ( 50 ) 3、 如图，四边形 ABCD 中，AB = AC = AD ，/ CBD = 20，/ BDC = 30，贝卩 乙 BAD = _________ .(厶 BAD = Z BAC + Z CAD = 40 °+ 60 ° = 100*) 解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗! 4、 如图，口 ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若 ? D = 60 , 贝U AEC = _________ . (/ AEC = 2 ^B = 2 ^D = 120 ) 5、 如图，O 是四边形 ABCD 内一点，OA = OB = OC , ABC = ADC = 70 , 贝U DAO + DCO = ______________ .(所求=360 - Z ADC —乙 AOC = 150 ) A 第1题 第2题 第3题 第5题 第6题 第4题 :第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到 (ABC = ADC = 25 ) 6、如图，四边形ABCD 中，ACB = ■ ADB = 90 , - ADC = 25，则ABC = ___________________ ACBD共圆. 圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△ △△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△ △OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径． 四边形 1、如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，过C作AE的垂线交AE的延长线于点F，连结DE，过点D作DF的垂线交AF于点G。 （1）求证：AG=CF。 （2）连结BG，若BG⊥AE，取BC的中点H，试判断线段BD与线段EH的数量关系和位置关系，并给出证明。 2、（1）如图1，已知正方形ABCD，E是边CD上一点，延长CB到点F，使BF=DE，作∠EAF 的平分线交边BC于点G，求证：BG+DE=E G。 （2）如图2，已知△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，若BD=2，CD=1，求△ABC的面积。 3、如图1，摆放矩形AB CD与矩形ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上，连结AF，若M为AF的中点，连结DM、ME，猜想DM与ME的关系，并证明你的结论。 拓展与延伸： （1）若将图1中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM 和ME的关系为。 （2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立。 4、在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同速度在直线DC、CB上移动。 （1）如图1，当点E在线段CD上，点F在线段BC上时，连结AE和DF交于点P，请写出AE与DF的关系，并说明理由。 （2）如图2，点E、F分别移动到边DC、CB的延长线上时，连结AE和DF，（1）中的结论还成立吗？真接写出结论，无需证明。 （3）如图3，当点E、F分别在CD、BC的延长线上移动时，连结AE与D F，（1）的结论还成立吗？请说明理由。 （4）如图4，当点E、F分别在边DC、CB上移动时，连结AE和DF交于点P，由于点E、F 的移动，使得点P也随之移动，请画出点P的运动路径的草图，若AD=2，试求出线段CP的最小值。 一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°． （1）OC的长为； （2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=； （3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标． 【答案】（1）4；（2）3 5 ；（3）点E的坐标为（1，2）、（ 5 3 ， 10 3 ）、（4，2）． 【解析】 分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可． （2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则 MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°， ②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题． 详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH． ∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4． ∵∠BHA=90°，∠BAO=45°， ∴tan∠BAH=BH HA =1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4． 故答案为4． （2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）． 中考数学培优专题复习相似练习题及答案 一、相似 1．如图，在Rt△ABC中，，角平分线交BC于O，以OB为半径作⊙O. （1）判定直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由; （2）连接AO交⊙O于点E，其延长线交⊙O于点D，，求的值; （3）在（2）的条件下，设的半径为3，求AC的长. 【答案】（1）解：AC是⊙O的切线 理由：， ， 作于， 是的角平分线， ， AC是⊙O的切线 （2）解：连接， 是⊙O的直径， ,即 . . 又 (同角) ， ∽ , （3）解：设 在和中，由三角函数定义有： 得： 解之得： 即的长为 【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等证得点O到AC的距离为半径长，即可证得AC与圆O相切；（2）先连接BE构造一个可以利用正切值的直角三角形，再证得∠1=∠D，从而证得两个三角形ABE与ABD相似，即可求得两个线段长的比值；（3）也可以应用三角形相似的判定与性质解题，其中AB的长度是利用勾股定理与（2）中AE与AB的比值求得的. 2．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题： （1）求证：△BEF∽△DCB； （2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值； （3）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由． 【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ AD∥BC， 在中， ∵别是的中点， ∴EF∥AD， ∴ EF∥BC， 初三数学圆的专项培优练习题(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 初三数学圆的专项培优练习题（含答案） 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成立的 是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．33C．6 D．23 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 A．19° B．38° C．52° D．76° 图四图五 6．如图五，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE =1：3，则AB= ．7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。 中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ） 第4题 第5题 第6题 第1题 第2题 第3题 圆的培优专题1——与圆有关的角度计算 一 运用辅助圆求角度 1、如图，△ABC 内有一点D ，DA ＝DB ＝DC ，若∠DAB ＝20?，∠DAC ＝30?， 则∠BDC ＝ . （∠BDC ＝ 1 2 ∠BAC ＝100?） 2、如图，AE ＝BE ＝DE ＝BC ＝DC ，若∠C ＝100?，则∠BAD ＝ . （50?） 3、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝20?，∠BDC ＝30?，则 ∠BAD ＝ . （∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝40?＋60?＝100?） 解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！ 4、如图，□ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若∠D ＝60?， 则∠AEC ＝ . （∠AEC ＝2∠B ＝2∠D ＝120?） 5、如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70?， 则∠DAO ＋∠DCO ＝ . （所求＝360?－∠ADC －∠AOC ＝150?） 6、如图，四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠ADB ＝90?，∠ADC ＝25?，则∠ABC ＝ . （∠ABC ＝∠ADC ＝25?） 解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD 共圆. 第10题 第11题 第12题 第7题 第8题 第9题 二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度 7、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 的中点，D 为半圆AB 上一点，则∠ADC ＝ . 8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，则∠ABC ＝ . 9、如图，AB 为⊙O 的直径，3BC AC =，则∠ABC ＝ . 答案：7、45?； 8、30?； 9、22.5?； 10、40?； 11、150?； 12、110? 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！ 10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50?，则∠ADC ＝ . 11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB 2，弦AC 3∠BOC ＝ . 12、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若AC CD =，∠P ＝30?， 则∠BDC ＝ . （设∠ADC ＝x ，即可展开解决问题） 解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！ 圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！ 专项训练一 一元二次方程 一、选择题 1．(2016·新疆中考)一元二次方程x 2－6x －5＝0配方后可变形为( ) A ．(x －3)2＝14 B ．(x －3)2＝4 C ．(x ＋3)2＝14 ．(x ＋3)2＝4 2．(2016·攀枝花中考)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋3 2ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为( ) A ．－1或4 B ．－1或－4 C ．1或－4 D ．1或4 3．(2016·凉山州中考)已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2＝6－2x 的两根，则x 1－x 1x 2＋x 2的值是( ) A ．－43 B.83 C ．－83 D.43 4．(2016·随州中考)随州市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次， 2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是( ) A ．20(1＋2x )＝28.8 B ．28.8(1＋x )2＝20 C ．20(1＋x )2＝28.8 D ．20＋20(1＋x )＋20(1＋x )2＝28.8 5．(2016·潍坊中考)关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 6．已知三角形两边的长是3和4，第三边长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，则该三角形的周长是( ) A ．14 B ．12 C ．12或14 D ．以上都不对 7．(2016·深圳中考)给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y ′＝nx n － 1.例如：若函数y ＝x 4，则有y ′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，则方程y ′＝12的解是( ) A ．x 1＝4，x 2＝－4 B ．x 1＝2，x 2＝－2 C ．x 1＝x 2＝0 D ．x 1＝23，x 2＝－2 3 8．★关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2n ＝0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2＋2ny ＋2m ＝0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②(m －1)2＋(n －1)2≥2；③－1≤2m －2n ≤1，其中正确结论的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题 9．(2016·菏泽中考)已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝________． 10．方程(2x ＋1)(x －1)＝8(9－x )－1的根为____________． 11．(2016·聊城中考)如果关于x 的一元二次方程kx 2－3x －1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是______________． 12．(2016·黄石中考)关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是________． 13．关于x 的反比例函数y ＝ a ＋4 x 的图象如图所示，A 、P 为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△P AB 中，PB ∥y 轴，AB ∥x 轴，PB 与AB 相交于点B .若△P AB 的面积大于12，则关于x 的方程(a －1)x 2－x ＋1 4 ＝0的根的情况是______________． 14．一个容器盛满纯药液40L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这 圆心角和圆周角 一、经典考题赏析 例1.（成都）如图，ABC 内接于O ，AB=BC ，0120ABC ∠=,AD 为O 的直径，AD=6，那么 BD= 变式题组： 1.（河北）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形的顶点，O 的半径为1，P 是O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠= 。 2.（芜湖）如图，已知点E 是O 上的点，B 、C 分别是劣弧AD 上的三等分点，0 46BOC ∠=，则AED ∠的度数为 。 3.如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是0 70、0 40，则1∠的度数为 。 例2.（盐城）如图，A 、B 、C 、D 为O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O —C —D —O 路线作匀速运动。设运动时间为()t s ，()0 APB y ∠=，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰 当的是（ ） 变式题组： 4.如图所示，在O 内有折线OABC ，其中OA=8,AB=12,0 60A B ∠=∠=,则BC 的长为（ ） A.19 B.16 C.18 D.20 5.（威海）如图，AB 是O 的直径，点C 、D 在O 上，OD AC ，下列结论错误的是（ ） A.BOD BAC ∠=∠ B.BOD COD ∠=∠ C.BAD CAD ∠=∠ D.C D ∠=∠ 6.（青岛）如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，0 42ACD ∠=，则BAD ∠= 。 例3.（柳州）如图，AB 为O 的直径，C 为弧BD 的中点，CE AB ⊥,垂足为E ，BD 交CE 于点F 。 （1）求证：CF=BF （2）若AD=2，O 的半径是3，求BC 的长。 变式题组： 7.（广州）如图，在O 中0 60ACB BDC ∠==，23AC =cm. （1）求∠BAC 的度数；（2）求O 的周长 8.（潍坊）如图，O 是ABC 的外接圆，BAC ∠与ABC ∠的平分线相交于点I ，延长AI 交O 于点D ，连接BD 、CD 。 （1）求证：BD DC DI == （2）若O 的半径为10cm ，0120BAC ∠=，求BDC 的面积。 例4.如图，在ABC 中，036B ∠=，0 128ACB ∠=，CAB ∠平分线交BC 于M ，ABC 的外接圆的切线AN 交BC 的延长线于N ，则ANM 的最小角等于 。 变式题组：9.如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在O 上，AB=BD ，BM AC ⊥于M ， 求证：AM DC CM =+ 第17讲 二次函数与面积 解这类问题一般用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积转换、等比转化. 【例题讲解】 例题1 如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ABC S △＝1 2 ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答问题： 如图2，顶点为C （1,4）的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交x 轴于点A （3,0），交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △； ②是否存在抛物线上一点P ，使PAB S △＝CAB S △？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． C B 1把A （3,0）代入解析式求得a ＝－1， 所以1y ＝－（x －1）2＋4＝－x 2＋2x ＋3， 设直线AB 的解析式为：2y ＝kx ＋b 由1y ＝－x 2＋2x ＋3求得B 点的坐标为（0,3） 把A （3,0），B （0,3）代入2y ＝kx ＋b 中 解得：k ＝－1，b ＝3 所以2y ＝－x ＋3； （2）①因为C 点坐标为（1,4） 所以当x ＝1时，1y ＝4，2y ＝2 所以CD ＝4－2＝2 CAB S △＝ 1 2 ×3×2＝3（平方单位）； ②假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ，则h ＝1y －2y ＝（－x 2＋2x ＋3）－（－x ＋3）＝－x 2＋3x 由PAB S △＝CAB S △ 得： 1 2 ×3×（－x 2＋3x ）＝3 化简得：x 2－3x ＋2＝0， 解得：1x ＝1，2x ＝2， 将1x ＝1代入1y ＝－x 2＋2x ＋3中， 解得P 点坐标为（1，4）． 将2x ＝2代入1y ＝－x 2＋2x ＋3中， 解得P 点坐标为（2，3）． ∵点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点， 综上所述，P 点的坐标为（1，4），（2，3）． 模型讲解 竖切 面积公式均为1 = 2 S dh C B h C B h C B 横切 面积公式均为1 = 2 S dh D 【总结】 这种“铅垂高×水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点，并且“横竖”均可.而在选择时，如何选用，取决于点D 的坐标哪种更易求得. 例题2 已知一次函数y ＝（k ＋3）x ＋（k －1）的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，P （－1，－4）. 一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4， ∴S △CDO = 1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC 的面积S=2S △CDO =24． 2．已知 O 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______； ()2如图②，若m 6=． ①求C ∠的正切值； ②若ABC 为等腰三角形，求ABC 面积． 【答案】()130；()2C ∠①的正切值为3 4 ；ABC S 27=②或 432 25 . 【解析】 【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB 是等边三角形，即可得出结论； ()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结 论； ②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论． 【详解】 ()1如图1，连接OB ，OA ， 、选择题： 1. 如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 3. 已知圆内接正三角形的边心距为 1，则这个三角形的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4. 如图，点 A ， B ， C ，在⊙ O 上，∠ ABO=32°，∠ ACO=38°，则∠ BOC 等于 ( 6.如图, ⊙O 是△ ABC 的外接圆 ,弦AC 的长为 3,sinB=0.75, 则⊙ O 的半径为( ) 圆 50 题 垂直，在测直径时，把 A ． O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8个单位， 12 个单位 B ． 10 个单位 C CD 是⊙ O 的两条弦，连结 AD 、BC ．若∠ BCD=70°， OF=6个单位，则圆的直径为 ( 1 个单位 D ． 15 个单位 则∠ BAD 的度数为( 2. 如图， AB 、 A ． 40° B ．50° C ． 60° D ． 70° B ．70° C ．120° D ． 140° 5. 如图 , 点 A,B,C 在⊙ O 上, ∠A=36° , ∠ C=28° , 则∠ B=( A.100 B.72 C.64 D.36 OA 、 OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持 AD 切⊙ O 于点 A ，点 C 是弧 BE 的中点，则下列结论不成立的是( B ． EC=B C C ．∠ DAE=∠ABE D ．AC ⊥OE 10. 如图 , △ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4, 以点 C 为圆心的圆与 AB 相切 ,则⊙ C 半径为( 11. 数学课上，老师让学生尺规作图画 Rt △ABC ，使其斜边 AB=c ，一条直角边 BC=a ，小明的作法如图所 示， 你认为这种作法中判断∠ ACB 是直角的依据是( ) A.4 B.3 C.2 D. OB=6cm,高 OC=8cm 则. 这个圆锥的侧面 积是 7. 如图，圆锥的底面半径 22 A.30cm 2 B.30 π cm 2 C.60 2 π cm D.120cm 9. 如图,AB 是⊙ O 的直径 ,C 、D 是⊙ O 上两点 , 分别连接 AC 、BC 、CD 、OD ．∠ DOB=140° A.20° B.30 C.40 D.70 ，则∠ ACD (= B.2.5 C.2.4 D.2.3 《圆》新定义专题培优训练 1．如图，⊙O 的半径为（r ＞0），若点P ′在射线OP 上（P ′可以和射线端点重合），满足OP ′+OP ＝2r ，则称点P ′ 是点P 关于⊙O 的“反演点”． （1）当⊙O 的半径为8时， ①若OP 1＝17，OP 2＝12，OP 3＝4， 则P 1，P 2，P 3中存在关于⊙O 的反演点”的是 ． ②点O 关于⊙O 的“反演点”的集合是 ， 若P 关于⊙O 的“反演点在⊙O 内，则OP 取值范围是 ； （2）如图2，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12，⊙O 的圆心在射线CB 上运动，半径为1．若线段AB 上存在点 P ，使得点P 关于⊙O 的“反演点”P ′在⊙O 的内部，求OC 的取值范围． 2．定义： 对于一个三角形，设其三个内角的度数分别为?x 、?y 和?z ，若x 、y 、z 满足2 22z y x =+， 我们定义这个三角形为和谐三角形． （1）△ABC 中，若 ∠B=50°，∠A=70° ，则△ABC_______(填“是”或“不是” ）和谐三角形； （2）如图，锐角△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C=60° ，AC=4 ， ⊙O 的直径是24 ， 求证：△ABC 是和谐三角形; （3）当△ABC 是和谐三角形，且∠A=30°，则∠C 为 _______° 3.在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0． （1）如图1，⊙O的半径为2， ①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）= ，d（B，⊙O）= ． ②已知直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，求b的值． （2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣与x轴交于点D，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”． （1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”； （2）点M，N是一对“互换点”，点M的坐标为（m，n），且（m＞n），⊙P经过点M，N． ①点M的坐标为（4，0），求圆心P所在直线的表达式； ②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围． 初三数学中考总复习培优资料一 一、选择题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分.） 1．-2的绝对值是 A ．-2 B ．- 12 C ．2 D ．12 2．下列运算正确的是 A ．x 2+ x 3= x 5 B ．x 4·x 2= x 6 C ．x 6÷x 2 = x 3 D ．( x 2)3 = x 8 3．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是 4．已知a -b =1，则代数式2a -2b -3的值是 A ．-1 B ．1 C ．-5 D ．5 5．若⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4和6，圆心距O 1O 2=8，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 6．对于反比例函数y =1 x ，下列说法正确的是 A ．图象经过点（1，-1） B ．图象位于第二、四象限 C ．图象是中心对称图形 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 7．某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32．对这组数据，下列说法正确的是 A ．平均数为30 B ．众数为29 C ．中位数为31 D ．极差为5 8．小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 折线表示小亮的行程s (km)与所花时间t (min)之间的函数关系. 下列说法错误．．的是 A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min 9．一元二次方程x x 22 =的根是（ ） A ．2=x B ．0=x C ．2,021==x x D ．2,021-==x x 10．如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是（ ） A ．1 B ． 21 C ．31 D ．4 1 A B C D （第8题图）中考数学专题训练圆专题复习
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