最新自然数前n项平方和、立方和公式及证明

平方和立方和公式推导

数学][转载]自然数平方和公式推导及其应用 (2009-07-29 12:13:14) 转载▼ 标 分类：游戏数学 签： 杂 谈 12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。 设：S=12+22+32+…+n2 另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一： S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S， (n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即 S1=2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1) 第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为： S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中： 22+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2) 12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2 = (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2 =22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n =22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n =4S-4(1+2+3+...+n)+n.. (3) 由(2)+ (3)得：S1=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4) 由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n 即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n

推导自然数立方和公式两种方法

推导213)1(21??????+=∑=n n k n k 的两种方法 通化市第一中学校 刘天云 邮编 134001 方法一：拆项累加相消求和 已知：)12)(1(6 112++= ∑=n n n k n k 而)]2)(1()1()3)(2)(1([4 1)2)(1(++--+++=++k k k k k k k k k k k 则：∑=+++= ++n k n n n n k k k 1 )3)(2)(1(41)]2)(1([ 所以：∑∑∑∑====--++=n k n k n k n k k k k k k k 1 1121323)]2)(1([ )1(2 12)12)(1(613)3)(2)(1(41+?-++?-+++=n n n n n n n n n 2)1(21?? ????+=n n 另外：∑=+++= ++n k n n n n k k k 1)3)(2)(1(4 1)]2)(1([还可以作如下证明： )2)(1(432321++++??+??n n n )(6323433++++=n C C C )3)(2)(1(4 1643+++==+n n n n C n 方法二：构造群数列推导 构造奇数列，并按第n 群中含有个奇数的方式分群，即 1 / 3，5 / 7，9，11 / 13，15，17，19 / …… 我们用两种方法研究前n 群的所有数的和. 1、第n 群最末一个数是数列的第)1(2 1+n n 项，而且该项为 11)1(2 122)1(21 -+=-+?=+n n n n a n n

那么，第n 群最初一个数是数列的第1)1(2 1+-n n 项，而且该项为 111)1(21221)1(21 +-=-?? ????+-?=+-n n n n a n n 所以，第n 群的n 个数的和为：322)]1()1[(2 1n n n n n n =-+++-. 则前n 群的所有数的和可记作∑=n k k 13. 2、前n 群所有数的和为该奇数列的前)1(21+n n 项的和，即2 )1(21??????+n n 因此：2 13)1(21??????+=∑=n n k n k

平方和与立方和公式推导

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3 =2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3 =2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+... +(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1 =2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+... +(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1 =3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2 =(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 ...... (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+ ...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3) =(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3 =2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3 =2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+... +(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1 =2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+... +(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1 =3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2 =(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 ...... (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+ ...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3) =(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

专题立方和差公式和差的立方公式

专题二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。 反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。 例1 计算： （1）2(32)(964)y y y +-+； （2）22151(5)(25)224 x y x xy y -++； （3）2(21)(421)x x x +++。 分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算. 解：（1）原式=3333(2)278y y +=+； （2）原式=333311(5) ()12528x y x y -=-； （3）原式=322328424218841x x x x x x x x +++++=+++。 说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x +”改成“2x -”则利用公式计算；若将第二个因式 中“2x +”改成“4x +”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算 23322332(21)(21)(21)(2)3(2)13(2)1181261x x x x x x x x x ++=+=+?+?+=+++。 例2 计算： （1）3639 (1)(1)(1)x x x x -+++； （2）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-++-+； （3）2222(2)(24)x y x xy y +-+；

最详细的立方和公式

立方和公式 a A3+ b A3=(a+b) (a A2-ab+b A2 ) ?立方差公式 aA3-bA3=(a-b) (aA2+ab+bA2 ) -3项立方和公式 aA3+bA3+cA3-3abc=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac) 推导过程： aA3+bA3+cA3-3abc =(aA3+3aA2 b+3abA2+bA3+cA3 ) - (3abc+3aA2 b+3abA2 ) =[(a+b)A3+cA3]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(aA2+bA2+2ab-ac-bc+cA2 ) -3ab(a+b+c) =(a+b+c)(aA2+bA2+cA2+2ab-3ab-ac-bc) =(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac) 文字表达 ?立方和，差公式 两数和(差)，乘它们的平方和与它们的积的差(和)，等于这两个数的立方和(差) -3项立方和公式 三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍

公式证明 1.迭代 法: 我们知道: 0次方和的求和公式2N A0=N 即 1人0+2人 0+...+nP=n 1次方和的求和公式INA仁N(N+1) /2 即 1A1+2A1+...+nA仁n(n+1 ) /2 2次方和的求和公式 2N|A2=N(N+1)( 2N+1) /6 即 1人2+2人2+…+n人2=n(n+1 )( 2n +1) /6 ――平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式( x+1) A3-xA3=3xA2+3x+1，迭代即 得。 取公式：(X+1) A4-XA4=4 XXA3+6XXA2+4XX+1 系数可由杨辉三角形来确定 那么就得出: (N+1)人4-24=423+622+4屮1 NA4-(N-1)A4=4(N-1)A3+6(N-1)A2+4(N-1)+1 (N-1)A4-(N-2)A4=4(N-2)A3+6(N-2)A2+4(N-2)+1 2人4-1人4=4 X1A3+6 X1A2+4 X1+1 ... (n) 于是⑴+⑵+⑶+ ..... +(n )有 左边=(N+1) A4-1 右边=4 (1人3+2人3+3人3+ ……+NA3) +6 (1人2+2人2+3人2+ ……+“人2) +4 (1+2+3+……+N)+N 所以呢 把以上这已经证得的三个公式代入 4( 1人3+2人3+3人3+ ……+NA3) +6( 1人2+2人2+3人2+ ……+“人2) +4( 1+2+3+……+N)+N=(N+1) A4-1

2017最新立方公式推导

前n个自然数的和: 1+2+...+n=n(n+1)/2 前n个自然数平方和:前n个自然数的和: 1+2+...+n=n(n+1)/2 前n个自然数平方和: n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ......

n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+ ...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 ...... (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 (n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+ n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

立方差公式

立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 推导过程 1.证明如下： (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 所以a3-b3=(a-b)3-(-3a2b+3ab2) =(a-b)(a-b)2+3ab(a-b) =(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2) 2.（因式分解思想）证明如下： a3-b3=a3-a2b-b3+a2b =a2(a-b)+b(a2-b2) =a2(a-b)+b(a+b)(a-b) =(a-b)[a2+b(a+b)] =(a-b)(a2+ab+b2) 立方和公式及其推广： (1) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) (2) a n+ b n=(a+b)[a(n-1)-a(n-2)×b+...+(-1)^(r-1)×a^(n-r)×b^(r-1)+...+ b^(n-1)](n为大于零的奇数，r为中括号内项的序数) (后面括号中各项式的幂之和都为n-1)。 a n表示a的n次方。 字母表达

立方和公式 立方差公式 三项立方和公式 推导过程： 完全立方公式 (a-b)3=a3+3ab2-3a2b-b3 立方和累加 正整数范围中

注：可用数学归纳法证明 2公式证明编辑 迭代法一 我们知道： 0次方和的求和公式 ，即 1次方和的求和公式 ，即 2次方和的求和公式 ，即 ——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式 ，迭代即得。 具体如下：

(k+1)3 - k3 = (k3 + 3k2 + 3k + 1) - k3 = 3k2 + 3k + 1 利用上面这个式子有： 23 - 13 = 3×12 + 3×1 + 1 33 - 23 = 3×22 + 3×2 + 1 43 - 33 = 3×32 + 3×3+ 1 53 - 43 = 3×42 + 3×4 + 1 …… (n+1)3 - n3 = 3×n2 + 3n + 1 把上述各等式左右分别相加得到： (n+1)3-13 = 3×(12+22+32+……+n2) + 3×(1+2+3+……+n)+n×1 n3 + 3n2 + 3n + 1 - 1 = 3×(12+22+32+……+n2)+3×n(n+1)/2+n (1) 其中12 + 22 + 32+ …… + n2 = n(n+1)(2n+1)/6 代入(1)式，整理後得13 + 23 + 33+ …… + n3=[n(n+1)/2]2 迭代法二 取公式： 系数可由杨辉三角形来确定 那么就得出： …………⑴ …………⑵

立方和公式

立方和公式 立方差公式 三项立方和公式 推导过程： 完全立方公式 (a- b)3=a3+3ab2- 3a2b- b3 立方和累加 正整数范围中 注：可用数学归纳法证明公式证明

迭代法一 我们知道： 0次方和的求和公式 ，即 1次方和的求和公式 ，即 2次方和的求和公式 ，即 ——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式 ，迭代即得。 具体如下： (k+1) 3 - k3 = (k3 + 3k 2 + 3k + 1) - k3 = 3k 2 + 3k + 1 利用上面这个式子有： 332 ×1+1 2 - 1=3×1 +3 332 ×2+1 3 - 2=3×2 +3 332 ×3+ 1 4 - 3=3×3 +3 332 ×4+1 5 - 4=3×4 +3 ?? 332 (n+1)- n= 3 ×n + 3n + 1 把上述各等式左右分别相加得到： (n+1) 3-1 3= 3 ×(1 2+22 +32+?? +n2) + 3×(1+2+3+?? +n)+n×1 n3 + 3n 2 + 3n + 1 - 1 = 3 ×(1 2+22 +32+?? +n2)+3×n(n+1)/2+n (1)其中12+2 2+32+ ?? + n 2 = n(n+1)(2n+1)/6 代入 (1)式，整理後得 1 3 + 2 3 + 3 3 + ?? + n 3=[n(n+1)/2] 2 迭代法二

取公式： 系数可由杨辉三角形来确定 那么就得出： ????⑴ ????⑵ ????⑶ ???? ????(n). 于是⑴ +⑵+⑶+?+(n) 有 左边 = 右边 = 把以上这已经证得的三个公式代入，得 移项后得 等号右侧合并同类项后得 即 推导完毕。 因式分解证明

由自然数平方和公式推导自然数立方和公式

自然数平方和公式Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6 怎么推导？ 利用(n+1)3-n3=3n2+3n+1即可 13-03=3×02+3×0+1 23-13=3×12+3×1+1 33-23=3×22+3×2+1 43-33=3×32+3×3+1 …… (n+1)3-n3=3n2+3n+1 ∴(n+1)3＝3Sn+3(1+2+……+n)+(n+1) …… Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6 设S=1^2+2^2+....+n^2 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1 ... .. ... 2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n 所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1) 方法1：由（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1,利用叠加法可得 3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n=（n+1）^3-1. 由此等式可得1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6. 方法2:由组合数性质可得:C(2,2)+C(2,3)+C(2,4)+...C(2,n)=C(3,n+1), 即2×1/2+3×2/2+4×3/2+...+n(n-1)/2=(n+1)n(n-1)/6 整理得(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-(1+2+3+...+n)=(n+1)n(n-1)/3, 所以1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n+1)n(n-1)/3+(1+2+3+...+n)=...

第三章——旋转椭球的斯托克斯(Stokes)问题

第三章 旋转椭球的斯托克斯（Stokes ）问题 地球的大地水准面接近旋转椭球，旋转椭球有两个参数．它的赤道半径和极半径或扁率。选择参数适当的旋转椭球，使得大地水准面相对椭球面起伏的平方在旋转椭球面上的积分最小。这种旋转椭球称为参考椭球。实践表明．当参考椭球的赤道半径取为6378147m 、扁率的倒数取为298.26时，大地水准面相对参考椭球面的起伏的幅度不超过110m ．即起伏的幅度约为参考椭球赤道半径的10-5量级。本章讨论旋转椭球的斯托克斯问题，即讨论如何计算以固定旋转角速度旋转的旋转椭球在其表面上和外部空间产生的重力场。 3.1 斯托克斯定理 斯托克斯定理表述为：假若有一物体以一定的旋转角速度ω绕固定在物体内部的旋转轴O Ω旋转，则此物体的总质量M 、旋转角速度ω和外部重力等位面的形状∑，唯一地确定此物体在其表面上和物体的外部空间产生的重力场。这一定理是斯托克斯于1849年导出的。在数学上，根据物体的总质量M 、绕固定轴旋转轴旋转角速度ω和其外重力等位面的形状∑这三个条件，计算此物体在其表面上和外部空间产生的重力场称为求解此物体的斯托克斯问题。现将斯托克斯定理证明如下。 如图3.1.1所示，假若总质量M 、旋转角速度ω和外部重力等位面形状∑给定的某一物体在其表面上和外部空间产生两个不同的重力位12(),()W W r r ，若能证明12(),()W W r r 在物体的表面上和外部空间恒等，则斯托克斯定理得到了证明。物体的重力位由它的引力位和

离心力位两部分组成；用12(),()V V r r 分别表示重力位12(),()W W r r 中的引力位部分，因为物体在某点的离心力位只决定于物体的旋转角速度和该点在物体上的位置，因而两个重力位 12(),()W W r r 中的离心力位部分相同。用()Q r 表示它们的离心力位，则根据斯托克斯定理 的三个条件，有 12,C C 为两个不同的常数，且 其中，12,ρρ分别为与12,W W 相对应的物体内部的密度分布。用()T r 表示重力位1()W r 和重力位2()W r 的差，则根据（3.1.1）~（3.1.3）式，有 只要能够证明函数()T r 在∑上和它的外部恒等于0，也就证明了斯托克斯定理。为此， 引入矢量函数()a r ，令 将上式代入下述格林公式

自然数平方和公式的推导与证明 新课标

自然数平方和公式的推导与证明新课标 12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。 设：S=12+22+32+…+n2 另设：S =12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解 1 题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一：S =12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，1 (n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即 =2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1) S 1 =12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为： 第二：S 1 =12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中： S 1 22+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2) 12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2 = (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2 =22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n =22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n =4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..( 3) 由(2)+ (3)得：=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4) S 1 由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n 即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n = n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]

立方和公式_公式总结

立方和公式_公式总结 公式证明 我们知道： 0次方和的求和公式ΣN^0＝N+1 1次方和的求和公式ΣN^1＝N(N+1)/2 2次方和的求和公式ΣN^2＝N(N+1)(2N+1)/6 取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1 系数可由杨辉三角形来确定 那末就有： (N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1 (1) N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1 (2) (N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1 (3) ................... 2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n) . 于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有 左边=(N+1)^4-1 右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N 所以呢 把以上这已经证得的三个公式带入 4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1 得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N 移项后得1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)等号右侧合并同类项后得1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2) 即 1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2 大功告成！ 立方和公式推导完毕 1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

专题2立方和公式、和的立方公式

专题二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。 反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。 例1 计算： （1）2(32)(964)y y y +-+； （2）22151(5)(25)224 x y x xy y -++； （3）2(21)(421)x x x +++。 分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算. 解：（1）原式=3333(2)278y y +=+； （2）原式=333311(5)( )12528x y x y -=-； （3）原式=322328424218841x x x x x x x x +++++=+++。 说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x +”改成“2x -”则利用公式计算；若将第二个因式 中“2x +”改成“4x +”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算 23322332(21)(21)(21)(2)3(2)13(2)1181261x x x x x x x x x ++=+=+?+?+=+++。 例2 计算： （1）3639 (1)(1)(1)x x x x -+++； （2）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-++-+； （3）2222(2)(24)x y x xy y +-+；

斯托克斯公式的使用条件

斯托克斯定理: 斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem）是微分几何中关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了向量微积分的几个定理，以斯托克斯爵士命名。 当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和，这就是斯托克斯定理。斯托克斯定理表明，沿封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为周界的任意曲面的涡通量。 斯托克斯粘滞公式: 斯托克斯公式具有广泛的用途．本文就两个具体实例来加以讨论：1斯托克斯公式由于流体的粘滞性，固体在流体中运动会受到两种阻力，一种是由于层流体附着在固体表面，层流体和邻层流体间的内摩擦力；另一种是为压强阻力，压强阻力的实质是尾随运动着的固体后面的流体中，有涡旋产生．固体相对于流体的速度小时涡旋还未形成，压强阻力可被忽略，这时，阻力可视为只有前一种． 公式应用条件：层流液体，无限宽广无限深度，物理下沉速度稳定时较小，雷诺数Re<0.1 中文名称：斯托克斯粘滞公式 英文名称：Stokes viscocity formula 定义及摘要： 斯托克斯粘滞公式

斯托克斯公式（数学公式）: 斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系. 纳维-斯托克斯方程: 纳维-斯托克斯方程（英文名：Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。简称N-S方程。粘性流体的运动方程首先由Navier在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。Poisson在1831年提出可压缩流体的运动方程。Saint-Venant在1845年，Stokes在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，都称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。