tf(t)的傅里叶变换
tf(t)的傅里叶变换
摘要：
一、引言
二、傅里叶变换的定义与性质
三、tf(t)的傅里叶变换
四、结论
正文：
一、引言
傅里叶变换是一种在信号处理、图像处理等领域中广泛应用的数学工具，可以将一个信号从时间域或空间域转换到频率域。本文主要探讨tf(t)的傅里叶变换，帮助读者更好地理解和应用这一变换方法。
二、傅里叶变换的定义与性质
1.傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将一个信号x(t)转换为频域表示的变换方法。设x(t)是一个周期信号，其周期为2π，那么它的傅里叶变换X(f)可以表示为：X(f) = ∫x(t)e^(-jωt) dt
其中，ω= 2πf，f为信号的频率，j为虚数单位。
2.傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有以下性质：
(1) 线性性：若X1(f)和X2(f)分别为两个信号的傅里叶变换，则它们的线性组合Y(f) = A1X1(f) + A2X2(f)的傅里叶变换为：
Y(f) = A1X1(f) + A2X2(f)
(2) 时移性：若x(t)的傅里叶变换为X(f)，则对x(t)进行时移Δt，得到的新信号x(t-Δt)的傅里叶变换为：
X(f) → X(f - Δf)
(3) 尺度性：若x(t)的傅里叶变换为X(f)，则对x(t)进行尺度变换k，得到的新信号kx(t)的傅里叶变换为：
X(f) → kX(f/k)
(4) 逆傅里叶变换：傅里叶变换是一种可逆变换，可以通过逆傅里叶变换将频域表示还原回时间域表示。逆傅里叶变换的公式为：
x(t) = (1 / 2π) ∫X(f)e^(jωt) df
三、tf(t)的傅里叶变换
tf(t)表示时间延迟函数，其定义为：
tf(t) = x(t - τ)
其中，x(t)为原始信号，τ为时间延迟。根据傅里叶变换的性质，可以得到tf(t)的傅里叶变换为：
T(f) = ∫tf(t)e^(-jωt) dt
由于tf(t)是x(t)的时移，根据傅里叶变换的时移性，我们可以得到：
T(f) = X(f - ωτ)
这里，X(f)为x(t)的傅里叶变换。
四、结论
本文对tf(t)的傅里叶变换进行了详细的讨论，首先介绍了傅里叶变换的定义与性质，然后利用这些性质推导了tf(t)的傅里叶变换。
数学物理方法梁昆淼答案
数学物理方法梁昆淼答案 【篇一：第五章傅里叶变换数学物理方法梁昆淼】 >?t1.函数 f(t)???0 ?12. 函数 f(t)???0 3.设(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??) (|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为f(?)?2sin?/??。的傅立叶变换像函数，的傅立叶变换像函数为 _______________________ 。 4.?2012 ?2011excosx??(x??) dx? [sinx??(x??e??。 5. ? 12009?6 ?2008) ]dx? 6.?xsinx?(x? ?1?3) dx?。 7. ?xsinx?(x?) dx? ?12 8.?[(x2?1)tan(sinx)??(x?)] dx? 。 ?20103 8 ?911??9.?x3 ?(x?3) dx?－27 。 ?tf(t)?10.函数 ??0(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为 2(?cos??sin?/?)/(??)。 (0?t?1)?1?(?1?t?0)的傅里叶变换为。11. f(t)???1 ?0(|t|?1)? 12. 在(??,?)这个周期上，f(x)?x。其傅里叶级数展开为 ?k?1?2sinkx k 13.当0?x?2时，f(x)??1；当?2?x?0时，f(x)?1；当|x|?2时， f(x)?0。则函数的f(x)傅里叶变换为b(?)?2 ??(1?cos2?) 1?14已知函数f(x)的傅里叶变换为f(?)，试证明f(ax)的傅里叶变换 为f()。 a f[f(ax)]?1? 2????f(ax)e?i?xdx【令x?y/a】 ?1? 2????f(y)e?i?aydya【令y?x】?1?f(x) ?i? ax 2????aedx ?1? af(a)a---(2分) ---(2分) ---(2分) ---(2分) 证明： 【篇二：8000份课程课后习题答案与大家分享~~】
f(t)的平方的傅里叶变换
f(t)的平方的傅里叶变换 摘要： 1.傅里叶变换的基本概念 2.f(t) 的平方的傅里叶变换 3.傅里叶反变换的应用 正文： 傅里叶变换是一种在信号处理、图像处理等领域广泛应用的数学工具，它可以将一个信号从时间域转换到频率域。在这个过程中，f(t) 的平方的傅里叶变换是一个重要的概念。 首先，我们需要了解傅里叶变换的基本概念。傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频率域信号的方法，通过这种转换，我们可以更好地分析和处理信号。傅里叶变换的基本思想是将一个复杂的信号分解成无数个简单的正弦和余弦波，这些正弦和余弦波的频率和相位可以通过傅里叶变换计算出来。 接下来，我们来看f(t) 的平方的傅里叶变换。根据傅里叶变换的定义，f(t) 的傅里叶变换是F(ω)，那么f(t) 的平方的傅里叶变换就是F(ω)。根据平方的性质，我们可以得出F(ω) = F(ω)。这意味着f(t) 的平方的傅里叶变换等于f(t) 的傅里叶变换的平方。这个结论可以帮助我们在实际应用中更方便地计算f(t) 的平方的傅里叶变换。 最后，我们来看傅里叶反变换的应用。傅里叶反变换是将频率域信号转换回时间域信号的方法。在实际应用中，我们通常需要将信号从频率域转换回时间域，以便进行进一步的分析。傅里叶反变换可以帮助我们实现这个目标。例
如，在图像处理中，我们可以通过傅里叶变换将图像从空间域转换到频率域，然后通过傅里叶反变换将图像从频率域转换回空间域。 总之，傅里叶变换是一种在信号处理、图像处理等领域广泛应用的数学工具。f(t) 的平方的傅里叶变换是傅里叶变换的一个重要概念，通过它，我们可以更好地分析和处理信号。
关于信号tu(t)的傅里叶变换的探讨
信号 tu(t) 的傅里叶变换是信号处理领域中的一个重要问题。傅里叶变换是一种将一个时域信号转换为频域信号的数学工具，它在分析和处理信号时起着至关重要的作用。对于信号 tu(t) 的傅里叶变换，我们需要深入探讨其数学原理、性质和应用，以加深对这一领域的理解和认识。 一、傅里叶变换的基本概念 1.1 傅里叶级数 傅里叶级数是傅里叶变换的基础，它描述了任意周期信号能够用正弦和余弦函数的和来表示。这是由于正弦和余弦函数具有正交性，可以将信号分解成不同频率的正弦和余弦函数的叠加。 1.2 傅里叶积分变换 傅里叶积分变换是对非周期信号进行频域分析的工具，它使用积分的形式将信号从时域转换到频域。傅里叶积分变换可以描述信号的频谱特性，包括频率成分、幅度和相位信息。 二、信号 tu(t) 的傅里叶变换公式 2.1 时域信号 tu(t) 的定义 时域信号 tu(t) 是指信号在时间上的波形图。它可以是连续信号，也可以是离散信号。
2.2 tu(t) 的傅里叶变换公式 根据傅里叶变换的定义，tu(t) 的傅里叶变换公式为F(ω) = ∫[−∞, ∞] tu(t)e^(−jωt) dt 其中，F(ω) 表示 tu(t) 的频域表示，ω 表示频率，e^(−jωt) 是复指数函数。 三、傅里叶变换的性质 3.1 线性性质 傅里叶变换具有线性性质，即对于常数α和β，以及信号tu1(t)和 tu2(t)，有F(αtu1(t) + βtu2(t)) = αF(tu1(t)) + βF(tu2(t))。 3.2 时移性质 时移性质描述了时域信号延迟对频域表示的影响，即F(tu(t - τ)) = F(ω)e^(−jωτ)。 3.3 频移性质 频移性质描述了频域信号相位旋转对时域表示的影响，即 F(tu(t)e^(jω0t)) = F(ω - ω0)。 四、信号 tu(t) 的傅里叶变换的应用
f(-t)的傅里叶变换
f(-t)的傅里叶变换 首先，我们需要理解傅里叶变换的基本概念。傅里叶变换是一种将一个函数从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学方法。它将一个函数分解成一系列复指数函数的和，每个复指数函数对应一个特定的频率成分。在这个问题中，我们要求解的是函数f(-t)的傅里叶变换。 1. 时域函数f(-t)表示在时间轴上，函数f(t)的反转（镜像）版本。如果f(t)代表了在时间t上的值，那么f(-t)代表了在时间-t上的值。例如，如果f(t)表示一个正弦波，在时间t=1的时候取得最大值，那么f(-t)表示在时间t=-1的时候取得最大值。 2. 傅里叶变换的定义是通过一个积分来计算函数在不同频率下的分量。对于傅里叶变换来说，我们关注的是函数在不同频率下的振幅和相位。公式可以表示为： F(w) = ∫[f(-t) * e^(-j*w*t)] dt 其中，F(w)表示函数f(-t)在频率w下的傅里叶变换结果，j是虚数单位，e 是自然对数的底。w表示频率。 3. 接下来，我们需要计算积分。由于我们要求解的是f(-t)的傅里叶变换，我们需要将函数f(-t)带入上述公式中进行计算。在计算之前，我们可以通过代换t' =
-t来简化积分。这样，我们可以将积分公式变为： F(w) = ∫[f(t') * e^(j*w*t')] dt' 注意，这里的t'是新的积分变量，表示在-f(t)的时间轴上的值。 4. 继续进行积分计算。我们将f(t')表示成傅里叶级数的形式，即将其展开为一系列正弦和余弦函数的和。在实际计算中，我们可以利用已知函数的傅里叶变换对f(t')进行分解。然后，我们将得到的各个分量的傅里叶变换结果相加，即可得到f(-t)的傅里叶变换。 5. 总结一下，要求解函数f(-t)的傅里叶变换，我们需要按照上述步骤进行计算。首先，将f(-t)带入傅里叶变换的定义公式，然后进行积分计算。在计算过程中，我们可以利用已知函数的傅里叶变换结果进行分解和相加，最终得到f(-t)的傅里叶变换结果。 以上是关于函数f(-t)的傅里叶变换的解释。希望这个解答对你有帮助！
信号与系统公式汇总分类
信号与系统公式汇总分类 连续傅里叶变换连续拉普拉斯变换(单边) 离散Z变换(单边) ,,,,k,st,,jtF(z),f(k)zF(s),f(t)edt,,F(j),f(t)edt,0,,,,k,0 ,， j,,11st1j,tk,1f(t),F(s)edsf(t),F(j,)ed,f(k),F(z)zdz,k,0,,j,,,,,2j,,2,,2j L af(t)，bf(t),aF(s)，bF(s)af(k)，bf(k),aF(z)，bF(z)线性线性线性12121212 af(t)，bf(t),aF(j,)，bF(j,)1212 ,st,m0,j,tf(t,t),eF(s)时移时移时移 f(k,m),zF(z)0,双边, 0f(t,t),eF(j,) 0 ,st,,jk,j,000,j,tef(t),F(s,s)频移频移频移 ef(k),F(ez),尺度变换, 00ef(t),F(j(,,,)) 0 bbj,s尺度尺度尺度 z1,1skaa af(k),F()f(at，b),eF(j)f(at，b),eF() a|a|a|a|a变换变换变换 ,1 f(,t),F(,j,)f(,t),F(,s)反转反转反转 f(,k),F(z),仅限双边, 时域时域时域 f(t)*f(t),F(j,)F(j,)f(t)*f(t),F(s)F(s)f(t)*f(t),F(z)F(z)121212121212卷积卷积卷积 1,频域 1f(k,1),zF(z)，f(,1) f(t)f(t),F(j,)*F(j,)121221,,2,,f(t),sF(s),f(0)卷积 ,时域时域 f(k,2),zF(z)，zf(,1)，f(,2) 2,,,f(t),sF(s),sy(0),y(0)f(k， 1),zF(z),zf(0),,微分差分时域 (n)n,f(t)f(t),j,F(j,)(j,)F(j,) 22f(k， 2),zF(z),zf(0),zf(1)微分
傅立叶变换习题
第三章傅立叶变换 第一题选择题 1 •连续周期信号f(t)的频谱F(w)的特点是_D_。 A周期连续频谱B周期离散频谱C非周期连续频谱D非周期离散频谱2•满足抽样定理条件下，抽样信号f s(t)的频谱F s(j )的特点是(1) (1)周期、连续频谱；(2)周期、离散频谱； (3)连续、非周期频谱；(4)离散、非周期频谱。 3•信号的频谱是周期的连续谱，则该信号在时域中为D_。 A连续的周期信号 B 离散的周期信号C连续的非周期信号D离散的非周期信号4•信号的频谱是周期的离散谱，则原时间信号为(2) o (1)连续的周期信号(2)离散的周期信号 (3)连续的非周期信号(4)离散的非周期信号 5 •已知f (t)的频带宽度为△ 3 ,贝U f (2t-4)的频带宽度为(1 ) 1 (1) 2A 3 (2) (3) 2 (△ 3 -4 ) (4) 2 (△ 3 -2 ) 2 6.若h(j)F[f1(t)],则F2(j )F[f1(4 2t)](4 ) (1) 茁仃)e j4⑵扣( 2 j )e j4 2 (3) R( j )e j 1匚/ (4) 2F1(j尹 7 • 信- 号f ( t) =Sa (100t )，其最低取样频率f s为(1 ) (1) 100 (2) 200(3) 100(4)200 8 •某周期奇函数，其傅立叶级数中_B—o A不含正弦分量B不含余弦分量C仅有奇次谐波分量D仅有偶次谐波分量 9 •某周期偶谐函数，其傅立叶级数中_C—o A无正弦分量B无余弦分量C无奇次谐波分量D无偶次谐波分量 10•某周期奇谐函数，其傅立叶级数中_C—o A无正弦分量B无余弦分量C仅有基波和奇次谐波分量D仅有基波和偶次谐
δ(t)的傅里叶变换
δ(t)的傅里叶变换 为了理解δ(t)的傅里叶变换，我们需要回顾一些基本概念。 首先，什么是傅里叶变换？傅里叶变换是一种数学工具，它把一个时域函数转换成频 域函数。在时域中，一个函数描述了时间上的变化，而在频域中，这个函数描述了不同频 率上的振幅。傅里叶变换被广泛应用于信号处理、通信系统、音乐分析等领域。 其次，什么是δ(t)函数？δ(t)函数（delta function），也被称为Dirac函数，在数学中是一种奇特的函数。它在t=0时为无穷大，但在其他时刻为零。从图像上来看， δ(t)函数是一个非常窄的“尖峰”，具有无限高、无限短的特点。由于这种极端的形态，δ(t)函数在数学和工程上具有重要意义。 结合傅里叶变换和δ(t)函数，我们可以将δ(t)的傅里叶变换定义为： $$\mathcal{F}\{\delta(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-j\omega t} dt$$ 其中，$\mathcal{F}\{\cdot\}$表示傅里叶变换，$\omega$表示频率。 根据δ(t)函数的定义，我们知道它在t=0时取值为无穷大，而在其他时刻为零。因此，对于任何非零的$\omega$，$\delta(t) e^{-j\omega t}$的积分都为零。只有当 $\omega$为零时，$\delta(t) e^{-j\omega t}$的积分才有可能不为零。因此，我们可以 将上式改写为： 注意到在上式中，$\omega$为零时，$e^{-j\omega t}$的值为1。因此，无论函数的 形态如何，它在频域中的值总是与时间无关，而仅由$\omega$决定。在这个例子中，δ(t)的傅里叶变换为常数1，表示无论在什么频率上，δ(t)函数的振幅都为1。 需要注意的是，对于δ(t)函数的傅里叶变换，有多种不同的定义。上式中给出的是 一种比较常见的定义方式，但也存在其他不同的方式。此外，一些特定条件下的δ(t)函 数傅里叶变换可能不存在或为无穷大，在具体应用中需要注意。
信号的傅里叶变换及其性质(复变函数与积分变换课程论文)
复变函数与积分变换 课程论文 题目信号的傅里叶变换及其性质任课老师王学顺 学院班级工学院自动化xxx 姓名学号Xxx xxxxxxxxx 时间2013年12月4日
信号的傅里叶变换及其性质 xxx （北京xx大学，自动化xxx，xxxxxxxxxx） 摘要：傅里叶变换的概念是针对非周期信号引入的，但周期信号也存在傅里叶变换，本文指出求解周期信号的傅里叶变换有三种方法：一是在一个周期内积分求傅里叶系数，二是利用对应的单脉冲信号频谱与傅里叶系数的关系求，三是利用傅里叶变换的时移性求。本文讨论了不同方法所求周期信号傅里叶变换结果之间的内在联系，进一步揭示出信号的时域与频域的对称特性。 关键词：周期信号，傅里叶变换，傅里叶系数，对称性，级数 引言 信号傅里叶变换是信号与系统中非常重要的一部分，它在数学许多分支、物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，也是解决实际问题的强有力的工具，它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用。周期信号傅里叶变换是一系列冲激，其冲激强度与傅里叶系数有关。如果傅里叶系数不容易求解，可从对应的单脉冲信号的频谱求得。本文分析了周期信号从不同角度所得傅里叶变换结果的内在联系及其性质。 1．傅立叶变换概念 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。 f(t）是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;
傅里叶变换和工程窗函数
傅里叶变换和工程窗函数 感谢数学手册 傅里叶变换 1. 傅里叶级数 周期函数的傅里叶级数(简称傅氏级数)是由正弦函数和余弦函数项组成的三角函数。周期为T的任一周期函数f(t)，若满足下列狄里克雷条件: 1) 在一个周期内只有有限个不连续点; 2) 在一个周期内只有有限个极大和极小值点; T/2 ftdt(),,T/23) 积分存在， 则f(t)可展开为如下傅氏级数: ,1ftaantbnt,，，,,()(cossin),0nn2n1, (F-1) bann式中系数和由下式给出: T/22aftntdtn,,,,()cos;(0,1,2,...,)n,T,T/2 T/22bftntdtn,,,,()sin;(0,1,2,...,)n,T,T/2 ,,,2/T式中称为角频率 周期函数f(t)的傅氏级数还可以写为复数形式(或指数形式): ,jnt,ftae(),,nn,,, (F-2) 式中系数 T/21,,jntaftedt,()n,jt,Tetjt,，cossin,,,T/2 其中欧拉公式 如果周期函数f(t)具有某种对称性质，如为偶函数、奇函数，或只有偶次谐波，则傅氏级数中的某些项为0，系数公式可以简化，下表列出了具有几种对称性质的周期函数f(t)的傅氏级数简化结果: ba对称性特点 nn
T/24只有余ftft()(),,ft()ftntdt,()cos0 1111, 偶函数弦项 T0 T/2只有正4ftft()(),,,ft()ftntdt,()sin0 2222 奇函数, 弦项 T0 只有偶次谐波T/2T/2只有偶44ft()ftntdt,ftntdt,()cos()sin333,, 数n ftTft(/2)(),,TT3300 只有奇次谐波T/2T/2只有奇44ft()ftntdt,ftntdt,()cos()sin444,, 数n ftTft(/2)(),,,TT4400 2. 傅里叶积分和傅里叶变换 任一周期函数只要满足狄里克雷条件，便可以展开为傅氏级数，对于非周期函数，因为其周期T为趋于无穷大，不能直接用傅氏级数展开，而要做某些修改，这样就引出了傅里叶积分。 ,,,2/T0若f(t)为非周期函数，则可视它为周期T为趋于无穷大，角频率趋于0的 ,,，,,,,(1)nn00周期函数，这时，在傅氏级数展开式中，各个相邻的谐波频率之差便 n,,,0很小，谐波频率须用一个变量代替【注意，此处不同于(F-1)所述的角频率】。这样，式(F-2)便可改写为: ,jt,fte(),,,,n,,, (F-3) T/2,,,,jtftedt(),,,,2,,T/2 于是便得: TT/2/2,,,,1,,,,,,jtjtjtjtftftedteftedte()[()][()],,,,,,,,22,,,,,,,,n n,,TT/2/2 ,,d,,当T—>时，—>，求和式变为积分式，上式可写为: ,,1jtjt,,,ftftedted,,()[()],,,2,,,, (F-4) 若令 ,jt,,Fftedt()(),,,,, (F-5)
实验四傅里叶变换(FT)及其性质
实验四傅里叶变换(FT)及其性质 一、实验目的 1学会运用Matlab求连续时间信号的傅里叶 2、学会运用Matlab求连续时间信号的频谱图 3、学会运用Matlab分析连续时间信号的傅里叶变换的性质 二、实验原理及实例分析 (一)傅里叶变换的实现 在曲廊讨论的刑期信号中・当WW T *〒时•周期信号就鞘化为非闻期信号・当周期<吋・周期信号的各欢锻波幅度及谱线间編将JS近于尢勢小•但類谱的相时形状像持不变・这样*象来由许多谓鎖#!眦的曲期WT号MAttlK谱Ht会连咸用、够成卄周期们号前诠纹顶讲为r有效地分析ir庇期信号的稠¥ tv h •找门引人广忙w叶交换分折法. 倩号川卄的傅卑叶更换宦义为 FW 士F[/h)]= [ /
(完整版)信号与系统的公式汇总分类.docx
线性时移频移 1 连续傅里叶变换 2 连续拉普拉斯变换 (单边 ) j t st F ( j) f (t )e dt F (s)0f (t )e dt 1)e j t d 1j st f (t ) F ( j f ( t) 2j j F (s)e ds 2 af1 (t ) bf2 (t )aF1 ( j ) bF2 ( j ) 线性af(t )bf(t )aF ( s)bF(s) 1212 f (t t 0 )e j t0F ( j ) 时移 f (t t0 ) e st0 F (s) e j0 t f (t ) F ( j (0 )) 频移e s0t f (t ) F ( s s ) b b 3 离散 Z 变换 ( 单边 ) 4 离散傅里叶变换 F ( z) k F ( e j ) f (k) e j k k 0 f ( k) z k f (k )1 F ( z) z k 1 dz, k 0 f (k)1 F (e j) e j k d 2j L22 线性af1 (k )bf 2 ( k)aF1(z) bF2 (z)线性af1(k)bf2( k)aF1(e j )bF 2(e j ) 时移 f ( k m)z m F (z) （双边）时移 f (k m) e j m F (e j ) 频移e j k f (k) F (e j0 z) （尺度变换）频移e jk 0f (k) F (e j ( )) 尺度变换反转时域卷积频域卷积时域微分频域微分时域积分频域积分 f (at b)1 j ) 尺度 f (at b) s e a F ( j a 1 e a F( s ) |a |变换| a |a f ( t ) F ( j )反转 f ( t)F( s) f1(t )*f2 (t)F1 ( j)F2 ( j) 时域 f1(t )* f 2 (t)F1 (s) F2 (s) 卷积 f 1 (t) f 2 (t)1F ( j) * F 2 ( j) 21f(t )sF(s) f (0) 时域 f (t) f ( n) (t)j F ( j ) ( j )n F ( j ) 微分f(t)s 2 F (s) sy(0 )y (0) tf (t) (jt ) n f (t )j dF ( j) d n F ( j )S 域 tf (t ) (t ) n f (t ) F(s) d n F (s) d d n微分ds n t ) 0 F ( j ) F (0) ( ) 时域t F (s) f (1) (0) f ( x)dx , f ( j积分 f ( x )dx s s f ( 0)t f( t) F ( j ) d , F ()0S 域 f (t) F ( )d (jt )t 积分s 尺度 变换 反转 时域 卷积 时域 差分 Z域 微分 部分 求和 Z域 积分 f (k f(k f (k f (k a k f (k) F ( z )尺度 a变换 f ( k) F (z 1) （仅限双边）反转 f1(t)*f2 (t)F1 (z)F2 (z) 时域 卷积 1)z 1F (z ) f ( 1)频域 2)z 2 F ( z)z 1 f ( 1) f ( 2)卷积 1)zF ( z) zf ( 0)时域 z 2F ( z)z2 f (0) zf (1) 2)差分 kf (k) dF( z)频域 z dz微分 k z时域 f (k)*(k) f (i ) z1累加 i f (k )z m F () d k m z m1 f( n) ( k) f ( k / n) F ( e jn ) f (k) F (e j) f (k)* f 2 (k) F (e j )F 2 (e j) 11 f 1 (k) f 2 (k )1 F (e j)F (e j () )d 2212 f (k) f (k 1)(1 e j)F (e j ) kf(k ) dF (e j) j d F(e j) F (e j 0 )( 2 k) f (k) e j k1k f ( 0)lim F ( z) , f (1)lim [ zF( z)zf (0)] z z 对称 帕斯瓦尔 F( jt) 2 f ()初值 f (0 )lim sF (s), F (s) 为真分式 s E| f (t) | 2 dt 1| F ( j ) | 2 d 终值 f ( )lim sF ( s), s 0 在收敛域内 2s 0 初值 终值 f ( f ( M ) lim z M F( z) （右边信号）, f (M1)lim [z M 1 F( z)zf (M ) z z 帕斯 | f (k) |2 1 | F (e j ) |2 d ) lim ( z 1)F ( z) （右边信号） z 1瓦尔k22
fft(快速傅里叶变换)
1. 一维快速傅里叶变换的原理： 关于变量X 的次数界为n 多项式P(X)， 其系数表示法表示为 P(X) = A0 * X^0 + A1 * X^1 + ... + An-1 * X^(n-1) 其点值表示法表示为 n 个点值对组成的集合{ (X0,Y0), (X1,Y1), ..., (Xn-1,Yn-1) }， 集合中所有Xi 各不相同且Yi = P(Xi)。 显然，点值表示不唯一。 定理：对于任意n 个点值对组成的集合{ (X0,Y0), (X1,Y1), ..., (Xn-1,Yn-1) }，存在唯一的次数界为n 的多项式P(X)，满足Yi = P(Xi)，i = 0, 1, ... n-1 。 精心挑选n 个点，可以使两种表示相互转化的算法的时间复杂度压缩为nlog(n)。 如果选择“单位复根”作为求值点，则可以通过对系数向量做离散傅里叶变换（DFT），得到相应的点值表示，也可以通过对点值执行“逆DFT”运算，而获得相应的系数向量。 n 次单位复根是满足W^n = 1 的复数W ，n 次单位复根刚好有n 个，它们是 e^(2*PI*i*k / n)，k = 0, 1, ..., n-1 。 Wn = e^(2*PI*i/n) 称为主n次单位根，其它n次单位根都是它的幂。 引理：对任何整数n>=0, k>=0, d>0, Wdn^dk = Wn^k 。 推论：对任意偶数n>0, 有Wn^(n/2) = W2 = -1 。 引理：如果n>0 为偶数，n个n次单位复根的平方等于n/2 个n/2 次单位复根。 假定n 为2的幂，则次数界为n 的多项式P(X) = A0 * X^0 + A1 * X^1 + ... + An-1 * X^(n-1) ，其系数向量为A = (A0, A1, A2, ... An-1)，P(X)在n 个单位复根处的值为Yk = P(Wn^k)，向量Y = (Y0, Y1, ... , Yn-1) 是系数向量A 的离散傅里叶变换（DFT），写作Y = DFTn(A) 。 使用快速傅里叶变换(FFT)的方法，可以在nlog(n) 的时间内计算出DFTn(A)，主要利用了单位复根的性质。 FFT 用了分治策略，对P(X) 定义两个多项式 P0(X) = A0 + A2 * X + A4 * X^2 + ... + An-2 * X^(n/2-1) 偶数下标 P1(X) = A1 + A3 * X + A5 * X^2 + ... + An-1 * X^(n/2-1) 奇数下标 则 P(X) = P0(X^2) + X * P1(X^2) 由以上可以递归实现FFT 。 使用FFT方法求“逆DFTn”，做法与以上类似，只是把 A 与Y 的角色互换，用Wn^(-1) 代替Wn，并且将每个结果元素除以n 。 考察FFT递归的树形结构，可以将 A 中的元素按其在叶中出现的次序排序，然后从叶开始，一层层向根进行迭代计算。