傅里叶变换性质证明
2.6 傅里叶变换的性质
2.6.1线性
若信号和的傅里叶变换分别为和，
则对于任意的常数a和b，有
将其推广，若,则
其中为常数，n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.
显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即
叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和
2.6.2 反褶与共轭性
设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。
（1）反褶
f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为
（2）共轭
（3）既反褶又共轭
本性质还可利用前两条性质来证明：
设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则
在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质
2.6.3 奇偶虚实性
已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即
根据定义，上式还可以写成
下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。
(1) f(t)为实函数
对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得
（1.1）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)
X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故
这时X()=0，于是
可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即
左边反褶，右边共轭
（1.2）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)
R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故
这时R()=0，于是
可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即
左边反褶，右边共轭
有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。
2.6.4对称性
傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性质。若已知
F()=F[f(t)]
则有
F[f(t)]=2лf(-)
证明：因为
将变量t与互换，再将2乘过来，得
上式右边是傅里叶正变换定义式，被变换函数是F(t)
所以
F[F(t)]=2лf(-)
若f(t)为偶信号，即f(t)=f(-t)，则有
F[F(t)]=2f()
从上式可以看出，当f(t)为偶信号时，频域和时域的对称性完全成立――即f(t)的频谱是F()，F(t)的频谱为f()。
若f(t)为奇信号，即f(t)=-f(-t)，则有
F[F(t)]=-2f()
利用FT的对称性，我们可以很方便地一些信号的傅里叶变换。下面我们举些例子来说明这一点。
2.6.5 尺度变换
若F[f(t)]=F()，则
这里a是非零的实常数。
下面利用FT的定义及积分的性质，分a>0和a<0两种情形来证明傅里叶变换的尺度变换特性。
证明：因为
令at=x，
当a > 0时
当a < 0时
上述两种情况可综合成如下表达式：
由上可见，若信号f(t)在时域上压缩到原来的1/a倍，则其频谱在频域上将展宽a倍，同时其幅度减小到原来的1/a。
尺度变换性质表明，在时域中信号的压缩对应于频域中信号频带的扩展，反之，信号的时域扩展对应于频域的压缩。对于a=-1的特殊情况，它说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶。
对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的解释可以采用生活中的实例来说明，在录音带快放时，其放音速度比原磁带的录制速度要快，这就相当于信号在时间上受到了压缩，于是其频谱就扩展，因而听起来就会感觉到声音发尖，即频率提高了。反之，当慢放时，放音的速度比原来速度要慢，听起来就会感觉到声音浑厚，即低频比原来丰富了（频域压缩）。
2.6.6 时间平移(延时)
下面进行证明
证明：
上式右边的积分项为傅里叶变换定义式，
于是可以得到
同理可以得到
2.6.7 时域微分
若F[f(t)]=F()，则
证明：因为，两边对t求导，可得
所以
同理，可以推出
由上可见，在时域中f(t)对t取n阶导数等效于在频域中f(t)的频谱F()乘以(j)n. 下面举一个简单的应用例子。若已知单位阶跃信号u(t)的傅里叶变换，可利用此定理求出(t)的FT
2.6.8 频域微分
若F[f(t)]=F()，则
证明：因为，两边分别对求导，可得
所以
2.6.9 时域积分
可见，这与利用符号函数求得的结果一致。
2.6.10 频域积分
若F[f(t)]=F() ，则有
2.6.11 时域卷积定理
2.6.12 频域卷积定理
与时域卷积定理类似，
证明方法同时域卷积定理，在这里不在重复，同学们可自己证明。
由上可见，两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘积。或者说，两个时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以1/2。
显然，时域与频域卷积定理是对称的，这是由傅里叶变换的对称性决定的。
2.6.13 帕斯瓦尔定理
前面我们在讲信号分解时，提及帕斯瓦尔定理。下面我们来研究一下该定理在FT中的具体表现形式。
若F[f(t)]=F() ，则
这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现，它表明了信号的能量在时域与频域是守恒的。下面利用FT的定义和性质，推导信号能量的求解。
式中是信号f(t)的总能量，为信号f(t)的能量谱密度。
帕斯瓦尔定理表明，这个总能量既可以按每单位时间的能量|f(t)|2在整个时间内积分计算出来，也可以按单位频率内的能量/2在整个频率范围内积分来得到。
此定理也可以如下证明。由相关性定理可得
取t=0，即得帕斯瓦尔定理。
傅里叶变换性质证明
２。6 傅里叶变换得性质 2。6.1线性 若信号与得傅里叶变换分别为与,??? 则对于任意得常数a与b,有? ? 将其推广,若,则??? 其中为常数,n为正整数。? 由傅里叶变换得定义式很容易证明线性性质、 ?显然傅里叶变换也就是一种线性运算,在第一章我们已经知道了,线性有两个含义:均匀性与叠加性。均匀性表明,若信号乘以常数a,则信号得傅里叶变换也乘以相同得常数a,即 ???叠加性表明,几个信号之与得傅里叶变换等于各个信号得傅里叶变换之与?? ２．6．2 反褶与共轭性 设f(t)得傅里叶变换为,下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后,新信号得傅里叶变换。 (1)反褶 ｆ(-t)就是ｆ(ｔ)得反褶,其傅里叶变换为 (２)共轭 (3)既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明: 设ｇ(t)=f(-t),h(t)＝g*(t),则 在上面三条性质得证明中,并没有特别指明f(t)就是实函数还就是复函数,因此,无论f(t)为实信号还就是复信号,其傅里叶变换都满足下面三条性质
2。6.3 奇偶虚实性 已知f(t)得傅里叶变换为。在一般情况下,就是复函数,因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即 根据定义,上式还可以写成 下面根据f(t)得虚实性来讨论Ｆ()得虚实性、 (1) f(t)为实函数?对比式(２－33)与(2—34),由ＦT得唯一性可得 (1、1)f(t)就是实得偶函数,即ｆ(ｔ)=f(—t) X()得积分项就是奇函数,而奇函数在对称区间内得积分为零,故 这时X()=0,于就是??可见,若f(ｔ)就是实偶函数,则F()也就是实偶函数,即 左边反褶,右边共轭 (１、2)ｆ(t)就是实得奇函数,即-f(t)＝f(-t)?Ｒ()得积分项就是奇函数,而奇函数在对称区间内得积分为零,故 这时R()=0,于就是 可见,若ｆ(t)就是实奇函数,则F()就是虚奇函数,即 左边反褶,右边共轭 有了上面这两条性质,下面我们来瞧瞧一般实信号(即可能既不就是偶信号,又不就是奇信号,反正不清楚,或者说就是没有必要关心信号得奇偶特性)得FT频谱特点、
傅里叶变换的基本性质.
傅里叶变换的基本性质（一） 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。 一、线性 傅里叶变换是一种线性运算。若 则 其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。 例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。 解因 由式(3-55)得 二、对称性 若则 证明因为 有 将上式中变量换为x，积分结果不变，即
再将t用代之，上述关系依然成立，即 最后再将x用t代替，则得 所以 证毕 若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56) 成为 可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如： 例3-7若信号的傅里叶变换为 试求。 解将中的换成t，并考虑为的实函数，有 该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为
根据对称性 故 再将中的换成t，则得 为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。 三、折叠性 若 则 四、尺度变换性 若 则 证明因a＞0，由
令，则，代入前式，可得 函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而则表示 沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。 该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。 例3-8已知,求频谱函数。 解前面已讨论了的频谱函数，且 根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数 两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
傅里叶变换性质证明
2.6傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号「和J的傅里叶变换分别为一「；和I r aC , F[f1(t)]=F1(ffl)i F[fJt)]=F a(ffl) 则对于任意的常数a和b,有 F[af1(t)+fJtll=aF1(ffl l÷bFJffl) 将其推广，若■-、出 -,则 其中匚为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即卩 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 砒（W2?］的?卜伽）1 2.6.2反褶与共轭性 号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换 设f(t) 的傅里叶变换为F面我们来讨论信
（1）反褶
f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 本性质还可利用前两条性质来证明： 设 g(t)=f(-t) ，h(t)=g*(t),则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明 f(t)是实函数还是 复函数，因此 ， 无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性 质 (2) 共轭 =匸施)时论匸加門(M 因为F 是实数，所以［dt)*=dt 彳寻共觇提到积分之外 根据傅 里叶变换的定义 (3) 既反褶又共轭 * ??tl 3r F?r^!? :o?苫
FLT(-O] = FH y) F[f,HI)=r?) FLn￡)]"H J) 2.6.3奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 FQ) U 卩(询)* 眄' =j?Crt)) +χ((?) 显獻μ?) 卜阿跖丽 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t) 为实函数 对比式(2-33)与(2-34),由FT的唯一性可得 R(O)) = J [/(t) cosaf址 (1.1)f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X( )=0 ,于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 7】：’匚Fl左边反褶，右边共轭 (1.2)f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R(J的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R( )=0 ,于是 (2-33) φ((w) = arc tan (曲)=2[ /(t)cos^? 根据定义，上式还可以写成
傅里叶变换性质证明
2.6 傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶
f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质
2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数 对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （1.1）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （1.2）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R()=0，于是
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明The final revision was on November 23, 2020
傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即
叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和? 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则
在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 ? 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故
傅里叶变换的对称性证明
傅里叶变换的对称性证明傅里叶变换是一种重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、物理学等领域有着广泛的应用。在傅里叶变换的理论中，对称性是一个重要的性质，它使得傅里叶变换的计算更加简洁和方便。下面将详细介绍傅里叶变换的对称性及其证明。 首先，我们来了解一下傅里叶变换的定义。傅里叶变换将一个函数从时间域转换到频率域，它的定义如下： F(ω) = ∫f(t)e^(-iωt)dt 其中，F(ω)代表函数f(t)在频率域上的表示，e^(-iωt)是复指数函数，ω是频率，t是时间。 在傅里叶变换的定义中，我们可以看到一个重要的对称性关系：如果将变换中的t换成-t，那么变换后的结果应该是相同的。 即，F(ω) = ∫f(-t)e^(-iωt)dt 这就是傅里叶变换的对称性。下面我们来证明这个对称性。 证明过程如下： 首先，我们将变换中的t换成-t，得到： F(ω) = ∫f(-t)e^(-iωt)dt 接下来，我们对上式中的积分变量t进行变换，令t' = -t，那么dt = - dt'，并且当t = -∞时，t' = ∞，当t = ∞时，t' = -∞。将这些变换代入上式，得到： F(ω)= ∫f(t')e^(-iω(-t'))(-dt') 由于e^(-iω(-t')) = e^(iωt')，并且积分变量t'的范围从-∞到∞，所以上式可以进一步化简为： F(ω) = ∫f(t')e^(iωt')dt' 我们可以看到，上式与傅里叶变换的定义是完全一致的，所以我们可以得出结论：傅里叶变换具有对称性。
傅里叶变换的对称性使得我们可以利用这个性质来简化变换的计算。例如，如果我们已知一个函数在频率域上的表示F(ω)，我们可以通过对称性得到该函数在时间域上的表示。具体而言，我们可以使用逆傅里叶变换来实现这个过程。 逆傅里叶变换的定义如下： f(t) = (1/2π)∫F(ω)e^(iωt)dω 根据傅里叶变换的对称性，我们可以将变换中的ω换成-ω，得到： f(t) = (1/2π)∫F(-ω)e^(-iωt)dω 由于F(-ω)代表函数f(t)在频率域上的表示，所以我们可以将F(-ω)替换成F(ω)，得到： f(t) = (1/2π)∫F(ω)e^(-iωt)dω 上式与逆傅里叶变换的定义是完全一致的，所以我们可以得出结论：逆傅里叶变换也具有对称性。 综上所述，傅里叶变换的对称性是通过对变换中的积分变量进行变换证明的。这个对称性使得傅里叶变换的计算更加方便和简洁，同时也为我们理解和应用傅里叶变换提供了重要的数学基础。
傅里叶变换 时域积分证明
傅里叶变换时域积分证明 傅里叶变换是一种重要的数学工具，可以将一个函数在时域中的表示转换为频域中的表示。通过傅里叶变换，我们可以将一个复杂的信号分解成一系列简单的正弦函数，并获得每个正弦函数的频率和振幅信息。傅里叶变换的时域积分证明是这一变换的基本原理之一。在进行傅里叶变换的时域积分证明之前，我们先了解一下时域和频域的概念。时域是指信号随时间变化的情况，而频域是指信号在不同频率上的变化情况。傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，使我们能够更好地理解信号的频谱特性。 那么，傅里叶变换的时域积分证明是如何进行的呢？ 我们假设有一个连续函数f(t)，其傅里叶变换表示为F(ω)，其中ω为频率。傅里叶变换的定义如下： F(ω) = ∫[−∞, ∞] f(t) * e^{−iωt} dt 其中，e^{−iωt}是一个复数指数函数，表示在时间t上的振幅和相位信息。 为了进行时域积分证明，我们首先将傅里叶变换的定义中的复数指数函数进行展开，得到： F(ω) = ∫[−∞, ∞] f(t) * (cos(ωt) − i*sin(ωt)) dt
接下来，我们将复数指数函数分解为实部和虚部： F(ω) = ∫[−∞, ∞] f(t) * cos(ωt) dt − i∫[−∞, ∞] f(t) * sin(ωt) dt 这样，我们将傅里叶变换的定义分解为两个积分项。现在，我们分别对这两个积分项进行求解。 对于第一个积分项∫[−∞, ∞] f(t) * cos(ωt) dt，我们可以利用积分的线性性质和欧拉公式进行变换： ∫[−∞, ∞] f(t) * cos(ωt) dt = Re[∫[−∞, ∞] f(t) * e^{iωt} dt] 其中，Re[ ]表示取复数的实部。这样，我们将原来的实部积分转换为复数积分，方便我们进行后续的计算。 接下来，我们对第二个积分项∫[−∞, ∞] f(t) * sin(ωt) dt 进行求解。同样地，我们可以利用积分的线性性质和欧拉公式进行变换： ∫[−∞, ∞] f(t) * sin(ωt) dt = Im[∫[−∞, ∞] f(t) * e^{iωt} dt] 其中，Im[ ]表示取复数的虚部。这样，我们将原来的虚部积分转换为复数积分。
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明 性质一：线性性质 F[a*f(t)+b*g(t)]=a*F[f(t)]+b*F[g(t)] 其中F表示傅里叶变换。这个性质的证明非常简单，我们只需将傅里叶变换的定义代入到等式中即可。 性质二：时移性质 时移性质指的是时域上的移动会导致频域上的相位变化。设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有： F[f(t - a)] = e^(-2πiaω) * F[f(t)] 其中a是常数，ω是角频率。这个性质的证明可以通过将f(t-a)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。 性质三：频移性质 频移性质指的是频域上的移动会导致时域上的相位变化。设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有： F[e^(2πiaω0) * f(t)] = F[f(t - a)] 其中a是常数，ω0是角频率。这个性质的证明可以利用傅里叶变换的定义以及欧拉公式进行推导。 性质四：尺度变换性质 尺度变换性质指的是时域上的信号缩放会导致频域上的信号压缩。设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：
F[f(a*t)]=，a，^(-1)*F[f(t/a)] 其中a是常数。这个性质的证明可以通过将f(a*t)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。 性质五：卷积定理 卷积定理是傅里叶变换中最重要的性质之一、它指出卷积在频域上等 于两个函数的傅里叶变换的乘积。设f(t)和g(t)是两个函数，f(t)*g(t) 表示它们的卷积，F[f(t)]和F[g(t)]表示它们的傅里叶变换，则有：F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)] 其中*表示卷积，乘法表示两个函数的傅里叶变换的乘积。这个性质 的证明可以通过将卷积展开成积分形式，然后利用傅里叶变换的定义进行 推导得到。 以上是傅里叶变换的几个重要性质及其证明。这些性质使得傅里叶变 换具有很强的分析和应用能力，在信号处理、图像处理、通信等领域得到 广泛应用。这些性质的正确性和证明对于理解和应用傅里叶变换非常重要。
傅里叶变换的对称性证明
一． 序列的傅里叶变换（DTFT ）的对称性 已知： [()]()j DTFT x n X e ω= **[()]()j DTFT x n X e ω-= **[()]()j DTFT x n X e ω-=(由Z 变换的性质可推出) 共轭对称序列：()()*e e x n x n =-实部是偶对称序列，虚部是奇对称序列 共轭反对称序列: ()()*o o x n x n =--实部是奇对称序列，虚部是偶对称序列 任一序列总可以表示成共轭对称序列和共轭反对称序列之和： ()()()()()()()()() **12 12e e o o x n x n x n x n x n x n x n x n x n ⎧⎡⎤=+-⎣⎦⎪⎪=+⎨ ⎪⎡⎤=--⎣ ⎦⎪⎩ ()()()()()()()()()**1212j j j e j j j e o j j j o X e X e X e X e X e X e X e X e X e ω ωωωωωωωω--⎧⎡⎤=+⎪⎣ ⎦⎪=+⎨ ⎪⎡⎤=-⎣ ⎦⎪⎩ 求证： [Re(())]() [Im(())]()j e j o DTFT x n X e DTFT j x n X e ωω ⎧=⎨=⎩ or [()]Re(()) [()]Im(())j e j o IDTFT X e x n IDTFT X e j x n ωω ⎧=⎨=⎩ [()]Re(()) [()]Im(())j e j o DTFT x n X e DTFT x n j X e ωω ⎧=⎨=⎩ or [Re(())]() [Im(())]()j e j o IDTFT X e x n IDTFT j X e x n ωω ⎧=⎨=⎩ 证明： ()()()[][] ** 1 21()()21 2Re(())2 Re(())j j j e X e X e X e DTFT x n x n DTFT x n DTFT x n ωωω-⎡⎤ = +⎣ ⎦⎡⎤= +⎣⎦== ()()( )[][]* * 121()()2 1 2I m (())2 I m (())j j j o X e X e X e D T F T x n x n D T F T j x n D T F T j x n ωω ω- ⎡⎤= -⎣ ⎦ ⎡⎤= -⎣⎦==
傅里叶变换的对称性证明
傅里叶变换的对称性证明 在傅里叶变换中，对称性是一个重要的性质。对称性分为时间对称和 频率对称两种情况，分别对应于函数f(x)和其傅里叶变换F(k)之间的对 称性。接下来，我们将证明傅里叶变换的对称性。 首先，我们来证明时间对称性。假设函数f(x)在时域中是一个偶函数，即f(x)=f(-x)。我们将其傅里叶变换表示为F(k) = ∫f(x)e^(- 2πikx)dx。 我们可以将变量x替换为-x，得到F(k) = ∫f(-x)e^(2πikx)dx = ∫f(x)e^(2πikx)dx。由于f(x)和f(-x)相等，所以F(k)和F(-k)也相等，即F(k) = F(-k)。这就证明了当函数f(x)是偶函数时，傅里叶变换是关 于k=0对称的。 同样地，我们可以证明当函数f(x)是奇函数时，傅里叶变换是关于 k=0对称的。假设函数f(x)在时域中是一个奇函数，即f(x)=-f(-x)。我 们将其傅里叶变换表示为F(k) = ∫f(x)e^(-2πikx)dx。 我们可以将变量x替换为-x，得到F(k) = ∫f(-x)e^(2πikx)dx = -∫f(x)e^(2πikx)dx。由于f(x)和-f(-x)相等，所以F(k)和-F(-k)也相等，即F(k) = -F(-k)。然而，当k等于0时，F(k)和-F(-k)相等，即 F(0) = -F(0)。由于任何数与其相反数相等，所以F(0)必然等于0。这就 证明了当函数f(x)是奇函数时，傅里叶变换是关于k=0对称的。 接下来，我们来证明频率对称性。假设函数f(x)的傅里叶变换表示 为F(k) = ∫f(x)e^(-2πikx)dx。我们将F(k)表示为F(f)，其中f是一 个频率变量。根据复共轭对称性，我们有F(-f)的复共轭等于F(f)。
傅里叶变换
这节我们利用傅里叶变换来求热传导方程柯西问题的解。 1.傅里叶变换及其基本性质 设f(x)是定义在），（∞+∞-上的函数，它在],-[l l +上上有一阶连续导数，则在),-(l l +中f(x)可以展开为傅里叶级数 ∑∞=++=10)sin cos (2)(n n n x l n b x l n a a x f π π， （1） 并且 ),2,1,0( sin )(1,cos )(1 ===⎰⎰--n d l n f l b d l n f l a l l n l l n ξξπξξξπξ （2） 将（2）代入（1）式，得到 ∑⎰⎰∞=---+=1)(cos )(1)(21)(n l l l l d x l n f l d f l x f ξξπξξξ 现设函数)(x f 在） ，（∞+∞-上绝对可积，当∞→l 时，由上式可得 ∑⎰⎰∞=---+=1)(cos )(1)(21)(n l l l l d x l n f l d f l x f ξξπξξξ 如记l l n l n n n π λλλλπλπ λ=-=∆=∆= = +1n 1,,,, ，则可形式地得到 ⎰ ⎰⎰∑∞ ∞ ∞ ∞ =→∆-= -∆=0 --1 )(cos )(1 )(cos )(1lim )(ξ ξλξλπ ξ ξλξλπ λd x f d d x f x f l l n n n （3） 积分表达式（3）称为)(x f 的傅里叶积分。可以证明，若)(x f 绝对可积，则在)(x f 本身及其导数为连续的点，)(x f 的傅里叶积分收敛于)(x f 在该点的函数值。 （3）式也可写成复数形式。由于)(cos ξλ-x 是λ的偶函数，)(sin ξλ-x 是λ的奇函数，可以将（3）式写成 ⎰⎰⎰⎰∞∞-∞ ∞∞∞ =-+-=-)(0-0 )(21)](sin )()[cos (21)(ξξλπ ξ ξλξλξλπξλd e f d d x i x f d x f x i （4） 于是，若令 ⎰ ∞ ∞ -=-)()()(ξξλξλd e f g x i （5） 就有 ⎰∞= 0)(21)(λλπ λd e g x f x i （6） 称)(λg 为)(x f 的傅里叶变换，记为F[f];称)(x f 为)(λg 的傅里叶逆变换，记为][1g F -。当)(x f 在），（∞+∞-上连续可导且绝对可积时，它的傅里叶变换存在，且其逆变换等于)(x f 。