傅里叶变换简表

1. 引言

傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。它由法国数学家约瑟夫·傅里叶在19世纪提出，并广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。傅里叶变换简表是一个方便查阅的工具，用于快速理解和计算傅里叶变换。

本文将详细介绍傅里叶变换的定义、性质和常见的傅里叶变换对应关系，并给出一个完整的傅里叶变换简表。

2. 傅里叶变换定义

傅里叶变换将一个连续时间函数或离散时间序列转换为连续频率函数或离散频率序列。对于连续时间函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)定义如下：

∞

(t)e−jωt dt

F(ω)=∫f

−∞

其中，e−jωt是旋转因子，ω是角频率。

对于离散时间序列x[n]，其傅里叶变换X[k]定义如下：

N−1

[n]e−j2πN kn

X[k]=∑x

n=0

其中，N是序列的长度。

3. 傅里叶变换性质

傅里叶变换具有许多重要的性质，这些性质使得傅里叶变换成为信号处理中不可或缺的工具。

3.1 线性性质

傅里叶变换是线性的，即对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有以下关系：

ℱ(af(t)+bg(t))=aℱ(f(t))+bℱ(g(t))

3.2 积分定理

如果一个函数在时域上积分之后再进行傅里叶变换，等于该函数频域上的傅里叶变换乘以2π。数学表达式如下：

ℱ(∫f

∞

−∞

(t)dt)=F(0)

3.3 卷积定理

卷积定理是傅里叶变换中的重要定理之一。它表示两个函数在时域上进行卷积，等于它们在频域上的傅里叶变换相乘。数学表达式如下：

ℱ(f∗g)=F(ω)G(ω)

3.4 频移性质

频移性质表示时域上的函数在频域上进行平移，即将函数的频谱中心从原点移到指定位置。数学表达式如下：

ℱ(f(t−t0))=e−jωt0F(ω)

其中，t0是平移量。

4. 傅里叶变换简表

根据傅里叶变换的定义和性质，我们可以得到一个完整的傅里叶变换简表。下面是一些常见函数及其傅里叶变换对应关系的简表：

函数傅里叶变换

常数函数f(t)=A F(ω)=2πAδ(ω)

单位冲激函数δ(t)F(ω)=1

正弦函数f(t)=sin(2πf0t)F(ω)=j

[δ(ω−f0)−δ(ω+f0)]

余弦函数f(t)=cos(2πf0t)F(ω)=1

[δ(ω−f0)+δ(ω+f0)]

矩形脉冲信号rect(t)F(ω)=2πsinc(ω

)

高斯函数f(t)=e−αt2F(ω)=√π

αe−

ω2

4α

指数函数f(t)=e jω0t F(ω)=2πδ(ω−ω0)

这只是傅里叶变换简表的一小部分，实际上还有更多常见函数及其傅里叶变换的对应关系。在实际应用中，可以根据需要查阅傅里叶变换简表，快速获取信号的频域信息。

5. 结论

本文介绍了傅里叶变换的定义、性质和常见的傅里叶变换对应关系，并给出了一个完整的傅里叶变换简表。傅里叶变换作为一种重要的数学工具，在信号处理、图像

处理、通信等领域有广泛应用。通过使用傅里叶变换简表，可以快速理解和计算信号的频域特性，提高工作效率。希望本文能够帮助读者更好地理解和应用傅里叶变换。

傅里叶变换的基本性质.

傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。一、线性傅里叶变换是一种线性运算。若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x，积分结果不变，即

再将t用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56) 成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如：例3-7若信号的傅里叶变换为试求。解将中的换成t，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为

根据对称性故再将中的换成t，则得为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a＞0，由

令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。例3-8已知,求频谱函数。解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。

常见傅里叶变换对照表

常见傅里叶变换对照表一、傅里叶变换简介 1.1 什么是傅里叶变换傅里叶变换是一种将函数从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学技术。它可以将一个信号表示成若干不同频率的正弦波的叠加，从而揭示信号的频谱特征。傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域广泛应用。 1.2 傅里叶级数与傅里叶变换的区别傅里叶级数只适用于周期信号，它将周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的叠加。而傅里叶变换则适用于非周期信号，它将非周期信号分解为连续的频谱成分。 1.3 傅里叶变换的基本公式傅里叶变换的基本公式如下： ∞ (t)⋅e−jωt dt F(ω)=∫f −∞ 其中，F(ω)表示信号f(t)在频率ω处的复幅，j为虚数单位。二、时域与频域的对应关系 2.1 时域和频域的意义时域表示信号随时间变化的情况，主要包括信号的幅度、相位等信息；频域则表示信号在不同频率上的成分及其对应的幅度、相位等信息。 2.2 原始信号与频域成分的对应关系原始信号在频域中可表示为若干个频率分量的叠加，傅里叶变换将原始信号转换为频域成分，每个频域成分对应一个复数值，表示该频率上的幅度和相位。

2.3 时域与频域之间的转换时域信号可以通过傅里叶变换转换为频域信号，频域信号可以通过傅里叶逆变换还原回时域信号，二者之间存在一一对应的关系。三、常见傅里叶变换对照表 3.1 常见信号及其频域表示下表列举了一些常见信号的时域表示和频域表示。信号名称时域表示频域表示单频正弦信号 Asin(ω0t+ϕ)Aδ(ω−ω0)+Aδ(ω+ω0) 周期方波信号B0,B1,...,B n B0δ(ω) +B1δ(ω−ω0)+...+B nδ(ω−nω0) 高斯脉冲信号f(t)= 1 √2πσ − t2 2σ2F(w)=e− σ2w2 2 矩形脉冲信号f(t) ={1,当− T 2

傅立叶变换的原理、意义和应用

傅立叶变换的原理、意义和应用 1概念：编辑傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。参考《数字信号处理》毅明著p.89，机械工业2012年发行。定义 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换中文译名 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、

“傅氏变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。应用傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).[1] 2性质编辑线性性质傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果。具体而言，假设函数

傅里叶变换频谱

傅里叶变换频谱傅里叶变换是一种数学变换，用于将一个信号从时域转换为频域，以便更好地了解信号的频率特性。频率特性可以帮助我们更好地理解信号，并在信号处理中发挥重要作用，尤其是在音频、图像与视频等领域。傅里叶变换中最重要的概念是频谱。频谱是描述一个信号在频域中的特性的图形或图像。频谱实际上是一个将信号在频率轴上的幅度或相位表示的函数。通过傅里叶变换得到的频谱可以告诉我们一个信号的频率内容。频率的大小和位置决定了信号的音调（对于音频信号）或图像质量（对于图像和视频信号）。简单地说，傅里叶变换利用了一个基本原理：任何时间域上的信号可以表示为一些正弦和余弦波的和。通过傅里叶变换，可以将时域信号分解成许多不同的正弦和余弦成分，每个成分都有一个不同的频率和振幅。这些正弦和余弦成分的振幅就构成了该信号的频谱。例如，将一首歌曲的声音信号输入到傅里叶变换中，可以得到该歌曲频域中音乐曲线的形状。一个用于表示这种频谱的示例图表显示了不同的音调如何在不同的频率上显示，并显示在经常使用的频率区域中的哪些音调最强。

而对于图像或视频信号，傅里叶变换同样适用。通过将上层图层分解成较小的频率分量，就可以分析和处理从高分辨率图像中提取的频谱，从而更好地了解图像的基本频率成分。这种分解可以应用于许多领域的图像和视频处理，例如压缩、去噪和滤波等。除了傅里叶变换，还有许多其他类型的频谱分析，例如小波分析和快速傅里叶变换等。但是，傅里叶变换仍然是信息处理领域最重要且最常用的分析技术之一。在傅里叶变换的应用中，我们常常需要考虑用傅里叶变换所得到的频谱的问题。频谱的精度、分辨率和动态范围等优劣相对的特性不同，对于不同的应用而言具备不同的意义与价值。当我们面临处理不同类型的信号时，需要满足我们需要的相应的频谱质量。例如，音频处理通常需要很精确的频谱分辨率，以确保不会失去音乐细节。而对于图像处理，我们通常希望傅里叶变换提供一种不留下人眼难以察觉的光滑过渡的频谱表示。在各种不同的应用情况下，傅里叶变换和频谱分析等技术一直被广泛应用。而对于初学者而言，掌握傅里叶变换和频谱的基本知识可以帮助我们更好地理解和处理各种信号类型。同时，通过进一步深入地学习大量实例和练

不定积分的傅里叶变换

不定积分的傅里叶变换不定积分是高等数学中一个非常重要的概念，它与微积分、微分方程等多个分支密不可分。当我们进行复杂的计算时，不定积分可以帮助我们简化问题，求出函数的原函数。而傅里叶变换则是我们研究信号处理、波动传输、量子力学等问题必不可少的工具，它可以将时域（时间域）的函数转化为频域（空间域）的函数，从而更直观地观察到信号的特性。本文将探讨不定积分与傅里叶变换的关系。首先，我们来回顾一下不定积分的基本概念。对于一个不定积分∫f(x)dx，我们需要求出函数f(x)的原函数F(x)，即满足F'(x)=f(x)的函数F(x)。不定积分也可以看作是微积分中的反运算，它的结果并不是一个具体的数值，而是一个含有未知常数C的函数表达式。因此，不定积分带有一定的不确定性，这也使得它的应用范围非常广泛。在不定积分的研究过程中，我们经常会遇到一些复杂的函数，甚至无法直接求出它们的原函数。这时，我们可以利用傅里叶变换将函数从时域转化为频域，从而更容易地对函数进行分析和处理。傅里叶变换的基本思想是将一个函数表示为一组正弦波的和，这些正弦波具有不同的频率和振幅。通俗地说，傅里叶变换将一

个“复杂”的函数分解成一些“简单”的正弦函数。这样做的好处是，我们可以更好地理解和描述函数的性质，也可以更容易地对函数进行操作和变换。傅里叶变换的数学表达式为： F(ω)=∫f(t)e−iωtdt 其中，F(ω)表示函数f(t)的傅里叶变换，ω表示频率，i表示虚数单位，e表示自然对数的底数，t表示时间。这个公式虽然看起来有些复杂，但是它实际上反映了傅里叶变换的基本思想，即将函数从时域转化为频域。接下来，我们来探讨一下不定积分和傅里叶变换之间的联系。通过傅里叶变换，我们可以将一个函数表示为一组正弦波的和，而这些正弦波的频率和振幅都可以通过变换后的函数得到。因此，如果我们已知一个函数在频域上的表达式，就可以通过反傅里叶变换将它转化为时域上的函数表达式。

离散傅里叶变换表

离散傅里叶变换表一、引言 1.1 背景傅里叶变换是离散信号处理中一项重要的数学工具。通过将信号分解为一组基本频率分量，傅里叶变换能够帮助我们理解信号的频谱性质以及对信号进行频域处理。离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是傅里叶变换在离散时序信号处理中的一种形式。为了方便使用离散傅里叶变换，我们可以借助离散傅里叶变换表来进行相关计算。 1.2 目的本文旨在深入探讨离散傅里叶变换表的相关概念、原理及使用方法，帮助读者更好地理解和应用离散傅里叶变换。二、离散傅里叶变换表的概念 2.1 定义离散傅里叶变换表是一种用于记录离散信号傅里叶变换结果的表格。表中的每个元素都代表了输入信号在不同频率下的幅度和相位信息。离散傅里叶变换表通过提供离散信号的频谱信息，帮助我们理解信号的频域特征。 2.2 数据结构离散傅里叶变换表通常采用二维数组来表示。其中，行代表频率，列代表离散信号序列的元素位置。表中的每个元素都是一个复数，包含了频域幅度和相位信息。通过查找表中的元素，我们可以得到离散信号在不同频率下的频谱表示。

三、离散傅里叶变换表的原理 3.1 傅里叶变换公式离散傅里叶变换是由连续傅里叶变换演化而来的，它将连续信号的傅里叶变换拓展到了离散信号上。离散傅里叶变换公式如下：其中，N代表离散信号长度，x[n]表示离散信号序列，X[k]表示离散信号的频域表示。 3.2 离散傅里叶变换表的生成方法离散傅里叶变换表可以通过计算离散信号在不同频率下的傅里叶变换结果得到。常用的生成方法是使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法，该算法通过有效的计算方法减少了计算复杂度，提高了计算效率。通过FFT算法，我们可以快速生成离散傅里叶变换表。四、离散傅里叶变换表的使用方法 4.1 查找频域信息离散傅里叶变换表中的元素代表了离散信号在不同频率下的频谱信息。通过查找表中的元素，我们可以获取信号在某一频率下的幅度和相位信息。这对于理解信号的频域特性非常重要。 4.2 频域滤波离散傅里叶变换表可以帮助我们进行频域滤波。通过设置表中某些频率位置的值为0，我们可以实现对特定频率成分的滤波操作。这对于信号处理和噪声去除非常有用。 4.3 信号合成离散傅里叶变换表提供了信号的频域信息，我们可以通过逆傅里叶变换将频域信号转换回时域。通过将不同频率下的幅度和相位信息组合在一起，我们可以合成出与原始信号相似的离散信号。

傅里叶变换图解

这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 -------- 以上是定场诗----------- 下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多一、啥叫频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：

基本傅里叶变换

基本傅里叶变换傅里叶变换是一种将一个信号从时域转换成频域的方法，常常被用来分析和处理信号。这种方法可以将一个复杂的信号分解成若干个不同频率的正弦波，从而可以更深入地研究其特性和性质。在本文中，我们将讨论基本的傅里叶变换步骤以及其在信号处理中的应用。第一步是选取一个待处理的信号。这个信号可以是任何类型的波形信号，包括声音信号、图像信号、视频信号等等。一般情况下，我们要求这个信号是周期性的，并且在整个周期内都是平滑的。第二步是将信号分解成若干个周期函数。这个步骤可以通过傅里叶级数来实现。傅里叶级数是一个数学公式，可以将一个周期函数表示成若干个正弦波的叠加。这些正弦波的频率和振幅都是通过傅里叶变换计算得出的。第三步是进行傅里叶变换。这个步骤可以使用快速傅里叶变换（FFT）算法来实现。FFT算法是一种高效的算法，可以在计算机上快速地计算出傅里叶变换的结果。在进行傅里叶变换之前，我们需要将周期函数进行采样，得到一组离散的值。然后，通过FFT算法，我们可以计算出这些离散值的傅里叶变换。第四步是分析傅里叶变换的结果。傅里叶变换的结果是一个复数函数，可以表示信号在各个频率上的幅度和相位信息。我们可以根据这些信息对信号进行进一步的分析和处理。例如，可以通过滤波来去除某些频率上的噪声，或者可以对信号进行压缩，以减少存储空间的占用。最后一步是将处理后的信号进行重构。通过傅里叶逆变换，我们可以将傅里叶变换的结果转换回时域，得到处理后的信号。这个步骤可以使用IFFT算法来实现。傅里叶变换在许多领域都有广泛的应用，特别是在音频和视频处理中。例如，我们可以将音频信号进行傅里叶变换，得到其频谱图，从而可以分析其频率和振幅信息。在视频处理中，我们可以对视频信

傅里叶变换的通俗解释

傅里叶变换的通俗解释作者：韩昊（德国斯图加特大学通信与信息工程专业硕士生）提要：这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 ———以上是开场白，下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…… 一、啥叫频域？从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，

这个静止的世界就叫做频域。先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：好的！下课，同学们再见。是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。将以上两图简化：时域：

常用函数傅里叶变换

附录Ａ拉普拉斯变换及反变换 2、表A-2 常用函数得拉氏变换与z变换表

3。用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换得关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设就是得有理真分式 () 式中系数,都就是实常数;就是正整数。按代数定理可将展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 无重根这时,F(s)可展开为n 个简单得部分分式之与得形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F — 1) 式中,就是特征方程A(ｓ)=0得根。为待定常数,称为F(s)在处得留数,可按下式计算: (F-2) 或 (F-３) 式中,为对得一阶导数。根据拉氏变换得性质,从式(F-1)可求得原函数＝ (F —4) ② 有重根设有ｒ重根,F(s)可写为 = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中,为F(s)得r 重根,,…, 为F(s)得ｎ—r 个单根; 其中,,…, 仍按式(F —2)或(F —３)计算,,,…, 则按下式计算:

(F —5) ﻩ 原函数为 ⎥⎦⎤⎢⎣ ⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11 111 1111)()()( t s n r i i t s r r r r i e c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡+++-+-=112211 1 )!2()!1( (F-6)

拉氏变换和傅里叶变换的关系

拉氏变换和傅里叶变换的关系一、拉氏变换 1、拉氏变换的定义：如果有一个以时间t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，，那么()t f 的的拉普拉斯变换定义为 ()()()0e d st F s L f t f t t ∞ -=∆⎡⎤⎣⎦⎰ (2.10) s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ⎰∞-0e st 称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。 2、拉氏变换的意义工程数学中常用的一种积分变换。它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用二、傅里叶变换 1、傅里叶变换的定义： f(t ）是t 的函数，如果t 满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t ）的傅立叶变换， ②式的积分运算叫做F （ω）的傅立叶逆变换。F （ω）叫做f(t ）的像函数，f(t ）叫做 F （ω）的像原函数。F （ω）是f(t ）的像。f(t ）是F （ω）原像。 ① 傅里叶变换 ② 傅里叶逆变换 2、傅里叶变换的意义傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较

傅里叶变换(FFT)详解

关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.360docs.net/doc/6318986555.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。二、傅立叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。

信号处理中傅里叶变换简介

傅里叶变换一、傅里叶变换的表述在数学上，对任意函数f（x），可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开.泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式,本质上自变量未改变,仍为x,而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式,同时将自变量由x变成ω,且由于三角函数处理比较简单,具有良好的性质,故被广泛地应用在信号分析与处理中,可将时域分析变换到频域进行分析。信号分析与处理中常见的有CFS（连续时间傅里叶级数)、CFT （连续时间傅里叶变换）、DTFT（离散时间傅里叶变换)、DFS(离散傅里叶级数）、DFT（离散傅里叶变换)。通过对连续非周期信号x c（t)在时域和频域进行各种处理变换,可推导出以上几种变换,同时可得出这些变换之间的关系。以下将对上述变换进行简述，同时分析它们之间的关系。 1、CFS(连续时间傅里叶级数）在数学中，周期函数f(x）可展开为由此类比，已知连续周期信号x（t)，周期为T0，则其傅里叶级数为其中，

为了简写，有其中，为了与复数形式联系，先由欧拉公式e j z=cos z+jsin z得故有令

则对于D n，有 n≤0时同理. 故 CFS图示如下： Figure 错误!未定义书签。理论上，CFS对于周期性信号x（t）在任意处展开都可以做到无

误差，只要保证n从-∞取到+∞就可以。在实践中，只要n取值范围足够大,就可以保证在某一点附近对x(t）展开都有很高的精度。 2、CFT（连续时间傅里叶变换) 连续非周期信号x（t），可以将其看成一连续周期信号的周期T0→∞。当然，从时域上也可以反过来看成x（t)的周期延拓。将x（t)进行CFS展开,有若令则有 T0→∞使得Ω0→0，则

傅里叶变换和拉普拉斯变换

附录A 傅里叶变换和拉普拉斯变换傅里叶变换（简称傅氏变换）和拉普拉斯变换（简称拉氏变换），是工程实际中用来求解线性常微分方程的简便工具；同时，也是建立系统在复数域和频率域的数学模型——传递函数和频率特性——的数学基础。傅氏变换和拉氏变换有其内在的联系。但一般来说，对一个函数进行傅氏变换，要求它满足的条件较高，因此有些函数就不能进行傅氏变换，而拉氏变换就比傅氏变换易于实现，所以拉氏变换的应用更为广泛。 1. 傅里叶级数周期函数的傅里叶级数（简称傅氏级数）是由正弦和余弦项组成的三角级数。周期为的任一周期函数，若满足下列狄里赫莱条件： 1）在一个周期内只有有限个不连续点； 2）在一个周期内只有有限个极大值和极小值； 3）积分存在，则可展开为如下的傅氏级数：

式中系数和由下式给出：式中称为角频率。周期函数的傅氏级数还可以写为复数形式（或指数形式）：式中系数如果周期函数具有某种对称性质，如为偶函数、奇函数，或只有奇次或偶次谐波，则傅氏级数中的某些项为零，系数公式可以简化。表列出了具有几种对称性质的周期函数

的傅氏级数简化结果。 1.用复数形式进行周期函数傅氏级数展开并求导例试求图所示周期方波的傅氏级数展开式。解首先写出方波在一个周内的数学表达式

表周期函数的对称性质对称性傅氏级数特点偶函数只有余弦项奇函数只有正弦项只有偶次谐波只有偶数只有奇次谐波只有奇数因为，为偶函数，故只需计算系数。由表有

依次取计算，得其中是应用罗必达法则求得的。由式可求出方波的傅氏级数展开式为上述表明，方波可以分解为各种频率的谐波分量。换句话说，用不同频率的谐波合成可以得到方波。 2. 傅里叶积分和傅里叶变换

傅里叶级数和傅里叶变换

第九章傅里叶级数和傅里叶变换在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复循返的过程）。例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动，工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周期性运动。为了描述周期性的运动过程，数学上是借助某类函数来描述的。当然这类函数也要体现出周期性。这类函数称为周期函数。在前面几章中，为了研究函数的性质，常常采用分析表示法，将这些函数在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数。但是，这种幂级数形式的展开式是体现不出周期性来的，那么，对于周期性函数应采取怎样的分析表示法呢？这就是本章要讨论的内容。 9.1 周期函数和傅里叶级数 9.1.1 周期函数凡满足以下关系式： )()(x f T x f =+ （T 为常数）（9.1.1）的函数，都称为周期函数。周期的定义（1）满足式（9.1.1）的T 值中的最小正数，即为该函数的周期；（2）一个常数以任何正数为周期。 9.1.2 基本三角函数系按某一规律确定的函数序列称为函数系。如下形式的函数系： 1，x l π cos ，x l πsin ，x l π2cos ，x l π2sin ，…，x l k πcos ，x l k πsin ，… （9.1.2）称为基本三角函数系。所有这些函数具有各自的周期，例如x l k πcos 和x l k πsin 的周期为k l 2，但它们的共有周期为l 2（即所有周期的最小公倍数）。通常这个周期命名为函数系的周期。所以式（9.1.2）的三角函数系的周期为l 2。如果我们将基本三角函数系中的函数，任意取n 个组合，则我们可以得到一个较复杂的函数。例如图9.1（a ）是两个函数的组合x l x l x f ππ 2sin 21sin )(-=；图9.1（b ）是三个函数的组合x l x l x l x f π ππ 3sin 312sin 21sin )(+-=。如果我们取跟多的函数组合，甚至全体的组合，将会得到更复杂的函数或我们期望的函数。