第 五 章.导数

第五章导数与微分

§1导数概念

内容： 1 导数的概念

2 导数的定义

3 单侧导数

4 用定义计算简单函数的导数

5 导数的几何意义

重点：导数的定义和建立导数的变量数学思想。

在第一章我们研究了函数，，函数的概念刻画了因变量随自变量变化的依赖关系，但是，对研究运动过程来说，仅知道变量之间的依赖关系是不够的，还需要进一步知道因变量随自变量变化的快慢程度，比如我国的卫星发射技术已进入世界先进行列，并且即将发射载人宇宙飞船，火箭升空过程中飞行速度的变化非常快，我们对它每时每刻的飞行速度都必须准确的把握，才能确保火箭准时进入预定的轨道，可见研究物体每时每刻的速度是很重要的，掌握速度变化规律是科学技术中的一个重要课题。

变速运动物体的速度问题

在中学里我们学过平均速度，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解，这不但对于火箭发射控制够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律

。不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握。根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动。通常把这种近似代

替称为“以匀代不匀”。设物体运动的路程是时间的函数，则在到这段时间内的平均速度为

可以看出与越接近，平均速度与

时刻的瞬时速度越接近，当无限接近时，平均速度就发生了一个质

的飞跃，平均速度转化为物体在时刻的瞬时速度，即物体在时刻的瞬时速度为

（1）

照这种思想和方法计算自由落体的瞬时度如下：因为自由落体运动的运动方程为

按照上面的公式

这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式。

切线问题

设曲线的方程为

，为过曲线上两点 与

的

割线，则

的斜率为

如图，当点

沿着曲线趋近

时，割线 就趋近于点

处的切线，

趋近于切线的斜率

，因此切

线的斜率应定义为

（2）

上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理意义，单从数量关系上看，它们有共同的本质：两者都表示函数因变量随自变量变化的快慢程度，即都反映了函数的变化率

二、导数的定义

上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理意义，单从数量关系上看它

们有共同的本质，两者都表示函数因变量随自变量变化的快慢程度，即都反映了函数的变化率

（3）

定义1、设函数在点的某邻域内有定义，若极限

存在，则称函数在点可导，并称该极限为函数在点处的导数，

等.

若上述极限不存在，则称在点不可导。

注：令，，则（3）式可改写为

（4）

所以，导数是函数增量△y与自变量增量△x之比的极限，这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数

处关于的变化率，它能够近似描绘函数

则为在χ

在点附近的变化性态。

例1 求函数在点x=1处的导数，并求曲线在点（1，1）处的切线方程。

解：由定义求得

由此知道抛物线

在点（1，1

）处的切线斜率

为

所以切线方程为

即

.

例2 求函数

在

处的导数

解

根据导数的定义

例3 证明函数

在点

处不可导.

证: 因为

所以，函数 在点 处不可导.

极限 不存在，所以在 处不可导.

例4 证明 函数 ， 处不可导

证明由于极

限，

不存在,所以在处不可导.

例5 常量函数在任何一点的导数都等于零，即

接下来我们来了解一下函数在点可导与函数在点连续的关系，为此先介绍有限增量公式.

由无穷小量和导数的定义，（4）式可写为

我们称这个是式子为有限增量公式。

注：此公式对△χ= 0仍旧成立。利用有限增量公式，可得下面结论：

定理1 若函数在处可导，则函数在处连续。但是可导仅是连续的充分条件，而不是必要条件，比如：函数

在处连续，但不可导。

例2证明函数仅在点= 0 处可导。其中 D（）为狄利克雷函数

证：当x0≠0时，由归结原理可得在处不连续，所以, 由

定理5.1，在处不可导。

当时，由于为有界函数, 因此得到

（二）函数在一点的单侧导数

类似于函数在一点有左、右极限, 对于定义在某个闭区间或半开区间上的函数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单侧导数的概念。

定义2 设函数在点的某右邻域上有定义，若右极限

(0＜＜或

(

存在，则称该极限值为在点0 的右导数，记作，类似地，可定义左导数

右导数和左导数统称为单侧导数。

如同左、右极限与极限之间的关系，导数与单侧导数的关系是：

定理5.2 若函数在点的某邻域内有定义，则存在的充分必要条件是：都存在，且

= 。

说明：分段函数在分界点处讨论导数便是依据这一结论，通过左、右导数来判断该点是否存在导数及若存在应等于什么。

例

例讨论函数在的导数。

解

由定理2，

连续函数不存在导数举例

函数，处是焦点，不可导。

在处振荡，左右导数都不存在。

（三）导函数

若函数在区间I上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称为I上的可导函数。此时对每一个χ∈I，都有的一个导数（或单侧导数）与之对应，这样就定义了一个在I上的函数，称为在I上的导函数，也简称为导数，记作等. 即

.

说明：1°区间上的可导概念与连续一样，也是逐点定义的局部概念。

2°在物理学中导数yˊ也常用牛顿记号y` 表示，而记号是莱布尼茨

首先引用的。目前我们把看作为一个整体，也可把它理解为施加于y的求导运算，待到学过“微分”之后，将说明这个记号实际上是一个“商”，

相应于上述各种表示导数的形式，

例6 证明：

(i) ;

(ii)

(iii)

证：（i）对于 y = x n, 由于

因此

=

(ii) 下面证第一个等式，类似可证第二个等式，由于

=

因为cosx 是（- ∞, + ∞）上的连续函数，因此得到

= cos.

(iii)由于

=

所以

.

若a = e ,且以e 为底的自然地数常写作ln ，则由lne = 1 及上式有

.

三、导数的几何意义 我们已经知道

由导数的定义，，所以曲线 在点的切线方程是

（7）

这就是说：函数在点x 0 的导数 是曲线 在点 （x 0，y 0）

处的切线斜率，若α 表示这条切线与x 轴正向的夹角，则

=tan α

从而＞0 意味着切线与x 轴正向的夹角为锐角；= 0表示切线与x 轴平行。

例7 求曲线 y=x3 在点P（x

0，y

）处的切线方程与法线方程。

解：由于=

所以根据（7）式，曲线在点P的切线方程为

由解析几何知道，若切线斜率为，则法线斜率为，从而过点P的法线方程为：

因此曲线过点P（）的法线方程为：

若，则法线方程为。

四、小结（可以师生共同总结，或教师引导学生小结，然后教师再条理一下）

本节课重点在于“导数”的定义，而函数在一点的导数

=

是一个构造性的定义，是利用继用极限为工具，研究函数连续性以后，又一次用极限为工具研究函数性质的典型范例，为此

1．深刻理解导数，左（右）导数的概念（三个阶段）

取差对整个运动作分割（第一次否定）

求平均以“匀代不匀”；

再回到时刻（第二次否定）

2．明确导数与单侧导数，可导与连续的关系，导数与导函数的相互联系与区别。

3．能够从定义出发求某些函数的导数。

4．能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题。

导数概念的建立是高等数学常用的方法，下面我们总结一下这个过程，这对我们认识、掌握高等数学的思维方法，提高数学素质是很有帮助的。为了考察运动物体在某时刻的瞬时速度，我们不能只停留在这个时刻，因为那样我们除了知道物体的位置外，就什么也得不到。我们必须用运动的观点看待这个问题，使 t

动起来，让 t 变到，产生对位置的第一次否定，得到差和

。这就把一点的运动状态和周围的运动状态联系了起来，就能在运动中把握运动；取差其实就是对整个运动作了分割，一分割就使匀”和“不匀”这对矛盾的两个方面发生了转化：整体上的“不匀”，转化为局部的“匀”，然

后“以匀代替不匀”求出平均速度。为得到瞬时速度，就必须使再回到，

即令，对状态第一次否定的否定。当回到时，和都消失了，

结果变成，仿佛什么也的不到，其实不然，因为的消失依赖于的消失，虽然两个相互制约的差都消失了，但他们的“比”却保持着，这个比就是瞬时速

度，或对导数，它反映了两个量之间的“质”的联系。正是这第二次否定，我们又回到了整体上的“不匀”。求瞬时速度或函数的导数经历了一个否定之否定的过程，但第二次否定我们不是又回到出发点，而是解决了初等数学解决不了的课题。