第二章动力学系统的微分方程模型
第二章：动力学系统的微分方程模型
利用计算机进行仿真时，一般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌握一定的建立数学模型的方法。在动力学系统中，大多数情况下可以使用微分方程来表示系统的动态特性，也可以通过微分方程可以将原来的系统简化为状态方程或者差分方程模型等。在这一章中，重点介绍建系统动态问题的微分方程的基本理论和方法。
在实际工程中，一般把系统分为两种类型，一是连续系统；其数学模型一般是高阶微分方程；另一种是离散系统，它的数学模型是差分方程。
§2.1 动力学系统统基本元件
任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有3种类型的基本机械元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。
1 惯性元件：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件，惯量可以定义为使加速度（或角加速度）产生单位变化所需要的力（或力矩）。 惯量（质量）=
）
加速度（力（2
/)
s m N 惯量（转动惯量）=
）
角加速度（力矩（2/)
s rad m N ?
2 弹性元件：它在外力或外力偶作用下可以产生变形的元件，这种元件可以通过外力做功来储存能量。按变形性质可以分为线性元件和非线性元件，通常等效成一弹簧来表示。
对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的力与位移成正比，比例常数为弹簧刚度k 。
x k F ?=
这里k 称为弹簧刚度，x ?是弹簧相对于原长的变形量，弹性力的方向总是指向弹
簧的原长位移，出了弹簧和受力之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧，它们的受力和弹簧变形之间的关系是一非线性关系。
3 阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能量，而不储存能量，可以形象的表示为一个活塞在一个充满流体介质的油缸中运动。阻尼力通常表示为：
α
x
c R &= 阻尼力的方向总是速度方向相反。当1=α，为线性阻尼模型。否则为非线性阻
尼模型。应注意当α等于偶数情况时，要将阻尼力表示为：
||1--=αx x
c R &&ρρ 这里的“-”表示与速度方向相反
§2.2 动力学建模基本定理
1 动力学普遍定理
对于大多数力学问题，可以使用我们熟知的牛顿动力学基本定理来解决，
动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理，以及其他变形形式，普遍定理的特点是比较直观，针对不同的问题可以选择不同的力学定理，在一般情况下利用普遍定理可以得到大多数动力学系统的数学模型。 1）动量定理与质心运动定理：
设系统在任意瞬时的动量矢为K ρ
,作用在系统上的外力矢量和为∑i F ρ，则
任意瞬时的动量对时间的导数等于作用在系统中所有外力的矢量和构成了动量定理。
∑=F dt
dK
（2-1）
通常将该式投影到直接坐标轴系、自然坐标轴系等，（更详细的情况请参阅理论力学有关知识）
利用质心坐标的计算表达式，可以将动量定理转化为质心运动定理，即：
i c F a M ρρ∑= 或： i ci i F a m ρρ
∑∑= （2-2）
其中：M 是系统的总质量，c a 是系统的质心；i m 是分刚体是质心，ci a 是分刚体的质心。
2） 动量矩定理 ： 系统在任意瞬时的动量矩对时间的导数等于作用在系统
中所有外力矩的矢量和。
∑=)(00
F M dt
dH （2-3） 其中，0H 是系统对固定点o 的动量矩， )(F M O 力F 对O 点的矩.
除了对固定点的动量矩定理外，还有对质心的动量矩定理，对速度瞬心的动量矩定理和对加速度瞬心的动量矩定理。
3） 动能定理 ： 动能定理的导数形式：
系统在任意瞬时的动能对时间的导数等于作用在系统中所有力的功率的代数和。
∑=N dt
dT
（2-4） 动能定理的积分形式：系统在任意两瞬时的动能的变化等于作用在系统中所有力的功的代数和。∑=-W T T 12
2 动力学普遍方程
将达朗伯原理与虚位移原理相结合，得到了建立动力学模型的另一种方法。
1) 达朗伯原理 达朗伯原理提供了研究动力学问题的一个新的方法，即借助
于惯性力（ a m Q ρ
ρ-=）的概念，可用研究静力学平衡的方法来研究
动力学问题，这种方法常称为动静法。即：在任意时刻，质点在主动力、
约束力和惯性力的主矢作用下处于平衡；
0=++∑∑∑
i i i Q N F ρρ
ρ （2-5）
以及主动力、约束力和惯性力对某点的矩矢等于零，即：
0)()()(=++∑∑∑
i O i O i O Q M N M F M ρρ
ρρ
通常先计算惯性力的主矢和主矩，从而得到质点系的达朗伯原理。 2) 虚位移原理
虚位移原理本身是通过虚功的引入，提出了求解静力学问题的一种方法，它与达朗伯原理相结合得到了建立动力学模型的另一种方法。
对于理想约束的完整系统，质点（质点系）在其给定位置上处于平衡的必要
充分条件是作用在该质点（质点系）上的所有主动力i F ρ在其作用点的虚位移i r ρδ上
所做的虚功和等于零，即：
0=?∑
i i r F ρ
?δ
或
0)(=?+?+?∑
i iz i iy i ix z F y F x F δδδ
3） 动力学的普遍方程
受理想约束的系统，作用在质点系上的所以主动力和惯性力在各自的虚位移上所做的虚功和等于零，即：
0)(1
=-∑
=r a m F i i i n
i ρ
ρρδ
或
0])()()[(1
=-+-+-∑
=i i i zi i i i yi i i i xi n
i z z m F y y m F x x m F δδδ&&&&&&
在具体应用这个方程的时候，可以先引入广义坐标，使得问题处理简单。
例2-1 质量为m 均质的杆可以绕O 轴定动，试求系统做微幅振动时的微分方程。
解：杆绕O 轴做定轴转动，水平位置为系统
的平衡状态，取杆绕O 轴转动的角度?为坐标，可以方便的使用动量矩定理来建立动力学方程。（假定在微小转动情况下）
a a k a c a t f J 3)33()(???+-=&&&
这里J 是杆绕O 轴转动的转动惯量。 这是关于?的二阶线性微分方程。如果不计杆
的质量，则微分方程为：)(99t f ka ca =+??&
这个方程是关于?的一阶线性微分方程，称该系统模型为一阶系统。
例2-2 悬浮摆的动力学建模 下图所示为小型起重机简图，21,m m 是吊车和吊重的质量，吊绳长为l 且不计质量，吊车的驱动力为
F ，考虑轨道的阻力为x c &，试以θ,x 为广义坐
标，建立系统的动力学控制方程。 利用水平方向的质心运动定理，即：
(1) )sin (22
21x c F l x dt
d m x m &&&-=++θ
或： x c - )sin cos (221&&&&&&&&
F l l x m x m =-++θθθθ 重物做平面曲线运动，则可以直接利用牛顿定律得到切线方向的动力学方程：
(2) sin )cos (22θθθg m x l m -=+&&&&
（1），（2）两式是耦合的非线性动力学方程。
当系统被限制在0=θ附近运动时，可将其在0=θ处线性化处理，则可以得到系统的方程为：
))(221F l m x c x m m =-++θ&&&&& )(221F l l x m x m =-++θθθ&&&&&&&
当给定)(t F F =时，可以建立仿真模型。
请读者考虑，如果要考虑摆杆的质量，则动力学方程如何？
例2-3： 车辆悬架系统的动力学模型
考虑图2.2所示的汽车悬架系统示意图。设计悬架缓冲系统的2211,;,c k c k 的目的是减小车辆在崎岖道路上行驶时产生的震动，因为道路表面的不平坦会引起悬架沿垂直方向的移动和绕某个轴的转动。
图2.2悬架系统示意图 图2.3架系统的受力分析示意图
我们将整个系统的质量中心作为坐标的原点,因此系统在不平道路上的振动运动可以看作是质心的沿垂直方向的平移运动以及绕质心的旋转运动。车架质量为m,转动惯量为J 。输入车轮的位置信息1y 、2y 表明路况信息。
假设每个车轴的缓冲系统由具有阻尼特性的弹簧构成。忽略轮胎的质量,每个车轮受到的外力为弹簧弹力与阻尼力之和,即
)
()()(1111
A A A A y k y c s y k dt d
c F +=+=&)()()(2222B B B B y k y c s y k dt
d
c F +=+=&
其中：1y a y y A -+=? 2y b y y B --=?
A y 和
B y 分别表示每个弹簧距离参考位置的瞬时距离。代入上式后
))((111y a y k dt d
c F A -++=?
)
)((222y b y k dt d
c F B --+=?
根据质心运动与相对于质心的动量矩定理得：B A F F dt
y d M --=2
2
或者：
)
()()()(22221111y b y k y b y c y a y k y a y c y m -------+--+-=????&&&&&&&&整理后得到：
2
21122112121212
1)
()()()(y k y k y c y c b k a k b c a c y
k k y c c y m +++=-+-+++++&&&&&&?
?
用)(t y 和)(t ?分别表示系统质心的平移位移和沿质心的旋转角度。
上式中假定在很小的角度位置条件下满足??≈sin ，并且?取顺时针的旋转方向为正方向。
再根据系统相对于质心的动量矩定理可得：
a y +1
2
?
b -
a F
b F a F b F dt
d J a b A B -≈-=???
cos cos 22 其中J 是车驾相对于质心的转动惯量，将上式整理后可得： a y a y k dt d
c b y b y k dt
d c dt
d J ))(())((11122222-++---+=???
或：
2
21122112121222112)()()()(by k ay k y b c y ca y
b k a k a k b k y
c c a c b c J -+-=-+++-+++&&&&&&???
将系统的动力学方程写成矩阵形式：
????????????+????????????=????????????+????????????+????????????2122
2112112122212112221121122211211 00 y y F F F F y y E E E E y C C C C y B B B B y J m &&&&&&&&???简写为：??
????+??????=???
???+??????+??????2121][][][][][y y F y y E y C y B y A &&&&&&&&???
其中:??????=J m A 00 ][??????+--+=b c a c b c a c b c a c c c B 21212121 ][ ??????+--+=b k a b k
k a k b k a k k k C 21212121][ ??????=b c a c c c E 2121- ][ ??????=b k a k k k F 21
21-
][
??
????+??????=??????+??????+??????----211
21111][][][][][][][][y y F A y y E A y C A y B A y &&&&&&&&??? 当][A 为非奇异阵时，可以通过矢量信号我们可以得到系统的仿真模型如（图2-5）。
图2.5 悬架系统仿真框图
以上系统中假定1y 、2y 是系统两个相互独立的输入变量,但实际上,后轮与前 车轮的位置时间相差Δt =L /V 时间。这样,实际系统满足)(12t t y y ?-=。由于借助了拉斯变换，将微分方程换成了代数方程，如果要得到时域响应则需要借助拉斯反变换。根据第一章的基本知识，给出基于微分方程的仿真模型，具体计算过程留给读者练习。
例 2-4 机构运动学建模
曲柄滑块机构的运动学仿真建模(速度分析与建模)
曲柄滑块机构如图所示：该机构只有一个自由度，首先给出机构的运动学分析模型， （1） 机构的封闭的矢量方程
21r r r ρρρ+=
（2） 矢量方程的分解式
r r r =+2211cos cos ?? 0sin sin 2211=+??r r
（3）关于机构速度问题的运动学方程；
r r r &&&=--222111sin sin ????
0cos cos 222111=+????&&r r
机构的输入运动量为 11,??& ，输出量为 r r &&,,,22??，写成矩阵形式
111
1122222cos sin 0 cos 1 sin ??????&&&???????--=?????????????r r r r r
可以写成显式表达式 111
111
22222cos sin 0 cos 1 sin ??????&&&????
???--???
??
??=???
???-r r r r r
Simulink 仿真模型建立
在该仿真模型中，设系统的输入角速度为：=1?&150弧度/秒，
通过一次积分可以得到角度1?，将这两个输入量通过一个信号混合器（以向量形式混合为一路信号），输入给MATLAB FCN 模块，通过该函数模块中的代码入 ，从而可以得到输
出量（r &&,2?）
，再进一步积分后，得到位移量)(),(2t r t ?。
D
在MA TLAB FUNTION 模块中写上函数过程文件名：Compv，其它不变，建立m脚本文件如下：（函数子程序）
function[x]=compv(u); [x]输出，（u）输入。
%% 参数说明：r1 曲柄长度，r2 连杆长度
%% u(1)曲柄角速度；u(2)曲柄角度，u(3)连杆角度
r1=15; r2=55; a=[r2*sin(u(3)) 1; r2*cos(u(3)) 0];
b=-u(1)*r1*[sin(u(2)); cos(u(2))];
x=inv(a)*b;
将该文件名储存为compv.m,然后运行仿真模型，得如下结果。
图2-10 图2-11 连杆的角速度与角度的变化规律滑快的速度与位移变化规律曲柄滑块机构的运动学仿真（加速度分析）
加速度表达式
r r r &&&&&&&&=+-+-)sin (cos )sin (cos 222222112111???????? 0)cos sin ()cos sin (222222112111=+-++-????????&&&&&&r r
机构的输入运动量为
111,,???&&& ，输出量为 r r r &&&&&&,,,,,222???，写成矩阵形式
????????+----=?????????????2
2
2211121111112
222211122222sin cos sin sin cos cos 0 cos 1 sin ???????????????&&&&&&&&&&&&r r r r r r r r r
???
?????+----???????=??????-222211*********
22221111
22222sin cos sin sin cos cos 0 cos 1 sin ???????????????&&&&&&&&&&&&r r r r r r r r r 和速度仿真一样，请读者建立机构的加速度仿真模型。
如果要对此机构的动力学仿真，可以再列写出系统的动力学方程，与运动学方程联立求解。
例2- 5 建立如下系统的振动微分方程，并使用子系统封装技术。
111112212211)()(x c x k x x c x x k x m &&&&&-+-+--= )()()(12212222t f x x c x x k x m +----=&&&&
改写上式为：
][1
1111122212221
1x c x k x c x c x k x k m x &&&&&---+-=
)]([1
122212222
2t f x c x c x k x k m x ++-+-=
&&&&
设：kg m 211=, kg m 92=, m Ns c c /221==,
m
N k /4001= ,
m N k /6002=,)sin()(t t f =
利用子系统技术，我们可以建立相应的仿真模型，利用摸态分析方法可以得到系统的解析解和仿真解进行比较。
若将激励作用在左边质量块上，取
)5sin()(t t f =，并分析当2m 取值
为多大时，质量1m 的振幅接近于零
1
c 2
k 1
m 1
k 2
m 2
c 1
x 2
x )
(t f
（动力消振器原理）。并进一步分析，当021==c c 时，主系统的消振效果。说明有阻尼消振效果好还是无阻尼消振效果好。
§2.3 Hamilton 动力学建模体系
除了使用牛顿力学的基础理论建模，还可以使用有关Hamilton 力学体系的建模方法，这些建模的基础理论有 Lagrange 第二类方程，Hamilton 原理、Hamilton 正则方程、APPELL 方程和凯恩方程等. 1. Lagerange 第二类方程
j j j
Q q T
q T dt d =??-??)(& 其中，T 是系统的总动能，j Q 是对应于第j 个广义坐标的广义力。
即：2
n 121i i i v m T ∑== j i i n i j q r F Q ???=∑=ρρ1
如果系统受到的力全是保守系力，则Lagerange 可简化为：
0)(=??-??j j
q L q L dt d & 其中：V T L -= 称为Lagerange 函数。
这里：T 是系统的总动能，V 是系统的总势能。
对于具有保守力作用和非保守力作用的混合系统，其方程为：
*)(j j j
Q q L q L dt d =??-??& （2- 其中 *
j Q 是对应非保守力的广义力。
拉格朗日方程式是一组关于m 个广义坐标的二阶微分方程，它有统一的格式和步骤，因此在动力学建立模型时经常采用。
2 系统有耗散元件的拉格朗日方程
在工程实际问题中，如果存在有与速度有关的阻力。例如当物体在空气、液体中运动时会受到流体介质的阻力作用。实验表明，流动介质的阻力与相对速度有关，并且使系统的总能量不断减少。这种阻力统称为耗散力，将这类元件统称为耗散元件。
作用于系统的耗散力一般可以表示为如下形式
),,,,2,1( )(n i v v v f k F i
i
i i i i =-=ρρ
其中i v 表示第i 个质点的速度，i F ρ
表示第i 个质点受到的耗散力，i k 是阻力系数、)(i i v f 是与广义速度有关的函数，其中的负号表示阻尼与速度方向相反。
在系统中如果存在有耗散力时，只需将耗散力的广义力添加在拉格朗日方程的右边即可。关于耗散广义力计算可参考下式：
根据广义力的定义
j i i i i n i i i n
i j i i j q r v v v f k q r F Q ???-=??=∑∑==ρρρρ)(11'
考虑到j i j i q r
q r &&?ρ??=??，则有：
j
i
i i i n i i i n i j i i j q v v v v f k q r F Q &ρρρρ???-=??=∑∑==)(11' 其中j
i i j i i i j j i i q v v q v v v q q v v &&ρρ&&ρ
ρ??=??=???=???2
21)(21
因此有
?∑∑==??-=??-=i v i i i n i i j j i i n
i i i j dv v f k q q v v f k Q 01
1')()(&& 令 ?∑==
i
v i i i n
i i dv v f k D 0
1
)(
称D 为系统的耗散函数，于是耗散力的广义力为： j
j q D
Q &??-=' 这样容易得到具有耗散系统的拉格朗日方程为：
j
j j q D
q L q L dt d &&??-=??-??)( 或者：
0)(=??+??+??-??j
j j j q D q U q T q T dt d && 因此对于耗散系统，只需将耗散力的广义力加进Lagerange 方程的普通广义
力中即可。
例如，在线性动力学系统中，一般当阻尼力是广义速度的一次式，即：
, v v kv F ρρ-=则对应的耗散函数为：202
v k
vdv k D i v ==?，对应的广义力为：
kv v
D Q -=??-=。
例2-6 一旋转摆如图所示，摆长为L ，摆锤质量为m ，用光滑铰链连接在铅直
轴上，如果要考虑Om 构件的质量为M ，当铅直轴以任意角速度转动时求出对应的动力学模型。
解： 当ω为任意时，此时系统有两个自由度，分别取?和θ为广义坐标，其动能和势能分别为：
??θ?cos )sin (2
22222mgl V l l m T -=+=
&
&Lagerange 函数为：
??θ?cos )sin (2
22222mgl l l m V T L ++=-=&&
在通常情况下，在转轴上作用有外加力偶矩M ，根据Lagerange 方程： M L L dt d =??-??θ
θ)(& ： M ml =?θ
?&&22sin
0)(=??-????L L dt d &： 0sin sin 2
12222=+-??θ?mgl ml ml &&& 以上两式仍为耦合非线性动力学方程。
（1）如果要考虑AB 杆的质量，则动能为：
]3
3sin [2]sin [2))sin (2222222222202222?
θ?ξ?ξ?θξ?ξθ?ξ&&&&&&l l m d l
m dm T l +?==+=+=??
（2）如果考虑多转轴与轨道之间的摩擦阻尼，即?ρ&k M -='，耗散函数为：
2
2
1?&k D =
，耗散力的广义力为：???&&k D Q -=??-=
3 Hamlton 原理
Hamilton 原理是以变分为基础的建模方法，设系统的动能为T ，势能为V ，
非保守力的虚元功为w δ，则Hamilton 原理可以表示为：
0)(1
=+?
dt w L t t δδ 其中： V T L -= 称为拉格朗日函数
Hamilton 原理常用来建立连续的质量分布和连续刚度分布的系统（弹性系
统）的动力学模型。
例2-7 弹性系统的动力学建模
所谓的弹性系统是指具有连续的质量分布和连续刚度分布的系统，下面通过梁的横向振动来说明弹性体的建模方法。
设梁的长度为l ，截面的弯曲刚度EI 为常数，单位长度质量为ρ，在x 截面形心处横向位移为),(t x y ，忽略剪切变形，
则梁的动能表达式为：dx t y x T l 2
0))((21??=?ρ
势能为：dx x
y x EI V l 2
220))((21??=?，
拉格朗日函数为： V T L -=
当系统无外力作用时，根据Hamilton 原理有：
0]))()((2
1[22
01010=''-=???dt dx y EI y x Ldt l t t t t &ρδδ
当)(x ρ为常数时，则上式积分为：
dt dx y EIy y y l
t t ])([''''0
1
δδρ-?
?&&
dxdt EIy x
y EIy x y y y y t l
t t ])()()(['''''0
10
??
+??--??=?
?δδρδρ&&& 0
])()]([)(0010
1
'''''
'220
=-??+??+-=??
??dx y EIy y
EIy x ydxdt EIy x
y y dx y y t t t t l
t t t t l δδδδρδρ&&& 根据Hamilton 原理，满足时间端点的条件当：0t t = 和 1t t = 时有：
0)()(10==t y t y δδ
于是我们可以得到：
0)]([''22
1
=??+?
?ydxdt EIy x
y l
t t δρ&& 根据y δ的任意性，满足上式条件为：
0)(222222=????+??x
y EI x t y ρ 0])([10'''''=-??
t t y EIy y EIy x δδ
第一式为梁的自由振动方程，第二式是变分问题中自然满足的边界条件。可以使用模态分析方法，将偏微分方程化为常微分方程，然后就可以利用前面的方法来建立数学模型。
当梁上作用有分布载荷力和分布力偶时，如下图：则，系统的虚功可以表示为：
dx y t x m ydx t x q w l
l
)(),(),(0
'+=??δδδ
其中：
ydx x
m
y t x m dx y t x m l
l l
δδδ??-='?
?000|),()(),( 这里第一项积分为零，代入Hamilton 原理
中有可以得到：
x m t x q x
y EI x t y ??+=????+??),()(222222ρ
如在梁上某点a 处作用集中力P 和b 点处作用有集中力偶矩M 时，这时，其
右边的广义力可以表示为：
)(a x P -δ，和
x
b x M ?-?))
((δ
并注意到：
)())
((b x M x
b x M -'=?-?δδ
在一般情况下，一个连续系统的动态特性可以用一个高阶微分方程或微分方程组来表示；
u c dt
u
d c dt u d c y a dt y d a dt y d n n n n n n n n n n 1221110111............-------++=++ （2-1）
其中： y 是系统的输出，u 表示系统的输入量，如果引进微分算子
n
n
n
dt d p = 则有： u c u p c u p c y a y p a y p a n n n n n n 12
1101110.......-----++=++
即：
u p c y p a
n j j j n n j j
j
n ∑∑-=---=--=1
11
1
一个动力学系统的数学模型建立起来以后，还需要对该系统响应规律进行分析，以便揭示真正的运动规律。或者通过建立仿真模型来揭示运动规律。
)
(x m
§2．4 一维弹性体有限元建模
有限元的基本思想是先把结构分割成N 个不同单元，分别对单元和节点编号1,2….N 。单元划分越细，计算精度越高，但是计算工作量也越大，因此，要根据具体情况合理的划分单元数，本节将介绍一维梁单元有限元建模方法。
2.5.1 梁单元质量矩阵与刚度矩阵
设梁单元中的第i 个单元的坐标e x （局部坐标），单元长度为l
，该单元有两个节点，而每个节点有两个广义坐标，这样一个梁单元共有4个广义坐标，分别的左界面的位移
21,e e q q 与转角和右截面的位移和转角43,e e q q ，有：
01|),(==e x e e t x w q ；02|)
,(=??=e x e e e x t x w q ，
l x e e e t x w q ==|),(3，l x e
e e e x t x w q =??=
|)
,(4
设单元的位移模式为432
23
1),(c x c x c x c t x w e e e e +++= 将单元边界条件带入上式，可得：
)22(1
432131e e e e lq q lq q l c +-+=
)333(1
432132e e e e lq q lq q l
c -+--=
23e q c = 14e q c = 整理后可得：???
?
??????????=43211111] )( )( )( )([),(e e e e e e e e e q q q q x x x x t x w ????
其中：)231()(33
22
1l x l x x e e e +-=?， )2()(33
22l
x l x x x e
e e +-=?， )23()(33223l x l x x e e e +=?， )()(23
24l
x l x x e
e e +-=?
设梁的单位长度质量为ρ，系统的动能为
1
2
Λ
N
(w 2
q 3
q 4q
{}{}e e T
e ej ei ij j i l q M q q q m dx t w T &&][2
121)(214
1
4
1
20=
=??=∑
∑
?==ρ 其中：e e j i l
ij dx x x m )()(0
?ρ??
=
可得单元质量矩阵为： ?????
?
????????=2
224 22- 156 3- 13 4
13- 54 22
156420l l l l l l l l M e ρ
系统的势能为；
{}{}e e T
e ej ei ij j i e l e q K q q q k dx x w EI U ][2
121)(
214
1
4
1
20=
=??=∑
∑?== 其中：e e j e i l
ij dx x x EI k )()(0
???
=
可得单元刚度矩阵为： ??
????
?????
???=2
22232 3- 6 3- 2 3 6- 3 62l l l l l l l l EI K e 将动能和势能带入大拉格朗日方程中，即：
j j j
Q q T q T dt d =??-??)(& ；4,3,2,1=j 其中的广义力可以利用虚功原理导出。设作用在单元体上的外力为 ),(t x f e ，其虚功表达式为： j j j l
e j e j j e l
e e e q Q dx q x t x
f dx t x w t x f W δδ?δδ∑?∑?
=====
4
1
41
])()[,(),(),(
其中：e e j e l
j
e
dx x t x f t Q )(),()(0
??
=
这样就可得到系统的单元微分方程为： {}{}{}e e e e e Q q K q
M =+][][&& 这里：{}???
?
?
?
??
???
???????????=????dx x t x f dx x t x f dx x t x f dx x t x f Q e e l e e l e e l e e l
e
)(),()(),()(),()(),(40302010????
2.5.2 总体系统动力学微分方程：
以上仅仅给出了单元系统的微分方程，通过个单元的对接条件，我们可以得到总体坐标下的动力学微分方程，为了得到总体坐标系中的动力学方程，先引入总体
节点位移向量：{} ] [T
21n q q q q Λ=对于两单元，有：)1(2+=N n 个位移分量，
与单元节点位移向量，{} q q q q q T
e e e e e ][4321=
设局部位移向量与总体位移向量的关系为： {}{}q s q i ei ][= , N i Λ2,1= 则系统的总动能为：
{}{}{}{}{}{}q M q q s M s q q M q E T i e T i T N i ei e T
ei N i &&&&&&][2
1]][[][21][21===∑∑ 得: ei N
i
i ei T
i N
i
M s M s M ~]][[][∑∑
==
， 其中：]][[][~
i ei T i ei s M s M =
同理：ei N
i
i ei T
i N
i
K s K s K ~]][[][∑∑
==
， 其中：]][[][~
i ei T i ei s K s K =
激励列阵为{}{}ei N
i ei T
i N
i Q Q s Q ~][1
1
∑∑
====
其中：{}ei T i ei Q s Q ][~
=
这样可以得到总体坐标下的动力学方程
[]{}[]{}{}Q q K q
M =+&& 如果结构有的零边界条件，可以得到降阶方程。
例2-9 试用有限元法建立如下简支梁的动力学方程
解，将该梁化为两个相同单元 共有三个节点6个自由度，总体位移向量为：
{} ] [T 654321q q q q q q q =，单元质量和刚度矩阵如前，
单元的与总体坐标之间的变换关系为：{}{}q s q e ][11=，{}{}q s q e ][22=
容易得到：
1
2
3
q 1
q 3q 4
q 5q 6
q
????????????=0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 11s ?????
???????=1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 02s 易得：
????
???
?????????????= 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 4 0 0 22- 156
0 0 3- 13 4 0 0 13- 54 22
156420~2
221
l l l l l l l l M e ρ ??
?????
??
???????????=2
22212
4 22- 4 13- 0 0 22- 156 13 54 0 03- 13 4 22 0
0 13- 54 22 156 0
00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0420~
l l l l l l l l l l l l l M e ρ ????
???
??
??????
?????=0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 2 0 0 3- 6 0 0 3- 2 0 0 3 6- 3 62~
222231l l l l l l l l EI K e
??
?????
??
???????????=2
222302
2 0 03- 6 0 0 3- 2 0 0
3 6- 3 6 0
00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 02~
l l l l l l l l EI K e ，
广义力：
{}??
?????
???????=?????????
??
???????????-?-?-?-?=????0000)()(sin )()(sin )()(sin )()(sin 40003000200010001
dx x l x t F dx x l x t F dx x l x t F dx x l x t F Q e e l e e l e e l e e l e ?δω?δω?δω?δω
{}???????
???????=?????
????
??
???????????????=????00
0sin )()(sin )()(sin )()(sin )()(sin 0400
3002001002
t F dx x x t F dx x x t F dx x x t F dx x x t F Q e e l e e l e e l e e l e ω?δω?δω?δω?δω
{}??
???
?
??
??????????????=??????????????????????????????????===0000000000 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 0 1][~
1
11e T e Q s Q
{}??
???
?
????????????????=?????????????????????
?????????????===000sin 00000sin 1 0 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 0 10 0 0 00 0 0
0][~
002
22t F t F Q s Q e T e ωω
根据以上，可以得到总体坐标下的质量矩阵、刚度矩阵以及激振力列阵
??
??
???
??
???????????==∑
2
2222222
4 22 3- 13- 0 022 156 13 54 0 03- 13 8 0 3- 13-13- 4
5 0 312 13 540 0 3- 13 4 220 0 13- 54 22
156420~
l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l M M ei i
ρ
[]??
?????
??
??????
?????==∑
=2
222222312
1
2 3-
3 0 0 3- 6 3- 6- 0 0 3-
4 0 33 6- 0 12 3 - 6-0 0 3- 2 30 0 3 6- 3 62~
l l l l l l l l l l l l l l l l l l l EI K K e i {}?????
?????????????????==∑
=000sin 0002
1
t F Q Q ei i ω
由于总体坐标中的边界条件中有01=q ，05=q ，则划去1、5行和1、5列，最后得到缩减的动力方程
??????
????????=????????????????????????????+???????
?????????????????????00sin 0 2 3 0 4 0 3 0 12 3 -0 3- 224 3- 13- 03- 8 0 3-13- 0 312 130 3- 13 44206432222222236432222202t F q q q q l l l l l l l l l l l EI q q q q l l l l l l l l l l l l ωρ&&&&&&&&
§2．5 SIMULINK 高级积分器的仿真模型建立
积分器是仿真过程中最常使用的重要模型之一，在前面使用积分器模型中，积分的初始值仅在初时条件一拦（Initial Condition ）设计即可，但是在复杂问题中往往需要在运行中不断改变积分初始值，这就需要应用高级积分器，高级积分器有多个端口。
1 定义外部初始条件（external ） 在积分器的 Initial condition sources 有两种选择（internal external ） ，如果选择internal ,则直接可以在 initial condition 参数中设置初始值，但有时候在动态仿真过程中需要改变初始条件，这样就出现了外部条件源的设定方法，同时积分器的形状发生改变。如右图所示。
2 限制积分器（饱和输出）
为了防止超出指定的范围，可以选择
动力学主要仿真软件
车辆动力学主要仿真软件 I960年，美国通用汽车公司研制了动力学软件DYNA主要解决多自由度 无约束的机械系统的动力学问题，进行车辆的“质量一弹簧一阻尼”模型分析。作为第一代计算机辅助设计系统的代表，对于解决具有约束的机械系统的动力学问题，工作量依然巨大，而且没有提供求解静力学和运动学问题的简便形式。 随着多体动力学的谨生和发展，机械系统运动学和动力学软件同时得到了迅速的发展。1973年，美国密西根大学的N.Orlandeo和，研制的ADAM 软件，能够简单分析二维和三维、开环或闭环机构的运动学、动力学问题，侧重于解决复杂系统的动力学问题，并应用GEAR刚性积分算法，采用稀疏矩阵技术提高计算效率° 1977年，美国Iowa大学在，研究了广义坐标分类、奇异值分解等算法并编制了DADS软件，能够顺利解决柔性体、反馈元件的空间机构运动学和动力学问题。随后，人们在机械系统动力学、运动学的分析软件中加入了一些功能模块，使其可以包含柔性体、控制器等特殊元件的机械系统。 德国航天局DLF早在20世纪70年代，Willi Kort tm教授领导的团队就开始从事MBS软件的开发，先后使用的MBS软件有Fadyna (1977)、MEDYNA1984),以及最终享誉业界的SIMPAC( 1990).随着计算机硬件和数值积分技术的迅速发展，以及欧洲航空航天事业需求的增长，DLR决定停止开发基于频域求解技术的MED YN软件，并致力于基于时域数值积分技术的发展。1985年由DLR开发的相对坐标系递归算法的SIMPACI软件问世，并很快应用到欧洲航空航天工业，掀起了多体动力学领域的一次算法革命。 同时，DLR首次在SIMPAC嗽件中将多刚体动力学和有限元分析技术结合起来，开创了多体系统动力学由多刚体向刚柔混合系统的发展。另外，由于SIMPACI算法技术的优势，成功地将控制系统和多体计算技术结合起来，发
机械系统动力学
机械系统动力学报告 题目：电梯机械系统的动态特性分析 姓名： 专业： 学号：
电梯机械系统的动态特性分析 一、课题背景介绍 随着社会的快速发展，城市人口密度越来越大，高层建筑不断涌现，因此，现在对电梯的提出了更高的要求，随着科技的进步，在满足客观需求的基础上，电梯向着舒适性，高速，高效的方向发展。在电梯的发展过程中，安全性和功能性一直是电梯公司首要考虑的因素，其中舒适性也要包含在电梯的设计中，避免出现速度或者加速度出现突变，或者电梯运行过程中的振动引起人们的不适。因此，在电梯的设计过程中，对电梯进行动态特性分析是十分必要的。 二、在MATLAB中编程、绘图。 通过同组小伙伴的努力，已经得到了该系统的简化模型与运动方程。因此进行编程： 该系统的微分方程：[][][]{}[]Q x k x c x M= + ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ?? ? ? ，其中矩阵[M]、 [C]、[K]、[Q]都已知。 该系统的微分方程是一个二阶一元微分方程，在MATLAB中，提供有求解常微分方程数值解的函数，其中在MATLAB中常用的求微分方程数值解的有7个：ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode23t，ode23tb 。 ode是MATLAB专门用于解微分方程的功能函数。该求解器有变步长（variable-step）和定步长（fixed-step）两种类型。不同类型有着不同的求解器，其中ode45求解器属于变步长的一种，采用Runge-Kutta
算法；和他采用相同算法的变步长求解器还有ode23。 ode45表示采用四阶，五阶Runge-Kutta单步算法,截断误差为(Δx)^3。解决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程。 ode45是解决数值解问题的首选方法，若长时间没结果，应该就是刚性的，可换用ode23试试。 Ode45函数调用形式如下：[T,Y]=ode45(odefun,tspan,y0) 相关参数介绍如下： 通过以上的了解，并对该微分方程进行变换与降阶，得出程序。MATLAB程序： （1）建立M函数文件来定义方程组如下： function dy=func(t,y) dy=zeros(10,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/1660*(-0.006*y(2)+0.003*y(4)-0.0006*y(10)-1.27*10^7*y(1)+1.27*10^7*y (3)+2.54*10^6*y(9)); dy(3)=y(4); dy(4)=1/1600*(+0.03*y(2)-0.007*y(4)+0.003*y(6)+1.27*10^7*y(1)-7.274*10^8*y(3 )+1.27*10^7*y(5)); dy(5)=y(6);
第二章动力学系统的微分方程模型
第二章：动力学系统的微分方程模型 利用计算机进行仿真时，一般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌握一定的建立数学模型的方法。在动力学系统中，大多数情况下可以使用微分方程来表示系统的动态特性，也可以通过微分方程可以将原来的系统简化为状态方程或者差分方程模型等。在这一章中，重点介绍建系统动态问题的微分方程的基本理论和方法。 在实际工程中，一般把系统分为两种类型，一是连续系统；其数学模型一般是高阶微分方程；另一种是离散系统，它的数学模型是差分方程。 §2.1 动力学系统统基本元件 任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有3种类型的基本机械元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。 1 惯性元件：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件，惯量可以定义为使加速度（或角加速度）产生单位变化所需要的力（或力矩）。 惯量（质量）= ） 加速度（力（2 /) s m N 惯量（转动惯量）= ） 角加速度（力矩（2/) s rad m N ? 2 弹性元件：它在外力或外力偶作用下可以产生变形的元件，这种元件可以通过外力做功来储存能量。按变形性质可以分为线性元件和非线性元件，通常等效成一弹簧来表示。 对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的力与位移成正比，比例常数为弹簧刚度k 。 x k F ?= 这里k 称为弹簧刚度，x ?是弹簧相对于原长的变形量，弹性力的方向总是指向弹 簧的原长位移，出了弹簧和受力之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧，它们的受力和弹簧变形之间的关系是一非线性关系。 3 阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能量，而不储存能量，可以形象的表示为一个活塞在一个充满流体介质的油缸中运动。阻尼力通常表示为： α x c R = 阻尼力的方向总是速度方向相反。当1=α，为线性阻尼模型。否则为非线性阻 尼模型。应注意当α等于偶数情况时，要将阻尼力表示为： ||1--=αx x c R 这里的“-”表示与速度方向相反
第三章-微分方程模型
微分方程模型 1.1微分方程模型简介 对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率，或者变化速度、加速度以 及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个（偏）微分方程或方程组。 所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、 化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等。微分方程建模是数学 建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色 色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步： 1?、根据实际要求确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数等）并确定坐标系； 2?、找出这些量所满足的基本规律（物理的、几何的、化学的或生物学的等等）； 3?、运用这些规律列出方程和定解条件。 2.1微分方程模型运用实例 例1:发射卫星为什么用三级火箭 采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级 火箭系统？ 下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。 火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统和整体结构上分析， 并且假设引擎是足够强大的。 首先解决第一个问题：为什么不能用一级火箭发射人造卫星，下面用三个数学模型回答 这个问题： （1 ）卫星进入600km高空轨道时，火箭必须的最低速度。 首先将问题理想化，假设： （i）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动； （ii ）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心； iii）其它星球对卫星的引力忽略不计。 建模与求解：设地球半径为R，质量为M ;卫星轨道半径为r，卫星质量为m。 根据假设（"）和（iii），卫星只受到地球的引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小为 GMm F— (1) r 其中G为引力常数。 为消去常数G，把卫星放在地球表面，则由（1）式得 GMm 亠m2 mg 2 或GM 二R g R 再代入（1）式，得
第五章微分方程模型
第五章 微分方程模型 、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化 解： 设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢，减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立： 1046750386941868 w dw dt --= 经化简有： 232313956139565429()41868t t w e t e c - =-?+ 假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下： 2323139561395605429()41868t t w e t e w - =-?+ 、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dt t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有条鲑鱼离开此水域。 （1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。 （2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 )(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况 解：
（1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下： 2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt =-- （2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题 2()0.003()0.001()0.002(0)1000000 dp t p t p t dt p ?=--???=? 解得 0.0010.0012999998()11000001t t ae p t a ae --+==-其中 当t →∞ 时，2p →。 、 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。 解： 假设初始时刻该放射性物质的原子数位0N ，在时间t 时，该放射性物质的原子个数为N ，设衰变系数为k ，则有下列微分方程： 0,(0)dN kN N N dt =-= 解得 0()kt N t N e =
车辆系统动力学仿真大作业(带程序)
Assignment Vehicle system dynamics simulation 学院：机电学院 专业：机械工程及自动化 姓名： 指导教师：
The model we are going to analys: The FBD of the suspension system is shown as follow:
According to the New's second Law, we can get the equation: 2 )()(221211mg z z c z z k z m --+-=???? 221212)()(z k mg z z c z z k z m w +-----=? ??? 0)()()()(222111222111=-++--+-++--+? ? ? ? ? ? ? ?w w w w z L z k z L z k z L z c z L z c z m χχχχ 0)()()()(2222111122221111=-++----++---? ? ? ? ? ? ? ?w w w w z L z L k z L z L k z L z L c z L z L c J χχχχχ d w w w w Q z L z k z L z c z m ,111111111)()(-=------? ? ? ? ?χχ d w w w w Q z L z k z L z c z m ,222222222)()(-=-+--+-? ????χχ When there is no excitation we can get the equation: 2)()(221211mg z z c z z k z m --+-=???? 2 21212)()(z k mg z z c z z k z m w +-----=? ??? Then we substitude the data into the equation, we write a procedure to simulate the system: Date: ???? ?? ??? ??==?==?===MN/m 0.10k m 25.1s/m kN 0.20MN/m 0.1m kg 3020kg 2100kg 3250w 2l c k I m m by w b
微分方程模型
数学建模学习辅导 第三章 微分方程模型 本章重点： 车间空气清洁问题、减肥问题、单种群增长问题与多物种相互作用问题等数学模型的建立过程与所使用的方法 复习要求： 1．进一步理解建模基本方法与基本建模过程，掌握平衡原理与微元法在建模中的用法． 所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样. 微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的． 例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/ml). 现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml), 又过两个小时后, 测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断: 事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定? 解：模型建立 设)(t x 为时刻t 的血液中酒精的浓度, 则依平衡原理时间间隔],[t t t ?+内, 酒精浓度的改变量 t t x x ??∝?)(, 即 t t kx t x t t x ?-=-?+)()()( 其中k >0为比例常数, 式前负号表示浓度随时间的推移是递减的, 遍除以t ?, 并令0→?t , 则得到 ,d d kx t x -= 且满足40)5(,56)3(==x x 以及0)0(x x =. 模型求解 容易求得通解为kt c t x -=e )(, 代入0)0(x x =,得到 kt x t x -=e )(0 则)0(0x x =为所求. 又由,40)5(,56)3(==x x 代入0)0(x x =可得 17.04056e 40e 56e 25030=?=????==--k x x k k k 将17.0=k 代入得 25.93e 5656e 17.03017 .030≈?=?=??-x x >80
常微分课后答案解析第二章
第一章 绪论 §1、1 微分方程:某些物理过程的数学模型 §1、2 基本概念 习题1、2 1.指出下面微分方程的阶数,并回答方程就是否线性的: (1) y x dx dy -=24; (2)0122 2 2=+??? ??-xy dx dy dx y d ; (3)0322 =-+?? ? ??y dx dy x dx dy ; (4)x xy dx dy dx y d x sin 352 2=+-; (5) 02cos =++x y dx dy ; (6)x e dx y d y =+??? ? ??22sin . 解 (1)一阶线性微分方程; (2)二阶非线性微分方程; (3)一阶非线性微分方程; (4)二阶线性微分方程; (5)一阶非线性微分方程; (6)二阶非线性微分方程. 2.试验证下面函数均为方程022 2=+y dx y d ω的解,这里0>ω就是常数. (1)x y ωcos =; (2)11(cos C x C y ω=就是任意常数); (3)x y ωsin =; (4)22(sin C x C y ω=就是任意常数); (5)2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=就是任意常数); (6)B A B x A y ,()sin(+=ω就是任意常数). 解 (1)y x dx y d x dx dy 2 222cos ,sin ωωωωω-=-=-=,所以022 2=+y dx y d ω,故
x y ωcos =为方程的解. (2)y x C y x C y 2 2 11cos , sin ωωωωω-=-=''-=',所以022 2=+y dx y d ω,故x C y ωcos 1=为方程的解. (3)y x dx y d x dx dy 2222sin ,cos ωωωωω-=-==,所以02 2 2=+y dx y d ω,故x y ωsin =为方程的解. (4)y x C y x C y 2 2 22sin , cos ωωωωω-=-=''=',所以022 2=+y dx y d ω,故x C y ωsin 2=为方程的解. (5)y x C x C y x C x C y 2222121sin cos , cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-=',所 以02 2 2=+y dx y d ω,故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解. (6)y B x A y B x A y 2 2 )sin(, )cos(ωωωωω-=+-=''+=',故0222=+y dx y d ω,因 此)sin(B x A y +=ω为方程的解. 3.验证下列各函数就是相应微分方程的解: (1)x x y sin = ,x y y x cos =+'; (2)212x C y -+=,x xy y x 2)1(2 =+'-(C 就是任意常数); (3)x Ce y =,02=+'-''y y y (C 就是任意常数); (4)x e y =,x x x e ye y e y 2212-=-+'-; (5)x y sin =,0cos sin sin 22 2 =-+-+'x x x y y y ; (6)x y 1- =,12 22++='xy y x y x ; (7)12 +=x y ,x y x y y 2)1(2 2 ++-='; (8))()(x f x g y = ,) () ()()(2x f x g y x g x f y '-'='.
常微分课后答案解析第二章
第一章 绪论 §1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型 §1.2 基本概念 习题1.2 1．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的： （1） y x dx dy -=24； （2）0122 2 2=+??? ??-xy dx dy dx y d ； （3）0322 =-+? ? ? ??y dx dy x dx dy ； （4）x xy dx dy dx y d x sin 352 2=+-； （5） 02cos =++x y dx dy ； （6）x e dx y d y =+??? ? ??22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程； （2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程． 2．试验证下面函数均为方程02 2 2=+y dx y d ω的解，这里0>ω是常数． （1）x y ωcos =； （2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =； （4）22(sin C x C y ω=是任意常数)； （5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)．
解 （1）y x dx y d x dx dy 2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以02 2 2=+y dx y d ω，故x y ωcos =为方程的解． （2）y x C y x C y 2 2 11cos , sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dx y d ω，故 x C y ωcos 1=为方程的解． （3）y x dx y d x dx dy 2 222sin ,cos ωωωωω-=-==，所以022 2=+y dx y d ω，故x y ωsin =为方程的解． （4）y x C y x C y 2 2 22sin , cos ωωωωω-=-=''='，所以022 2=+y dx y d ω，故x C y ωsin 2=为方程的解． （5）y x C x C y x C x C y 2222121sin cos , cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='， 所以022 2=+y dx y d ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 2 2 )sin(, )cos(ωωωωω-=+-=''+='，故02 2 2=+y dx y d ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解． 3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1）x x y sin = ，x y y x cos =+'； （2）212x C y -+=，x xy y x 2)1(2 =+'-（C 是任意常数）； （3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）x e y =，x x x e ye y e y 2212-=-+'-； （5）x y sin =，0cos sin sin 22 2 =-+-+'x x x y y y ； （6）x y 1- =，12 22++='xy y x y x ； （7）12 +=x y ，x y x y y 2)1(2 2 ++-='；
第二章 微 分 方 程 模 型.
第二章 微 分 方 程 模 型 建立微分方程模型就是把物理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来。这一章我们由浅入深地介绍一些微分方程模型。 2.1 简单模型 例1 物体在空气中的下落与特技跳伞问题 假设质量为m 的物体在空气中下落，空气阻力与物体的速度平方成正比，阻尼系数为k （>0）,求物体的运动规律。 解 所谓运动规律即下落距离与时间的关系，如图2.1.1, 建立坐标系。设x 为物体下落的距离，于是物体下落的速度为 dx v dt =， 加速度为 22d x a dt =， 根据牛顿第二定律F ma =，可以列出微分方程 2 22d x d x m k m g d t d t ?? =-+ ???, （2.1.1） 负号表示阻力方向与速度方向相反。 例2 单摆的自由振动问题。 如图2.1.2 为一个单摆，上端固定在O 点，M 为一质量为m 的质点，摆杆OM 之长为L （摆杆的质量忽略不计）。单摆的平衡位置为铅垂线'OO 。将质点M 拉开，使OM 与'OO 成一个角度0θ，然后放手任其自由运动，试求摆杆OM 和铅垂线'OO 的夹角θ与时间t 的关系。 解 将重力分解为径向力F 与切向力T ，T 的大小为sin mg θ，M 的切向加速 度为22d a L dt θ =，于是，由牛顿第二定律，列出微分方程 22s i n d m a m L m g dt θ θ== ， 即 22s i n d g dt L θθ=-， （2.1.2）
设初始时刻0t =，摆杆的初始位置为0θ，初始角速度为0，则单摆的运动规律的研究就化为微分方程的初值问题 ()()22 00' 0s i n ,,0.t t d g dt L t t θθθθθ==?=-??? =??=??? （2.1.3） 图2.1.1 图2.1.2 例3 考古和地质学中文物和化石年代的测定问题。 考古、地质学等方面的专家常用14C （碳14）来估计文物或化石的年代。它们的依据是，宇宙射线不断轰击大气层，使之产生中子，中子与氧气作用生成具有放射性的14C 。这种放射性碳可以氧化成二氧化碳。二氧化碳被植物所吸收，而动物又以植物为食物，于是放射性碳就被带到各种动植物体内。由于14C 是放射性的，无论存在于空气中或生物体内它都在不断衰变，活着的生物通过新陈代谢不断地摄取14C ，使得生物体内的14C 与空气中的14C 有相同的百分含量。生物体死后它停止摄取14C ，因而尸体内的14C 由于不断衰变而不断减少。碳定年代法就是根据14C 的衰变减少量的变化情况来判定生物的死亡时间的。 基本假设 （1）现代生物体中14C 的衰变速度与古代生物体中14C 的衰变速度相同（依据是地球周围大气中14C 的百分含量可认为基本不变，即宇宙射线照射大气层的强度自古至今基本不变）； （2）14C 的衰变速度与该时刻14C 的含量成正比（这条假设的根据来自于原子物理学理论）。 下面用微分方程建模。 设在时刻t （年）生物体中14C 的存量为()x t ，由假设（2）知
汽车动力学仿真模型的发展
!汽车动力学发展历史简介 汽车动力学是伴随着汽车的出现而发展起来的 一门专业学科。人们很早就认识到“$%&’()*+”转向和应用弹性悬架可使乘客感到更加舒适等基本原 理［,］，但那只是一种感性的认识。在各国学者的不懈 努力下，这门学科逐渐发展成熟。-’.’/在,00#年1)’%23举行的题为“车辆平顺性和操纵稳定性”的会议上发表的论文，对,00"年以前汽车动力学的发 展做了较为全面的总结［ !］，见表,。近年来汽车动力学又有了进一步发展，大量的高水平学术论文和经典的汽车动力学专著相继被发表，而且开发出许多专为汽车动力学研究建立模型的软件，如美国密西根大学开发的$456%*(、$45678)等商业软件。汽车是一复杂的连续体系统，要想对其进行动力特性的预测和优化需建立经合理简化的抽象汽车模型，以达到缩短产品开发周期、保证整车性能指标和降低产品成本的目的。 "汽车动力学模型的发展 汽车动力学从严格意义上来讲包括对一切与车 辆系统相关运动的研究，然而最为核心的是平顺性和操纵稳定性这两大领域，一般认为平顺性主要研究影响车身的垂向跳跃、俯仰、侧倾振动的因素，而操纵稳定性主要研究车辆的横向、横摆和侧倾运动。建模时一般假设平顺性和操纵稳定性之间无偶合关系。 "#!汽车平顺性模型 在汽车平顺性的早期研究阶段，限于当时数学、 力学理论、计算手段及试验方法，把系统简化成集中质量—弹簧—阻尼模型，如图,所示。 图,整车集中质量—弹簧—阻尼模型 此类模型一般先以函数的形式给出其动能!和势能"以及表达系统阻尼性质的物理量耗散能 !的表达式： 【摘要】汽车动力学包括对一切与车辆系统相关运动的研究，其最核心的是平顺性和操纵稳定性这两大领域。在简要说明了汽车动力学发展过程的基础上介绍了平顺性和操纵稳定性两大领域的模型发展过程。平顺性模型主要经过集中质量—弹簧—阻尼模型、有限元模型和动态子结构模型阶段；而操纵稳定性模型从低自由度线性模型、非线性多自由度模型发展到多体模型。最后提出了汽车动力学仿真模型的发展动向。 主题词：汽车动力学模型发展 中图分类号：9:;,<,文献标识码：$ 文章编号：,"""=#>"#（!""#）"!=""",=": $%&%’()*%+,(-.%/01’%$2+3*0140*5’3,0(+6(7%’ ?2*+.@’8A?2*+.B8+.2*8AC48D*8/8+AB8*D6+.E’8 （B8/8+9+8F’(785G ） 【89:,;31,】H’28%/’IG+*)8%7754I8’7*//)6F’)’+57(’/’F*+556F’28%/’7G75’)*+I 857%6(’8752’5J6E8’/I76E (8I’K *L8/85G *+I 2*+I/8+.75*L8/85G<1+52’M*M’(AI’F’/6M8+.M(6%’776E )6I’/76E F’28%/’(8I’*L8/85G *+I 2*+I/8+.75*L8/85G *(’8+K 5(6I4%’I *E5’(I’F’/6M)’+5%64(7’6E F’28%/’IG+*)8%78778)M/G 8+5(6I4%’I 习题解答 1. 系统的微分方程为()4()2()x t x t u t '=-+，其中()u t 是幅度为1，角频率为1rad/s 的方波输入信号，试建立系统的Simulink 模型并进行仿真。 解：用积分器直接构造求解微分方程的模型 由原微分方程()4()2()x t x t u t '=-+可知 x '经积分模块作用就得x ，而x 经代数运算又产生x '，据此可以建立系统模型并仿真，实现建模与仿真步骤如下。 ⑴利用Simulink 模块库中的基本模块，不难建立系统模型，如题图1所示。 题图1 求解微分方程的模型 模型中各个模块说明如下。 ①()u t 输入模块：它的参数设置如题图1(a)所示，模块名称由原来的Pulse Generrator 改为()u t 。 题图1(a) ()u t 输入模块的参数设置 ②Gs 增益模块：增益参数Gain 设置为2。 ③求和模块：其图标形状Icon shape 选择rectangular ，符号列表Lisl of signs 设置为+-。 ④积分模块：参数不需改变。 ⑤G 1增益模块：增益参数设置为4，它的方向旋转可借助Format 菜单中的Rotate Block 命令实现。 ⑥Scope 示波器：在示波器参数设置窗口选择Data history 页，选中其中的Save data to workspace 复选框。这将使送入示波器的数据同时被保存在MA TLAB 工作空间的默认名为ScopeData 的结构矩阵或矩阵中。 ⑵设置系统仿真参数。单击模型编辑窗口Simulation 菜单中的Configuration Parameters 选项，打开仿真参数设置对话框，选择Solver 选项，把仿真的停止时间Sto ptime 设置为20。 ⑶仿真操作。双击示波器图标，打开示波器窗口。选择模型编辑窗口中Simulation 菜单中的Stan 命令，就可在示波器窗口中看到仿真结果的变化曲线，如题图1(b)所示。 题图1(b) 仿真结果 2. 建立使用阶跃信号为输入信号，经过传递函数为1 5.01 s 的一阶系统的Simulink 模型并进行仿真。要求：⑴查看其输出波形在示波器上的显示；⑵修改仿真参数Max step size 为2、Min step size 为1,在示波器上查看波形；⑶修改示波器Y 坐标轴范围为0~2，横坐标范围为0~15，查看波形。 解：⑴①利用Simulink 模块库中的基本模块，不难建立系统模型，如题图2所示。 题图2 一阶系统的Simulink 模型 模型中各个模块说明如下。 ()u t 输入模块：它的step time 被设置为0，模块名称由原来的step 改为()u t 。 Transfer Fon 传递函数模块：在Denominator coefficient 文本框中定义分母多项式系数向量为[0.5 1]。 （微分方程模型） ．一个半球状雪堆，其体积融化地速率与半球面面积成正比，比例系数 > .设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为且小时中融化了总体积地，问雪堆全部融化还需要多长时间？ ．从致冰厂购买了一块立方体地冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了 （）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变） （）如运输时间需要小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？ ．一展开角为α地圆锥形漏斗内盛着高度为地水，设漏斗底部地孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中地水流光需要多少时间？ ．容器甲地温度为度，将其内地温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为度，又过十分钟后温度计读数为度，试求容器乙内地温度. ．一块加过热地金属块初始时比室温高度，分钟测得它比室温高度，问：（）小时后金属块比室温高多少？（）多少时间后，金属块比室温高度？ ．设初始时容器里盛放着含净盐千克地盐水升，现对其以每分钟升地速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟升地速率放出盐水，求小时后容器里地盐水中还含有多少净盐？ ．某伞降兵跳伞时地总质量为公斤（含武器装备），降落伞张开前地空气阻力为,该伞降兵地初始下落速度为，经秒钟后降落伞打开，降落伞打开后地空气阻力约为试球给伞降兵下落地速度(),并求其下落地极限速度. ．年月日英国人创建了一项最低开伞地跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地英尺时才打开降落伞，试求他落地时地速度. ．证明对数螺线上任一处地切线与极径地夹角地正切为一常数，（）．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为.现有一包裹从离地米高地飞机上落下，（）求其落地时地速度（）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹地速度会随高度而任意增大吗？ ．生态学家估计人地内禀增长率约为，已知年世界人口数为亿（×）而当时地人口增长率则为.试根据模型计算：（）世界人口数地上限约为多少（）何时将是世界人口增长最快地时候？ ．早期肿瘤地体积增长满足模型（λ，其中λ为常数），（）求肿瘤地增倍时间 σ.根据统计资料，一般有σ()（单位为天），肺部恶性肿瘤地增倍时间大多大于天而小于天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故σ是确定肿瘤性质地重要参数之 第五章 微分方程模型 5.1、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？ 解： 设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢， 减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立： 1046750386941868 w dw dt --= 经化简有： 232313956139565429()41868t t w e t e c -=-?+ 假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下： 2323139561395605429()41868t t w e t e w - =-?+ 5.2、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dt t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。 （1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。 （2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 )(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况？ 解： （1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下： 2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt =-- （2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题 SIMPACK车辆动力学习仿真系统 SIMPACK软件是德国INTEC Gmbh公司(于2009年正式更名为SIMPACK AG)开发的针对机械/机电系统运动学/动力学仿真分析的多体动力学分析软件包。它以多体系统计算动力学（Computational Dynamics of Multibody Systems）为基础，包含多个专业模块和专业领域的虚拟样机开发系统软件。SIMPACK软件的主要应用领域包括：汽车工业、铁路、航空/航天、国防工业、船舶、通用机械、发动机、生物运动与仿生等。 SIMPACK是机械系统运动学/动力学仿真分析软件。SIMPACK软件可以分析如：系统振动特性、受力、加速度，描述并预测复杂多体系统的运动学/动力学性能等。 SIMPACK的基本原理就是通过搭建CAD风格的模型（包括铰、力元素等）来建立机械系统的动力学方程，并通过先进的解算器来获取系统的动力学响应。 SIMPACK软件可以用来仿真任何虚拟的机械/机电系统，从仅仅只有几个自由度的简单系统到诸如一个庞大的火车。SIMPACK软件可以应用在我们产品设计、研发或优化的任何阶段。 SIMPACK软件独具有的全代码输出功能可以将我们的模型输出成Fortran或C代码，从而可以实现与任意仿真软件的联合。 车辆动力学仿真carsim CarSim是专门针对车辆动力学的仿真软件，CarSim模型在计算机上运行的速度比实时快3-6倍，可以仿真车辆对驾驶员，路面及空气动力学输入的响应，主要用来预测和仿真汽车整车的操纵稳定性、制动性、平顺性、动力性和经济性，同时被广泛地应用于现代汽车控制系统的开发。CarSim可以方便灵活的定义试验环境和试验过程，详细的定义整车各系统的特性参数和特性文件。 CarSim软件的主要功能如下: 适用于以下车型的建模仿真:轿车、轻型货车、轻型多用途运输车及SUV; 可分析车辆的动力性、燃油经济性、操纵稳定性、制动性及平顺性; 可以通过软件如MATLAB，Excel等进行绘图和分析; 可以图形曲线及三维动画形式观察仿真的结果;包括图形化数据管理界面，车辆模型求解器，绘图工具，三维动画回放工具，功率谱分析模块;程序稳定可靠; | 论坛社区 《机械系统动力学仿真分析软件》(MSC.ADAMS.2005.R2)R2 资源分类： 软件/行业软件 发布者： Coolload 发布时间： 2005-12-18 20:22 最新更新时间： 2005-12-19 07:04 浏览次数： 14548 实用链接： 收藏此页 eMule资源 下面是用户共享的文件列表，安装eMule后，您可以点击这些文件名进行下载 [机械系统动力学仿真分析软件].[$u]MSC.ADAMS.2005.R2.rar201.2MB [机械系统动力学仿真分析软 295.4MB 件].MSC_ADAMS_V2005_ISO-LND-CD1.iso [机械系统动力学仿真分析软185.0MB 件].MSC_ADAMS_V2005_ISO-LND-CD2.bin [机械系统动力学仿真分析软 6.5KB 件].Msc.Adams.v2005.Iso-Lnd-Cd1-Crack.rar 全选480.4MB eMule主页下载eMule使用指南如何发布 中文名称：机械系统动力学仿真分析 软件 英文名称：MSC.ADAMS.2005.R2 版本：R2 发行时间：2005年12月15日 制作发行：美国MSC公司 地区：美国 语言：英语 简介： [通过安全测试] 杀毒软件：Symantec AntiVirus 版本： 9.0.0.338 病毒库：2005-12-16 共享时间：10:00 AM - 24:00 PM(除 非线路故障或者机器故障) 共享服务器：Razorback 2.0 [通过安装测试]Windows2000 SP4 软件版权归原作者及原软件公司所 有，如果你喜欢，请购买正版软件 习 题 2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,x o 表示系统输出,x i 表示系统输入,哪些是线性系统? (1) x x x x x i o o o o 222=++ (2) x tx x x i o o o 222=++ (3) x x x x i o 222o o =++ (4) x tx x x x i o o o 222o =++ 解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（2）和（3）是线性系统。 2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中x i 表示输入位移，x o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。 图(题2.2) 解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有 x m x c x x c i o o 2 o 1 )(=-- 即 x c x c c x m i 1 2 1 o o )(=++ (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有 )1()()(1 x x c k x x o i -=- )2()(2 x k x x c o o =- 消除中间变量有 x ck x k k x k k c i o 1 2 1 o 2 1 )(=-- (3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有 x k x x k x x c o o i o i 2 1 )()(=-+- 即 x k x c x k k x c i i o o 1 2 1 )(+=++ 2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。 图（题2.3） 解:(1)对图(a)所示系统,设i 1为流过R 1的电流,i 为总电流,则有 ?+=idt C i R u o 12 2 i R u u o i 1 1=-第2章习题解答
微分方程模型习题
第五章----微分方程模型
车辆动力学相关的软件及特点
《机械系统动力学仿真分析软件》
2机械控制工程基础第二章答案解析