时，增长
率为零，即
()0,M M M a r x a bx b x =-==
由此可得 ()1M x r x a x ??=- ???
……… (5) a 和M x 可以根据人口统计数据或经验而确定。因子1M x
x ??- ???体现了对人口增长的阻滞作用。(5)式也可以解释为增长率r(x)与人口尚来实现部分(相对最大容量M x 而言)的比例M M x x
x -成正比,比例系
数为固有增长率a 。在(5)式的假设下马尔萨斯模型(2)可修改为
()001M dx x a x dt x x t x ???=-? ?????=? (6)
这就是著名的Logistic 模型。方程(6)是变量分离方程，可用分离变量法求得其解为
()()0011M
a t t M x x t x e x --=??+- ??? (7)
由(7)式可以得出人口总数具有以下特点：
(1) 当t →∞时，()M x t x →, 不管初值如何，人口总数趋向于极限值M x 。
(2) 当0M x x <<时
10M dx x a x dt x ??=-> ?
?? 所以x(t)是时间t 的增函数。
(3)
222222111M M M M
d x dx ax dx a dt dt x dt
x dx x x a a x x dt x x =-??????=-=-- ? ?????????
得拐点2M x x =，当2M x x <时曲线向上凹，当2
M x x >时曲线向下凹。dx x dt
-和x t -的曲线图形如下：
由此可以看出在人口总数达到极限值一半以前是加速生长
时期，过这一点以后，生长的速率逐渐减慢，并且迟早会达到零。这是减速生长时期。
上述结论是否正确？我们用Logistic 模型预测地球未来的人口总数。这里必须估计a ，某些生物学家估计，a 的值为0029，又当人口总数为9
3.0610?时，人口每年以2％的速率增长。 由 /1M dx x x a dt x ??
=- ???
即 93.06100.020.091M x ???=- ???
993.06109.86100.0210.09
M x ?=≈?-(近100亿) 即地球能够养活的最大人口为100亿。1961年世界人口为30亿左右，还未达到极限值的一半，因此世界人口总数还将处于加速生长时期。这和1961年以后一段时期世界人口增长很快是相吻合的。
本世纪初人们曾经用Logistic 模型预测美国的人口。以下的表1是1790－1950年美国人口总数的实际统计数与预测数的对照表，从表中数字可以看出这个模型是比较准确的。其中几次人口误差较大(增加或减少)是因为在模型中没有考虑几次向美国大量移民的浪潮以及美国曾经经历四次战争这些因素。
表1 1790—1950年美国人口总数
三. 更精确的模型
Logistic模型尽管对某些地区和某些国家的人口发展实际情况相吻合，但是还太简单。首先我们是把总数中的每一个成员看成是同等的地位，这在一般情况下是不对的。因为人群是由不同年龄阶段的成员组成的，不同年龄阶段成员的生育能力显然不同。小于育龄段和大于育龄段的成员均不会生育。如果处于这个阶段成员的人数占人口总
数的比例过大或过小，显然对未来人口的发展影响很大。另外总数成员的男女比例也很关键，应该说总数增长率在较大程度上取决于女性的数目而不是男性的数目。
我国有关学者为了解决我国人口迅速增长的问题，建之了不少人口数学模型。下面我们介绍其中的一个，是用偏微分方程来描述的。
设F (r ，t )表示t 时刻一切年龄小于r 岁的人口总数，并假设F (r ，t )是r 、t 的连续可微函数。F (r ，t )称为人口分布函数，显然，F (r ，t )≥0，且对任意的t ，F (r ，t )是r 的连续函数。以N (t )表示t 时刻人口总数，m r 表示人类所能活到的最高年龄，则有：
()()()()0,0,,m F t F r t F t N t ==∞= (8)
定义 (),0m F P r t r r r
?=≤≤? ……… (9) 称为年龄密度函数，因为F (r ，t )是r 的递增函数，故
()(),0
,0m P r t P r t ≥= ……… (10) ()()(),,,,F r t P r t N t 三者之间的关系为 ()()()()()0
00,,,,m r r F r t P r t dr N t P r t dr P r t dr ∞===??? (11)
为了得到P (r ，t )满足的方程，记M (r ，t )表示单位时间按年龄死亡密度函数。则年龄在[r ，r +△r ] 区间内单位时间死亡的人数为M (r ，t )△r ，而年龄在同一区间内活着的人数为P (r ，t )△r 。
定义 ()()()0,,,lim r M r t r
r t P r t r μ?→?=? (12)
(),r t μ 称为相对死亡率函数。它是描述人口发展过程的重要参数之一，一般由统计数据得到。
如果不考虑其他各种因素 (例如战争、自然灾害、车祸、人口迁徙等)，只考虑自然的生死过程，那么，由t 经过t ?到t t +?时刻，除去死去的人以外，活着的都变成了
t t +?时刻年龄在[]11,r r r r r +?+?+?区间内的人，这里1r t ?=?，于是有
()()()()1,,,,P r t r P r r t t r r t P r t r t μ?-+?+??=?? 上式可变为
()()()()()()1,,,,,,P r r t t P r t t r
P r t P r t r r t P r t r t μ+?+?-+??????++?-?=-??????
两边同除以r t ??，并令0,0r t ?→?→，同时注意到1r t ?=?，从而得到
()(),,P P r t P r t r t
μ??+=-?? ……… (13) 这就是年龄密度函数P (r ，t )所满足的方程，它是一阶偏微分方程。为了确定方程的定解条件，设t =0时的人口密度分布为 ()()0,0P r P r = ……… (14) ()0P r 是方程(13)的初始条件，它通常由统计数据给出。方程
(13)的边界条件为：
()()(),0,m P r t P t t ?== (15)
()t ? 表示单位时间内出生的婴儿数。称为婴儿出生率。由(13)、
(14)、(15)得到
()()()()()()()0,,,0,,0,0,m P P r t P r t r t P r P r P r t P t t μ????+=?????===?
……… (16) 这就是不考虑其他因素人口自然增长的完整的数学模型。
这个模型的求解过程比较复杂，这里只给出一种特殊情况下的结果。在社会安定的局面下和不太长的时间内，死亡率大致与时间无关，于是可以近似地假设()(),r t r μ
μ=，这时(13)的解为
()()()()()000,r r t r d d P r t e t r
P r t t r e t r μττμττ?---??-≤≤?=???->? (17)
这个解在r －t 平面上有一个浅显的解释：图二中，对角线r =t 将t －r 平面(t ，r ≥0)分为两部分，在t P r t -和这些人的死亡率()()r t r μττ-≤<决定；而在t r >区域，(),P r t 则由未来的生育状况()t r ?-及死亡率()
()0r μττ≤<决定。
以下我们介绍几个在人口学研究中常用的名词：
1. 生育率和生育模式 为了预测和控制人口的发展状况，人们主要关注和可以用作控制手段的就是婴儿出生率()t ?了。下面对()t ?作进一步分析。
记女性性别比函数为K (r ，t )，即时刻t 年龄在
[],r r r +?的女性人数为()(),,K r t P r t r ?，记这些女性在单位时间内平均每人的生育数为(),b r t ，设育龄区间为[]12,r r ，则
()()()()2
1,,,r r t b r t K r t P r t dr ?=? ……… (18) 再将b (r ，t )定义为
()()(),,b r t t h r t β= ……… (19) 其中(),h
r t 满足()21,1r r h r t dr =? ……… (20) 于是 ()()2
1,r r t b r t dr β=? (21)
()()()()()2
1,,,r r t t h r t K r t P r t dr ?β=?………(22) 从(21)式可以看出，()t β的直接含义是时刻t 单位时间内每个育龄女性的生育率。如果所有育龄女性在她育龄期所及的时刻都保持这个生育数，那来()t β也表示平均每个女性一生的总和生育数，所以()t β称为总和生育率(简称生育率)。或生育胎次。从(19)、(20)两式及(),b r t 的含义可以看出，(),h r t 是年龄为r 的女性的生育加权因子，称为生育模式。在稳定环境下可以近似地认为它与t 无关，即()(),h r t h r =，()h r 表示了在哪些年龄生育率高，哪些年龄生育率低。图三给出了()h r 的示意图，表明c r r =附近生育率最高。由人口统计资料可以知道当前实际的(),h r t ，作理论分析时人们常采用的()h r 一种形式是借用概率论中的Γ分布：
()()()1111,r r r r e h r r r αθαθα----=>Γ (23)
并取2,/2,n θα== 这时有
12c r r n =+- (24)
可以看出，提高1r 意味着晚婚，增加n 意味着晚育。
这样，人口发展方程(16)和单位时间出生的婴儿数()t ?的表达式
(22)就构成我们的偏微分方程人口模型。
模型中死亡率(),r t μ，性别比函数(),K r t 和初始密度函数()0P r 都可以由人口统计资料直接得到，或在资料的基础上估计而得，生育率()t β和生育模式(),h r t 则是可以用于控制人口发展过程的两种手段。我国计划生育政策正是通过这两种手段实施的。
从控制论的观点，在方程(16)描述人口系统中，(),P
r t 可视为状态变量，()()0,P t t ?=视为控制变量，是分布参数系统的边界控制函数。(22)式表明控制输入中含有状态变量，形成状态反馈，即人口密度函数(),P r t 的增加，通过婴儿出生率()t ?又使(),P r t 进一步增大。方程的解(17)式中因子()t r ?-表明这种反馈还有相当大的滞后作用，所以一旦人口政策失误，使(),P r t 在一段时间内增加得过多过快，再想通过和控制手段()t β和(),h r t 把人口增长的势头降下来，就很困难并且常常要相当长(几代人)的时间。
2. 人口指数 上面模型中密度函数(),P r t 或分布函数(),F r t 虽然是人口发展过程最完整的描述，但是真正使用时并不方便，在人口统计中常用一些所谓人口指数来简明扼要地表示一个国家或地区的人口特征。下面是一些人口指数的定义。
(1) 人口总数N (t )
()()0,m
r N t P r t dr =? ……… (25) (2) 平均年龄R (t )
()()()01,m
r R t rP r t dr N t =? (26)
(3) 平均寿命S (t )，它表示时刻t 出生的人不论活到什么时候，死亡率(),r t μ都按时刻t 的死亡率计算，这些人的平均存活时间。
()()0,r t r t dr t S t e μ-∞
-?=? (27)
()S t 实际上是预估寿命，通常说目前平均寿命已达到多少岁，是指今年出生婴儿的预估寿命，即S (0)。根据统计资料得到当前死亡率(),0r μ后就可以计算出S(0)。
(4) 老年化指数W (t ) 它定义为
()()()R t W t S t = (28)
显然，平均年龄R (t )越大，W (t )也越大，对于R (t )相同的两个国家或地区，平均寿命S (t )大的，表示健康水平高，一个人能工作的时间在一生中所占的比例大，于是老龄化指数W (t )较小。
(5) 依赖性指数ρ(t )
()()()()
N t L t t L t ρ-= ………(29) ()()()()(),2
2
,111,,,,l l l l L t k r t p r t dr k r t p r t dr =-+??????………(30) 其中[]12,l l 和,,12,l l ????分别是男性和女性有劳动能力的年龄区间，
()L t 是全体人口中有劳动能力的人数，所以依赖性指数()t ρ表示平均每个劳动者要供养的人数。
第二节 传染病传播的数学模型
很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种现象，这种现象就是在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。结果都不能令人满意，后来由于数学工作者的参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证，得到了较满意的解答。
一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。
下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。
一. 最简单的模型
假设：
(1) 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k ；
(2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。
以i (t )表示t 时刻的病人数，0k 表示每个病人单位时间内传染的人数，i (0)= 0i 表示最初时有0i 个传染病人，则在t ?时间内增加的病人数为
()()()0i t t i t k i t t +?-=?
两边除以t ?，并令t ?→0得微分方程
()()()000di t k i t dt i i ?=???=?
………… （2.1） 其解为 ()00
k t i t i e = 这表明传染病的转播是按指数函数增加的。这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由(2.1)的解可知，当t →∞时，i (t )→∞，这显然不符合实际情况。最多所有的人都传染上就是了。那么问题在那里呢？问题就出在于两条假设对时间较长时不合理。特别是假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。因为随着时间的推移，病人越来越多，而未被传染的人数却越来越少，因而不同时期的传播情
况是不同的。为了与实际情况相吻合，我们在原有的基础上修改假设建立新的模型。
二. 模型的修改
将人群分成两类：一类为传染病人，另一类为未被传染的人，分别用i (t )和s (t )表示t 时刻这两类人的人数。i (0)=
0i 。
假设：
(1) 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比。即()0k ks t =；
(2) 一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。
由以上假设可得微分方程
()()()()()()0
0di t ks t i t dt s t i t n i i ?=???+=??=??? ………… (2.2) 这是变量分离方程，用分离变量法可求得其解为
()011knt n i t n e i -=??+- ???
………… (2.3) 其图形如下图2-1所示
模型 (2.2) 可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时间。 医学上称di t dt
-为传染病曲线，它表示传染病人的增加率与时间的关系，如图2-2所示。
由 (2.3)式可得
2020111knt knt n kn e i di dt n e i --??- ???=????+-?? ????? ………… （2.4)
再求二阶导数()22d i t dt
，并令()220d i t dt =，可解得极大点为 01ln 1n i t kn
??- ???= ………… (2.5) 从 (2.5) 式可以看出，当传染病强度k 或人口总数n 增加时，1
t
都将变小，即传染病高峰来得快。这与实际情况吻合。同时，如果知道了传染率k (k由统计数据得到)，即可预报传染病高峰1t到来的时间，这对于预防传染病是有益处的。
模型(2.2) 的缺点是：当t→∞时，由(2.3)式可知i(t)→n，即最后人人都要得病。这显然与实际情况不符。造成这个结果的原因是假设(2) 中假设一人得病后经久不愈，也不会死亡。
为了得到与实际情况更吻合的模型，必须修改假设(2) 。实际上不是每个人得病后都会传染别人，因为其中一部份会被隔离，还有由于医治和人的自身抵抗力会痊愈，有的人会死亡从而也就不再会传染给别人了。因此必须对模型作进一步的修改，建立新的模型。
三. 模型的进一步完善
从上面的分析我们看到模型(2.2) 的假设(2) 是不合理的。即不可能一人得病后会经久不愈，必有一部份人因医治或自身的免疫力，或是被隔离，或是死去而成为不会再继续传染给别人的第三类人。因此我们把人群分成三类：
第一类——由能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的。用I(t) 表示t 时刻第一类人数。
第二类——是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的，用S(t) 表示t时刻第二类人数。
第三类——包括患病后死去的人，病愈后具有长期免疫力的人，以及在得病后被隔离起来的人。用R(t) 表示t时刻第三类人数。
假设疾病传染服从下列法则：
(1) 在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平N ，即不考虑出生及其他原因引起的死亡，以及人口的迁入迁出的情况。
(2) 易受传染者人数S (t )的变化率正比于第一类的人数I (t )与第二类人粉S (t )的乘积。
(3) 由第一类向第三类转变的速度与第一类的人数成正比。 在这三条假设情况下可得如下微分方程：
dS rsI
dt dI rsI I
dt dR I dt λλ?=-???=-???=??
………… (2.6) 其中r 、λ为比例常数，r 为传染率，λ为排除率。
由方程(2.6)的三个方程相加得
()()()0d S t I t R t dt
++=???? 则 ()()()()S t I t R t N ++==常数人口总数
故 ()()()R t N S t I t =--
因此只要求出 S (t )、I (t ) 即可求出 R (t ) 。
方程组 (2.6) 的第一个和第二个方程与 R (t ) 无关。因此，由
dS rSI dt dI rSI I dt
λ?=-????=-?? ………… (2.7)
