(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳

三角函数

一、随意角、弧度制及随意角的三角函数

1．随意角

(1)角的观点的推行

①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．

正角 : 按逆时针方向旋转形成的角

随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角

零角 : 不作任何旋转形成的角

②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．

角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．

第一象限角的会合为 k 360o

k 360o 90o , k

第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k

第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k

第四象限角的会合为

k 360o 270o

k 360o

360o , k

终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k

终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k

终边在座标轴上的角的会合为

k 90o ,k

(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为

k 360o

, k

(3)弧度制

① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做

1 弧度的角．

②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧

度．

③ 半径为 r 的圆的圆心角

所对弧的长为 l ，则角

的弧度数的绝对值是

l

r

④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 l

r

，C

2r l ，

S

1 lr 1 r

2 ． 2

2

2 ．随意角的三角函数定义

设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一

点

P(x ， y)，它与原点的距离为 r r

x 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、

r

r

x

（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三

正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y

．

正切、四余弦）

3．特别角的三角函数值

角度

030456090120135150180270360函数

角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300

二、同角三角函数的基本关系与引诱公式

A.基础梳理

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）

sin α

(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α

2．引诱公式

公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )

tan

此中 k∈Z .

公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.

公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．

公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .

ππ

公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.

22

ππ

公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.

π

口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π

引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22

倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，

则函数名称不变，符号看象限是指：把

π

α当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．

果符号．

B. 方法与重点

一个口诀

1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．

2、四种方法

在求值与化简时，常用方法有：

sin α

(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．

cos α

(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）

(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2

θ= sin

π

＝tan 4

2

（4）齐次式化切法：已知 tan

k ，则 a sin

bcos a tan b ak b

m sin

n cos m tan n mk n

三、三角函数的图像与性质

学习目标：

1 会求三角函数的定义域、值域

2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如

y sin x 与 y cosx 的周期是

）。

3 会判断三角函数奇偶性

4 会求三角函数单一区间

5 知道三角函数图像的对称中心，对称轴

6 知道 y

Asin( x ) ， y A cos( x ) ， y A tan( x ) 的简单性质

（一） 知识重点梳理

1、正弦函数和余弦函数的图象：

正弦函数 y sin x 和余弦函数 y cos x 图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别

为 0，

, , 3

,2 的五点，再用圆滑的曲线把这五点连结起来，就获得正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

2 2

y=sinx

y

-5 - 2

2

-4

-7

-3

-2-3- 2

2

y=cosx

-3

-5 -

- 2

2

-2

-4

-7 -3

2

2

1

3 7 2

2 o

2

5 3

4

-1

2

2

y

1

3

3

7 2

2

o

2

5 4

-1

2

2

x

x

2、正弦函数 y sin x(x R) 、余弦函数 y

cos x( x R) 的性质 ：

（ 1）定义域 ：都是 R 。

（ 2）值域 ：都是

1,1 ，

对 y

sin x ，当 x

2k

k Z 时， y 取最大值 1；当 x

3 k

Z 时， y 取最小值－ 1；

2k

2

2

对 y cos x ，当 x 2k k

Z 时， y 取最大值 1，当 x

2k

k Z 时， y 取最小值－ 1。

（ 3）周期性 ： y

sin x ， y

cos x 的最小正周期都是 2 ；

（ 4）奇偶性与对称性 ：

① 正弦函数 y sin x( x

R) 是奇函数，对称中心是

k ,0 k Z ，对称轴是直线 x

k

k

Z ；

2

② 余弦函数 y cos x( x

R) 是偶函数，对称中心是

k

,0 k

Z ，对称轴是直线

x k k Z ；（正 ( 余)

2

弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线，对称中心为图象与 x 轴的交点）。

（5）单一性 ：

y sin x在2k,2k k Z上单一递加，在

22k ,

3

2kk Z 单一递减；

222

y cosx 在2k,2 k k Z上单一递加 ,在2k,2 k k Z 上单一递减。特别提示，别忘了 k Z ！

3、正切函数y tan x的图象和性质：

（ 1）定义域：{ x | x

2

k, k Z} 。

（ 2）值域是 R，无最大值也无最小值；

（ 3）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是k

,0k Z，特别提示：正 ( 余)切型函数的对称中心有两类：一2

类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不一样之处。

（ 4）单一性：正切函数在开区间k ,k k Z 内都是增函数。但要注意在整个定义域上不拥有单一性。

22

4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质

函

性数y sin x y cos x y tan x

质

图象

定义域R R x x k, k

2

值域1,11,1R 当 x2k k时，当 x2k k时，

2

最值y max1；当 x2k

y

max1；当x2k既无最大值也无最小值2

k时， y min1．k时， y min1．

周期性22

奇偶性奇函数偶函数奇函数在 2k, 2k

2

2

在 2k,2 k k上是

k上是增函数；在在 k, k

2单一性增函数；在 2k,2 k2

2k, 2k3

k k上是增函数．

2上是减函数．2

k上是减函数．

对称中心 k ,0

k

对称中心

k

,0

k

对称中心 k

2 ,0 k

对称性

对称轴 x k

k

2

2

对称轴 x k

k

无对称轴

5、研究函数 y

Asin( x

) 性质的方法：类比于研究 y sin x 的性质 ，只要将 y Asin( x ) 中的 x

看

成 y sin x 中的 x 。

函数 y ＝ Asin （ x ＋ ）（A ＞ 0， ＞ 0）的性质。

（ 1）定义域： R

（ 2）值域： [-A, A]

（ 3）周期性： T

2

| |

① f ( x)

Asin( x

) 和 f ( x) A cos(

x

) 的最小正周期都是

2 。

T

|

|

② f ( x)

Atan( x

) 的最小正周期都是 T

| 。

|

（ 4）单一性：函数 y ＝Asin （ x ＋ ）（ A ＞ 0，

＞ 0）的

单一增区间可由 2k

－ ≤ x ＋ ≤ 2k ＋

， k ∈ z 解得；

2

2

单一减区间可由 2k

＋

≤ x ＋ ≤ 2k ＋

3

， k ∈ z 解得。

2

2

在求 y Asin( x ) 的单一区间时，要特别注意

A 和 的符号，经过引诱公式先将

化正。

如函数 y

sin(

2x

) 的递减区间是 ______

3

（答：

解 析 ： y=

， 所 以 求 y 的 递 减 区 间 即 是 求

的递加区间，由

得

，因此 y 的递减区间是

四、函数 y Asin

x

的图像和三角函数模型的简单应用

一、

知识重点

1、 几个物理量 ： ① 振幅： ；② 周期：

2 ；③ 频次： f

1

2

；④ 相位： x ；⑤初相：

．

2、 函数 y

A sin( x ) 表达式确实定 ： A 由最值确立；

由图象上的特别点确立 .

由周期确立；

函 数 y

sin x

， 当

x

x

1 时 ， 取 得 最 小 值 为 y

min

； 当

x

x

2 时 ， 取 得 最 大 值 为 y

max

， 则

1 y max y min

1

y max y min

x 2 x 1 x 1 x 2

2

，

2

， 2

．

、函数 y

A sin( x

) 图象的画法 ：①“五点法”――设

X

x

，令 X ＝ ，

, , 3

求出相应的 x 值，

3

,2

2 2

计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。4、函数 y＝ sinx 的图象经变换可获得y Asin x＞0的图象

左（右）sin x纵坐标

y

横坐标

sin x平移伸（缩） A 倍

y

伸（缩）1

倍纵坐标y Asin x左（右）

伸（缩） A 倍平移

横坐标y sin x纵坐标

1

伸(缩)倍伸（缩） A 倍

y Asin x

左（右）y

y=sin x sin x纵坐标

Asinx 横坐标

y=sinx平移伸（缩） A 倍y

倍

伸（缩）

横坐标y A sin

左（右）x

纵坐标y A sin x伸（缩）1

倍平移

伸（缩） A 倍

y=sinx左（右）y A sin x横坐标

平移伸（缩）1倍

5、函数y Asin(x) b 的图象与 y sin x 图象间的关系：①函数 y sin x 的图象向左（>0）或向右（<0）

平移 | | 个单位得y sin x的图象；②函数y sin x图象的纵坐标不变，横坐标变成本来的1

，获得函

数 y sin x的图象；③函数y sin x图象的横坐标不变，纵坐标变成本来的A倍，获得函数y A sin(x) 的图象；④函数y Asin(x) 图象向上（b0 ）或向下（ b0 ）平移| b |个单位，获得y Asin x b 的图象。

要特别注意，若由 y sin x获得 y sin x的图象，则向左或向右平移应平移|| 个单位，

如要获得函数 y＝ sin( 2x－π

) 的图象，只要将函数y＝sin2x 的图象 () 3

(A) 向左平移

π 个单位

(B) 向右平移

π

个单位33

ππ

(C) 向左平移6个单位(D) 向右平移6个单位

6、函数 y＝ Acos（x＋）和 y=Atan （ x＋）的性质和图象的变换与y＝ Asin （ x＋）近似。三角恒等变换

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴ cos cos cos sin sin；⑵ cos cos cos sin sin

⑶ sin sin cos cos sin；⑷ sin sin cos cos sin

⑸ tan

tan tan

（ tan tan tan 1 tan tan

1 tan tan

；

；

）；

⑹ tan

tan tan （ tan

tantan

1 tan

tan

）．

1 tan tan

如 tan 20o

tan 40o

3 tan 20o tan 40o

；

（答案：

3 ）

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴ sin2

2sin cos ．

1 sin 2

sin 2

cos 2

2sin

cos (sin

cos

) 2

5π

2 π 5π

π

5

如 cos 2

＋ cos 12 cos 12 的值等于

；

（答案： 4 ）

12 ＋cos 12

⑵ cos2

cos 2

sin 2 2cos 2

1 1 2sin 2

升幂公式 1 cos 2 2cos 2

,1 cos2

2sin 2

降幂公式 cos 2

1 cos

2 ， sin 2

1 cos

2 ．

2

2

⑶ tan 2

2 tan ．

1 tan

2

3、二弦归一

把两个三角函数的和或差化为一个三角函数：

asin

bcos

a 2

b 2 sin

，此中 tan

b ．

a

4、三角变换时运算化简的过程中运用许多的变换，灵巧运用三角公式，掌握运算化简的方法．常用的方法技巧以下：

（ 1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中常常出现许多的异角，可依据角与角之间的和差，倍半，互补，

互余的关系，找寻条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：

① 2

是

的二倍；

4 是 2 的二倍；

是 的二倍； 是 的二倍；

2

2

4

② 15o

45o 30 o 60o

45o ；问： sin

； cos

12

；

12

③

(

)

；④

( )；⑤ 2

(

) (

) (

) (

)；等等.

4

2

4

4

4

如 [1] tan

2

, tan

4

1

,则 tan

4

.

（答案：

3

）

5 4

22

[2] 若 cos(α＋ β)＝

4

4

π

3π

＜ α＋ β＜ 2π，则 cos2α＝ _____， cos2β＝ _____.

5 ，cos(α－ β)＝－ 5 ，且 2 ＜ α－ β＜ π， 2 7

（答案：－ 25 ，－ 1）

sin cos 2 ；

（答案：

1 [3] 已知

1,tan

, 则 tan2

）

1 cos 2

3

8

（ 2）函数名称变换：三角变形中，经常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，往常化切为弦，

变异名为同名（二弦归一） 。

如 sin 50 o (1

3 tan10o )

；

1

o

3

o

分析：原式 o

cos10o

3 sin10o

sin50 o

2 2 c os10

2 sin10

sin50 o

2sin 30o 10o

2sin 40o cos40o

sin 80o

= sin 50

o

o

o

o

o

o

1

cos10 cos10

cos10 cos10 cos10 cos10

（ 3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转变成三角函数值，比如常数“ 1”的代换变形有：

1 sin 2

cos 2 sin90 o tan 45o

（ 4）幂的变换：降幂是三角变换经常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采纳降幂办理的方法。常用降幂公式

有：；。有时需要升幂，常用升幂公式有：；.如对无理式 1 cos常用升幂化为有理式.

（ 5）公式变形：三角公式是变换的依照，应娴熟掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

如： cos cos sin sin = ____________； sin cos cos sin= ____________；

tan tan____________ ； 1 tan tan___________ ；

tan tan____________ ； 1 tan tan___________ ；

sin cos____________ ；2sin cos____________ ；

22

cos2sin2____________；2cos2 1 ____________；2sin 21____________；

1 cos；1cos；

2tan； 1 tan 2；

asin b cos；（此中tan；）

（6）三角函数式的化简运算基本规则：复角化单角，异角化同角，见切化弦，二弦归一，高次化低次，特别值与特别

角的三角函数互化。