必修五不等式专题复习

《不等式》专题复习

知识回顾

一．不等式的主要性质：

(1)对称性：

(2)传递性：

(3)加法法则： (同向可加)

(4)乘法法则：

(同向同正可乘)

(5)倒数法则：

(6)乘方法则：

(7)开方法则：

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：

作差法（作差——变形——判断符号——结论）

3、应用不等式性质证明不等式

二．解不等式

1.一元二次不等式()00或022≠<++>++a c bx ax c bx ax 的解集：

2、简单的一元高次不等式的解法：（穿根法）其步骤是：

（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；

（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶不过；

（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<112023

3、分式不等式的解法（转化为常规不等式）

()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?

注意：右边不是零时，先移项再通分，化为上两种情况再处理

4、不等式的恒成立问题：

应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >

若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <

三、线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：定点法

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件②线性目标函数

③线性规划问题 ④可行解、可行域和最优解：

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解

四．均值不等式

1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.

2．如果a,b 是正数，那么).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b a 变形： ①a+b ≥ab 2；

②ab ≤22??? ??+b a , 当且仅当a=b 时取等号.

注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为

定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

3.常用不等式有：

（12222211a b a b ab a b

++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222a

b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等

号）； （3）若0,0a b m >>>，则

b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。 典例剖析

题型一：不等式的性质

1. 对于实数c b a ,,中，给出下列命题：

①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；

③22,0b ab a b a >><<则若；④b

a b a 11,0<<<则若； ⑤b

a a

b b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；

⑦b c b a c a b a c ->->>>则

若,0；⑧11,a b a b

>>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ 题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）

2. 设2a >，12

p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 3. 比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小

4. 若)2

lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=?=>>，则R Q P ,,的大小关系是.

题型三：解不等式

5. 解不等式

6. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

7. 解不等式25123

x x x -<--- 8. 不等式2120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______

9. 关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02

>-+x b ax 的解集为______

10. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<

题型四：恒成立问题

11. 关于x 的不等式a x 2+ a x +1＞0恒成立，则a 的取值范围是_____________

12. 若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范

围.

13. 已知0,0x y >>且191x y

+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

三．基本不等式

题型五：求最值

14. （直接用注正数）求下列函数的值域

（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x

15. （配凑项）

（1）已知54x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值。 （2）当时，求(82)y x x =-的最大值。

16. 求2710(1)1

x x y x x ++=>-+的值域。 注意：在应用均值不等式求最值时，若等号取不到，应结合函数()a f x x x =+的单调性。

17. 求函数224y x =+的值域。

18. （条件不等式）

（1） 若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是.

（2） 已知0,0x y >>，且191x y

+=，求x y +的最小值。 （3） 已知x ，y 为正实数，且x 2

＋y 2

2 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.

（4） 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值. 题型六：利用基本不等式证明不等式

19、已知a , b 都是正数，并且a ≠b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2

19. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc

16．（12分）设a >0, b >0，且a + b = 1，求证：2

25)1()1(22≥+++b b a a ． 题型七：均值定理实际应用问题：

20. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池（平面图

如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

四.线性规划

题型八：目标函数求最值

21. 满足不等式组??

???>≤-+≤-+0,087032y x y x y x ，求目标函数y

x k +=3的最大值

22、已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ,并且102x <<,22x >．则1b a -的取值范围是