弯曲变形

1 试问用积分法求图示梁的变形时有几个积分常数？试列出相应的边界条件和连续性条件。 (a ) 四个

当0=x 时，

0=A y ，0=A θ；当a x =时，

21C C y y =，21C C θθ=。 (b ) 六个

当a x =时，

021==A A y y ，21A A θθ=；当b a x +=时， 032==B B y y ， 32B B θθ=。 (c ) 六个

当0=x 时，

0=A y ，0=A θ；当a x =时， 21B B y y =；当b a x +=时， 032==C C y y ， 32C C θθ=。 (d ) 二个

当0=x 时，0=A y ，当l x =时，1

12A E qll l y B -

=?-= （注：1E 和1A 分别为拉杆的弹性模量和横截面面积）

2 试用积分法求图示外伸梁的A θ、B θ及A y 、D y 。

解： AB 段(2

x ≤

≤)： ()q l x x M y EI 2

1-==''

141C q l x y EI +-='

113112

D x C qlx EIy ++-=

BC 段(2

32l

x l ≤≤)：

()???

??-+??? ??--==''x l ql x l q x M y EI 234123212

23812361C x l ql x l q y EI +??

??--??? ??-=' 223

42232324123241D x l C x l ql x l q EIy +??

??--??? ??-+

??? ??--= 边界条件：

x =，01=y ：022121 113

=++??? ??-D l C l ql ①

0 2=y ：024

1241 2244=+-+-D l C ql ql ② 2

x =

，02=y ：02=D ③ 连续性条件：

x =，21θθ=：23312

8161241 C ql ql C l ql +-=+??? ??- ④

由①②③④求得：022==D C ，3

1485ql C =，4124

1ql D -=。

∴转角和挠曲线方程为

AB 段：EI ql x EI ql x 4854)(3

21+

-=θ EI

ql x EI ql x EI ql x y 2448512)(4

331-

+-= BC 段：2

32238236)(??

??--??? ??-=x l EI ql x l EI q x θ

223242324)(??

??-+??? ??--=x l EI ql x l EI q x y

由此可得到：

4853

01EI ql x A ===θθ， EI ql l x B 2432

==θθ， 244

ql y y x A -===， EI

ql y y l

x D 3844

==。

3 试用叠加法求图示梁指定截面的挠度和转角。设梁的抗弯刚度

EI 为已知。

(a ) A θ,C y

解： (a )

1．当F 单独作用时，查表得

EI Fl AF 162

-=θ

Fl y CF 483

2．当e M 单独作用时，查表得 EI l

M AM 6e e -

=θ EI

l M y CM 162

e e -=

3．当F 和e M 共同作用时，

????

??+-=+=EI l M EI Fl AM AF A 616e 2e θθθ

???

??+-=+=EI l M EI Fl y y y CM CF C 16482e 3e

(b ) C θ,C y

(b )

1．当q 单独作用时，查表得

EI qa Bq Cq 243

==θθ， EI

qa a y Bq Cq 244=?=θ

2．当F 单独作用时，查表得

EI qa EI a qa EI a qa CF BM CF 65233

221e -

=?-?-

=+=θθθ EI

qa EI a qa a EI qa f a y CF BM CF 32334

331e -

=?-?-=-?-=θ 3．当q 和F 共同作用时，

EI qa EI qa EI qa CF Cq C 241965243

33-

=+=θθθ EI

qa EI qa

EI qa

y y y CF Cq C 8532244

44-

=-=+= 4 已知一钢轴的飞轮A 重kN 20=F ，轴承B 处的许用转角 5.0][=B θ，钢的弹性模量G Pa 200=E 。试确定轴的直径d 。

解：

1．作轴的受力简图

2．由刚度条件确定轴的直径由

334

Fab EI b Fa B πθ=?=≤180][π

θ?B 可得 d ≥

mm 112m 5

.0180

1020032

1102064][180

3644

=??

??????=

πθπ

πB

Fab

5 欲在直径为d 的圆木中锯出抗弯刚度最大的矩形截面梁。试求该截面高度h 和宽度b 的合理比值。

解：

欲使抗弯刚度z EI 最大，当E 一定时，即要求z I 最大。方法一：

3223121

12h h d bh I z -==

令 ()

01243d d 222

22=--=h

d h h d h I z

得到 d h 23=

，d h d b 2

22=-= ∴ 高度与宽度的合理比值为：3=b h 。方法二：

()12

sin cos 12sin cos 12343

3α

αααd d d bh I z =

?== 令 ()

αααααcos sin 3cos sin 12

d d 244

?+-=d

I z

()

0cos 3sin sin 12

2224

=+-=αααd

即 0cos 3sin 22=+-αα

由此得到高度与宽度的合理比值为：3tan ==αh

6 图示悬臂梁AB 和简支梁CD 均用№18工字钢制成，BG 为圆截面钢杆，直径mm 20=d ，钢的弹性模量G Pa 200=E 。若kN 30=F ，

试求简支梁CD 中的最大正应力和G 截面的挠度。

解：为一次超静定问题。

变形协调方程： G BG B y l y =?+

即： ()z

BG z AB EI l F F EA l F EI l F 4833N N 3N -=

+ 即：

()z

z I F F A F I F 48644.138N N N -=+ ①

查表得： 4cm 1660=z I ，3cm 185=z W 由①式求得： kN 8.9N =F

梁AB 的最大弯矩：()m kN 6.19m kN 28.9m ax ?=??==A AB M M CD 的最大弯矩：()()m kN 2.20m kN 4

48.930max ?=??-==G CD M M

梁内的最大正应力：()MPa 2.109Pa 10

185102.2063m ax

m ax =??==

-z

CD W M σ G 点的挠度：)(mm 1.8m 10

16601020048410)8.930(8

3↓=??????-=-G y 7 图示简支梁的左右支座截面上分别作用有外力偶矩A M e 和

B M e 。

若使该梁挠曲线的拐点位于距左端支座3/l 处，试问A M e 和B M e 应保持何种关系？

解：

梁的弯矩方程为

()A B

A A Ay M x l

M M M x F x M e e e e -+=-?= 在拐点处有

=''=l x y

因为

()x M y EI ='' 故

03233e e e e e =+-=-+=??

? ??B A A B A M M M l

l M M l M

即两力偶之间的关系为 A B M M e e 2=

5-29 若弹簧的平均半径mm 80=R ，簧丝直径mm 20=d ，圈数

7=n ，材料的切变模量G Pa 80=G 。在图示载荷作用下，若CDE 梁

的端点E 的位移等于弹簧伸长的倍，试求CDE 梁的抗弯刚度EI 。

解：

1．求支反力

考虑ABC 梁段的平衡可得 N 180=By F 考虑CDE 梁段的平衡可得 N 440=Dy F 考虑整个梁的平衡可得 N 310=Cy F 2．求弹簧的伸长

弹簧所受到的力为 N 310==Cy F F

mm 5.6m 02.010807

08.031064644

9343=?????==Gd n FR δ

3．求E 点的位移

考虑CDE 梁段（记N 220=F ，mm 450=a ） (a ) 先将C 点看作固定铰支座由叠加法

Fa a y D EF 33

1=?=θ

Fa y EF 33

Fa y y y EF EF EF 323

21=+=

(b ) 由弹簧伸长引起的E 点位移 δδ=E y (c ) E 点的总位移

δδ+=+=EI

Fa y y y E EF E 323

①

4．求CDE 梁段的抗弯刚度根据题意 δ5.1=E y ②

由①②求得

3m kN 8.410

6.55.145.022025.12?=????==-δFa EI

8 图示悬臂梁的抗弯刚度2m kN 30?=EI ，弹簧的刚度m N 101753/K ?=，梁端与弹簧间的空隙为mm 25.1=δ。当N 450=F 时，试问弹簧将分担多大的力？

解：

若无弹簧，悬臂梁自由端的挠度为

mm 25.1mm 11.2m 1030375.045033

3>=???==EI Fl y B

因此，为一次超静定问题，弹簧被压缩。设弹簧力为t F ，则变形协调方程为

()EI

l F F K F 31025.13t 3

t -=

?+- 即 ()3

3t 3

3t 1030375.04501025.110175???-=

?+?-F F 由此求得

N 6.82t =F

三角恒等变换公式大全

三角函数 cos (a+ B)=CoS a'-cos B - sin a - sin B cos (a-B)=cos a-cos B + sin a - sin B sin (a+ B)=S in a'-cos B cos a - sin B sin (a-B)=sin a-cos B - cos ,a?sin B tan (a+ B)=(ta n a+ta n B)/ (1-tan a - tan B) tan (a-B)=(ta n a-ta n B)/ (1+ta n a - tan B) 二倍角 sin (2a) =2sin a - cos a =2tan (a) /[1-ta门(a)] cos (2 a) =cosA2 (a) -si 门八2 (a) =2cosA2 (a)-1=1-2si nA2 (a)=[1-ta 门八(a)]/[1+tanA2 (a)] tan (2a) =2tan a /[1 -ta门八2 (a)] 三倍角 sin3 a =3sin a -4sinW (a) C0S3 a =4COS A3 (a) - 3C0S a tan3 a = (3tan a -ta门八3 (a))*( 1-3ta门八2 (a)) sin3 a =4sin aX sin ( 60- a) sin (60+a) C0S3 a =4cos aX COS ( 60- a) C0s ( 60+a) tan3 a =tan aX tan ( 60- a) tan (60+a) 半角公式 sin A2 (a /2 )= (1-cos a) /2 cosA2 (a /2 )= (1+cos a) /2 tan A2 (a /2 )= (1-CoS a) / ( 1+cos a) tan ( a /2 ) =sin a / ( 1+cos a) = ( 1- CoS a) /si n a 半角变形 sinA2 (a /2 ) = (1-cos a) /2 sin(a/2 ) =V[ (1-cos a) /2] a/2 在一、二象限 =-V[ (1-cos a) /2] a/2 在三、四象限 C0SA2 (a /2 ) = (1+cos a) /2 cos(a/2 ) =V[ (1+cos a) /2] a/2 在一、四象限 =-V[ (1+cos a) /2] a/2 在二、三象限 tan A2 (a 12 ) = ( 1-COS a) / ( 1+COS a) tan (a /2 ) =S in a / ( 1+COS a) =( 1- COS a) /si n a =V[ ( 1-COS a) / ( 1+COS a)] a/2在一、三象限 =-V [ ( 1- COS a) / ( 1+COS a) ] a/2 在二、四象限

完全平方公式之恒等变形

§1．6 完全平方公式（2）班级：姓名：【学习重点、难点】重点： 1、弄清完全平方公式的结构特点； 2、会进行完全平方公式恒等变形的推导．难点：会用完全平方公式的恒等变形进行运算．【学习过程】 ● 环节一：复习填空 ()2_____________a b += ()2_____________a b -= ● 环节二：师生共同推导完全平方公式的恒等变形 ①()222_______a b a b +=+- ②()222_______a b a b +=-+ ③()()22_______a b a b ++-= ④()()22_______a b a b +--= ● 典型例题及练习例1、已知8a b +=，12ab =，求22a b +的值变式训练1：已知5a b -=，22=13a b +，求ab 的值变式训练2：已知6ab =-，22=37a b +，求a b +与a b -的值方法小结：

提高练习1：已知+3a b =，22+30a b ab =-，求22a b +的值提高练习2：已知210a b -=，5ab =-，求224a b +的值例2、若()2=40a b +，()2=60a b -，求22a b +与ab 的值小结：课堂练习 1、（1）已知4x y +=，2xy =，则2)(y x -= （2）已知2()7a b +=，()23a b -=，求=+22b a ________，=ab ________ （3）()()2222________a b a b +=-+ 2、（1）已知3a b +=，4a b -=，求ab 与22a b +的值（2）已知5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。（3）已知224,4a b a b +=+=，求22a b 与2()a b -的值。

三角恒等变换公式

三角恒等变换公式 1.两角和与差的三角函数和（差）角公式： sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β tan(α±β)= β αβαtan tan 1tan tan ± 倍角公式： sin 2α =2sin αcos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1 - sin 2α tan2α=αα2tan 1tan 2- 2.和差化积与积化和差公式积化和差公式： 2sin αcos β=sin(α+β)+sin(α-β) 2cos αsin β= sin(α+β)-sin(α-β) 2cos αcos β= cos(α+β)+cos(α-β) -2sin αsin β=cos(α+β)-cos(α-β) 和差化积公式： sin α+ sin β=2sin 2βα+cos 2 β α- sin α- sin β=2cos 2βα+sin 2 βα- cos α+ cos β=2cos 2βα+cos 2 βα- cos α- cos β=-2sin 2βα+sin 2βα- 3.万能公式与半角公式万能公式：

sin α=2tan 12tan 22 αα+ cos α=2tan 12tan 12 2 αα+- tan α=2tan 12tan 22 αα- 半角公式： sin 2 cos 12αα -±= cos 2 cos 12αα+±= tan ααα cos 1cos 12+-± ==ααsin cos 1-=ααcos 1sin + 其他： cos 2 2cos 12αα+= sin 22cos 12αα-= 1+cos2α=2cos α2 1-cos2α=2sin α2

工程力学习题库-弯曲变形

第8章弯曲变形本章要点【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。【公式】 1. 弯曲正应力变形几何关系：y ερ = 物理关系：E y σρ = 静力关系：0N A F dA σ==?，0y A M z dA σ==?，2z z A A EI E M y dA y dA σρ ρ == =?? 中性层曲率： 1 M EI ρ = 弯曲正应力应力：，M y I σ= ，max max z M W σ= 弯曲变形的正应力强度条件：[]max max z M W σσ=≤ 2. 弯曲切应力矩形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F bh F S S 2323max ==τ 工字形梁弯曲切应力：d I S F y z z S ??=* )(τ，A F dh F S S ==max τ 圆形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F S 34max =τ 弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max

3. 梁的弯曲变形梁的挠曲线近似微分方程：()''EIw M x =- 梁的转角方程：1()dw M x dx C dx EI θ= =-+? 梁的挠度方程：12()Z M x w dx dx C x C EI ??=-++ ??? ?? 练习题一. 单选题 1、建立平面弯曲正应力公式z I My /=σ,需要考虑的关系有（）。查看答案 A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系 B 、变形几何关系，物理关系，静力关系； C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系 D 、平衡关系, 物理关系，静力关系； 2、利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（）来确定积分常数。查看答案 A 、平衡条件 B 、边界条件 C 、连续性条件 D 、光滑性条件 3、在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（）。 A ．剪力相同，弯矩不同 B ．剪力不同，弯矩相同 C ．剪力和弯矩均相同 D ．剪力和弯矩均不同图1 图2 4、图2悬臂梁受力，其中（）。 A ．A B 段是纯弯曲，B C 段是剪切弯曲

§4.2 多项式的恒等变形

§4.2 多项式的恒等变形教学目的:使学生掌握多项式的有关理论及多项式变形的方法,主要是解析式的求法——拉格朗日插值公式，因式分解的常用方法。教学重点与难点：解析式的求法——拉格朗日插值公式，因式分解的常用方法。课时安排：2课时。教学内容如下：一、多项式的基本概念多项式是由数与字母进行+、—、?运算而构成。定义设n 是一非负整数，形如1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 的多项式，当0n a ≠时，叫做一元n 次多项式。所有系数全为零的多项式叫做零多项式，记为0。零多项式是唯一不定义次数的多项式。二、多项式的恒等定理（多项式的基本定理）定理1 如果在给定的数域里，对于变数字母的任意值，多项式 1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 的值都等于零，那么这个多项式的所有系数都等于零。证明用数学归纳法（1）当n=1时，10()f x a x a =+。因为对于x 的任意值，f(x)的值都等于零，所以令x=0，即得0 0a =。由此得1()0f x a x =≡，再令x=1，则有10a =。因此，命题对于一次多项式成立。（2）假定命题对于次数低于n 的多项式成立，现在来证明对于

n 次多项式也成立。如果对于x 的任意值，都有 1 11 ()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 0≡ ① 在等式①中，以2x 代x ，得 11 110(2)2220n n n n n n f x a x a x a x a ---=++++≡ ② ①2n ?—②，得1 12221202 (21)2(21)(21)0n n n n n n n a x a x a -------+-++-≡ ③ 这是一个次数低于n 次的多项式，它恒等于零，依归纳假定，它的所有系数都等于零，即 122 122(21)0,2(21)0,,n n n n a a -----=-= 02(21)0,,(21)0n k k n n k a a ---=-= 因为 20,210( 1,2,n k k k n -≠-≠= 所以 12100,0,,0,0 n n a a a a --=== = 代入①得，0n n a x ≡，令x=1,得0n a = 根据（1）、（2），命题对于任意的一元多项式都成立。定理2 两个多项式 1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ （0n a ≠） 1m 110 g(x)=b (0)m m m m x b x b x b b --++++≠ 恒等的充分必要条件是它们的次数相等，且对应项系数相等，即 ,(1,2,,)i i n m a b i n === 证明条件的充分性是显然的，下面证明必要性。为了确定起见，不妨设n ≥m 。若两个多项式的次数不同，可以在次数较低的多项式中添系数为零的项，使

高一数学上期三角函数恒等变换知识归纳与整理

《三角函数恒等变换》知识归纳与整理一、基本公式 1、必须掌握的基本公式（1）两角和与差的三角函数 S S C C C βαβαβα =±) ( 同名乘积的和与差 S C C S S βαβαβα±=±) ( 异名乘积的和与差 T T T T T β αβαβα 1) (±=± （2）二倍角的三角函数 C S S ααα22 = S C S C C 2 22222112ααααα -=-=-= 差点等于1 T T T 2 212α αα -= （3）半角的三角函数 212 C S α α -± = 2 12 C C α α+± = C C T α α α +-± =112 θ θ θθθsin cos 1cos 1sin 2 -=+= T 2、理解记忆的其他公式（1）积化和差 ][2 1 )()(C C C C βαβαβ α-++=

=S S βα][21)()-(C C βαβα+- ][21)()(S S C S βαβαβα-++= ][21)()(S S S C βαβαβα-+-= （2）和差化积 ][22 2 C S S S βα βαβα-+=+ ][22 2 C S S S βαβαβα+-=- ][22 2C C C C βα βαβα-+=+ ][22 2 S S C C βα βαβα-+-=- （3）万能公式（全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式） T T S 2 2 212α α α += T T C 22 2 211α α α+-= T T T 2 2 212α α α- = （4）辅助角公式 )sin(cos sin 2 2 ?++=+x x b x a b a 其中：a b = ?tan 常见的几种特殊辅助角公式： ① ) 4 sin(2cos sin π + =+x x x

高中数学三角函数恒等变形公式

三角函数恒等变形公式以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] 三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

弯曲变形的强度条件和强度计算

弯曲变形的强度条件和强度计算当梁受到一组垂直于其轴线的力即横向力或位于轴线平面内的外力偶作用时，梁的轴线由一条直线变为曲线，称为弯曲变形。如果梁的几何形状材料性能和外力都对称于梁的纵向对称面则称为对称弯曲。如果梁变形后的轴为形心主惯性平面内的平面曲线则称为平面弯曲。本课程中主要研究以对称弯曲为主的平面弯曲，如图1所示。图1 平面弯曲一、梁弯曲时的内力——剪力和弯矩梁的横截面上有两个分量——剪力和弯矩，它们都随着截面位置的变化而变化，可表示为F S=F S(x)和M=M (x)，称为剪力方程和弯矩方程。为了研究方便，通常对剪力和弯矩都有正负规定：使微段梁发生顺时针转动的剪力为正，反之为负，如图2所示；使微段梁上侧受拉下侧受压的弯矩为正，反之为负，如图3所示。图2 剪力的正负图3 弯矩的正负例1：试写出下图所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。

解：（ 1 ）求支反力 = ∑C M：0 3 10 12 6= ? - - ? Ay F，kN 7 = Ay F = ∑Y：0 10= - +By Ay F F，kN 3 = By F （2）列内力方程剪力： ? ? ? < < - < < = 6 3 kN 3 3 kN 7 ) ( S x x x F 弯矩： ? ? ? ≤ ≤ ≤ ≤ ? - ? - = 6 3 3 m kN ) 6(3 m kN 12 7 ) ( x x x x x M （3）作剪力图和弯矩图二、梁弯曲时的正应力在一般情况下，梁的横截面上既有弯矩又有剪力。若梁上只有弯矩没有剪力，称为纯弯曲。本讲主要讨论纯弯曲时横截面上的应力——正应力。梁横截面上的正应力大小与该点至中性轴的距离成正比，即正应力沿截面宽度均匀分布，沿高度呈线性分布，如图4所示。图4 梁弯曲时的正应力分布图即有y I x M z ) ( = σ（1）

三角恒等变换所有公式

WOIRD格式三角恒等变换所有公式两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 万能公式：半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 专业资料整理

材料力学习题弯曲变形

弯曲变形基本概念题一、选择题 1.梁的受力情况如图所示，该梁变形后的挠曲线如图（）所示(图中挠曲线的虚线部分表示直线，实线部分表示曲线)。 2. 如图所示悬臂梁，若分别采用两种坐标系，则由积分法求得的挠度和转角的正负号为（）。题2图题1图 A．两组结果的正负号完全一致 B．两组结果的正负号完全相反 C．挠度的正负号相反，转角正负号一致 D．挠度正负号一致，转角的正负号相反 3.已知挠曲线方程y = q0x(l3 - 3lx2 +2 x3)∕(48EI)，如图所示，则两端点的约束可能为下列约束中的（）。题3图 4. 等截面梁如图所示，若用积分法求解梁的转角、挠度，则以下结论中（）是错误的。 A．该梁应分为AB、BC两段进行积分 B．挠度积分表达式中，会出现4个积分常数 -26-

题4图题5图 C ．积分常数由边界条件和连续条件来确定 D ．边界条件和连续条件表达式为x = 0，y = 0；x = l ，0==右左y y ，0='y 5. 用积分法计算图所示梁的位移，边界条件和连续条件为( ) A ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0；x = a ，右左y y =，右左 y y '=' B ．x = 0，y = 0；x = a + l ，0='y ；x = a ，右左y y =，右左 y y '=' C ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y = D ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左 y y '=' 6. 材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ，所受荷载及截面尺寸如图所示。关于它们的最大挠度有如下结论，正确的是（）。 A ． I 梁最大挠度是Ⅱ梁的 41倍 B ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2 1 倍 C ． I 梁最大挠度与Ⅱ梁的相等 D ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍题6图题7图 7. 如图所示等截面梁，用叠加法求得外伸端C 截面的挠度为（）。 A ． EI Pa 323 B ． EI Pa 33 C ．EI Pa 3 D ．EI Pa 233 8. 已知简支梁，跨度为l ，EI 为常数，挠曲线方程为)24)2(323EI x lx l qx y +-=， -27-

(完整版)三角恒等变换所有公式

三角恒等变换所有公式两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 万能公式：半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

三角恒等变形公式大全

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整式恒等变形一览(1)

初中数学中的整式恒等式一览表草根雾岩 @初中理科班数学学完乘法公式和因式分解后，对比较常见的整式恒等式进行总结，以方便学生们进行查阅. 比较重要的恒等式都有自己的名字，一般以恒等式的形式或者发现者的名字命名；另外一些虽然在“中考中不能使用，但却是广大劳动人民智慧的结晶，所谓的‘民间定理’”！【1】在恒等式的群山之巅闪耀着不朽的光辉！本文试着按照不同难度要求对恒等式进行分类. 【课内涉及的恒等式】（1）平方差公式 ()()22a b a b a b +-=- ()()22a b a b b a ---=- （2）完全平方和、差公式 222()2a b a ab b +=++ 222()2a b a ab b -=-+ （3）平方和与完全平方和差的关系 ()2 222a b a b ab +=+- ()2 222a b a b ab +=-+ （4）完全平方和差的关系 ()() 22 4a b a b ab +--= ()() ()22 222a b a b a b ++-=+ （5）三项和完全平方公式 () 2 222222a b c a b c ab bc ca ++=+++++ （6）两项轮换差的完全平方和 ()()()222 22212a b c ab bc ca a b b c c a ??++---= -+-+-? ? （7）十字相乘法 ()()()2x p x q x p q x pq ++=+++ （8）分组分解法 ()()ax by ay bx a b x y +++=++

【自招中涉及的公式】（1）立方和、差公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ 2233()()a b a ab b a b -++=- （2）完全立方和、差公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+- （3）立方和差与完全立方和差的关系 ()()3 333a b a b ab a b +=+-+ ()()3 333a b a b ab a b -=-+- （4）杨辉三角 () 5 54322345510105a b a a b a b a b ab b +=+++++ () 5 54322345510105a b a a b a b a b ab b -=-+-+- （5）四项和完全平方公式 () 2 2222222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++

材料力学的基本计算公式-材料力学弯曲公式

材料力学得基本计算公式外力偶矩计算公式(P功率,n转速) 1.弯矩、剪力与荷载集度之间得关系式 2.轴向拉压杆横截面上正应力得计算公式 (杆件横截面轴力F N,横截面面积A,拉应力为正） 3.轴向拉压杆斜截面上得正应力与切应力计算公式(夹角 a 从x轴正方向逆时针转至外法线得方位角为正) 4.纵向变形与横向变形(拉伸前试样标距l,拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径d１) 5.纵向线应变与横向线应变 6.泊松比 7.胡克定律 8.受多个力作用得杆件纵向变形计算公式？ 9.承受轴向分布力或变截面得杆件,纵向变形计算公式 10.轴向拉压杆得强度计算公式 11.许用应力, 脆性材料，塑性材料 12.延伸率 13.截面收缩率 14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g )

15.拉压弹性模量E、泊松比与切变模量G之间关系式 16.圆截面对圆心得极惯性矩(a)实心圆 (ｂ)空心圆 17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩 T,所求点到圆心距离r ) 18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 19.扭转截面系数 ,(a)实心圆? (b)空心圆 20.薄壁圆管(壁厚δ≤Ｒ０/10 ,R0为圆管得平均半径)扭转切应力计算公式 21.圆轴扭转角与扭矩Ｔ、杆长l、扭转刚度GＨｐ得关系式 22.同一材料制成得圆轴各段内得扭矩不同或各段得直径不同(如阶梯轴)时或 23.等直圆轴强度条件 24.塑性材料;脆性材料 25.扭转圆轴得刚度条件? 或 26.受内压圆筒形薄壁容器横截面与纵截面上得应力计算公式, 27.平面应力状态下斜截面应力得一般公式 , 28.平面应力状态得三个主应力 , , 29.主平面方位得计算公式

弯曲变形

第七章弯曲变形 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念挠度、转角、挠曲线、挠曲线近似微分方程、直接积分法、叠加法。 1.2 挠度和转角梁弯曲变形后，梁轴线将弯曲成一条光滑而连续的曲线，称为挠曲线。以梁在变形前的轴线为x 轴，y 轴向上为正。梁的挠曲线为xy 平面内的一条平面曲线。梁的弯曲变形用两个基本量来度量： 1 挠度：横截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，用w 表示；向上的挠度为正，反之为负。 2 转角：横截面变形后绕中性轴转过的角度，用θ表示。逆时针转动为正，顺时针转动为负。挠度和转角之间有如下关系： () dw x dx θ= 可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程()w f x =。 1.3 挠曲线近似微分方程梁弯曲时，曲率和弯矩的关系为 1() ()() M x x EI x ρ=，式中)(x EI 为梁的抗弯刚度。在小变形的情况下，挠曲线近似微分方程为 22() d w M x dx EI = 1.4 梁变形的求解 1 直接积分法对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程 ()() ()dw x M x x dx C dx EI θ= =+? （a ）再积分一次，得挠度方程 () ()M x w x dxdx Cx D EI =++?? （b ）其中C 、D 为积分常数，可利用梁的边界条件和挠曲线连续条件确定。 2 叠加法在小变形和弹性范围内，梁的挠度与载荷为线性关系，可以用叠加法求梁的挠度：即将梁的载荷分为若干种简单载荷，分别求出各种简单载荷作用下的位移，将它们叠加起来即为原载荷产生的位移。

1.5 梁的刚度条件梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将变形限制在一定范围内，即满足刚度条件 max max [] [] w w θθ≤≤ 式中的[]w 和][θ分别为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。 1.6 简单超静定梁由于多余约束的存在，某些梁的约束反力只用静力平衡方程并不能完全确定，这种梁称为超静定梁。求解方法之一为变形比较法，主要有以下步骤：（1）解除多余约束，视此约束反力为未知外力，选取静定基，得到原超静定梁的相当系统；（2）将相当系统的变形与原系统比较，找到变形所应满足的条件，即变形协调方程；（3）由变形协调方程求解未知的约束反力。多余约束反力解出后，利用平衡方程求解其它约束反力。 1.7 提高梁刚度的措施从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件、梁截面的惯性矩I 、材料的弹性模量E 有关。故提高梁刚度的措施为：（1）改善结构形式，减小弯矩M ；（2）增加支承，减小跨度l ；（3）选用合适的材料，增加弹性模量E ：（4）选择合理的截面形状，提高惯性矩I ，如工字形截面、空心截面等。 2 重点与难点及解析方法 2.1挠曲线近似微分方程梁弯曲变形后，曲率和弯矩之间的关系EI x M x ) ()(1= ρ是弯曲变形的基本方程，可直接用来解决梁的一些变形问题。解析方法：梁的挠曲线近似微分方程是建立在以梁左端为原点的右手坐标系上的，求解梁的弯曲变形时应特别注意。 2.2梁变形的求解 1 直接积分法是求解梁的变形的基本方法。

整式恒等变形一览

初中数学中的整式恒等式一览表草根雾岩@初中理科班数学学完乘法公式和因式分解后，对比较常见的整式恒等式进行总结，以方便学生们进行查阅. 比较重要的恒等式都有自己的名字，一般以恒等式的形式或者发现者的名字命名；另外一些虽然在“中考中不能使用，但却是广大劳动人民智慧的结晶，所谓的‘民间定理’”！【1】在恒等式的群山之巅闪耀着不朽的光辉！本文试着按照不同难度要求对恒等式进行分类. 【课内涉及的恒等式】（1）平方差公式（2）完全平方和、差公式（3）平方和与完全平方和差的关系（4）完全平方和差的关系（5）三项和完全平方公式（6）两项轮换差的完全平方和（7）十字相乘法（8）分组分解法

【自招中涉及的公式】（1）立方和、差公式（2）完全立方和、差公式（3）立方和差与完全立方和差的关系（4）杨辉三角（5）四项和完全平方公式

【几个比较有名的配方公式】（1）()()()()()()22222222a b c d ac bd ad bc ac bd ad bc ++=++-=-++ 这是着名的菲波那切（Fibonacci ，1170--1250）恒等式. 该恒等式可以推出二元柯西不等式. （2）()()244422 2a b a b a ab b +++=++ （3）()()()222222111n n n n n n +?+++=++ （4）()()()222 4444222242a b c d abcd a b c d ab cd +++-=-+-+- 该恒等式可以推出四元的均值不等式. （5）()()()()22123131x x x x x x ++++=++ 该恒等式可以说明连续四个正整数的积不是完全平方数. （6）()()()()()22222223122 a b b c c a a b c a b c -+-+-=++-++ 一个求最值问题的变形，奥精上有这道题，去年某区初赛考了它的推广形式. （7）()()44222242222n k n nk k n nk k +=++-+ 双二次式的因式分解，配方法和平方差结合的典例，类似的方法可以证明对于一切整数1n >，441n +及44n +都是合数，前者被称为哥德巴赫定理（Goldbach ，1690--1764），后者被称为吉梅茵（Germain ，1776--1831）定理【2】. 当然，4这个系数还可以改为64、324、1024等具有形式44t 的数。