高二数学期中模拟试卷2

一、选择题（共12小题；共60分）

1. 如图，设 A,B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C ，测出 AC 的距离为 50m ，∠ACB =45°，∠CAB =105° 后，就可以计算出 A,B 两点的距离为 ( )．

A. 50√2m

B. 50√3m

C. 25√2m

25√22

2. 若 sin (π6

?α)=13

，则 cos (

2π3

+2α)=( )

A. ?7

B. ?1

C. 1

D. 7

3. 已知 x ∈(?π

2,0)，cosx =4

5，则 tan2x =( )

A. 7

24 B. ?7

24 C. 24

7 D. ?24

7 4. 抛物线 y =2x 2 的焦点坐标是 ( )

A. (12

,0)

B. (1

,0)

C. (0,1

)

D. (0,1

)

5. 已知点 P 为圆 x 2+y 2?2x +2y =0 的圆心，则点 P 到直线 x ?y +1=0 的距离是 ( )

A. 12

B. 32

C. √22

3√2

6. 若动圆的圆心在抛物线 x 2=12y 上，且与直线 y +3=0 相切，则此动圆恒过定点 ( )

A. (0,2)

B. (0,?3)

C. (0,3)

D. (0,6)

7. 已知集合 A ={(x,y )∣x,y 为实数,且x 2+y 2=1}，B ={(x,y )∣x,y 为实数,且y =x}，则 A ∩B 的元素个数为 ( ) A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

8. 直线 x =?1 与 √3x +y =0 的夹角为 ( )

A. π

6 B. π

C. 2π

3 D. 5π

9. 已知双曲线

x 2a 2

y 2b 2

=1(a >0,b >0) 的实轴长为 2，离心率为 √5，则它的一个焦点到它的一条

渐近线的距离为 ( ) A. 1

B. 2

C. √5

D. 2√2

10. 已知空间四边形 ABCD 的各边以及对角线的长都是 a ，点 E ，F ，G 分别是 AB ，AD ，CD 的中点，

下列运算的结果为正数的是 ( )

A. AD ????? ?DB

?????? B. GE ????? ?GF

????? C. FG

????? ?BA ????? D. GF

????? ?AC ?????

11. 点 P (?3,1) 在椭圆 x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0) 的左准线上．过点 P 且方向为 a =(2,?5) 的光线，

经直线 y =?2 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 ( ) A. √33

B. ?1

C. √22

D. 1

12. 已知点 M 在圆 C 1：(x ?1)2+(y ?1)2=1 上，点 N 在圆 C 2：(x +1)2+(y +1)2=1 上，则

下列说法错误的是 ( )

A. OM

?????? ?ON ?????? 的取值范围为 [?3?2√2,0] B. ∣∣OM ?????? +ON ?????? ∣∣ 的取值范围为 [0,2√2]

C. ∣∣OM ?????? ?ON ?????? ∣∣ 的取值范围为 [2√2?2,2√2+2]

D. 若 OM

?????? =λON ?????? ，则实数 λ 的取值范围为 [?3?2√2,?3+2√2]

二、填空题（共4小题；共20分）

13. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 x 2

a 2+y 2

b 2=1(a >b >0) 的右焦点，直线 y =b

2 与椭

圆交于 B ，C 两点，且 ∠BFC =90°，则该椭圆的离心率是．

14. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O:x 2+y 2=1，圆 M:(x +a +1)2+(y ?2a )2=1（a 为实

数）．若圆 O 和圆 M 上分别存在点 P ，Q ，使得 ∠OQP =30°，则 a 的取值范围为． 15. 已知

tanα

tan(α+π

)

=?23，则 sin (2α+π

4) 的值是．

16. 已知在 △ABC 中，边 AB 上的高与边 AB 的长相等，则 AC

BC +BC

AC +AB 2

BC?AC 的最大值为．

三、解答题（共6小题；共70分）

17. 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所

示的频率分布直方图，质量指标值落在区间 [55,65)，[65,75)，[75,85] 内的频率之比为 4:2:1．

（1）求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；

（2）用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45,65)内的概率．

18. 已知三点P(5,2)、F1(?6,0)、F2(6,0)．

（1）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

（2）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P?、F1?、F2?，求以F1?、F2?为焦点且过点P?的双曲线的标准方程．

19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y=2x?4．设圆C的半径为1，圆心在l

上．

（1）若圆心C也在直线y=x?1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

20. 在△ABC中，AC=6，cosB=4

5，C=π

．

（1）求AB的长；

（2）求cos(A?π

)的值．

21. 如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，

BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且PF

PC =1

．

（1）求证：CD⊥平面PAD；

（2）求二面角F?AE?P的余弦值；

（3）设点G在PB上，且PG

PB =2

．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

22. 在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有

一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于A点北偏东45°且与点A相距40√2海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=√26

，0°<θ<90°）且与点A相距10√13海里的位置C．

（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；

（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．

答案

第一部分

1. A

2. A 【解析】

cos(2π

+2α)=cos[π?(

?2α)]

=?cos[2(

?α)]

=2sin2(

?α)?1

3. D

4. D

5. D

6. C

7. B 【解析】集合A表示由圆x2+y2=1上所有的点组成的集合，集合B表示由直线y=x上所有的点组成的集合，

由于直线y=x经过圆心(0,0)，

故直线与圆有两个交点．

8. A

9. B 【解析】因为双曲线x2

a2?y2

=1(a>0,b>0)的实轴长为2，离心率为√5，所以a=1，c=

√5，b=2，所以双曲线的一个焦点为(√5,0)，一条渐近线的方程为y=2x，所以双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为√5

√4+1

=2．

10. B

11. A 【解析】记椭圆的左焦点为F1，光线与直线y=?2的交点为Q，过点P(?3,1)的方向向量

a=(2,?5)，所以k PQ=?5

2，由光线反射的对称性知k QF

，又因为直线QF1过点P关于直线y=

?2的对称点P?(?3,?5)，所以0?(?5)

?c+3=5

，解得c=1，又因为a

=3，得a=√3．所以椭圆的离心率

e=c

a =

√3

=√3

12. B 第二部分 13. √6

【解析】由题意，得 F (c,0)．直线 BC 的方程与椭圆方程联立，解得 B (?

√3a 2,b 2)，C (√3a 2,b

)，则 BF

????? =(c +√3a 2

,?b 2

)，CF ????? =(c ?√3a 2

,?b 2

)．由 ∠BFC =90°，得 BF ????? ?CF ????? =0，即 c 2?34

a 2+14

b 2=0，再结合 b 2=a 2?

c 2 可得 c 2

a 2=2

3，则 e =c

a =√63

． 14.

?1?√41

5≤a ≤

?1+√41

15. √2

16. 2√2

【解析】设 AC =b ，BC =a ，AB =c ，则 1

2absinC =12

c 2，

即 absinC =c 2

．故由题意知

AC +BC +

AB 2

=a 2+b 2+c 2

ab =2c 2

+2abcosC =2absinC +2abcosC

2√2sin (C +π

)≤2√2.

第三部分

17. （1）设区间 [75,85] 内的频率为 x ，

则区间 [55,65)，[65,75) 内的频率分别为 4x 和 2x ．

依题意得 (0.004+0.012+0.019+0.030)×10+4x +2x +x =1, 解得 x =0.05．

所以区间 [75,85] 内的频率为 0.05．

（2）由（1）得，区间 [45,55)，[55,65)，[65,75) 内的频率依次为 0.3，0.2，0.1．用分层抽样的方法在区间 [45,75) 内抽取一个容量为 6 的样本，则在区间 [45,55) 内应抽取 6×0.3

0.3+0.2+0.1=3 件，记为 A 1，A 2，A 3．在区间 [55,65) 内应抽取 6×0.20.3+0.2+0.1=2 件，记为 B 1，B 2．在区间 [65,75) 内应抽取 6×0.10.3+0.2+0.1=1 件，记为 C ．

设“从样本中任意抽取 2 件产品，这 2 件产品都在区间 [45,65) 内”为事件 M ，

则所有的基本事件有：{A 1,A 2}，{A 1,A 3}，{A 1,B 1}，{A 1,B 2}，{A 1,C }，{A 2,A 3}，{A 2,B 1}，{A 2,B 2}，{A 2,C }，{A 3,B 1}，{A 3,B 2}，{A 3,C }，{B 1,B 2}，{B 1,C }，{B 2,C }，共 15 种．

事件M包含的基本事件有：{A1,A2}，{A1,A3}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A2,A3}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A3,B1}，{A3,B2}，{B1,B2}，共10种．

所以这2件产品都在区间[45,65)内的概率为10

15=2

．

18. （1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为x2

a2+y2

=1(a>b>0)，其半焦距c=6．

2a=∣PF1∣+∣PF2∣=√112+22+√12+22=6√5,所以

a=3√5,b2=a2?c2=45?36=9.

故所求椭圆的标准方程为x 2

45+y2

=1．

（2）点P(5,2)、F1(?6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为：P?(2,5)、F1?(0,?6)、F2?(0,6)．

设所求双曲线的标准方程为y 2

a12?x2

b12

=1(a1>0,b1>0)，由题意知半焦距c1=6，2a1=∣∣P?F1?∣?∣P?F2?∣∣∣

=∣∣√112+22?√12+22∣∣

=4√5,

所以

a1=2√5,b12=c12?a12=36?20=16.

故所求双曲线的标准方程为y 2

20?x2

=1.

19. （1）由题设，圆心C是直线y=2x?4和y=x?1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．

设过A(0,3)的圆C的切线方程为

y=kx+3.

由题意，得

∣3k+1∣

√k2+1

=1,

解得：

k=0或?3 4 .

故所求切线方程为

y=3或3x+4y?12=0.

（2）因为圆心在直线y=2x?4上，所以圆C的方程为

(x?a)2+[y?2(a?2)]2=1.设点M(x,y)，因为MA=2MO，所以

√x2+(y?3)2=2√x2+y2,化简得

x2+y2+2y?3=0,

即

x2+(y+1)2=4,

所以点 M 在以 D (0,?1) 为圆心，2 为半径的圆上．

由题意，点 M (x,y ) 在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则

∣2?1∣≤CD ≤2+1,

即

1≤√a 2+(2a ?3)2≤3.

整理，得

?8≤5a 2?12a ≤0.

由 5a 2?12a +8≥0，得

a ∈R;

由 5a 2?12a ≤0，得

0≤a ≤

125

. 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 [0,12

5]． 20. （1）由 cosB =4

，得 sinB =3

．

由 AB

sinC =AC

sinB ，得 AB =

ACsinC sinB

=6×

√22

×53=5√2．

（2） cosA =?cos (C +B )=sinBsinC ?cosBcosC

=35×√22?45×√22=?√2

10. 由 A 为三角形的内角，得 sinA =

7√2

． cos (A ?π6)=cosAcos π6+sinAsin

=?√210×√32+7√210×12=7√2?√620

21. （1）因为 PA ⊥平面ABCD ，所以 PA ⊥CD ．又因为 AD ⊥CD ，所以 CD ⊥平面PAD ．

（2）过 A 作 AD 的垂线交 BC 于点 M ．因为 PA ⊥平面ABCD ，所以 PA ⊥AM ，PA ⊥AD ．如图建立空间直角坐标系 A ?xyz ，

则 A (0,0,0)，B (2,?1,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)．因为 E 为 PD 的中点，所以 E (0,1,1)．

所以 AE ????? =(0,1,1)，PC ????? =(2,2,?2)，AP ????? =(0,0,2)．所以 PF ????? =1

3PC ????? =(23,2

3,?2

3)，AF ????? =AP ????? +PF ????? =(23,23,4

)．设平面 AEF 的法向量为 n ? =(x,y,z )，则 {n ? ?AE

????? =0,n ? ?AF ????? =0, 即 {y +z =0,23x +23y +43z =0. 令 z =1，则 y =?1，x =?1．于是 n ? =(?1,?1,1)．又因为平面 PAD 的法向量为 p =(1,0,0)，所以 cos ?n ? ,p ?=n

? ?p ∣∣n ? ∣∣∣∣p ∣∣

=?√3

．由题知，二面角 F ?AE ?P 为锐角，所以其余弦值为 √33．

（3）直线 AG 在平面 AEF 内．

因为点 G 在 PB 上，且 PG PB =2

3，PB

????? =(2,?1,?2)，所以 PG ????? =23

PB ????? =(43

,?23

,?43

)，AG

????? =AP ????? +PG ????? =(43

,?23,23

)．由（Ⅱ）知，平面 AEF 的法向量 n ? =(?1,?1,1)．所以 AG ????? ?n ? =?4

3+2

3=0．所以直线 AG 在平面 AEF 内．

22. （1）

如图，AB =40√2，AC =10√13，∠BAC =θ,sinθ=

√26

由于 0°

<θ<90°

，所以 cosθ=√1?(√26

26)2

=5√2626.

由余弦定理得

BC =√AB 2+AC 2?2AB ?AC ?cosθ=10√5.

所以船的行驶速度为

10√5

=15√5（海里/小时）．

（2）

如图所示，设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q ．在 △ABC 中，由余弦定理得，

cos∠ABC =AB 2+BC 2?AC 22AB ?BC =402×2+102×5?102×132×40√2×10√5

=3√10

10,

从而 sin∠ABC =√1?cos 2∠ABC =√1?9

10=√10

, 在 △ABQ 中，由正弦定理得，AQ =

ABsin∠ABC

sin 45?∠ABC =

40√2×

√1010

√22×2√1010

=40．

由于 AE =55>40=AQ ，所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 QE =AE ?AQ =15．过点 E 作 EP ⊥BC 于点 P ，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离．在 Rt △QPE 中，PE =QE ?sin∠PQE =QE ?sin (45°?∠ABC )=15×√5

=3√5<7.

所以船会进入警戒水域．