第1课时 勾股定理(1)

第二章 勾股定理与平方根

第1课时 勾股定理(1)

预学目标

1．初步了解勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

2．尝试用“割”和“补”两种方法探索教材P44图2－1中以AB 为边的正方形的面积，在求解的过程中判断哪一种方法更简便，总结在网格图中求图形面积的方法．

3．熟记11到20的平方，能迅速判断给定的一个平方数是几的平方，如144是12的平方．

4．对给定的已知两边长的直角三角形，能根据勾股定理求出第三边的长． 知识梳理

1．常用的平方数

112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．

2．在网格图中求图形面积

如图1，每个小方格的边长都是1，求图中四边形ABCD 的面积．

过A 、B 、C 、D 四点分别作水平线和铅垂线，构成四边形EFGH ，

用它的面积减去四个角上的直角三角形的面积，即是四边形ABCD 的

面积．

S ABCD ＝______－______－______－______－______＝______－

______－______－______－______＝______．

3．根据勾股定理求第三边的长(可用平方差公式简化计算)

如图2，由勾股定理：_______2＋_______2＝_______2，

得x 2＝_______2－_______2＝(____＋____)(____－_____)

＝______，所以x ＝______．

4．用面积法求直角三角形斜边上的高

如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是高，AC ＝5，

BC ＝12，则AB 2＝_______2＋_______2＝_______2＋_______2＝_______，

则AB ＝______．

∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12

AC ·BC ，∴AB ·CD ＝AC ·BC ． ∴CD ＝(A C ·BC)÷AB ＝_______×_______÷______＝______．

即直角三角形斜边上的高等于两直角边相乘再除以斜边．

例题精讲

例 (1)如图①，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 、BC 、AB

为直径的3个半圆的面积S 1、S 2和S 3之间有什么关系？请说明理由，若

AB ＝4，求S 1＋S 2的值．

(2)如图②，若Rt△ABC的面积为10，分别以AC、BC、AB为直径

在AB的同侧作三个半圆，面积分别为S1、S2和S3，求阴影部分的面积S．提示：先利用圆面积公式把S1、S2和S3分别用AC、BC、AB表示出

来，再结合勾股定理探索它们之间的关系．用前一小题的结论解决后一小题．

点评：探索数量关系时，通常从和差或倍数方面考虑．第(2)题是第(1)题的变式．

热身练习

1．直角三角形两条直角边的长分别为3、4，则斜边上的高为______．

2．如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是( ) A．13 B．26 C．47 D．94

3．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是底边上的高，若AB＝5 cm，BC＝6 cm，则AD＝______cm．

4．如图，在△ABC中，AC＝17，BC＝10，AB边上的高CD＝8，则AB边的长为( ) A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对

5．斜边长为17、一条直角边长为15的直角三角形的面积为______．

6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，则AB2＋AC2＋BC2＝______．

参考答案

1．2.4 2．C 3．4 4．A 5．60 6．50