高等数学A2重修——第七章作业解答
高等数学作业下-2 (答案)
第八章 习题答案 8．1 多元函数基本概念 1．解：=),(y x f )225(9 1 22y x xy --。 2．解：).sin sin())(,(),sin sin(sin )],([x x x x f x g y x y x y x g f =?= 3．解：（1）0。（2）a e 。（3）1。（4）0。（利用有界量乘以无穷小量仍为无穷小量。） （5）y x y x y x y x y x 1102222+≤++≤++≤ ，且.0)11(lim =+∞ →∞→y x y x 从而.0lim 22=++∞ →∞→y x y x y x （6）22)21()( 022x x y x xy ≤+≤ ，且0)21(lim 2=+∞→x x ，所以原式0=。 4．解：不存在。因沿不同路径趋近时极限值不同。 5．解：⑴),(y x f 的定义域为0≠+y x 。 )(a 当0≠+y x ，1≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数，故连续。 )(b 当100=+y x 时，=-++-+=→+→+211 )11ln(11lim ),(lim y x y x y x f y x y x =+→20)1ln(1 lim t t t ),(200y x f =，即),(y x f 在 100=+y x 时也连续。故),(y x f 的间断线为0=+y x 。 ⑵)(a 当02 2 ≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数，故连续。 )(b 当02 2 =+y x 时，2222001)1(lim ),(lim k k x k kx y x f x kx y x +=+=→=→，显然k 取不同值时得不同极限，即),(lim 0 0y x f y x →→不存在，故),(y x f 在)0,0(点不连续。 ⑶)(a 当022≠+y x 时),(y x f 连续。)(b 当02 2=+y x 时，因y x y x f +≤),(，故 0),(lim 00 =→→y x f y x ，从而)0,0(0),(lim 0 f y x f y x ==→→，即),(y x f 处处连续。 8．2 偏导数与全微分 1.解：（1） )2cos(4),2cos()2sin(2222222y x ye y z y x e y x xe x z x x x +=??+++=??。
(完整)同济版高等数学下册练习题(附答案)
第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) ()(); (); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥r r r r 面； 面面面 5、2 ()αβ→ → ±=( ) (A)22αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2 2 2 6160x y z z ++++=； (B)222 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2 2 2 1x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L ：31258x t y t z t =-?? =-+??=+? 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线 122 232 x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .
高等数学重修下B试题
上海应用技术学院2010—2011学年第 2 学期 《高等数学工（2）》期（末）（B ）试卷 课程代码: B122012 学分: 5.5 考试时间: 100 分钟 课程序号: 1028835 1028833 1029591 班级： 学号： 姓名: 我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将 愿接受相应的处理。 试卷共 5页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。 一．填空题（每空格2分，共计30分） （1）设)ln(),(2 2 y x y x f +=，则：=),(kx x f 。 （2）设函数),(y x f z =在),(00y x 处可导，且a y x f x =),(00，b y x f y =),(00 则：=?-?+→?y y x f y y x f y ) ,(),(lim 00000 ， =??--?+→?x y x x f y x x f x ) ,(),(lim 00000 。 （3）设3 2y x e z =，则：=dz 。 （4）函数2 2 2 z y x u ++=在点)1,1,1(沿→ → → → ++=k j i l 32的方向导数 =??) 1,1,1(l u ，=)1,1,1(gradu 。 （5）二次积分 ? ? -x dy y x f dx 10 10 ),(在直角坐标系下的另一种积分次序是 ，在极坐标系下的二次积分式是 。 （6）将三重积分 ???Ω dv z y x f ),,(化成直角坐标系下的三次积分，其中Ω是平面 1=++z y x 与坐标平面所围成的位于第一挂限的立体区域。
=???Ω dv z y x f ),,( 。 （7）L 是平面上任意一条闭曲线，则：? =+L ydy x dx xy 22 。 （8）曲线?????==-012 222z b y a x 绕y 轴旋转一周所得的旋转曲面方程 。 （9）级数∑∞ =?? ? ??132n n 的和是 。 （10）正项级数 ∑∞=1 n n u ，∑∞ =1 n n v 如果满足l v u n n n =∞→lim ，（+∞< 数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，，A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的W K域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 第八章典型习题 一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为 ； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（ ） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微 二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知 ，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。 第九章、第十章典型习题 一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式 中正确的是（ ）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（ ） 大学高数考试挂科检讨书范文精选五篇 考试是检查我们学习情况的一种方式，而我们考试成绩不理想的话就说明我们没有很好的掌握知识，那么就需要加倍努力了。下面是 ___网的收集的关于大学高数考试挂科检讨书范文，欢迎借鉴参考。 尊敬的老师： 关于此次高数考试挂科的问题，我在此递交考试挂科的检讨书，由此来深刻反省我的错误，向您做出如实保证，并且提出诚恳改正措施，最大程度地弥补错误。 回顾错误经过，我在上一阶段数学学习过程当中出现了严重的厌学问题，一度数学课几乎没有认真地听，导致多门课程的知识点没有掌握。最终导致了此次单元数学考试不及格，得到了全班最低分。 面对错误，我感到羞愧万分，此次错误充分地暴露出我思想上存在着放松、懈怠自己的诸多问题。林林总总的问题，归根结底还是我不够成熟，没有充分意识到学习数学的重要性。 特此，我向您保证： 1、我今后一定提高自己对于数学这门学科的充分认识，努力提高自身学习素质，做到不偏学不偏科，不懈怠学习。 2、我一定努力进去，认真学习数学，提高数学成绩，争取在下阶段数学考试当中取得好成绩。 3、我必须充分地以此次错误为戒，反省自己，重新定位自身，争取早日成为一名德智体美劳全面发展的好学生。 总结，我愿意接受大家的监督! 检讨人：xx 20xx年xx月xx日 尊敬的导员： 您好! 这次高数考试我考的非常差，没有及格，原因在我平时上课没有认真学习，快要考试了才知道复习，自己高数底子差，上课时不努力下课后不练习，成绩提不上去。 这次挂科让我明白了学习需要勤奋，不能在大学期间浪费时间，而且如果我补考不能过，就得重修，我可不想在花时间重新学一遍高数。过去我上高数课，不是看手机，就是看课外书籍，从来就没有一天认真学习过。高数本来就比较难，我自己还不努力。我进入大学后认为上大学不需要如同高中时那么努力。拿个文凭很简单，可是如果我连续多次考试不合格，想毕业都难。 在高中时我的成绩不错，到了大学，我就开始不重视学习，而每天都在浪费青春，浪费上课时间，学习不知道努力。如果不是这次挂科，我还沾沾自喜，可能会一直这样学习下去，这不但不能学到任何东西，反而会错过了大学提升自己的机会。高数成绩差，我会从今以后好好努力，会加油赶上，不浪费时间，也不去做其他与学习无关的东西，努力提升自己的学习成绩，在大学也争取进入全校前十。 进入大学后，总认为大学可 ___安排，但我忘记一点，那就是大学需要靠我们自己积极学习，在大学靠的的是自主学习，不会有老师逼迫你学习，我不知道珍惜时间，只因为自己不喜欢学习高数， 【高等数学基础】形成性考核册答案 【高等数学基础】形考作业1答案： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2 ()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3 ()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称 偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =，所以为偶函数 第十一章 习题答案 1． 1常数项级数的概念及基本性质 1．解：（1） +?+?+ ?+?+ ?6515 414 31321211 （2） -+ -+ -5 14 13 12 11 (3) +++ ++5 4 3 2 5 !54 ! 43 !32 !21!1 (4) +????????+ ??????+ ????+??+ 10 8642975318 64275316 425314 2312 1 2． 解：（1）1 21-= n u n （2）1 2+-= n n u n （3）) 2(6422 n x u n n ??= （4）1 2) 1(1 1 +-=++n a u n n n 3． 解：（1）013 1lim lim ≠==∞→∞ →n n n n u ，∴级数发散（不满足级数收敛的必要条件） 。 （2）原级数可写为 )4 13 12 11(3 1 +++ + 。∵括号内级数为调和级数发散，∴原级数发散。 （3）原级数为公比等于2 3的几何级数，∵ 123>，∴原级数发散。 （4）原级数为发散的调和级数 +++++ 5 14 13 12 11去掉前三项，∴原级数发散。 （5）原级数为公比等于9 8-的几何级数，19 8<- ，∴原级数收敛。 （6）∵级数 ++ + 3 2 2 12 12 1收敛（公比 12 1<的几何级数） ，级数 ++ + 3 2 3 13 13 1收敛 （公比 13 1<的几何级数） ，∴原级数收敛（收敛级数可以逐项相加减）。 4． 解：（1）a a a a a a a a a a S n n n n -= - ++- +- +-=+-+1 21 2125 73 53)()()()( ， a a a S n n n n -=-=+∞ →∞ →1)(lim lim 12，∴此级数收敛。 （2）]) 2)(1(1) 1(1 [ 21 ) 2)(1(1 ++- += ++= n n n n n n n u n +?- ?+ ?- ?+ ?- ?= ∴)5 414 31 (21 )4 31321 ( 21)3 212 11 ( 21 n S ])2)(1(1 ) 1(1 [ 21 ++- ++ n n n n =]) 2)(1(1 21[21++-n n ， 4 1 ])2)(1(121[21lim =++-= ∞ →n n S n n ，∴此级数收敛。 高等数学重修个人学习心得 一提起“数学”课，从小学一直到高中，它几乎就是一门陪伴着我们成长的学科。然而即使有着大学之前近12年的数学学习生涯，那么，究竟应该如何在大学中学好高数呢？我认为首先要走出心理的障碍. 我想之前学不好高数的大半原因人都应该是自己学习高数没有兴趣,感觉学习高数枯燥乏味,面对的除了x,y,z别无他物. 而且在高中时的数学就没有学懂,因此一上来就失去了自信心,自认为自己不行，学不懂高数.为什么这么说呢？因为最开始认为学习高数是很枯燥的事.尤其是在凳子上一坐两个小时,听着老师的讲解,这更像是在解读天书.所以考试成绩也一直不甚理想,其实我曾经的数学学的就不是不好,高考时就因为数学没考好落榜，当时的心情可想而知，尤其来到大学看到高数课本时，刚开始自己也觉得很恐怖，因为在数学前边又加了“高等”二字，想想自己连“低等数学”都没学好，高等数学要怎么学呢？然后和大家一样，初来大学每天去占座，然后试着去认真听老师讲课，结果听着听着渐渐的思绪又飘远了，知道这次开始重修高数，用一种新的方式，不懂直接就可以请教老师，原来的时候在班级害怕不懂就问会被同学取笑，所以不会也只能默默吃着亏，但是自从这次重修，每到不懂得问题，直接就可以去问老师，老师的态度也特别特别和蔼，总是细心的给我讲述一道又一道的问题，有时候觉得自己的问题好低级，老师依旧没有怨言一点一点的去给我分析和指导，渐渐地我发现自己对高数有了一点兴趣，觉得高数不过如此嘛，然后就越来越注重高数的学习。现在我才感觉到，之前认为对高数或者别的科目没兴趣那只是心理作怪，因此要克服学习高数的困难应该先克服自己的心理.具体应该怎样克服这种心理难关呢?我认为最重要的是要找回自己的自信心，不要以为自己就学不好高数，不要以为自己就不是学习高数的料，心里要有一股不服输的劲，为什么别人都可以，就我学不好呢，因此学好高数我认为首先就是要有自信心和专心的思考.这才是学习好高数的基础。然后要注重学习方法。不懂就要问对于高数的学习，不同的人有不同的学习方法，经过这么长时间的重修，我渐渐的感觉到自己会的题要比原来多好多，有的题也可以试着自己去独立完成了，所以现在我认为不管是对高数还是对别的学科，学习，首先就要不怕挫折，有勇气面对遇到的困难，有毅力坚持继续学习，突然感觉以前的不好意思显得格外幼稚，知识学到肚子里才是自己的，最可笑的人不是什么都问的人，而是不懂装懂，只能默默吃着哑巴亏，等到真正考验自己的时候才一筹莫展到处寻找方法的人，其实感觉大学数学与中学数学明显的一个差异就在于大学数学强调数学的基础理论体系，而中学数学则是注重计算与解题，所以我都会照着书本一点一点去分析，实在不会的话马上问老师，学会举一反三，比如说积分的题不懂了，那就把导数公式，微分复习一下，然后再去问老师，免得出现老师说什么完全听不懂这种，其次认真听讲：带着问题去问老师，一定要集中注意力，专心听讲，然后仔细注意老师的讲解方法和解题思路，其分析问题和解决问题的过程，记好笔记，争取尽可能多的从老师那里学来更多的知识。 通过这次重修，老师对我的教导我才真正的明白，知识只有真正的掌握人才能硬气，想走偏门始终还是不成熟的心里，当真正学会的那一刹那，觉得内心的满足感是那样强烈，对考试也不会像原来一样害怕，甚至恐惧了，因为心里有底子了，所以感觉人也自信了，总之很感谢学校给予我们的这次重修的机会，也感谢我的老师对我孜孜不倦的教诲，千恩万谢也只有用优秀的成绩来回报老师与学校了。 习题一 一、 1. × 2. \/ 3. × 4. × 5. × 6. \/ 7. × 二、 1. A 2. D 3. B 4. A 三、 1. 直线y x = 2. [-1，3） 3. 1[,0]2 - 4. 奇 5. 2 log 1 y y y =- 6. 3,,sin u y e u v v x === 四、 1(2)3f x x += +，2 2 1()1f x x =+， 11(())1211x f f x x x +== ++ +，11()()2f f x x =+ 习题二 一、 1. ∨ 2. × 3. × 4. ∨ 5. ∨ 6. × 7 × 8 × 二、 1. B 2. B 3. A 4. C 5. D 6. C 7. C 三、 1) lim 1x x x - →=-，0 lim 1x x x + →= lim x x x →不存在 2) 1lim ()2x f x + →=，1 lim ()2x f x - →= 1 lim ()2x f x →= 2 lim ()5,lim ()0x x f x f x →→== 习题三 一、 1. × 2. × 3. ∨ 4. × 5. 二、 1. C 2. B 3. D 4. D 三、 (1) 2131 lim 11 x x x →-+=+ (2) 22 11112 lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 2 02lim 2h hx h I x h →+== (4) 23 I = (5) 0I = (6) 422 lim 13 x x I x →-==- (7) 1 1133lim 213 n n I +→∞-==- (8) 111 lim (1)2212 n n →∞- =+ (9) 23 211132 lim lim 111x x x x x I x x x →→++-+==-=--++ 第9章（之1） （总第44次） 教学内容:§微分方程基本概念 *1． 微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ） 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （ （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ） 解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ； （B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解； （C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数； （D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线． : 解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ， 故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解． 高等数学（下） 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）； （3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则 222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得14 9 z= 即所求点为M（0，0， 14 9 ）. 7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：()() ++=++ a b c a b c. 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2,3. u v =-+=-+- a b c a b c试用a , b, c表示23. u v - 解： 232(2)3(3) 224393 5117 u v -=-+--+- =-++-+ =-+ a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D 1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接， 试以AB=c，BC=a表示向量 1 D A, 2 D A, 3 D A和 4 D A. 解： 11 1 5 D A BA BD =-=-- c a 22 2 5 D A BA BD =-=-- c a 33 3 5 D A BA BD =-=-- c a 44 4 . 5 D A BA BD =-=-- c a 11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M的投影为M'，则 1 Pr j cos604 2. 2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量 高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 昆明理工大学《高等数学》A (2)重修试卷(2013年) 一.填空题.（每题4分，共48分） 1.设)cos sin(),(y x y x f +=，则)2,0(π x f = 1 . 注：)cos cos(),(y x y x f x += 2.设y x z =，则=dz xdy x dx yx y y ln 1+- 3.设0),,(=z y x F 可确定任一变量是其余两变量的函数，则 =??????z y y x x z ..1-. 4.曲面14222=++z y x 上点（1,2,3）处的切平面方程为 01432=-++z y x . 注：14),,(222-++=z y x z y x F ,z F y F x F z y x 2,2,2===, 2(x-1)+4(y-2)+6(y-3)=0 5.交换积分次序，则= ?? dy y x f dx x x 1 0),(dx y x f dy y y ? ? 10 2 ),(. 6.设D 为x y x 222≤+，则σd y x f D ??+)(22在极坐标下的二次积分为 ρρρθθ ππ d f d ? ?-cos 20 2 /2 /)(. 7.设L 为122=+y x 在第一象限的弧段，则ds e L y x ?+2 2=e π2 1 . 8.曲线积分? =+) 8,6() 0,0(ydy xdx 50 . 注：) 8,6()0,0(22|)(2 1y x + 9.设曲面∑为221y x z --=，则??∑ ++dS z y x )(222=π2. 10.设∑是母线平行于z 轴的柱面，则??∑ dxdy z y x f ),,(= 0 . 11.微分方程2013=+'y y x 的特解为2013=y . 12.微分方程054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e x +. 二..计算题.（每题8分，共24分） 1.设(,)u v Φ具有连续偏导数,(,)z z x y =由方程(,)0cx az cy bz Φ--=所确定,求 z x ??, z y ??. 解：0)()(21=??-Φ+??-Φx z b x z a c 2 11Φ+ΦΦ=???b a c x z 0)()(21=??-Φ+??-Φy z b c y z a 212Φ+ΦΦ=???b a c y z 2.求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值. 解：由?????=+-=??=-+=??0?630?9632 2 y y y z x x x z 得四个驻点 )2,1(),0,1(),2,3(),0,3(4321P P P P -- 6622+=??=x x z A ,02=???= y x z B ,6622+-=??=y y z C (1)对P2:A=-12<0,B=0,C=-6<0, AC-B2=72>0,f(-3,2)=31为极大值. (2)对P3点: A=12>0,B=0,C=6>0, AC-B2=72>0, f(1,0)=-5为极小值; (3)对P1,P4点,都有AC-B2<0,故此两点不是极值点;因此:f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x 的极值点为: (1,0)对应极小值:f(1,0)=-5,(-3,2)对应极大值:f(-3,2)=31. 3.求曲面222y x z +=与2226y x z --=所围立体的体积. 解：222y x z +=,2226y x z --=222=+?y x 第 11 章（之1）（总第59次） 教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题： **（1）. 函数连续区域是 ??????? ． 答： **（2）. 函数 ， 则（ ） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A ） **2. 画出下列二元函数的定义域： （1）= u y x -； 解：定义域为：{ } x y y x ≤) ,(，见图示阴影部分： （2）)1ln(),(xy y x f +=； 解：{} 1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包括边界，双曲线1-=xy 用虚线表示）． （3）y x y x z +-= ． 解：()()? ? ?-≠≥????≠+≥+-?≥+-y x y x y x y x y x y x y x 000． ***3. 求出满足2 2, y x x y y x f -=?? ? ??+的函数()y x f ,. 解：令?? ? ??=+=x y t y x s ， ∴?? ???+=+=t st y t s x 11 ∴()() ()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22 222， 即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限： ()() 2 2 0,0,11lim y x xy y x +-+→． 解：()( )( ) ( )( ) 2 222 2 22 2 112111110y x xy y x y x xy xy y x xy ++++≤ +++= +-+≤ () 01 122 2→+++= xy y x （()()0,0,→y x ） ∴ ()() 011lim 2 2 0,0,=+-+→y x xy y x ． **5. 说明极限()()2 22 20,0, lim y x y x y x +-→不存在． 解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同． 首先，0=x 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ， 其次，0=y 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ， 故极限()()2 22 20,0,y y lim +-→x x y x 不存在． **6. 设1 12sin ),(-+= xy x y y x f ，试问极限 ),(lim ) 0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？ 解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数 1 12sin ),(-+= xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义． 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 《 高等数学B （下） 》练习题 提交作业要求： 1、在规定的时间内，按下列格式要求准确上传作业！（不要上传别的科目作业, 也不要上传其他学期的作业，本次作业题与其他学期作业题有很大变化） 2、必须提交word 文档！ （1）不按要求提交，会极大影响作业分数（上学期很多同学直接在网页上答题，结果只能显示文本，无法显示公式，这样得分会受很大影响） （2）若是图片，请将图片大小缩小后插入到一个word 文件中。 （3）图片缩小方式：鼠标指向图片，右键，打开方式，画图，ctrl w ，调整大小和扭曲，依据（百分比），将水平和垂直的原始数值100都改为40，另存为jpg 格式。这样处理后，一个大约3M 的照片会缩小至几百K ，也不影响在word 中的清晰度。 网上上传也快！ 3、直接上传单个的word 文件！（不要若干张图片压缩成一个文件） 一、判断题 1. 设函数(,)f x y 在00(,)x y 点的偏导数连续，则(,)f x y 在00(,)x y 点可微. 答：对 2. 设函数(,)f x y 在00(,)x y 点可微，则(,)f x y 在00(,)x y 点的偏导数连续. 答：错 3. 二重积分(,)d D f x y σ??表示以曲面(,)z f x y =为顶，以区域D 为底的曲顶柱体的体积. 答：错 4. (,)0f x y ≥若， 二重积分(,)d D f x y σ??表示以曲面(,)z f x y =为顶，以区域D 为底的曲 顶柱体的体积. 答：对 5. 若积分区域D 关于y 轴对称，则32sin()d 0.D x y σ=?? 答：对 6. 微分方程4()1y y y ''''-=-是四阶微分方程. 答：错 7. 微分方程cos sin sin cos x ydx y xdy =是变量可分离微分方程. 答：对 8. 微分方程cos sin sin cos x ydx y xdy =是一阶线性微分方程. 答：错高等数学同济第七版7版下册习题 全解
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