自适应滤波器测试

1、考虑建模为M 阶AR 过程的广义平稳随机过程u(n)。由平均功率0P 和AR 系数 M a a a ,...,,21组成的一组参数与自相关系列)(),..,1(),0(M r r r 一一对应，如下式 ｛)(),..,1(),0(M r r r ｝?｛M a a a P ,...,,,210｝

证明该命题正确。

2、考虑由如下差分方程描述的二阶MA 过程x(n)

)2(25.0)1(75.0)()(-+-+=n n n n x ννν，

其)(n ν中是方差为1的零均值白噪声过程。要求用一个M 阶AR 过程u(n)近似该过程。对于下列阶数

(a)M=2 , (b)M=5 ,(c)M=10

做上述逼近，并评价所得结果。如果AR 过程u(n)要与MA 过程x(n)精确等价，则M 必须多大？

3、横向滤波器的抽头权向量定义为: u (n)=?(n)s (n)+v (n)

其中 s (w)=[1,e jw -,…,e )1(--M jw ]T 和 v (n)=[v(n),v(n-1),…,v(n-M+1)]T 正弦向量s (w)的复数幅度是零均值、方差为2?δ =E[2

)(n ?]的随机变量。试完成如下工作：

（a ） 确定抽头输入向量u (n)的相关矩阵

（b ） 设期望响应)(n d 和u (n)不相关，对应的维纳滤波器的抽头权向量是什

么？

（c ） 假设方差02=?δ，目标响应d （n ）的定义为)()(k n v n d -=

这里01-≤≤M k ，维纳滤波器的抽头权向量的新值是什么？

（d ） 确定期望响应的维纳滤波器抽头权向量

τjw e n n d -?=)()( 这里τ是延时

4、图a 和图b 分别表示期望响应为)(n d 的自回归模型和含有噪声的通信信道模型。在图a 中，)(1n ν是零均值、方差为27.021=δ的白噪声过程，在图b 中)(2n ν是零均值、方差为1.021=δ的白噪声过程。两个声源)(1n ν和)(2n ν是统计独立的。 （a ）证明信道输出为)()()(2n n x n u ν+=

其中 )()2(8.0)1(1.0)(1n n x n x n x ν+-+-=

（b ）假设使用长度为2的维纳滤波器，确定抽头输入向量的相关矩阵R 和抽头输入向量与滤波器期望响应的互相关向量。

（c ）利用（a ）和（b ）的结果，确定维纳滤波器的最优权向量和维纳滤波器产生的最小均方误差。

5、（a ）一个过程)(1n u 由复包络为α、角频率为ω的单一正弦函数过程和零均值、

方差2νδ的加性噪声构成，即)()(1n e n u jwn να+=，其中22

][αδα=E ,且22

])([v n E δν= 该过程)(1n u 应用于一个M 阶线性预测器，并在均方误差意义上将其最优化。试解答如下问题

⑴计算M 阶预测误差滤波器抽头权值以及最终预测误差功率M P

⑵计算相应的格型预测的反射系数M k k k ,...,,21。

⑶当方差2v δ趋于0时，⑴和⑵的结果有何变动。

6、在最速下降算法中，经过n+1次迭代后的抽头权向量的校正可以表达为 )]()([)1(*n e n u E n w μδ=+，其中u (n)是抽头输入向量，e(n)是估计误差。在误差性能曲面极小值处，这个调整会发生什么情况？根据正交性原理，讨论这个答案。

7、考虑一阶自回归(AR)过程，其差分方程描述为)()1()(n n au n u ν+--=，其中a 是过程的AR 参数，)(n ν是零均值、方差为2νδ的白噪声。

（a ）建立一个一阶线性预测器来计算参数a 。特别地，使用最速下降算法迭代求解参数a 的维纳解。

（b ）画出这个习题的误差性能曲线，并根据已知参数表明曲线的极小点。 （c ）步长参数μ满足什么条件才能保证收敛？并证明你的结论。

8、某一未知实值系统的零均值输出)(n d 用多重线性回归模型表示为

)()()(n n u w n d T o ν+=，

其中o w ?是模型的（未知）参数向量，)(n u 是输入向量，)(n ν是零均值、方差为2v δ的白噪声样值。图P5.1的框图给出未知系统的自适应模型，其中自适应横向滤波器由改进的LMS 算法控制。特别地，横向滤波器的抽头权向量)(n w 的选择使得如下性能指标)]([),(2n e E k w J K =，最小化，其中K=1,2,3,…。

（a ） 使用瞬态梯度向量，证明相应抽头权向量估计新的自适应原则为

)()()(?)1(?12n e n Ku n w n w

K -+=+μ，其中μ是步长参数，而)()()()(n u n w n d n e T -=为估计误差。

（b ） 假设加权误差向量)(?)(n w

w n o -=ε为零，)(n ν与)(n u 独立。试证明 )]([))]([)12(()]1([22n E R n E K K I n E k ενμε---=+其中R 是输入向量u(n)的相关矩阵

（c ） 证明如果步长参数μ满足如下条件0<μ

λνn E K K K --

其中max λ是矩阵R 的最大特征值，则（a ）中描述的改进LMS 算法在均值意义上收

敛。

（d）对于K=1，证明(a),(b)和(c)的结果退化为相应的传统LMS算法的解。

的白噪声序列作为LMS算法的输入。试给出

9、考虑均值为0、方差为2

v

(a)在均方意义上算法收敛的条件，并计算

(b)额外均方误差