函数的概念及其表示——函数的概念
函数的概念及其表示——函数的概念
【教学目标】
1．知识与技能：理解函数的概念，了解函数的三要素。
2．过程与方法：通过对函数抽象符号的认识与使用，使学生在符号表示方面的能力得以提高。
3．情感、态度与价值观：通过函数定义由变量观点向集合观点得过渡，使学生能从发展与联系的角度看待数学学习。
【教学重难点】
教学重点：是理解函数的概念；
教学难点：是对函数抽象符号的认识与使用。
【教学过程】
一、复习与引入。
今天我们研究的内容是函数的概念，函数并不象前面学习的集合一样我们一无所知，而是比较熟悉，所以我先找同学说说对函数的认识，如函数是什么？学过什么函数？
（要求学生尽量用自己的话描述初中函数的定义，并试举出各类学过的函数例子） 学生举出如x
y x x y x y 2,3,12=+=+=等，待学生说完定义后教师打出投影片，给出定义之后教师也举一个例子，问学生。
提问1．3=y 是函数吗？
提问2．x y =与x
x y 2
=是同一个函数吗？ （由学生讨论，发表各自的意见，有的认为它不是函数，理由是没有两个变量，也有的认为是函数，理由是可以可做30+=x y ．）
教师由此指出我们争论的焦点，其实就是函数定义的不完善的地方，这也正是我们今天研究函数定义的必要性，新的定义将在与原定义不相违背的基础上从更高的观点，将它完善与深化．
二、新课。
现在请同学们打开书，从这开始阅读有关的内容，再回答我的问题．（约2-3分钟或开始
提问）
提问3．观察图中的3个对应，你看出它们有什么共同特点？
学生的回答往往是把书上的答案念一遍，教师可以板书的形式写出，但还要引导形式发现三个对应的共同点。（板书）函数
（一）函数的概念
1．定义：如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作
)(x f y =，A x ∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。
问题4：新的函数定义与函数的传统定义有什么异同点？
引导学生发现，函数是特殊的对应，二者的本质相同。
2．本质：函数是特殊的对应。（板书）
然后让学生试回答刚才关于3=y 是不是函数的问题，要求从集合的角度解释。
此时学生可以清楚的看到{}.,,3:,3,B y A x y x f B R A ∈∈=→==满足集合与对应观点下的函数定义，故是一个函数，这样解释就很自然。
教师继续把问题引向深入，提出在集合与对应的观点下如何解释是个函数？
从集合角度看可以是.,,32:,,2B y A x x x y x f R B R A ∈∈+-=→==其中定义域是R ，值域是{}2≥=y y C ．
从刚才的分析可以看出，集合观点下的函数定义更具一般性，更能揭示函数的本质。这也是我们后面要对函数进行理论研究的一种需要．所以我们着重从集合角度再来认识函数。
3．函数的三要素及其作用（板书）
函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域。值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它。
例1：以下关系式表示函数吗？为什么？
（1）212
)(x x x f --=； （2）22)(-+-=x x x f ．
解：（1）由)(x f 有意义得???>-≥-0
1022x x ，解得?∈x ．由于定义域是空集，故它不能表示函数．
（2）由)(x f 有意义得?
??≥-≥-0202x x ，解得2=x ．定义域为{}2，值域为{}0． 由以上两题可以看出三要素的作用
（1）判断一个函数关系是否存在．（板书）
例2：下列各函数中，哪一个函数与12-=x y 是同一个函数．
（1）12142+-=x x y ； （2）);0(,12>-=x x y （3）12-=v u ； （4）2)12(-=x y ．
解：先认清12-=x y ，它是R A =（定义域）到R B =（值域）的映射，其中
B y A x x y f ∈∈-=,,12:．再看（1）定义域为R x ∈且2
1-≠x ，是不同的；（2）定义域为0>x ，是不同的；（4）2)12(-=x y ??
???<-≥-=-=2121211212x x x x x ，法则是不同的；而（3）定义域是R ，值域是R ，法则是乘2减1，与12-=x y 完全相同．
求解后要求学生明确判断两个函数是否相同应看定义域和对应法则完全一致，这时三要素的又一作用。
（2）判断两个函数是否相同。（板书）
下面我们研究一下如何表示函数，以前我们学习时虽然会表示函数，但没有相系统研究函数的表示法，其实表示法有很多，不过首先应从函数记号)(x f 说起。
4．对函数符号)(x f 的理解（板书）
首先让学生知道)(x f y =与)(x f 的含义是一样的，它们都表示y 是x 的函数，其中x 是自变量，)(x f 是函数值，连接的纽带是法则f ，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体，下面我们举例说明。
例3：已知函数,23)(-=x x f 试求)(),3(a f f （板书）
分析：首先让学生认清)3(f 的含义，要求学生能从变量观点和集合观点解释，再进行计算。 含义：当自变量x 取3时，对应的函数值即)3(f ；
计算之后，要求学生了解)(a f 与)(x f 的区别，)(a f 是常量，而)(x f 是变量，)(a f 只是)(x f 中一个特殊值。
最后指出在刚才的题目中)(x f 是用一个具体的解析式表示的，而以后研究的函数)(x f 不一定能用一个解析式表示，此时我们需要用其他的方法表示，具体的方法下节课再进一步研究。
三、小结
1．函数的定义
2．对函数三要素的认识
3．对函数符号的认识
四、作业：略
函数概念与表示
函数概念与表示1.下列各组函数中表示相同函数的是() A. f(x)=√x2，g(x)=√x3 3 B. f(x)=√x√x+1，g(x)=√x2+x C. f(x)=|x| x ，g(x)={ 1(x?0), ?1(x<0), D. f(x)=x2?2x?1，g(t)=t2?2t?1 2.下列图象不能作为函数图象的是() A. B. C. D. 3.已知函数f(2x)=x2?3，则f(8)=() A. 3 B. 6 C. 8 D. 61 4.下面4组函数中，f(x)和g(x)相同的是() A. f(x)=x?1, g(x)=x2 x ?1B. f(x)=x2, g(x)=(√x)4C. f(x)=√x2, g(x)=|x|D. f(x)=x0?,g(x)=1 5.已知f(x)={x 2+1,x?1 ?2x+3,x>1，则f(f(2))=() A. 5 B. ?1 C. ?7 D. 2 6.给出如图所示的对应： 其中构成从A到B的映射的个数为() A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7.在映射f:A→B中，且f:(x,y)→(x?y,x+y)，则与A中的元素(?2,1)对应的B中的元素为() A. (?1,?3) B. (1,3) C. (?3,1) D. (?3,?1) 8.若f(x)=x?1 x ，则方程f(4x)=x的根是() A. ?2 B. 2 C. ?1 2 D. 1 2 9.设f(x)={1?√x,x≥0 2x,x<0，则 f(f(?2))=() A. ?1 B. 1 4 C. 1 2 D. 3 2 10.已知g(x)=1?2x，f(g(x))=1?x2 x2 (x≠0)，则f(1 2 )等于() A. 1 B. 3 C. 15 D. 30 11.已知函数f(x)满足f(x)+2f(1?x)=3 x ，求f(3)的值为() A. ?3 4 B. ?4 3 C. ?3 5 D. ?5 3 12. X12345 f(x)23423 若f(f(x))=x?1，则x可以取() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 13.已知函数f(x)=2x?a x+2 的图象过点(1,?1)．(1)求实数a的值；(2)若f(x)=m+n x+2 (m、n是常数)，求实数m，n的值． 第1页，共1页
函数概念与表示
高三数学第一轮复习 --------函数概念与表示 一．教材分析： 函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。 从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。https://www.360docs.net/doc/b413438003.html,/view/72edea4d767f5acfa1c7cdfa.html 高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。 预测2012年高考对本节的考察是： 1．题型是1个选择和一个填空； 2．热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点。https://www.360docs.net/doc/b413438003.html,/mainland/wodesangemuqin/ 二．教学目标： 1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念； 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数； 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用； 4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义； 5．学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 三．教学方法： 《新课标》指出：“学生个性化行为，不应以教师的分析来代替学生的综合实践。”本课采用个性化教学，以学生原有的知识经验为基础展开教学，通过创设情境，激发学生的学习兴趣，引领学生自学自悟。设计充分尊重学生独特的感受、体验和理解，让学生自己对教学内容领悟取代教材的讲解分析，让学生自己的独立思考取代统一答案，让学生自己的感性体验取代整齐划一的理解指导，整个过程为张扬学生个性，激发学生灵性服务。 四．教学过程： 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x ∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； （2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域https://www.360docs.net/doc/b413438003.html,/question/356753987.html （1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式： ①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）； ②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
函数的概念与表示法
函数的概念和函数的表示法 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。 例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ） ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈Z}，对应法则f ：x →y= 3 x ; ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈R}，对应法则f ：x →2y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2 x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ） ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①22x y +=2 1= ③ A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ） A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点 B.y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点 C.y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点 D.y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点 变式4.对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有…( ) ①y 是x 的函数 ②对于不同的x ，y 的值也不同 ③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 变式5．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( ) A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③ D ．② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） ①. y=x ②.y = ③. 2 y = ④.y=t ⑤.3 3x y = ；⑥.2x y =
高一数学函数的概念及表示方法
全方位教学辅导教案姓名性别年级高一 教学 内容 函数与映射的概念及其函数的表示法 重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念 教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况： 交流与沟通 针 对 性 授 课 一、函数的概念 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的 值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数 的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1：（）是函数吗？ 问题2：与是同一函数吗？ 观察对应： 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦 求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课：
第一节 函数的概念及其表示
第二章函数 第一节函数的概念及其表示 高考试题 考点一函数的定义域 1.(2013年重庆卷,文3)函数y= 21 log(2) x- 的定义域是( ) (A)(-∞,2) (B)(2,+∞) (C)(2,3)∪(3,+∞) (D)(2,4)∪(4,+∞) 解析:要使函数有意义,则x满足 20, 21, x x -> ? ? -≠ ? 解得x>2且x≠3.故选C. 答案:C 2.(2013年陕西卷,文10)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有( ) (A)[-x]=-[x] (B) 1 2 x ?? + ?? ?? =[x] (C)[2x]=2[x] (D)[x]+ 1 2 x ?? + ?? ?? =[2x] 解析:取特殊值进行排除: 当x=1.3时,[-x]=[-1.3]=-2,-[x]=-1,选项A错. 当x=1.5时, 1 2 x ?? + ?? ?? =2,[x]=[1.5]=1, [2x]=3,2[x]=2,选项B、C错.故选D.答案:D 3.(2013年山东卷,文5)函数 的定义域为( ) (A)(-3,0] (B)(-3,1] (C)(-∞,-3)∪(-3,0] (D)(-∞,-3)∪(-3,1] 解析:由f(x)= 得 120, 30, x x ?-≥ ? +> ? 则-3 4.(2013年广东卷,文2)函数f(x)= lg(1)1x x +-的定义域是( ) (A)(-1,+∞) (B)[-1,+∞) (C)(-1,1)∪(1,+∞) (D)[-1,1)∪(1,+∞) 解析:由题意得10,10,x x -≠??+>? 即x>-1且x ≠1.故选C. 答案:C 5.(2012年山东卷,文3)函数f(x)= ()1ln 1x + 的定义域为( ) (A)[-2,0)∪(0,2] (B)(-1,0)∪(0,2] (C)[-2,2] (D)(-1,2] 解析:由210,11,40,x x x ?+>?+≠??-≥? 得1,0,22,x x x >-??≠??-≤≤?∴-1 题一：定义集合{1,2,…,n }到{1,2,…,n }上的函数f ：k →i k ，k =1,2,…,n .记作：121,2,,,,,n n i i i ?? ??? . 设121,2,,,,,n n f i i i ??= ??? ，12 1,2,,,,,n n g j j j ??= ??? (这里的j 1，j 2，…，j n n j j j ,,,21 也是1,2,…,n 这n 个整数的一个排列).定义g f 12 1,2,,,,,n n i i i ??= ??? 121,2,,,,,n n j j j ?? ??? ，其中)]([)(k g f k g f = ，k =1,2,…,n ..则? ?? ? ?????? ??4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= 题二：在加工爆米花的过程中，爆开且不糊的粒数占加工总数的比率称为可食用率p .它的大小主要取决于加工时间t (单位：分钟). 做了三次实验，数据记录如图所示.已知图中三个点都在函数p =－0.2t 2+bt +c 上，则由此得到的理论最佳加工时间为 分钟. 题三：3,10 ()((5)),10x x f x f f x x -≥?=?+ 函数的概念及表示 一、选择题 1．下列对应f ：A →B 是从集合A 到集合B 的函数的是( ) A ．A ＝{x |x >0}， B ＝{y |y ≥0}，f ：y ＝1x B ．A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y >0}，f ：y ＝x 2 C ．A ＝{x |x 是三角形}，B ＝{y |y 是圆}，f ：每一个三角形对应它的外切圆 D ．A ＝{x |x 是圆}，B ＝{y |y 是三角形}，f ：每一个圆对应它的外切三角形 2．函数f (x )＝ lg 2＋x －x 2|x |－x 的定义域为( ) A ．(－2,0) B ．(－1,0) C ．(－1,2) D ．(－1,0)∪(0,2) 3．已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f ? ????x ＋12＋f ? ?? ??x －12的定义域是( ) A.???? ??12，1 B.??????12，2 C.???? ??12，32 D.??????1，32 4．已知函数f (x )＝????? 2x ，x ≥2，f x ＋2，x <2，则f ? ????log 218等于( ) A ．3 B ．8 C ．9 D ．12 5．若函数f (x )满足关系式f (x )＋2f ? ?? ??1x ＝3x ，则f (2)的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－32 D.32 6．已知函数f (x )＝????? log 21－x ＋1，－1≤x <0，x 3－3x ＋2，0≤x ≤a 的值域是[0,2]，则实数a 的取值范 围是( ) A ．(0,1] B ．[1，3] C ．[1,2] D ．[3，2] 7．已知f (x 3－1)＝x ＋1，则f (7)的值为( ) A.37－1 B.3 7＋1 C ．3 D ．2 8．已知函数f (x )＝1lg[ 25x －4·5x ＋m ]的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(5，＋∞) B ．(－∞，5) 函数的定义及表示方法 1若函数()f x 满足(21)1f x x -=+，则(1)f = ． 2函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则((5))f f = ． 3若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f = ． 4已知函数2 2 (),1x f x x R x =∈+. （1）求1()()f x f x +的值； （2）计算：111 (1)(2)(3)(4)()()()234 f f f f f f f ++++++. 5已知,a b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++求5a b -的值 6设函数3 (100)(),(89).[(5)](100)x x f x f f f x x -≥?=? + 一、函数的概念及其表示 函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。 函数的共同特征： （1）都包含两个非空数集，用A 、B 来表示； （2）都有一个对应关系； （3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数级A 中的任意一个数x ，按照对应关系，在数集B 中都有唯一确定的数y 和它对应。 事实上，除了解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。为了表示方便，我们引进符号f 统一表示对应关系。 一般地，设A 、B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合b 的一个函数，记作 ().,A x x f y ∈= 其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈|叫做函数的值域。 我们所熟悉的一次函数y=kx+b ，k ≠0的定义域是R ，值域也是R 。对应关系f 把r 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数kx+b 。二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是R ，值域是B 。当A>0时，B=??????-≥a b ac y y 44|2；当A<0时，B=? ?????-≤a b ac y y 44|2。对应关系f 把R 中任意一个数x,对应到B 中唯一确定的数)0(2≠++a c bx ax 。 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系 和值域。因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。 函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法。 解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； 列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； 图象法，的就是用图象表示两个变量之间的对应关系。 这三种方法是常用的函数表示法。 高三新数学第一轮复习教案（讲座2） 函数概念与表示 一．课标要求 1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念； 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数； 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用； 4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义； 5．学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 二．命题走向 函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。 从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。 高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。 预测2008年高考对本节的考察是： 1．题型是1个选择和一个填空； 2．热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点。三．要点精讲 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； （2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 （1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式： ①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）； ②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； ③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。 （2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。 ①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。 3．两个函数的相等： 函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。 函数的概念与表示 知识领航 1．函数的定义 一般地：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数() f x和它对应，那么就称(): f x A B →为从集合A到集合B的一个函数，记作：(), y f x x A =∈. 注意：函数概念中的关键词 (1) A，B是非空数集. (2)任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应. 2. 函数的定义域、值域 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{()|} f x x A ∈叫做函数的值域. 3. 函数的三要素 定义域、值域和对应法则. 4. 相等函数 如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等； 这是判断两函数相等的依据. 5. 区间的概念 设,a b是两个实数，而且a b<.我们规定： （1）满足不等式a x b ≤≤的实数x的集合叫做闭区间，表示为[,] a b. （2）满足不等式a x b <<的实数x的集合叫做开区间，表示为(,) a b. （3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[,) a b，(,] a b. 这里的实数都叫做相应区间的端点. 实数R可以用区间表示为(,) -∞+∞.“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们可以把满足x a≥，x a>，x b≤，x b<，的实数x的集合分别表示为[,) a+∞，(,) a+∞，(,]b -∞，(,)b -∞. 6. 函数的表示法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法. （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法. （3）图像法: 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法. 用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线). 7.求函数的解析式的方法 （1）待定系数法: 适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等. （2）换元法: 适用于已知(()) f g x的解析式,求() f x. （3）消元法: 适用于同时含有() f x和1() f x ，或() f x和() f x-. 函数的概念及表示方法 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 数)(x y ?=的图象与直线a x =的交点个数为（ ） A 、必有1个 B 、1个或2个 C 、至多1个 D 、可能2个以上 2、 下列四组中的函数 )(x f 与)(x g ，表示相同函数的一组是（ ） A 、2)()(,)(x x g x x f == B 、1)(,11)(2-=-+=x x g x x x f C 、 x x x g x x f ==)(,)(0 D 、2)(,)(x x g x x f == 3、 下列选项正确的是（ ） （1）x x y -+-= 12可以表示函数 （2）521=-+-y x 可以表示函数（3）122=+y x 可以表示函数 （4）12=+y x 可以表示函数 A 、 （2）（4） B 、（1）（3） C 、（1）（2） D 、（3）（4） 4、下列关于分段函数的叙述正确的是（ ） （1） 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 （2）分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则，但它们是同一个函数 （3）若21,D D 分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，则Φ=21D D I A 、 （1） B 、（2）、（3） C 、（1）、（2） D 、（1）、（3） 5、设2:x x f →是集合A 到B 的映射，如果{}2,1=B ，那么B A I =( ) A 、 Φ B 、 {}1 C 、Φ 或{}2 D 、Φ或{}1 6、若函数)(x f 满足),)(()()(R y x y f x f y x f ∈+=+，则下列各项不恒成立 的是（ ） A 、0)0(=f B 、)1(3)3(f f = C 、)1(2 1)21(f f = D 、0)()(<-x f x f 7、将x y 1=的图像变换至函数23++=x x y 的图像，需先向 平移 个单位，再向 平移 个单位（ ） A 、左,2，上，1 B 、左，2，下，1 C 、右，2，上，1 D 、右，2，上，1 8、已知函数)(x f 的定义域是),(b a ，其中b>a+2,则)13()13()(+--=x f x f x f 的定义域是（ ） 函数的概念和函数的表示法 考点一:由函数的概念判断是否构成函数 函数概念:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的关系ｆ，使对于集合A中的任意一个数x,在集合Ｂ中都有唯一确定的数f（x）和它对应,那么就称 f:Ａ→B为从集合A到集合Ｂ的一个函数。 例１. 下列从集合A到集合Ｂ的对应关系中,能确定y是x的函数的是（ ) ①｛x x∈Ｚ},{y y∈Z}，对应法则f：x→ 3 x; ②{ｘｘ＞0∈R｝, {y y∈R},对应法则ｆ：x→2y＝3ｘ; ③, 对应法则f:x→2x; 变式1. 下列图像中,是函数图像的是（ ) ①②③④ 变式２. 下列式子能确定y是ｘ的函数的有（) ①22 x y+=2 1= Ａ、0个Ｂ、１个 C、2个 D、3个变式3．已知函数（x)，则对于直线(ａ为常数),以下说法正确的是（） A.(x）图像与直线必有一个交点（x）图像与直线没有交点 (x）图像与直线最少有一个交点(x)图像与直线最多有一个交点 变式4.对于函数ｙ=f(ｘ）,以下说法正确的有…( ) ①y是x的函数 ②对于不同的x，y的值也不同 A ．1个 B ．2个 C.３个 Ｄ.4个 变式５．设集合M ＝｛0≤x≤2}，N ＝{０≤ｙ≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合Ｍ到集合N 的函数关系的有( ) A.①②③④ B ．①②③ Ｃ.②③ D.② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例２． 下列哪个函数与相同( ） ①. x ②.y = ③． 2 y = ④ ⑤.33x y =；⑥.2x y = 变式1.下列函数中哪个与函数y ) A ． y = B ． y =-y =- D ． y x = 变式２. 下列各组函数表示相等函数的是( ） A. 29 3 x y x -=- 与 3y x =+ B. 1y = 与 1y x =- C. 0y x =（x ≠0） 与 1y =（ｘ≠0） D. 21y x =+，x ∈Z 与21y x =-,x ∈Z 变式3． 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ 【课题】 3.1 函数的概念及其表示法 【教学目标】 知识目标： (1) 理解函数的定义；(2) 理解函数值的概念及表示； (3) 理解函数的三种表示方法；(4) 了解利用“描点法”作函数图像的方法． 能力目标： (1) 通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力； (2) 通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能； (3) 会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力． 【教学重点】 (1) 函数的概念；(2) 利用“描点法”描绘函数图像． 【教学难点】 (1) 对函数的概念及记号)(x f y =的理解；(2) 利用“描点法”描绘函数图像． 【教学设计】 （1）从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接； （2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平； （3）抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础； （4）学习“描点法”作图的步骤，通过实践培养技能； （5）重视学生独立思考与交流合作的能力培养. 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】 *揭示课题 3.1函数的概念及其表示法 *创设情景 兴趣导入 学校商店销售某种果汁饮料，售价每瓶2.5元，购买果汁饮料的瓶数与应付款之间具有什么关系呢？ 设购买果汁饮料x 瓶，应付款为y ，则计算购买果汁饮料应付款的算式为 2.5y x =． 因为x 表示购买果汁饮料瓶数，所以x 可以取集合{}0,1,2,3,中的任意一个值，按照算式法则 2.5y x =，应付款y 有唯一的值与之对应． 两个变量之间的这种对应关系叫做函数关系． *动脑思考 探索新知 在某一个变化过程中有两个变量x 和y ，设变量x 的取值范围为数集D ，如果对于D 内的每一个x 值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的值与它对应，那么，把x 叫做自变量，把y 叫做x 的函数． 将上述函数记作()y f x =． 变量x 叫做自变量，数集D 叫做函数的定义域． 当0x x =时，函数()y f x =对应的值0y 叫做函数()y f x =在点0x 处的函数值．记作()00y f x =. 函数值的集合(){}|,y y f x x D =∈叫做函数的值域． 函数的定义域与对应法则一旦确定，函数的值域也就确定了．因此函数的定义域与对应法则叫做函数的两个要素． 定义域与对应法则都相同的函数视为同一个函数，而与选用的字母无关．如函数y =与s =表示的是同一个函数． 例如，函数2 x y x =的定义域为{|0}x x ≠，函数y x =的定义域为R ．它们的定义域不同，因此不 是同一个函数；函数,0, ,0x x y x x ?=?- 函数的概念与函数收敛的定义 1、 在同一个自然现象和技术过程中，往往有几个同时变化的变量，而这几个变量并不是孤立的存在，而是相互联系并遵循一定的变化规律。 定义： 设x 和 y 是两个变量，D 是给定的一个数集，如果对每个数 x∈D,变量y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y 为x 的函数,记作：Y=f(x) 数集D 称为函数y 的定义域。 当∈D 时，与对应的y 的数值称为函数y=f(x)在的函数值。当x 取遍x∈D 的各个数值时，对应的函数值全体组成的集合 0x 0x 0x W={y/y=f(x),x∈D}称为函数y 的值域。 2、 定义1-1：数列收敛的定义： 若A x n n =∞→lim {亦称极限 n x 存在； 收敛；否则，称发散}： n x n x ?ε（无论其多么小）>0,?正整数N，当n>N 时，有 ε0,?正数X,当x>X 时， ε0，?正数δ>0,当 δ （1） 有界性 （2） 单调性 （3） 奇偶性 图形关于Y 轴对称： )()(x f x f =? ……偶函数 曲线关于原点轴对称： )()(x f x f ?=? ……奇函数 授课主题函数1----概念及其表示 教学目的①理解函数的概念，了解构成函数的要素. ②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方表示函数. ③了解简单的分段函数，并能简单应用 教学重点求函数的解析式及值域 教学内容 1．函数的基本概念 (1)函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 2．映射的概念 设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 3．函数解析式的求法 求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R . (4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . (5)y ＝tan x 的定义域为? ??? ??x |x ∈R 且x ≠k π＋π 2，k ∈Z . (6)函数f (x )＝x α的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f (x )＝x 2 x 与g (x )＝x 是同一个函数． ( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等． ( × ) (3)若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．( × ) (4)f (x )＝??? 1－x 2 (－1≤x ≤1) x ＋1 (x >1或x <－1)， 则f (－x )＝? ?? 1－x 2 (－1≤x ≤1) －x ＋1 (x >1或x <－1). ( √ ) (5)函数f (x )＝x 2＋4＋1的值域是{y |y ≥1}． ( × ) (6)函数是特殊的映射． ( √ ) 2．(2013·江西)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为 ( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1] 答案 B 解析 由??? 1－x >0 x ≥0得，函数定义域为[0,1)． 3．(2012·安徽)下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是 ( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x 答案 C 解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等． 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )； 对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 函数的概念及其表示 【知识点分析及例题】 一、函数的概念 1、函数的定义 一般地：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称 ():f x A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：(),y f x x A =∈. 注意：函数概念中的关键词 (1) A ，B 是非空数集.若求得自变量取值范围为?，则此函数不存在． (2)任意的x ∈A ，存在唯一的y ∈B 与之对应. 2. 函数的定义域、值域 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域. 3. 函数的三要素：定义域、值域和对应法则. 注：常见定义域的取值范围 （Ⅰ）关系式为整式或齐次根式时，函数定义域的取值范围为全体实数； （Ⅱ）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （Ⅲ）关系式含有偶次根式时，被开方数大于等于零； （Ⅳ）关系式中含有零指数幂或负指数幂的式子时，底数不等于零； （Ⅴ）实际问题中，函数定义域的取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义. 4. 相等函数 如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据. 5. 区间的概念 设,a b 是两个实数，而且a b <.我们规定： （1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b . （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b . （3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[,)a b ，(,]a b . 这里的实数都叫做相应区间的端点. 实数R 可以用区间表示为(,)-∞+∞.“∞”读作“无穷大”， “-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们可以把满足x a ≥，x a >，x b ≤，x b <，的实数x 的集合分别表示为[,)a +∞，(,)a +∞，(,]b -∞，(,)b -∞. 第四章一次函数 一、函数相关概念及表示方式 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 例1： 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 注：确定函数自变量的取值范围有两点，第一是要使含有自变量的式子有意义，第二是要使实际问题有意义。 例2： 例3： 例4： 已知等腰三角形的周长为20，设底边长为y，腰长为x，则y与x的函数关系式为________，自变量的取值范围是_________ 例5： 的取值范围是（） 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析式法/关系式法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 例6： 用解析式表示下列函数关系． （1）某种苹果的单价是1.6元/kg，当购买x（kg）苹果时，花费y（元），y（元）与x （kg）之间的函数关系．______； （2）汽车的速度为20km/h，汽车所走的路程s（km）和时间t（h）之间的关系．______．例7： 均匀的向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图像是（） 例8： 小明400米/分的速度匀速汽车5分钟，在原地休息了6分钟，然后以500米/分的速度骑回出发地，下列函数图像能表达这一过程的是（） 例9： 小明骑自行车上学，开始以正常的速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误课，加快汽车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s 关于时间t的函数图像，那么符合小明行驶情况的图像大致是（） 例10： 甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）函数的基本概念及表示法
函数的概念及表示
函数的定义及表示方法
函数的概念及其表示
第02讲 函数概念与表示
函数的概念与表示知识点与经典题型归纳
函数的概念及表示方法
函数的概念与表示法
3.1函数的概念及其表示法
函数的概念与表示方法
函数的概念及其表示
函数的概念及其表示教案
(完整)八年级数学函数概念及表示方法