数理统计试题.docx

<数理统计 >试题

一、填空题

1．X1, X2,,X16是来自体X ~ N(4,2 ) 的随机本， 2 已知，令

116

，量4X 16

（必写出分布的参数）。

X X i服从分布

16 i 1

2．X~ N (,2 ) ，而，，，，是从体X中抽取的本，的矩估。3． X~ U [ a,1] ，X1,, X n是从体X中抽取的本，求 a 的矩估。4．已知F0.1(8,20) 2 ， F0.9( 20,8)。

5．?

和

?

都是参数 a 的无偏估，如果有成立，称

?

是比

?

有效的估。

6．本的数分布

X01234

数13212

本方差 s 2=_____________________。

7．体 X~N（μ，σ 2），X1，X2，?， X n来自体X 的本，X本均，D（X）＝________________________ 。

8．体X 服从正分布N（μ，σ 2），其中μ未知，X1，X2，?， X n其本。若假

H 0：2＝1H 1：2 1 ，采用的量________________。9．某个假的拒域W，且当原假H0成立，本（x,x,?，x）落入W的概率，犯第一的概率_____________________ 。

10．本 X ，X ，?，X 来自正体N（μ，1），假：H0：＝0H 1：0，12n

在 H0成立的条件下，著水平α，拒域W______________________ 。

11．设总体服从正态分布，且未知，设为来自该总体的一个样本，记，则的置信水平为的置

信区间公式是

；若已知，则要使上面这个置信区间长度小于等于，则样本容量

n

至少要取 __ __

。

12．设为来自正态总体的一个简单随机样本，其中参数和均未知，记，

，则假设：的检验使

用的统计量是

。（用和表示）

13．设总体，且已知、未知，设是来自该总体的一个样本，则，

，，中是统计量的有 。

14．设总体的分布函数， 设为来自该总体的一个简单随机样本，

则的联合分布函数

。

15．设总体服从参数为的两点分布，

（）未知。设是

来自该总体的一个样本，则中是统计量的有

。

16．设总体服从正态分布，且未知，设为来自该总体的一个样本，记，则的置信水平为的置

信区间公式是

。

17．设，，且与相互独立，设为来自总体的一个样本；设为来自总体的一个样本；和分别是 其无偏样本方差，则服从的分布是

。

18．设 X N

,0.32

，容量 n 9，均值 X

5 ，则未知参数

的置信度为的置信区间

是

(

查表 Z 0.025 1.96 ）

19．设总体 X

～ N ( ,

2) ，X ，X ，?， X

1

2

n

为来自总体X 的样本， X 为样本均值，则 D

（ X ）＝ ________________________ 。

20．设总体 X 服从正态分布 N （μ，σ 2），其中μ未知，

X ，X ，?，X

1

2

n

为其样本。若假设

检验问题为 H 0：

2

＝1

H 1：

2

1 ，则采用的检验统计量应 ________________ 。

21．设 X 1, X 2 , , X n 是来自正态总体

N ( , 2 ) 的简单随机样本，

和

2

均未知，记

X

1 n X i , 2

n

( X i X)2,则假设 H 0: 0 的 t

检验使用统计量T

n i 1

i 1 ＝

。

22．设 X

1 m X i 和 Y 1 n Y i 分别来自两个正态总体 N ( 1,

1 2

)和 N(

2 ,

2

2

)的样本

m i 1 n i 1

均值，参数

1

，

2 未知，两正态总体相互独立，欲检验

H 0 :

2

2

1

2 ，应用

检验

法，其检验统计量是 。

23．设总体X～N(,2)，,2为未知参数，从 X 中抽取的容量为n 的样本均值记为X ，修正样本标准差为S n*，在显著性水平下，检验假设H 0 :80，H1:80的拒绝域为，在显著性水平下，检验假设H 0 :202 （0已知）， H1:102 的拒绝域为。

24 ．设总体X～b(n, p),0p1, X1, X2 ,, X n为其子样， n 及p的矩估计分别是。

25 ．设总体X ～ U 0, ,( X1, X 2 , , X n ) 是来自X 的样本，则的最大似然估计量

是。

26．设总体X～ N (,0.92 )，X1, X 2,, X9是容量为9 的简单随机样本，均值x 5 ，则未知参数的置信水平为0.95的置信区间是。

27．测得自动车床加工的10 个零件的尺寸与规定尺寸的偏差（微米）如下：

+2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4

则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是

28．设X1, X2, X3, X4是来自正态总体N(0, 22)的样本，令 Y (X1 X2)2( X 3X4)2,则当 C时CY～2(2) 。

29．设容量 n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），

，

则样本均值 =

样本方差 =

30 ．设12

,n 为来自正态总体

:N(,

2

) 的一个简单随机样本，则样本均值

X ,X? X 1n

n

i 服从i 1

二、选择题

1. X1,X2, ,X16是来自总体X~N(0，1）的一部分样本，设：

Z X12X82 Y X92X162，则Z

~（）Y

( A) N(0,1)

(B) t(16)

(C )

2

(16) ( D ) F(8,8)

2.已知 X 1, X 2,

, X n 是来自总体的样本，则下列是统计量的是（

）

( A)X

X

1

n

2

(C) X

a +10

(D)1

X

+A

(B) X i

a X 1 +5

n 1 i 1

3

3.设

X 1,

, X 8和Y 1, ,Y 10 分别来自两个相互独立的正态总体

N ( 1,22 ) 和 N ( 2,5) 的样本 ,

S 12 和 S 22 分别是其样本方差，则下列服从 F (7,9) 的统计量是 ( )

( A) 2S 12

( B)

5S 12

(C)

4S 12

(D ) 5S 12

5S 22

4S 22

5S 22

2S 22

4.设总体 X ~ N( ,

2

) ， X 1,

, X n 为抽取样本，则 1 n ( X i

X)2 是（

）

n i 1

( A) 的无偏估计 ( B)

2

的无偏估计

(C )

的矩估计

( D )

2

的矩估计

5、设

X 1,

, X n 是来自总体 X 的样本，且 EX

，则下列是 的无偏估计的是（

）

(A)

1

n 1

( B)

1 n

(C)

1

n (D )

1

n 1

X i

X i

X i

X i

n i 1

n 1 i 1 n i 2 n 1 i 1

6．设为来自正态总体的一个样本，若进行假设检验，当

__ __ 时，一般采用统计量

(A)

(B)

(C)

(D)

7．在单因子方差分析中，设因子 A 有 r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列

说法正确的是 ___ __

(A) 方差分析的目的是检验方差是否相等 (B) 方差分析中的假设检验是双边检验

(C) 方差分析中包含了随机误差外 , 还包含效应间的差异

(D) 方差分析中包含了随机误差外 , 还包含效应间的差异 8．在一次假设检验中，下列说法正确的是 ______

(A) 既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误

(B) 如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误

(C) 增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变

(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误

9．对总体的均值和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指这个区间

(A) 平均含总体95%的值(C) 有 95%的机会含样本的值(B) 平均含样本95%的值(D) 有 95%的机会的机会含的值

10．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α 的意义是（）

(A)在 H0不成立的条件下，经检验 H0被拒绝的概率

(B)在 H0不成立的条件下，经检验 H0被接受的概率

(C)在 H00成立的条件下，经检验 H0被拒绝的概率

(D)在 H0成立的条件下，经检验 H0被接受的概率

11.设总体X服从正态分布N ,2, X1 , X 2 ,L , X n是来自 X 的样本，则2 的最大似然估计为

（A）1n2

1

n2

（C）

1n

X i2（D）X2 X i X X i X

（ B）

n i 1n 1 i 1n i 1

12. 服从正态分布，，，是来自总体的一个样本，则服从的分布为___。

(A) N(,5/n)(B)N(,4/n) (C)N(/n,5/n)(D)N(/n,4/n)

13．设为来自正态总体的一个样本，若进行假设检验，当___ __ 时，一般采用统计量

(A)(B)

(C)(D)

14．在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是 ____ _

(A)方差分析的目的是检验方差是否相等

(B)方差分析中的假设检验是双边检验

(C)方差分析中包含了随机误差外 , 还包含效应间的差异

(D)方差分析中包含了随机误差外 , 还包含效应间的差异

15．在一次假设检验中，下列说法正确的是___ ____

(A)第一类错误和第二类错误同时都要犯

(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误

(C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都要变小

(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误

16．设是未知参数的一个估计量，若，则是的___ _____

(A) 极大似然估计(B) 矩法估计(C) 相合估计(D) 有偏估计

17．设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x 2 ,?，x n）落入 W的概率为，则犯第一类错误的概率为__________。

(A)(B)(C)(D)

18.在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用

（ A）t

检验法（ B）

u

检验法（C）F检验法（ D）

2

检验法

19.在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有

（ A）样本值与样本容量（B）显著性水平（C）检验统计量（D）A,B,C同时成立20. 对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平0.05 下接受H0:0 ，那么在显著水平下，下列结论中正确的是

（ A）必须接受H0（ B）可能接受，也可能拒绝H0

（ C）必拒绝H0（ D）不接受，也不拒绝H0

21. 设X1,X2,, X n是取自总体X的一个简单样本，则E( X 2) 的矩估计是

21n( X

i X )22

1 n

X )2

S1

n 1 i 1S2( X i

（ A）（ B）n i 1

（C）S

1

2

2

（D）

S

2

2

2 X X

22.总体X～N(,2 ) ，2已知， n时，才能使总体均值的置信水平为 0.95的置信区间长不大于L

（A）152 /L2（ B）15.36642/ L2（C）162/ L2（D）16

23. 设X1,X2,, X n为总体X的一个随机样本，E(X),D(X) 2 ，$2n 122

C ( X i 1为的无偏估计， C＝

X i )

i 1

（ A）1/ n（B）1/n1（C）1/2(n 1)（D）1/ n2

24. 体 X 服从正 分布 N , 2 , X 1, X 2,L , X n 是来自 X 的 本，

2

的最大似然

估

（ A ） 1

n

n

X

（ B ）

1

n

（C ）

1

2

2

i 1

n 1 i 1

n

n

X i 2 （D ） X 2

i 1

25. X ～ (1, p) , X 1, X 2 , , X n , 是来自 X 的 本，那么下列 中不正确的是

(A) 当 n 充分大 ，近似有

X ～ N

p, p(1 p)

n

{

} k k (1

) n k , k

0,1,2,

, n

k

C n

p p

(B) P X

(C ） P{ X

k } C n k p k (1 p) n k , k 0,1,2,

, n

n (D ） {

k } k p k (1 p ) n k ,1 i n

P X i

C n 26. 若 X ～ t(n) 那么

2

～

(A ） F (1,n)

(B

） F (n,1)

(C ）

2

(n)

(D

） t(n)

27.X 1, X 2,

X n 来 自 正体 N ( ,

2 )

随机本，X 是本均，

2

1

n

X ) 2

2

1 n

( X i

X )

2

21

n

( X i

)

2

S 1

( X i

， S 2

， S 3

n 1 i 1

，

n 1 i 1

n i 1

S 42 1 n ( X i

)2 ， 服从自由度

n 1 的 t 分布的随机 量是

n i 1

(A)

t X

(B)

t

X

(C)

t

X

(D)

t

X

S 1 / n 1

S 2 / n 1 S 3 / n

S 4 / n

28.X,X , ?X ，X

, ? ,X

n+m 是来自正 体 N (0,

2 ) 的容量 n+m 的 本， 量

1

2

n

n+1

n

2

m

i

V

i 1 服从的分布是

n m

n

2

i

i n

1

(A) F (m, n)

(B)

F (n 1,m 1)

(C)

F (n,m)

(D)

F (m 1,n 1)

29．设

X ~ N

,

2

，其中

已知 ,

2

未知, X 1 , X 2 , X 3 , X 4 为其样本， 下列各项不

是统计量的是＿＿＿＿

( Ａ ) X

1

4

X i (

Ｂ)

X 1 X 4 2

4 i 1

( Ｃ ) K

1

4

( X i X ) 2

(Ｄ) S

2

1

4

X )

2

( X i

i 1

3 i 1

30. 设

~ N ,

2

，其中

已知，

2

未知，

X 1 ,X 2 ,X 3

为其样本，

下列各项不是

统计量的是（

）

(A) 1

2 X 2

2

)

( Ｂ )

X 1 3

2

(X

1

2 X 3

( Ｃ )

max( X 1 , X 2 , X 3 )

(D)1(X 1

X 2

X 3 )

3

三、计算题

1. 已知某随机变量

X 服从参数为

的指数分布，设

X 1 , X 2 , , X n 是子样观察值，求

的

极大似然估计和矩估计。 （ 10 分）

2. 某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取

6 个，测得直径为：

已知

原来直径服从

N ( ,0.06) ，求：该天生产的滚珠直径的置信区间。给定（

0.05 ，

0.05

1.645 ，

0 .025

）（8 分）

3. 某包装机包装物品重量服从正态分布N ( ,4 2 ) 。现在随机抽取 16个包装袋，算得平均包

装袋重为 x 900 ，样本均方差为 S 2

2 ，试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有

变化？（

0.05 ）（ 2 (15)

6.262， 2 （15） 2

7.488 ）（ 8 分）

0 .975

0.025

4. 设某随机变量 X 的密度函数为

f (x) ( 1) x 0 x 1

求 的极大似然估计。

其他

（6 分）

5. 某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为

2

0.04 ，从某天生产的产品中随机抽取

9 个，测得直径平均值为 15 毫米，试对

0.05

求出滚珠的平均直径的区间估计。

（ 8 分） ( Z 0.05 1.645 , Z 0.025 1.96)

6. 某种动物的体重服从正态分布 N ( ,9) ，今抽取 9 个动物考察， 测得平均体重为 51.3 公斤，

问：能否认为该动物的体重平均值为52公斤。（ 0.05 ）（ 8 分 ）

（ Z 0.05 1.645 Z 0.025 1.96 ）

7. 设总体 X 的密度函数为：

f ( x)

(a 1) x a

0 x 1 设 X 1 , , X n 是 X 的

，

其他

样本，求 a 的矩估计量和极大似然估计。 （10 分）

8. 某矿地矿石含少量元素服从正态分布， 现在抽样进行调查， 共抽取

12个子样算得 S 0.2 ，

求 的置信区间（

0.1，

2

(11) 19.68 ，

2

(11) 4.57 ）（ 8 分）

2

1

2

9．某大学从来自 A ， B 两市的新生中分别随机抽取

5 名与

6 名新生，测其身高（单位： cm ）

后算得 x ＝， y ＝； s 2

11.3， s 2

9.1 。假设两市新生身高分别服从正态分布X-N( μ

1

2

1

，σ 2) ，Y-N （μ 2，σ2）其中σ 2 未知。试求μ 1－μ 2 的置信度为的置信区间。 （ (9)=,(11)= ）

10．（ 10 分）某出租车公司欲了解：从金沙车站到火车北站乘租车的时间。

随机地抽查了 9 辆出租车，记录其从金沙车站到火车北站的时间，算得（分钟）

，无偏方差

的标准差。若假设此样本来自正态总体，其中均未知，试求的置信水平为的置信下限。

11．（ 10 分）设总体服从正态分布，且与都未知，设为来自总体的一个样本，其观测值为，

设，。求和的极大似然估计量。

12．（ 8 分）掷一骰子 120 次，得到数据如下表

出现点数

1 2 3 4 5 6

次数

20 20 20 20 40 －

若我们使用检验，则取哪些整数值时，此骰子是均匀的的假设在显著性水平下被接受？

13. （ 14 分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布，

规定每袋标准重量为

kg, 方差。某天开工后，为检验其机器工作是否正常，从装好的食盐中

随机抽取抽取 9 袋，测得净重 （单位： kg ）为：,,,,,,,,

算得上述样本相关数据为：

均值为，

无偏标准差为， 。

问(1) 在显著性水平下，这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准有显著差异？

(2)在显著性水平下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？

(3)你觉得该天包装机工作是否正常？

14．（ 8 分）设总体有概率分布

取值123

概率

现在观察到一个容量为 3 的样本 ,,,。求的极大似然估计值?

15．（ 12 分）对某种产品进行一项腐蚀加工试验，得到腐蚀时间（秒）和

腐蚀深度（毫米）的数据见下表：

551020304050606590120

46813161719 2525 2946

假设与之间符合一元线回归模型

（1）试建立线性回归方程。

（2）在显著性水平下，检验

16.(7 分）设有三台机器制造同一种产品，今比较三台机器生产能力，记录其五天的日产

量

机器I II III

138163155

日144148144

产135152159

量149146141

143157153现把上述数据汇总成方差分析表如下

方差来源平方和自由度均方和比

12

14

17. （ 10 分）设总体在上服从均匀分布，为其一个样本，设

(1) 的概率密度函数

(2) 求

18.（7 分）机器包装食盐， 假设每袋盐的净重服从正态分布，

规定每袋标准重量为

kg, 方差。

某天开工后， 为检验其机器工作是否正常， 从装好的食盐中随机抽取抽取

9 袋，测得净重（单

位：kg ）为：,,,,,,,,

算得上述样本相关数据为： 均值为， 无偏标准差为， 在显著性水平下，

这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？

19. （ 10 分）设总体服从正态分布，是来自该总体的一个样本，记，求统计量的分布。

20．某大学从来自

A ，

B 两市的新生中分别随机抽取

5 名与

6 名新生，测其身高（单位：

cm ）

后算得

x ＝，

y ＝；

s 12

11.3， s 22

9.1 。假设两市新生身高分别服从正态分布

X-N( μ 1，

σ2 ) ， Y-N （μ 2，σ 2）其中σ

2

未知。试求μ

1

－μ 2 的置信度为的置信区间。 （ (9)=,(11)=

）

<概率论 >试题参考答案

一、填空题

1． （1）

A

B C

（ 2）

ABC

ABC ABC

（3） BC

AC AB 或 ABC

ABC ABC ABC

2． ，

3 ．3/7 ，

4 ． 4/7! = 1/1260 ，

5 ．，

6 ．1/5，

7． a 1 ， b 1/2 ， 8 ．，

9

．2/3 ，

10

．4/5 ， 11 ．5/7， 12． F(b,c)-F(a,c) ， 13 ．F (a,b) ， 14 ．1/2 ， 15

．，

16

．，

17． 1/2 ，

18

．46，

19

． 85

2

2

2

2 ，

20． N( , ) , N (0,1), N ( ,

) , N (0,1) ；

21 ．

22 ，1/8 ，

n

n

23． =7， S2=2 ， 24 ．N ,

2

，n

二、选择题

1．A 2．D3．B4．D5．D6．C7．B8．B9．C10．C

11．C 12 ．A 13 ．C 14 ．C 1 5．B 16 ．B 17 ．C 18 ．B 19 ．A 20 ．C 21． C 22．B 23 ．A24．B 25 ．C

三、解答题

1. 8/15；

2.（1）1/15，（2）1/210，（3）2/21;

3.（1）,（2）,（3）;

4.;

5.取出产品是 B 厂生产的可能性大。

6.m/(m+k);

7.（1）P{ X

K }(3/13) k 1 (10 /13)

（ 2）

X1234

P

8. （ 1） A＝ 1/2，（2）1

(1e 1) ，（3）F ( x) 2

0其他

9.f ( x)1( 6 )1/3 1 x2/3x( )a3 ,()b3，

b a366

1e x ,x0 2

1

1

e x ,x0

2

10.n 4

11.提示： P{ x h} 0.01或 P{ x h} 0.99 ，利用后式求得h184.31 （查表

(2.33) 0.9901）

12. 1

， B= 1

2 ； 3

2

○ A=1/2 ； ○1/2 ○ f (x)=1/[

(1+x )]

13.

1 2 3

X

P

g j

Y

1 0

3/8 3/8

3/4

3

1/8

1/8

1/4

14. （1） A

P i g 1

, B

, C

；（ 2） f ( x, y)

6

；（3） 独立 ；

2

2

2

(4 x 2

)(9 y 2

2

)

15. (1) 12; (2) (1-e

-3

)(1-e -8 )

16. （1） A

24

x 0 或 y 0

3 y

4 8 y 3

12(x x 2 / 2) y 2 0 x 1 0 y x （ 2） F ( x, y)

3y 4

8 y 3 6 y 2 x 1

0 y 1

4x 3 3x 4

0 x 1

x y

1

x

1

y 1

17. （ 1） f x ( x) 12x 2 (1 x), 0

x 1 ；

f y ( y)

12y(1 y)2 ,

0 y 1

0, 其他

0, 其他

（ 2）不独立

f Y X ( y x)

2 y , 0 y x,0

x

1

18.

x 2

；

0,

其他

2(1 x) , y x 1,0

y

1

f X Y ( x y)

(1 y) 2

0,

其他

19.

E(X)

12 , D(X) 24

7

49

20.

丙组

21. 10 分 25秒

22.

平均需赛 6 场

23. E(X)

k( n 1) , D ( X )

k(n 2 1) ;

2

12

24. k = 2, E(XY)=1/4, D(XY)=7/144

25.

26.

27. 537

28.

t (n 1)

29. 16

30.

提示：利用条件概率可证得。

f (x)

2e 2 x x 0

x

31. 提示：参数为 2

的指数函数的密度函数为

，

1

y)

利用 Y 1 e

2 x

的反函数 x

ln(1

2

即可证得。

<数理统计 >试题参考答案

一、填空题

1． N (0, 1) ， 2 ． 1

n

X i =， 3 ． 2

n

x i

1， 4 ．， 5 ． D(?) D(?

)

n i 1

n i 1

2

n

6．2 ，

7．，8 ．(n-1)s 2 或

(x i - x ) 2 ， 9 ． ， 10 ． | u | u

，其中 u x n

n

i

1

2

11． ,

385；

12．

13． ，

；

14． 为，

15．

； 16 ．，

2

n

17． ， 18．，， 19．，

20 ． (n-1)s 2 或 (x i - x) 2

，

n

i 1

m

X )2

X n(n 1)

(n 1)

( X i

．F ，F

i 1

21． T

，

22

n

，

Q

(m 1) (Y i Y) 2

i 1

n_n_

X80(x i x)2( x i x)2

n t (n 1) , i 12 (n 1)i 1 2 (n 1)，23．*22

S n202012

24．n X

, p1 S2，25．

$

max{ X1, X 2 , , X n } ，

p X

2

26．[4.412,5.588]，27．2，28．1/8，29．=7， S 2=2，30．N,

n 二、选择题

1．D2．B3．B4．D5．D6．C7．D8．A9．D10．C

11．A12．B 13 ．D 14 ．D15 ．C 16 ．D17．B18．B19．D20．A 21． D22．B 23 ．C 24 ．A25 ．B 26 ．A27．B28．C29． C30．A 三、计算题

1．（10

分）

解：设 X1,X 2,, X n是子样观察值极大似然估计：

n

n

e x i x i

L( )n e i 1

i1

n

l n L()n l n x i

i1

l n L()n n

x i0

i 1

1

x

矩估计：

E( X )x e x dx1

样本的一阶原点矩为： X 1n

X i n i 1

所以有： EX

1

X

?

1

X

X

2．（8分）

解：这是方差已知，均值的区间估计，所以有：

置信区间为： [ X Z , X Z]

n2n2

由题得： X1(14.615.114.914.8 15.2 15.1) 14.95

6

0.05Z

0.025 1.96n6

代入即得：[14.950.06 1.96,14.950.061.96]

66

所以为： [14.754,15.146]

3．（8

分）

(n1)S22

(n1)

解：统计量为：2~ X

22

4222

H 0：0， H1：0

n 16 ，S2 2 ，242代入统计量得152 1.875

16

1.8752(15) 6.262

0. 975

所以 H 0不成立，即其方差有变化。

4．（6分）

解：极大似然估计：

n n

L ( X 1 , , X n； )(1) X i (1) n ( X i )

i 1i 1

n

ln L n ln(1)ln X i

i1

d ln L n n

ln X i0 d 1 i1

n n

ln X i

得?

i1

n

ln X i

i 1

5．（8分）

解：这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：

[ x Z, x Z ]

n2n2

由题意得：

x 152

0.040.05n

9

代入计算可得

[150.2 1.96,150.2 1.96]化间得： [14.869,15.131] 99

6．（ 8 分）

解：H0:0 52，H1:0

x51.352

0.7

3

n9

1.96

2

| 0.7 | 0.70.025 1.96

所以接受 H 0，即可以认为该动物的体重平均值为52 。7．（ 10 分）

解：矩估计为：

1

a a1 a 2 1

a1

E(X)x ( a 1) x dx x

a20a2 0

X 1 n 样本的一阶原点矩为：

n i

x i

1

所以有：

a

1 X

? 2X 1

a

2

a

1 X

极大似然估计：

n

n

f ( x 1 , x 2 , , x n )

[( a 1) x a i ]

( a 1) n

x a i

i 1

i 1

n

两边取对数： ln

f ( x 1 , , x n ) n ln( a

1) a

ln( x i )

i 1

两边对 a 求偏导数：

ln f

n

n

ln( x i )

=0

a

a 1

i 1

所以有： ?

1

n

n

a

ln( x i )

i 1

8．（ 8 分）

解：由

2 (n

1)S 2

2

得

1

2

2 2

2

(n

1)S 2

， 2

(n 1)S 2

2

2

2

1

2

所以

的置信区间为： [

(n 1) S 2

，

(n 1)S 2

]

2 (11) 2

(11)

2

1

2

将 n 12， S 0.2 代入得 [ 0.15 ， 0.31]

9．解：这是两正态总体均值差的区间估计问题。由题设知，

n 1 5, n 2

6, x 175.9，y 172，s 12

11.3，s 22

9.1，0.05.

(n

2

(n 2

2

(2分)

s w

1 - 1)s 1 - 1)s 2

n 1 n 2 - 2

=,

（4 分）

选取 (9)=,

则1－2置信度为的置信区间为：

x - y - t(n1n2 - 2)s w11

, x - y t (n

1n 2 - 2)s w11(8 分)

2n1n22n1n 2＝[,].(10分 )

注：置信区间写为开区间者不扣分。

10．解：由于未知，故采用作枢轴量（2 分）

要求（2 分）

这等价于要求，

也即（2 分）

而（2分）

所以，故（1分）

故的置信水平为的置信下限为

由于这里，，

所以由样本算得（1分）

即的置信水平为的置信下限为。

11．解：写出似然函数

（4 分）

取对数（2分）

求偏导数，得似然方程

（3 分）

解似然方程得：，（1 分）

12．解：设第点出现的概率为，

，中至少有一个不等于(1 分)

采用统计量(1分)

在本题中，，，(1分 )

所以拒绝域为(1分 )

算实际的值，由于，所以

(1 分)

所以由题意得时被原假设被接受

即，故取之间的整数时，(2 分)

此骰子是均匀的的假设在显著性水平下被接受。(1 分)

13.解：“这几天包装是否正常” ，即需要对这天包装的每袋食盐净重的期望与方差分别作假设检验

(1)（检验均值，总共 6 分），

选统计量，并确定其分布

确定否定域

统计量的观测值为

因为，所以接受。

(2)（检验方差，总共 6 分）

，

选统计量确

定否定域

统计量的观测值为

因为，所以拒绝

(3)（2 分）结论：综合 (1) 与 (2) 可以认为，该天包装机工作是不正常的。

14．解：此时的似然函数为

（2 分）

即（2 分）

（1 分）

（1 分）

令（1分）

得的极大似然估计值.（1分）

15．解：(1)解：根据公式可得

其中（2 分）

（1 分）

（1 分）

用上述公式求得（2 分）

即得线性回方程为