动态法测量固体材料的杨氏模量

被测样品的固有频率时，试样的振动振幅很小，拾振器的振幅也很小甚至检测不到振动，在示波器上无法合成李萨如图形，只能看到激振器的振动波形；只有当激振器的振动频率调节到试样的固有频率达到共振时，拾振器的振幅突然很大，输入示波器的两路信号才能合成李萨如图形。

3．外延法精确测量基频共振频率

理论上试样在基频下共振有两个节点，要测出试样的基频共振频率，只能将试样悬挂或支撑在和的两个节点处。但是，在两个节点处振动振幅几乎为零，悬挂或支撑在节点处的试样难以被激振和拾振。

实验时于悬丝或支撑架对试样的阻尼作用，所以检测到的共振频率是随悬挂点或支撑点的位置变化而变化的。悬挂点偏离节点越远，可检测的共振信号越强，但试样所受到的阻尼作用也越大，离试样两端自这一定解条件的要求相差越大，产生的系统误差就越大。于压电陶瓷换能器拾取的是悬挂点或支撑点的加速度共振信号，而不是振幅共振信号，因此所检测到的共振频率随悬挂点或支撑点到节点的距离增大而变大。为了消除这一系统误差，测出试样的基频共振频率，可在节点两侧选取不同的点对称悬挂或支撑，用外延测量法找出节点处的共振频率。

所谓的外延法，就是所需要的数据在测量数据范围之外，一般很难直接测量，采用作图外推求值的方法求出所需要的数据。外延法的适用条件是在所研究的范围内没有突变，否则不能使用。

本实验中就是以悬挂点或支撑点的位置为横坐标、以相对应的共振频率为纵坐标做出关系曲线，求出曲线最低点所对应的共振频率即试样的基频共振频率。

4．基频共振的判断

实验测量中，激发换能器、接收换能器、悬丝、支架等部件都有自己共振频率，可能以其本身的基频或高次谐波频率发生共振。另外，根据实验原理可知，试样本身也不只在一个频率处发生共振现象，会出现几个共振峰，以致在实验中难以确认哪个是基频共振峰，但是上述计算杨氏模量的公式～只适用于基频共振的情况。因此，正确的判断示波器上显示出的共振信号是否为试样真正共振信号并且是否为基频共振成为关键。对此，可以采用下述方法来判断和解决。

实验前先根据试样的材质、尺寸、质量等参数通过理论公式估算出基频共振频率的数值，在估算频率附近寻找。

换能器或悬丝发生共振时可通过对上述部件施加负荷，可使此共振信号变化或消失。

试样发生共振需要一个孕育过程，共振峰有一定的宽度，信号亦较强，切断信号源后信号亦会逐渐衰减。因此，

发生共振时，迅速切断信号源，除试样共振会逐渐衰减外，其余假共振会很快消失。

试样共振时，可用一小细杆沿纵向轻碰试样的不同部位，观察共振波振幅。波节处波的振幅不变，波腹处波的振幅减小。波形符合图2的规律即为基频共振。

用听诊器沿试样纵向移动，能明显听出波腹处声大，波节处声小，并符合图2的规律。

对一些细长棒状试样，有时能直接听到波腹和波节。

当输入某个频率在显示屏出现共振时，即使托起试样，示波器显示的波形仍然很少变化，说明这个共振频率不属于试样。悬丝共振时可明显看见悬丝上形成驻波。

试样振动时，观察各振动波形的幅度，波幅最大的共振是基频共振；出现几个共振频率时，基频共振频率最低。

【实验器材】

功率函数信号发生器，动态弹性模量测定仪，试样，示波器，医用听诊器，螺旋测微计，游标卡尺，电子天平，鉴频用小细杆等。

【实验内容与步骤】

1．用动态支撑法测量不同试样的杨氏模量

测量和安装试样棒。选择一试样棒，分别测量试样的质量m、长度L和直径d测量5次。小心地将试样放在支撑支

架上，要求试样棒横向水平，支撑点到试样棒端点的距离相同。

连接测量仪器。如图3所示，动态弹性模量测定仪激振信号输出端接激振器的输入端，拾振信号的输入端接拾振器的输出端，拾振信号的输出端接示波器Y通道。如果采用李萨如图形测量法，同时还要将示波器的X通道接激振信号的输出端。

开机调试。开启仪器的电源，调节示波器处于正常工作状态，信号发生器的频率置于适当挡位，连续调节输出频率，此时激发换能器应发出相应声响。轻敲桌面，示波器Y轴信号大小立即变动并与敲击强度有关，这说明整套实验装置已处于工作状态。

鉴频与测量。低到高调节信号发生器的输出频率，正确找出试样棒的基频共振状态，从频率计上读出共振频率。继续升高频率大约在倍基频处看是否能测出一次谐波共振频率。

外延法测量。在两个节点位置两侧各取3个测试点，各点间隔5mm左右。从外向内依次同时移动两个支撑点的位置，每次移动5mm，分别测出不同位置处相应的基频共振频率。

换用其他种类试样，重复上述步骤进行测量。

2．用动态悬挂法测量不同试样的杨氏模量

选择一试样棒，小心地将试样悬挂于两悬丝之上，要求

试样棒横向水平，悬丝与试样棒轴向垂直，两悬丝点到试样棒端点的距离相同，并处于静止状态。基频共振频率测量方法与支撑法类似。

【设计性实验内容】

1．实验内容

在本实验装置的条件下，设计用动态法测量固体材料的切变模量的实验方案。

2．设计要求

阐述基本实验原理和实验方法；说明基本实验步骤；进行实际实验测量；说明数据处理方法，给出实验结果；评价测量结果。

【预习要求】

1．掌握杨氏模量的基本概念，了解测量杨氏模量的主要方法。

2．掌握固有频率和共振频率的概念，了解用示波器观察共振现象的基本方法。 3．了解外延测量法及其适用条件。4．了解动态法测量杨氏模量的基本原理。

5．了解动态法测量杨氏模量的基本过程及其注意事项。

【数据记录与处理】

1．自己设计数据表格，列表记录和处理数据。测量试样基本参数数据记录和外延法测量基频共振频率数据记录

的参考表格如表2和表3所示。

表2 试样基本参数数据记录表

试样粗铜棒截面直径 d/10-3m 长度 L/mm 质量 m/g 基频共振频率 f/Hz 细钢棒

表3 外延法测量基频共振频率数据记录表

支撑法支撑点距端点位置x/mm 基频共振频率f/Hz 5 10 15 20 25 30 35 40 -- 8

支撑法悬挂点距端点位置x/mm 基频共振频率f/Hz 45 50 55 60 65 70 75 80 2．外延法求基频共振频率。用直角坐标纸，作出位置与共振频率的关系曲线，用外推法求出节点的基频共振频率。

3．计算杨氏模量。计算试样的质量m、直径d、长度L 和共振基频 f 的平均值以及相应的不确定度，所计算出的值代入相应计算公式，求出试样的杨氏模量E，并利用不确定度传播公式估算不确定度，表示杨氏模量的测量结果。

【注意事项】

1．千万不能用力拉悬丝，否则会损坏膜片或换能器。悬挂试样或移动悬丝位置时，应轻放轻动，不能给予悬丝冲击力。

2．换能器厚度约为～的压电晶体用胶粘接在左右的黄铜片上构成，故极其脆弱。测定时一定要轻拿轻放，不能用力，也不能敲打。

3．试样棒不能随处乱放，要保持清洁；拿放时应特别小心，避免弄断悬丝摔坏试样棒。 4．安装试样棒时，应先移动支架到既定位置后再悬挂试样棒。

5．实验时，悬丝必须捆紧，不能松动，且在通过试样轴线的同一截面上，一定要等试样稳定之后才可正式测量。

6．尽可能采用较小的信号激发，激振器所加正弦信号的峰－峰值幅度限制在6V内，这时发生虚假信号的可能性较小。

7．信号源、换能器、放大器、示波器等测试仪器均应共“地”。

8．悬挂点或支撑点如在节点时极难进行测量；全放在端点，测量虽很方便但易引入系统误差。 9．如试样材质不均匀或呈椭圆形，就会有多个共振频率出现，这时只能通过更换合格试样来解决。

【思考与讨论】

1．在实验中是否发现假共振峰？是何原因？如何消除？是否有新的判据？

2．悬挂时捆绑的松紧，悬丝的长短、粗细、材质、钢性都对实验结果有影响，是何原因？可否消除？

3．如何用外推法算出试样棒真正的节点共基频振频率？ 7．如果试样不满足d<

金属的杨氏模量的测量

金属的杨氏模量的测量当固体受外力作用时，它的体积和形状将要发生变化，这种变化，称为形变。当外力不太大时，物体的形变与外力成正比，且外力停止作用物体立即恢复原来的形状和体积，这种形变称为弹性形变。当外力较大时，物体的形变与外力不成比例，且外力停止作用，物体形变不能恢复原来的形状和体积，这种形变称为范性形变。范性形变的产生，是由于物体形变而产生的内应力超过了物体的弹性限度的缘故。如果再继续增大外力，物体内产生的内应力将会超过物体的强度极限时，物体便被破坏了。固体材料的弹性形变可以分为纵向、切变、扭转、弯曲等，对于纵向弹性形变可以引入杨氏模量来描述材料抵抗形变的能力。杨氏模量是反映材料形变与内应力关系的一个重要的物理量。杨氏模量越大，越不易发生形变。杨氏模量一般只与材料的性质和温度有关，与其几何形状无关。材料杨氏模量测量方法很多，有静态法和动态法。对于静态法来说，又可分为拉伸法和弯曲法。 I .拉伸法测定钢丝的杨氏弹性模量【实验目的】 1. 学会用拉伸法测定钢丝的杨氏弹性模量。 2. 掌握几种长度测量工具的使用方法及其不确定度的分析和计算。 3. 进一步掌握逐差法、作图法和最小二乘法的数据处理方法。。【实验仪器】杨氏模量测量仪、螺旋测微器、钢卷尺、读数显微镜装置等。【实验原理】一、拉伸法测金属丝的杨氏弹性模量设有一根粗细均匀的金属丝，长度为L,截面积为S ,将其上端紧固，下端悬挂质量为m的砝码。当金属丝受外力F= mg作用而发生形变L时，金属丝受外力作用发生形变而产生的内应力RS,其应变为LL,根据虎克

定律有：在弹性限度内，物体的应力 F 「S 与产生的应变成正比，即 Fl S L 式中E 为比例恒量，将上式改写为 L F EwlL 其中E 为该材料的杨氏弹性模量（又称杨氏模量）变的应力。实验证明，杨氏模量 E 与外力 F 、金属丝的长度L 、横截面积S 的大小无关，它只与制成金属丝的材料有关。 1 若金属丝的直径为d ,则S = - Q ?d 2 ,将其代入（I .2 ）式中可得 4 4F L 二 d 2 .丄（I .3 ）式表明，在长度、直径和所加外力相同的情况下，杨氏模量大的金属丝伸长量较小，杨氏模量小的金属丝伸长量较大。因此，杨氏模量反映了材料抵抗外力引起的拉伸（或压缩）形变的能力。实验中，测量出 F 、L 、d 和厶L 值就可以计算出金属丝的杨氏模量 E 。其中F 、L 、d 都可用一般方法测得，唯有 L 是一个微小的变化量，约 10‘mm 数量级，用普通量具如钢尺或游标卡尺是难以测准的。因此，实验的核心问题是对微小变化量 L 的测量。在本实验中用读数显微镜测量（也可利用光杠杆法或其他方法测量）二、杨氏模量测量仪杨氏模量测量仪的基本结构如图1所示。在一个较重的三脚底座上固定有两根立柱，支柱上端有横梁，中部紧固一个平台，构成一个刚度极好的支架。整个支架受力后变形极小，可以忽略。通过调节三角底座的水平调节螺母13使整个支架铅直。待测样品是一根粗细均匀的金属丝（长约 90Cn ）O 金属丝上端用上端紧固座2夹紧并固定在上横梁上，钢丝下端也用一个钳形平台5夹紧并穿过平台的中心孔，使金属丝自由悬挂。钢丝的总长度 L 就是从上端固定座2的下端面至钳形平台5的上端面之间的长度。钳形平台5下方的挂钩上挂一个砝码盘，当盘上逐次加上一定质量的砝码后，钢丝就被拉伸，标尺刻线6也跟着下降。读数标尺9相对（I .1 ）（I .2 ） ,在数值上等于产生单位应 (I ?3 )

动态悬挂法测杨氏模量数据处理参考范例

动态悬挂法测杨氏模量数据处理参考范例 1．数据记录表1 各测量量测量值样品 () L m m () m L m m ? ()m g ()m m g ? () 1f H z ()1 m f H z ? 黄铜 0.05 0.01 0.1 不锈钢 0.05 0.01 1 表2 样品直径测量值次数黄铜直径 () d m m () m d m m ? 不锈钢直径 () d m m () m d m m ? 1 0.005 0.005 2 3 4 5 6 2．数据处理（1）黄铜： L ：0.029B u u m m ?== = = m ：0.010.00333 3 m B u u g ?== = = 1 f ：0.10.058B u u H z ?== = = d ：用肖维涅准则检查无坏值出现 5.998d m m = 1.110.0170.019A p X u k s m m ==?= 0.005 0.0029B m u m m ?= = = 0.020u m m = = = Y ： () () 3 3 3 2 3 2 1 4 43 160.001037.9310 701.0 1.6067 1.6067 5.99810 L m f Y d ---????==? ? 10 2 9.47710 N m = ?Y E = =

1.3%= 则101029.47710 1.3%0.1310Y Y u Y E N m =?=??=? （2）不锈钢 L ：0.029B u u m m ?== = = m ：0.010.00333 3 m B u u g ?== = = 1 f ： 10.58B u u H z ?== = = d ：用肖维涅准则检查无坏值出现 5.945d m m = 1.110.0210.024A p X u k s m m ==?= 0.005 0.0029B m u m m ?= = = 0.025u m m = = = Y ： () () 3 3 3 2 3 2 1 4 43 160.001034.4310 1014 1.6067 1.6067 5.94510L m f Y d ---????==? ? 11 2 1.86510 N m =?Y E = = 1.7%= 则11 11 2 1.86510 1.7%0.03210 Y Y u Y E N m =?=??=? 3．实验结果（1）室温下测得黄铜样品的杨氏模量为： ()10 2 9.50.210Y N m =±? () 0.683p = 1.3% Y E = （2）室温下测得不锈钢样品的杨氏模量为： ()11 2 1.860.0410Y N m =±? () 0.683p = 1.7% Y E = 备注：不确定度u 在计算过程中保留两位有效数字，在最后计算结果中保留一位有效数字。

用拉伸法测钢丝杨氏模量——实验报告

金属丝杨氏模量的测定实验报告【实验目的】 1.学会用拉伸法测量杨氏模量； 2.掌握光杠杆法测量微小伸长量的原理； 3.学会用逐差法处理实验数据； 4.学会不确定度的计算方法，结果的正确表达；【实验仪器】 YWC-1杨氏弹性模量测量仪（包括望远镜、测量架、光杠杆、标尺、砝码）钢卷尺（0-200cm , ）、游标卡尺(0-150mm,、螺旋测微器(0-150mm, 【实验原理】在外力作用下，固体所发生的形状变化成为形变。它可分为弹性形变和塑性形变两种。本实验中，只研究金属丝弹性形变，为此，应当控制外力的大小，以保证外力去掉后，物体能恢复原状。最简单的形变是金属丝受到外力后的伸长和缩短。金属丝长L ，截面积为S ，沿长度方向施力F 后，物体的伸长L ?，则在金属丝的弹性限度内，有： F S E L L =? 我们把E 称为杨氏弹性模量。如上图： ??? ????=?≈=?ααα2D n tg x L n D x L ??=??2 （02n n n -=?） n x d FLD L n D x d F L L S F E ??=?=?=228241ππ 真实测量时放大倍数为4倍，即E=2E 【实验内容】 <一> 仪器调整 1、杨氏弹性模量测定仪底座调节水平； 2、平面镜镜面放置与测定仪平面垂直； 3、将望远镜放置在平面镜正前方左右位置上；

4、粗调望远镜：将镜面中心、标尺零点、望远镜调节等高,望远镜的缺口、准星对准平面镜中心，并能在望远镜外看到尺子的像； 5、调节物镜焦距能看到尺子清晰的像，调节目镜焦距能清晰的看到叉丝； 6、调节叉丝在标尺cm 2±以内，并使得视差不超过半格。 <二>测量 1、记下无挂物时刻度尺的读数0n ； 2、依次挂上100g 的砝码，8次，计下7654321,,,,,,n n n n n n n ； 3、依次取下100g 的砝码，8次，计下n 0‘，' 7'65'4'3'2'1,,,,,,'n n n n n n n ； 4、用米尺测量出金属丝的长度L （两卡口之间的金属丝）、镜面到尺子的距离D ； 5、用游标卡尺测量出光杠杆x 、用螺旋测微器测量出金属丝直径d 。 <三>数据处理方法——逐差法 1. 实验测量时，多次测量的算术平均值最接近于真值。但是简单的求一下平均还是不能达到最好的效果，我们多采用逐差法来处理这些数据。 2. 逐差法采用隔项逐差： 4 )()()()(37261504n n n n n n n n n -+-+-+-=? 3. 注：上式中的n ?为增重400g 的金属丝的伸长量。【实验数据记录处理】【结果及误差分析】 1. 光杠杆、望远镜和标尺所构成的光学系统一经调节好后，在实验过程中就不可在移动，否则，所测的数据将不标准，实验又要重新开始； 2. 不准用手触摸目镜、物镜、平面反射镜等光学镜表面，更不准用手、布块或任意纸片擦拭镜面；

动态法测量杨氏弹性模量

动态法测量杨氏弹性模量郑新飞杨氏模量是固体材料在弹性形变范围内正应力与相应正应变（当一条长度为L、截面积为S的金属丝在力F作用下伸长ΔL时，F/S叫应力，其物理意义是金属丝单位截面积所受到的力；ΔL/L叫应变，其物理意义是金属丝单位长度所对应的伸长量）的比值，其数值的大小与材料的结构、化学成分和加工制造方法等因素有关。杨氏模量的测量是物理学基本测量之一，属于力学的范围。根据不同的测量对象，测量杨式模量有很多种方法，可分为静态法、动态法、波传播法三类。一、实验目的 1、理解动态法测量杨氏模量的基本原理。 2、掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。 3、了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。 4、培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。二、实验仪器 1、传感器I（激振）：把电信号转变成机械振动。 2、试样棒：由悬线把机械振动传给试样，使试样受迫做共振动。 3、传感器II（拾振）：机械振动又转变成电信号。 4、示波器：观察传感器II转化的电信号大小。

三、实验原理理论上可以得出用动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量，为 2436067.1f d m l E = （1）式中l 为棒长，d 为棒的直径，m 为棒的质量。如果在实验中测定了试样（棒）在不同温度时的固有频率f ，即可计算出试样在不同温度时的杨氏模量E 。四、实验内容 1、测定试样的长度l 、直径d 和质量m 。每个物理量各测六次，列表记录。 2、在室温下不锈钢和铜的杨氏模量分别为211102m N ?和 211102.1m N ?，先由公式（1）估算出共振频率f ，以便寻找共振点。 3、把试样棒用细钢丝挂在测试台上，试样棒的位置约距离端面l 224.0和l 776.0处，悬挂时尽量避开这两个位置。 4、把2-YM 型信号发生器的输出与2-YM 型测试台的输入相连，测试

杨氏模量数据表格及数据处理要求

杨氏模量测定（横梁弯曲法）一、实验目的 1．学会用横梁弯曲法测定金属材料的杨氏模量； 2．学会读数显微镜的使用方法，掌握测量微小长度变化的方法；二、实验仪器及用具 FD-YZ-MT杨氏模量测试仪1套JC—10读数显微镜米尺游标卡尺千分尺待测矩形金属条三、实验原理这部分内容请同学们按照实验报告写作要求来写四、实验步骤（供参考） (1)将矩形待测材料安放在仪器的刀口上，套上铜刀口（下端挂一砝码盘）并使其刀刃恰好在仪器两刀口的中间。 (2)调节显微镜的目镜，看清楚镜简内的叉丝．松开显微镜的底座并使镜筒轴线正对着铜刀上的基线，前后移动底座，直到从镜中看清楚铜刀基线，锁定底座和升降杆；转动读数显微镜的镜筒使得目镜中看到直尺方向与竖直方向一致，读数显微镜的手轮朝上，锁紧读数显微镜镜筒，转动手轮移动十字叉丝与基线像完全重合，记下读数．(3)在砝码盘上顺序地加法码．共加7次，每次砝码的质量为10 g，同时，每次转动显微镜的手轮，使得十字叉丝水平线与目镜中基线像重合，记下相应读数． (4)由梁上每取下一片砝码，仿照步骤（3）记下相应的读数． (5)测出仪器两刀口间的距离l，测量1—3次，再测出待测样品的厚度h和宽度a，各测量6次，记录下相应的测量结果． (6)实验完毕整理好实验仪器 (7)利用逐差法求出对应10g的弛垂度λ ?，代入表达式（1）计算杨氏模量并求出其测量不确定度。注意事项： 1.从初始读数到增加每一片砝码，转动读数显微镜的手轮使得叉丝与基线像重合过程中叉丝移动方向要保持一致 2.整个测量过程确保读数显微镜或者铜刀口位置不发生移动，因此调节好读数显微镜一定锁紧相应部位以免测量产生转动，增加砝码或减少砝码时要谨慎切莫碰动铜刀口的位置。倘若发生了它们的位置有一个发生了变化，就必须从头开始测量。 3.使用千分尺和游标卡尺之前先记下相应的零点读数；再则，使用千分尺测量样品厚度时应注意测量杆与固定砧别卡得太紧以免样品发生形变，使用游标卡尺测量样品宽度时内量爪也别卡得太紧。五、数据表格表1 待测样品及支架两刀口距离测量支架两刀口距离d度为：cm 千分尺零点读数：mm

动态法测杨氏模量实验报告

动态法测量杨氏模量一、实验目的 1. 理解动态法测量杨氏模量的基本原理。 2. 掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。 3. 了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。学会用示波器观察判断样品共振的方法。 4. 培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。二、实验原理：在一定条件下，试样振动的固有频率取决于它的几何形状、尺寸、质量以及它的杨氏模量。如果在实验中测出试样在不同温度下的固有频率，就可以计算出试样在不同温度下的杨氏模量。根据杆的横振动方程式 02 244=??+??t y EJ S x y ρ （1）式中ρ为杆的密度，S 为杆的截面积，?= s dS y J 2 称为惯量矩（取决于截面的形状），E 即为杨氏模量。如图1所示，长度L 远远大于直径d （L >>d ）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为 02244=??+??t EJ y S x y ρ （1）棒的轴线沿x 方向，式中y 为棒上距左端x 处截面的y 方向位移，E 为杨氏模量，单位为Pa 或N/m 2；ρ为材料密度；S 为截面积；J 为某一截面的转动惯量，??=s ds y J 2。横振动方程的边界条件为：棒的两端(x =0、L )是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。用分离变量法求解方程（1），令)()(),(t T x X t x y =，则有 2 24411dt T d T EJ S dx X d X ?-=ρ （2）由于等式两边分别是两个变量x 和t 的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成立。假设此常数为K 4，则可得到下列两个方程 044 4=-X K dx X d （3） 0422=+T S EJ K dt T d ρ （4）如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为图1 细长棒的弯曲振动

实验报告-共振法测量固体材料的杨氏模量

实验报告学生姓名：杨绍东学号：100204122 班级：A10轮机1 实验名称：共振法测杨氏模量实验指导老师：卢立娟实验时间：2011.12.12 共振法测量固体材料的杨氏模量、实验目的 1学会用动态悬挂法测量材料的杨氏模量. 2学会用外延法测量，处理实验数据. 3了解换能器的功能，熟悉测试仪器的使用. 4培养学生综合运用知识和使用常用实验仪器的能力. 二、实验原理如图所示，一长为L 的细棒（长度比横向尺寸大很多）棒的轴线沿x 方向.棒在z 方向的振动（棒的横振动）满足动力学方程 YI S x 4 S 为棒的横截面积， S 为某一截面的惯量矩。由该方程及边界条件，可解出杨氏模量：上式中m 为棒的质量，f 为圆棒的基频频率. 3 Y 1.6067 f 2 d 4 实验中就是以悬挂点位置为横坐标，以相对应的共振频率为纵坐标作出关系曲线，用外延测量法求得曲线最低点（即节点）所对应的频率即为试棒的基频共振频率 h.再由上式可求得杨氏模量 Y 。三、实验仪器 YM-2动态型杨氏模量测试台， FB209型动态杨氏模量测试仪，通用示波器、试样棒（铜、不锈钢）、天平、螺旋测微计等. 式中为棒上距左端X 处横截面的Z 方向位移，Y 为该棒的杨氏模量, 单位为N/m 2, 为材料密度, 1.9978 10 L 4S I 7.8870 10 2 L 3m 对于直径为d 的圆棒，惯量矩| z 2dS S 64 ，代入上式得:

四、实验内容 1测量试样棒的长度L,直径d，质量m,为提高测量精度，要求以上量均测量3-5次. 2测量试样棒在室温时的共振频率f i. (1) 安装试样棒：将试样棒悬挂于两悬线之上，要求试样棒横向水平，悬线与试样棒轴向垂直，两悬线挂点到试样棒的端点距离相同，并处于静止状态. (2) 连机：将测试台、测试仪器、示波器之间用专用导线连接. (3) 开机：分别打开示波器、测试仪的电源开关，调整示波器处于正常工作状态. 适当选取输出衰减大小，调节频率旋钮显示当前输出频率. (4) 鉴频：待试样棒稳定后，调节“频率调节”粗、细旋钮，寻找试样棒的共振频率f i. (5) 外延法测共振频率f i：因f i值随悬线位置不同而略有变化。按照上述方法，依次将两悬线支架同时从距两端20mm处开始，每次向内移动5mm，直至50mm处(35mm处不测)，分别测出相应的共振频率f i.(自行设计数据记录表格) (6) 以悬挂点位置x为横坐标，以相对应的共振频率为纵坐标作出关系曲线，求曲线最低点(即节点)所对应的频率(即是试棒的基频共振频率f i). 五、数据分析 i测量试样棒的长度L A 类不确定度为 A =4.30 “(i5.96-i5.96)2 (i5.96-i5.97)2 (i5.96-i5.96)2。皿呦 V 3 2 B类不确定度为□ = 0. 005(cm) 长度L的不确定度为L = . 一2A—? 0.02(cm) L =i5.96 0.02(cm) E L = i00% 0.i3% i5.96 2测量试样棒的直径d A =2.780X (5.987-5.990)2 (5.987-6.00C)2 (5.987-5.98i)2 (5.987-5.968>2 (5.987-5.996)2 0.0i6(mm)

动态法测量杨氏模量教案资料

实验四动态法测定材料杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。杨氏模量测量方法有多种，最常用的有拉伸法测量金属材料的杨氏模量，这属于静态法测量，这种方法一般仅适用于测量形变较大、延展性较好的材料，对如玻璃及陶瓷之类的脆性材料就无法用此方法测量。动态法由于其在测量上的优越性，在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准指定的一种杨氏模量的测量方法。本实验用悬挂、支撑二种“动态法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。一、实验目的 1．理解动态法测量杨氏模量的基本原理。 2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。 3．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。 4．进一步了解信号发生器和示波器的使用方法。二、实验原理长度L 远远大于直径d （L>>d ）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动解以上方程的具体过程如下（不要求掌握）：用分离变量法：令)()(),(t T x X t x y = 代入方程（1）得： 2 244d d 1d d 1t T T YJ s x X X ρ-= 等式两边分别是x 和t 的函数，这只有都等于一个常数才有可能，设该常数为4 K ，于是得：

0d d 444=-X K x X 0d d 422=+T s YJ K t T ρ 这两个线形常微分方程的通解分别为： Kx B Kx B shKx B chKx B x X sin cos )(4321+++= ) cos()(?ω+=t A t T 于是解振动方程式得通解为： ) cos()sin cos (),(4321?ω++++=t A Kx B Kx B shKx B chKx B t x y 其中式（2）称为频率公式： 2 14??????=s YJ K ρω (2）该公式对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件定出常数K ，并将其代入特定截面的转动惯量J ，就可以得到具体条件下的计算公式了。如果悬线悬挂(支撑点)在试样的节点附近，则其边界条件为自由端横向作用力： 033=??-=??-=x y YJ x M F 弯矩： 02 2=??=x y YJ M 即 0x d X d 0x 3 3== 0x d X d l x 33== 0x d X d 0x 2 2== 0x d X d l x 22== 将通解代入边界条件，得到1cos =KLchKL ，用数值解法求得本征值K 和棒长L 应满足：ΛΛ420.20 ,279.17 ,137.14 ,9956.10 ,8532.7 ,7300.4 ,0=KL , 由于其中第一个根“0”对应于静态情况，故将其舍去。将第二个根作为第一个根，记作L K 1。一般将7300.4 1=L K 所对应的共振频率称为基频（或称作固有频率）。在上述L K n 值中，1，3，5…个数值对应着“对称形振动”, 第2、4、6…个数值对应着“反对称形振动”。图1给出了当4 ,3 ,2 ,1n =时的振动波形。由1n =图可以看出，试样在作基频振动时，存在两个节点，它们的位置距离端面分别为L 224.0和L 776.0处。理论上悬

动态法测杨氏模量实验报告

动态法测杨氏模量实验报告-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

动态法测量杨氏模量一、实验目的 1. 理解动态法测量杨氏模量的基本原理。 2. 掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。 3. 了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。学会用示波器观察判断样品共振的方法。 4. 培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。二、实验原理：在一定条件下，试样振动的固有频率取决于它的几何形状、尺寸、质量以及它的杨氏模量。如果在实验中测出试样在不同温度下的固有频率，就可以计算出试样在不同温度下的杨氏模量。根据杆的横振动方程式 02 244=??+??t y EJ S x y ρ （1）式中ρ为杆的密度，S 为杆的截面积，?=s dS y J 2 称为惯量矩（取决于截面的形状），E 即为杨氏模量。如图1所示，长度L 远远大于直径d （L >>d ）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为 02244=??+??t EJ y S x y ρ （1）棒的轴线沿x 方向，式中y 为棒上距左端x 处截面的y 方向位移，E 为杨氏模量，单位为Pa 或N/m 2；ρ为材料密度；S 为截面积；J 为某一截面的转动惯量，??=s ds y J 2。横振动方程的边界条件为：棒的两端(x =0、L )是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。用分离变量法求解方程（1），令)()(),(t T x X t x y =，则有 224411dt T d T EJ S dx X d X ?-=ρ （2）由于等式两边分别是两个变量x 和t 的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成立。假设此常数为K 4，则可得到下列两个方程图1 细长棒的弯曲振

杨氏模量实验报告

钢丝的杨氏模量【预习重点】（１）杨氏模量的定义。（２）利用光杠杆测量微小长度变化的原理和方法。（３）用逐差法和作图法处理实验数据的方法。【仪器】杨氏模量仪（包括砝码组、光杠杆及望远镜-标尺装置）、螺旋测微器、钢卷尺。【原理】１）杨氏模量物体受力产生的形变，去掉外力后能立刻恢复原状的称为弹性形变；因受力过大或受力时间过长，去掉外力后不能恢复原状的称为塑性形变。物体受单方向的拉力或压力，产生纵向的伸长和缩短是最简单也是最基本的形变。设一物体长为Ｌ，横截面积为Ｓ，沿长度方向施力Ｆ后，物体伸长（或缩短）了δＬ。Ｆ／Ｓ是单位面积上的作用力，称为应力，δＬ／Ｌ是相对变形量，称为应变。在弹性形变范围内，按照胡克（ＨｏｏｋｅＲｏｂｅｒｔ１６３５—１７０３）定律，物体内部的应力正比于应变，其比值（５—１）称为杨氏模量。实验证明，Ｅ与试样的长度Ｌ、横截面积Ｓ以及施加的外力Ｆ的大小无关，而只取决于试样的材料。从微观结构考虑，杨氏模量是一个表征原子间结合力大小的物理参量。２）用静态拉伸法测金属丝的杨氏模量杨氏模量测量有静态法和动态法之分。动态法是基于振动的方法，静态法是对试样直接加力，测量形变。动态法测量速度快，精度高，适用范围广，是国家标准规定的方法。静态法原理直观，设备简单。用静态拉伸法测金属丝的杨氏模量，是使用如图５—１所示杨氏模量仪。在三角底座上装两根支柱，支柱上端有横梁，中部紧固一个平台，构成一个刚度极好的支架。整个支架受力后变形极小，可以忽略。待测样品是一根粗细均匀的钢丝。钢丝上端用卡头Ａ夹紧并固定在上横梁上，钢丝下端也用一个圆柱形卡头Ｂ夹紧并穿过平台Ｃ的中心孔，使钢丝自由悬挂。通过调节三角底座螺丝，使整个支架铅直。下卡头在平台Ｃ的中心孔内，其周围缝隙均匀而不与孔边摩擦。圆柱形卡头下方的挂钩上挂一个砝码盘，当盘上逐次加上一定质量的砝码后，钢丝就被拉伸。下卡头的上端面相对平台Ｃ的下降量，即是钢丝的伸长量δＬ。钢丝的总长度就是从上卡头的下端面至下卡头的上端面之间的长度。钢丝的伸长量δＬ是很微小的，本实验采用光杠杆法测量。３）光杠杆

动态法测杨氏模量实验报告

5） 6） 4 y 4 x EJ t 2 1）式中为杆的密度， S 为杆的截面积， J y 2dS 称为惯量矩（取决于截面的形状），E s 即为杨氏模量。如图 1所示，长度 L 远远大于直径 d （L >>d ）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为（1）棒的轴线沿 x 方向，式中 y 为棒上距左端 x 处截面的 y 方向位移， E 为杨氏模量，单位为 Pa 或 N/m 2； ρ为材料密度； S 为截面积； J 为某一截面的转动惯量，。 y y O 图 1 细长棒的弯曲振动横振动方程的边界条件为：棒的两端（ x =0、 L ）是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。用分离变量法求解方程（ 1），令，则有（2）由于等式两边分别是两个变量 x 和t 的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成立。假设此常数为 K 4，则可得到下列两个方程 24 d 2T K 4EJ 2 T 0 dt 2 S 如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为于是可以得出 3） 4）式中动态法测量杨氏模量实验目的 1. 理解动态法测量杨氏模量的基本原理。 2. 掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。 3. 了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。学会用示波器观察判断样品共振的方法。 4. 培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。二、实验原理：在一定条件下，试样振动的固有频率取决于它的几何形状、尺寸、质量以及它的杨氏模量。如果在实验中测出试样在不同温度下的固有频率，就可以计算出试样在不同温度下的杨氏模量。根据杆的横振动方程式

实验10 杨氏模量的测定

实验1 拉伸法测量杨氏模量杨氏弹性模量(以下简称杨氏模量)是表征固体材料性质的重要的力学参量，它反映材料弹性形变的难易程度，在机械设计及材料性能研究中有着广泛的应用。其测量方法有静态拉伸法、悬臂梁法、简支梁法、共振法、脉冲波传输法，后两种方法测量精度较高；本实验采用静态拉伸法测量金属丝的杨氏模量，因涉及多个长度量的测量，需要研究不同测量对象如何选择不同的测量仪器。【实验目的】 1. 学习用静态拉伸法测量金属丝的杨氏模量。 2. 掌握钢卷尺、螺旋测微计和读数显微镜的使用。 3. 学习用逐差法和作图法处理数据。 4. 掌握不确定度的评定方法。【仪器用具】杨氏模量测量仪（包括砝码、待测金属丝）、螺旋测微计、钢卷尺、读数显微镜【实验原理】 1. 杨氏模量的定义本实验讨论最简单的形变——拉伸形变，即棒状物体(或金属丝)仅受轴向外力作用后的伸长或缩短。按照胡克定律：在弹性限度内，弹性体的应力与应变成正比。设有一根原长为，横截面积为的金属丝（或金属棒），在外力的作用下伸长了，则根据胡克定律有（1-1）式中的比例系数称为杨氏模量，单位为Pa（或N·m–2）。实验证明，杨氏模量与外力、金属丝的长度、横截面积的大小无关，它只与制成金属

丝的材料有关。若金属丝的直径为，则，代入（1-1）式中可得（1-2）（1-2）式表明，在长度、直径和所加外力相同的情况下，杨氏模量大的金属丝伸长量较小，杨氏模量小的金属丝伸长量较大。因此，杨氏模量反映了材料抵抗外力引起的拉伸（或压缩）形变的能力。实验中，测量出值就可以计算出金属丝的杨氏模量。 2. 静态拉伸法的测量方法测量金属丝的杨氏模量的方法就是将金属丝悬挂于支架上，上端固定，下端加砝码对金属丝，测出金属丝的伸长量，即可求出。金属丝长度用钢卷尺测量，金属丝直径用螺旋测微计测量，力由砝码的重力求出。实验的主要问题是测准伸长量，伸长量一般很小，约10-1mm数量级，在本实验中用读数显微镜测量（也可利用光杠杆法或其他方法测量）。为了使测量更准确些，采用测量多个的方法以减少测量的随机误差，即在金属丝下端每加一个砝码测一次伸长位置，逐个累加砝码，逐次记录长度；通过逐差法（参考绪论）求出。考虑到读数显微镜物镜的放大倍率为X和砝码的重力，拉伸法测量杨氏模量的实验公式为 (1-3) 3. 测量结果的不确定度估计根据间接测量量的不确定度合成法则（参考绪论），杨氏模量的相对不确定度计算式为：（1-4）4. 对实验条件的分析（实验设计项目）本实验利用显微镜测微小长度变化，根据（1-3）式测量金属丝的杨氏模量，试分析测量时须满足哪些实验条件？有哪些因素将导致系统误差的产生？请读者根据实验要求，理论联系实际地讨论提高测量结果的精确度的方法和途径。【仪器介绍】 1. 杨氏模量测量仪杨氏模量测量仪的基本结构如图1-1所示。主要包括以下两部分：金属丝支架和砝码：杨氏模量仪的底座是一个水平底座，四个角下都有螺旋底脚12，用于调节底座水平。在两根立柱之间有上下两个横梁。待测金属丝（长约80cm）的上端被上梁侧面的夹板1夹牢，下端用小夹板夹在连接方框上，方框下旋进一个螺钉吊起砝码盘7，框子的侧

拉伸法测钢丝的杨氏模量(已批阅)

实验题目：用拉伸法测钢丝的杨氏模量5- 实验目的：掌握利用光杠杆测定微小形变的方法，在数据处理中，掌握逐差法和作图法两种数据处理的方法实验原理：在胡克定律成立的范围内，应力F/S 和应变ΔL/L 之比满足 E=（F/S ）/（ΔL/L ）=FL/（S ΔL ）其中E 为一常量，称为杨氏模量，其大小标志了材料的刚性。根据上式，只要测量出F 、ΔL/L 、S 就可以得到物体的杨氏模量，又因为ΔL 很小，直接测量困难，故采用光杠杆将其放大，从而得到ΔL 。实验原理图如右图：当θ很小时，l L /tan ?=≈θθ，其中l 是光杠杆的臂长。由光的反射定律可以知道，镜面转过θ，反射光线转过2θ，而且有：故：)2(D b l L = ?，即是)2(D bl L =? 那么Slb DLF E 2= ，最终也就可以用这个表达式来确定杨氏模量E 。实验内容： 1．调节仪器（1）调节放置光杠杆的平台F 与望远镜的相对位置，使光杠杆镜面法线与望远镜轴线大体重合。（2）调节支架底脚螺丝，确保平台水平，调平台的上下位置，使管制器顶部与平台的上表面共面。（3）光杠杆的调节，光杠杆和镜尺组是测量金属丝伸长量ΔL 的关键部件。光杠杆的镜面（1）和刀口（3）应平行。使用时刀口放在平台的槽内，支脚放在管制器的槽内，刀口和支脚尖应共面。（4）镜尺组的调节，调节望远镜、直尺和光杠杆三者之间的相对位置，使望远镜和反射镜处于同等高度，调节望远镜目镜视度圈（4），使目镜内分划板刻线（叉丝）清晰，用手轮（5）调焦，使标尺像清晰。 2．测量（1）砝码托的质量为m 0，记录望远镜中标尺的读数r 0作为钢丝的起始长度。（2）在砝码托上逐次加500g 砝码（可加到3500g ），观察每增加500g 时望远镜中标尺上的读数r i ，然后再将砝码逐次减去，记下对应的读数r ’i ，取两组对应数据的平均值i r 。（3）用米尺测量金属丝的长度L 和平面镜与标尺之间的距离D ，以及光杠杆的臂长l 。 3．数据处理（1）逐差法用螺旋测微计测金属丝直径d ，上、中、下各测2次，共6次，然后取平均值。将i r 每隔四项相减，得到相当于每次加2000g 的四次测量数据，如设040r r b -=，151r r b -=，262r r b -=和373r r b -=并求出平均值和误差。将测得的各量代入式（5）计算E ，并求出其误差（ΔE/E 和ΔE ），正确表述E 的测量结果。（2）作图法把式（5）改写为 i i i MF SlE DLF r ==)/(2 （6）

动态法测量杨氏模量

动态法测量杨氏模量杨氏模量是描述固体材料弹性形变的一个重要物理量，测量杨氏模量的方法很多，我们学过的有静态拉伸法，其缺点是不能真实地反映材料内部结构的变化，而且不能对脆性材料进行测量，本实验采用动态法。一、实验目的 1．学习用动态法测量杨氏模量的原理和方法。 2．学会用示波器观察判断样品共振的方法。二、实验仪器 DCY-3（动态）弹性模量测定仪，包括CY-2型功率函数信号发生器（5位数显、5-500）示波器，加热炉，数显温控器，激发-接收换能器，悬挂测定支架及支撑测定支架。听诊器，式样若干，悬丝，游标卡尺，螺旋测微计。三、共振法测量杨氏模量的基本理论任何物体都有其固有的振动频率，这个固有振动频率取决于试样的振动模式、边界条件、弹性模量、密度以及试样的几何尺寸、形状。只要从理论上建立了一定振动模式、边界条件和试样的固有频率及其他参量之间的关系，就可通过测量试样的固有频率、质量和几何尺寸来计算弹性模量。 1．杆振动的基本方程一细长杆做微小横（弯曲）振动时，取杆的一端为坐标原点，沿杆的长度方向为x 轴建立坐标系，利用牛顿力学和材料力学的基本理论可推出杆的振动方程： 04422=??+??x U EI t U λ （1）式中U (x, t )为杆上任一点x 在时刻t 的横向位移；E 为杨氏模量；I 为绕垂直于杆并通过横截面形心的轴的惯量矩；λ为单位长度质量。对长度为L ，两端自由的杆，边界条件为：弯矩 022=??=x U EJ M 作用力 3 3x U EJ x M F ??-=??=

即x =0, L 时： 0,03 322=??=??x U x U （2）用分离变量法解微分方程（1）并利用边界条件（2），可推倒出杆自由振动的频率方程： 1cos =?chkL kL （3）其中k 为求解过程中引入的系数，其值满足： EI k λω24= (4) ω为棒的固有振动角频率。从方程（4）可知，当λ、E 、I 一定时，角频率ω（或频率f ）是待定系数k 的函数，k 可由方程（3）求得。方程（3）为超越方程，不能用解析法求解，利用数值计算法求得前n 个解为： πππππ)21(,,5005.4, 5004.3,4997.2,506.14321+≈====n L k L k L k L k L k n 这样，对应k 的n 个取值，棒的固有振动频率有n 个f 1 , f 2 , f 3 … f n 。其中f 1为棒振动的基频，f 2、f 3、…分别为棒振动的一次谐波频率、二次谐波频率、…。弹性模量是材料的特性参数，与谐波级次无关，根据这一点可以倒出谐波振动与基频振动之间的频率关系为： f 1 : f 2 : f 3 : f 4 =1 : 2.76 : 5.40 : 8.93 2、杨氏模量的测量若取棒振动的基频，由π506.11=L k 及方程（4）得： λπ4242 1 4506.1L EI f = 对圆形棒有464 14.3d I =，则得： 2143 6067.1f d mL E = (5) 式中L m λ=为棒的质量，单位为g ，d 为棒的直径，单位为mm ，取L 的单位亦为mm ，计算出的杨氏模量E 的单位为N/m 2。这样，实验中测得棒的质量、长度、直径及固有频率，即可求得杨氏模量。

大学物理实验-拉伸法测钢丝的杨氏模量(已批阅)电子版本

大学物理实验-拉伸法测钢丝的杨氏模量(已批阅)

实验题目：用拉伸法测钢丝的杨氏模量 13+39+33=85 实验目的：采用拉伸法测定杨氏模量，掌握利用光杠杆测定微小形变地方法。在数据处理中，掌握逐差法和作图法两种数据处理的方法实验仪器: 杨氏模量测量仪（包括光杠杆，砝码，望远镜，标尺），米尺，螺旋测微计。实验原理：在胡克定律成立的范围内，应力F/S 和应变ΔL/L 之比满足 E=（F/S ）/（ΔL/L ）=FL/（S ΔL ）其中E 为一常量，称为杨氏模量，其大小标志了材料的刚性。根据上式，只要测量出F 、ΔL/L 、S 就可以得到物体的杨氏模量，又因为ΔL 很小，直接测量困难，故采用光杠杆将其放大，从而得到ΔL 。实验原理图如右图：当θ很小时，l L /tan ?=≈θθ，其中l 是光杠杆的臂长。由光的反射定律可以知道，镜面转过θ，反射光线转过2θ，而且有： D b =≈θθ22tan 故：) 2(D b l L =?，即是) 2(D bl L =? 那么Slb DLF E 2= ，最终也就可以用这个表达式来确定杨氏模量E 。实验内容： 1．调节仪器（1）调节放置光杠杆的平台F 与望远镜的相对位置，使光杠杆镜面法线与望远镜轴线大体重合。

（2）调节支架底脚螺丝，确保平台水平，调平台的上下位置，使管制器顶部与平台的上表面共面。（3）光杠杆的调节，光杠杆和镜尺组是测量金属丝伸长量ΔL 的关键部件。光杠杆的镜面（1）和刀口（3）应平行。使用时刀口放在平台的槽内，支脚放在管制器的槽内，刀口和支脚尖应共面。（4）镜尺组的调节，调节望远镜、直尺和光杠杆三者之间的相对位置，使望远镜和反射镜处于同等高度，调节望远镜目镜视度圈（4），使目镜内分划板刻线（叉丝）清晰，用手轮（5）调焦，使标尺像清晰。 2．测量（1）砝码托的质量为m 0，记录望远镜中标尺的读数r 0作为钢丝的起始长度。（2）在砝码托上逐次加500g 砝码（可加到3500g ），观察每增加500g 时望远镜中标尺上的读数r i ，然后再将砝码逐次减去，记下对应的读数r ’i ，取两组对应数据的平均值 i r 。（3）用米尺测量金属丝的长度L 和平面镜与标尺之间的距离D ，以及光杠杆的臂长l 。 3．数据处理（1）逐差法用螺旋测微计测金属丝直径d ，上、中、下各测2次，共6次，然后取平均值。将i r 每隔四项相减，得到相当于每次加2000g 的四次测量数据，如设040r r b -=，151r r b -=， 262r r b -=和373r r b -=并求出平均值和误差。将测得的各量代入式（5）计算E ，并求出其误差（ΔE/E 和ΔE ），正确表述E 的测量结果。（2）作图法把式（5）改写为

动态法测量杨氏模量讲解

实验四动态法测定材料杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。杨氏模量测量方法有多种，最常用的有拉伸法测量金属材料的杨氏模量，这属于静态法测量，这种方法一般仅适用于测量形变较大、延展性较好的材料，对如玻璃及陶瓷之类的脆性材料就无法用此方法测量。动态法由于其在测量上的优越性，在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准指定的一种杨氏模量的测量方法。本实验用悬挂、支撑二种“动态法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。一、实验目的 1．理解动态法测量杨氏模量的基本原理。 2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。 3．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。 4．进一步了解信号发生器和示波器的使用方法。二、实验原理解以上方程的具体过程如下（不要求掌握）：用分离变量法：令)()(),(t T x X t x y = 代入方程（1）得： 2 24 4d d 1d d 1t T T YJ s x X X ρ-= 等式两边分别是x 和t 的函数，这只有都等于一个常数才有可能，设该常数为4 K ，于是得：

0d d 44 4=-X K x X 0d d 42 2=+T s YJ K t T ρ 这两个线形常微分方程的通解分别为： Kx B Kx B shKx B chKx B x X sin cos )(4321+++= ) cos()(?ω+=t A t T 于是解振动方程式得通解为： ) cos()sin cos (),(4321?ω++++=t A Kx B Kx B shKx B chKx B t x y 其中式（2）称为频率公式： 2 14 ?? ? ? ??=s YJ K ρω (2）该公式对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件定出常数K ，并将其代入特定截面的转动惯量J ，就可以得到具体条件下的计算公式了。如果悬线悬挂(支撑点)在试样的节点附近，则其边界条件为自由端横向作用力： 033=??-=??-=x y YJ x M F 弯矩： 02 2=??=x y YJ M 即 0x d X d 0x 3 3== 0x d X d l x 33== 0x d X d 0x 22== 0x d X d l x 22== 将通解代入边界条件，得到1cos =KLchKL ，用数值解法求得本征值K 和棒长L 应满足： 420.20 ,279.17 ,137.14 ,9956.10 ,8532.7 ,7300.4 ,0=KL , 由于其中第一个根“0”对应于静态情况，故将其舍去。将第二个根作为第一个根，记作L K 1。一般将7300.4 1=L K 所对应的共振频率称为基频（或称作固有频率）。在上述L K n 值中，1，3，5…个数值对应着“对称形振动”, 第2、4、6…个数值对应着“反对称形振动”。图1给出了当4 ,3 ,2 ,1n =时的振动波形。由1n =图可以看出，试样在作基频振动时，存在两个节点，它们的位置距离端面分别为L 224.0和L 776.0处。理论上悬