一元二次方程求解(公式法求解)
一元二次方程求解（公式法求解）
一．选择题（共2小题）
1．已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（）
A．0＜a＜1 B．1＜a＜C．＜a＜2 D．2＜a＜3
2．一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（）
A．x1=x2= B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=，x2=﹣3 D．x1=﹣，x2=3
二．填空题（共19小题）
3．方程x2﹣|x|﹣1=0的根是．
4．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为．5．已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x=．6．若x2+3xy﹣2y2=0，那么=．
7．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是，条件是．
8．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=，x1=，x2=．9．一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为．
10．小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：
小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是．11．（1）解下列方程：①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0；（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式．
12．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为．
13．方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为．
14．方程x2﹣3x+1=0的解是．
15．已知一元二次方程2x2﹣3x=1，则b2﹣4ac=．
16．方程x2﹣4x﹣7=0的根是．
17．一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是．
18．有一个数值转换机，其流程如图所示：若输入a=﹣6，则输出的x的值为．
19．已知a＜b＜0，且，则=．
20．方程x2﹣5x+3=0的解是．
21．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则=．
三．解答题（共19小题）
22．解方程：x2﹣3x+1=0．
23．解方程：x2﹣5x+2=0．
24．解方程：x2﹣3x﹣7=0．
25．2x2+3x﹣1=0．
26．解下列方程
（1）用配方法解方程：2x2+5x+3=0；
（2）用公式法解方程：（x﹣2）（x﹣4）=12．27．解下列方程：
（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）
（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）
28．解方程：2x2﹣5x+1=0．
29．解方程：
（1）x2﹣6x﹣6=0
（2）2x2﹣7x+6=0．
30．解方程：2x2+3x﹣1=0．
31．解方程：x2+3x+1=0．
32．（1）解方程：x2=3（x+1）．
（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．
33．用公式法解下列方程
2x2+6=7x．
34．解方程：x2+3x﹣2=0．
35．解方程：2x2﹣3x﹣1=0．
36．解方程：3x2﹣6x﹣2=0．
37．用公式法解方程：x2+x﹣1=0．
38．解方程
（l）2x2﹣3x+1=0（公式法）
（2）3x2﹣6x+4=0（配方法）
39．设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．
40．解方程：3x2﹣4x﹣1=0．
一元二次方程求解（公式法求解）
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．（2014?荆州）已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（）
A．0＜a＜1 B．1＜a＜C．＜a＜2 D．2＜a＜3
【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．
【解答】解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=，
∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，
∴a=，
∵2＜＜3，
∴3＜1+＜4，
∴＜＜2，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
2．（2014?淄博）一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（）
A．x1=x2= B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=，x2=﹣3 D．x1=﹣，x2=3
【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，再根据x=，将a，b及c的值代入计算，即可求出原方程的解．
【解答】解：∵a=1，b=2，c=﹣6
∴x====﹣±2，
∴x1=，x2=﹣3；
故选：C．
【点评】此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式≥0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．
二．填空题（共19小题）
3．（2011春?桐城市月考）方程x2﹣|x|﹣1=0的根是或．【分析】分x＞0和x＜0两种情况进行讨论，当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；当x ＜0时，方程x2+x﹣1=0；分别求符合条件的解即可．
【解答】解：当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；
∴x=；
当x＜0时，方程x2+x﹣1=0；
∴x=，
∴x=；
故答案为或．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法，要特别注意分类讨论思想的运用．
4．（2014?下城区一模）已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为6．
【分析】求出方程的解得到x的值，即为腰长，检验即可得到方程的解．
【解答】解：方程x2﹣12x+31=0，
变形得：x2﹣12x=﹣31，
配方得：x2﹣12x+36=5，即（x﹣6）2=5，
开方得：x﹣6=±，
解得：x=6+或x=6﹣，
当x=6﹣时，2x=12﹣2＜20﹣12+2，不能构成三角形，舍去，
则方程x2﹣12x+31=0的根为6+．
故答案为：6+
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
5．（2015秋?彭阳县月考）已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x=．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：7x（x+5）+10+9x﹣9=0，
整理得：7x2+44x+1=0，
这里a=7，b=44，c=1，
∵△=442﹣28=1908，
∴x==．
故答案为：．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
6．（2012?呼和浩特模拟）若x2+3xy﹣2y2=0，那么=．
【分析】观察原方程的未知数是次数与所求的的未知数的次数知，方程的两边同时乘以，即可得到关于的方程，然后利用“换元法”、“公式法”解答即可．【解答】解：由原方程，得
两边同时乘以得：
（）2+3﹣2=0
设=t，则上式方程即为：
t2+3t﹣2=0，
解得，t=，
所以=；
故答案是：．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．解答此题的关键是将原方程转化为关于的一元二次方程．
7．（2016秋?新沂市校级月考）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是
，条件是b2﹣4ac≥0．
【分析】可根据配方法解一元二次方程的一般方法，解一元二次方程ax2+bx+c=0．【解答】解：由一元二次方程ax2+bx+c=0，
移项，得ax2+bx=﹣c
化系数为1，得x2+x=﹣
配方，得x2+x+=﹣+
即：（x+）2=
当b2﹣4ac≥0时，
开方，得x+=
解得：x=．
故答案为：，b2﹣4ac≥0．
【点评】本题考查了用配方法推导公式法解一元二次方程的一般方法．
8．（2011秋?册亨县校级月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac= 41，x1=，x2=．
【分析】根据已知得出a=2，b=﹣7，c=1，代入b2﹣4ac求出即可，再代入公式x=求出即可．
【解答】解：2x2﹣7x+1=0，
a=2，b=﹣7，c=1，
∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×1=41，
∴x==，
∴x1=，x2=，
故答案为：41，，．
【点评】本题考查了对解一元二次方程﹣公式法的应用，关键是检查学生能否能运用公式求方程的解，本题主要培养了学生的计算能力．
9．（2011?齐齐哈尔）一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为a1=2+，a2=2﹣．【分析】用公式法直接求解即可．
【解答】解：a=
=
=2±，
∴a1=2+，a2=2﹣，
故答案为：a1=2+，a2=2﹣．
【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
10．（2016?丰台区一模）小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：
小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义．
【分析】根据配方法解一元二次方程即可判定第四步开方时出错．
【解答】解：小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义；
故答案为四；平方根的定义．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
11．（2000?朝阳区）（1）解下列方程：①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0；
（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式．
【分析】（1）直接代入公式计算即可．
（2）其中方程①③④的一次项系数为偶数2n（n是整数）．然后再利用求根公式代入计算即可．
【解答】解：（1）①解方程x2﹣2x﹣2=0①，
∵a=1，b=﹣2，c=﹣2，
∴x===1，
∴x1=1+，x2=1．
②解方程2x2+3x﹣l=0，
∵a=2，b=3，c=﹣1，
∴x==，
∴x1=，x2=．（2分）
③解方程2x2﹣4x+1=0，
∵a=2，b=﹣4，c=1，
∴x===，
x1=，x2=．（3分）
④解方程x2+6x+3=0，
∵a=1，b=6，c=3，
∴x===﹣3，
∴x1=，x2=．（4分）
（2）其中方程①③④的一次项系数为偶数2n（n是整数）．（8分）
一元二次方程ax2+bx+c=0，其中b2﹣4ac≥0，b=2n，n为整数．
∵b2﹣4ac≥0，即（2n）2﹣4ac≥0，
∴n2﹣ac≥0，
∴x==
==（11分）
∴一元二次方程ax2+2nx+c=0（n2﹣ac≥0）的求根公式为．（12分）【点评】本题主要考查了解一元二次方程的公式法．关键是正确理解求根公式，正确对二次根式进行化简．
12．（2016秋?安陆市期中）已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为0．
【分析】把x的值代入代数式，再进行计算即可．
【解答】解：∵x=（b2﹣4c＞0），
∴x2+bx+c
=（）2+b+c
=++c
=
=
=0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了一元二次方程，实数的运算法则，求代数式的值的应用，能根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键．
13．（2015秋?天津校级月考）方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为x=．【分析】先计算判别式的值，再利用求根公式法解方程，然后找出负数根即可．【解答】解：△=（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）=44，
x==，
所以x1=＞0，x2=＜0．
即方程的负数根为x=．
故答案为x=．
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
14．（2010?无锡）方程x2﹣3x+1=0的解是x1=，x2=．
【分析】观察原方程，可用公式法求解；首先确定a、b、c的值，在b2﹣4ac≥0的前提条件下，代入求根公式进行计算．
【解答】解：a=1，b=﹣3，c=1，
b2﹣4ac=9﹣4=5＞0，
x=；
∴x1=，x2=．
故答案为：x1=，x2=．
【点评】在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，用直接开平方法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．
15．（2011秋?浠水县校级月考）已知一元二次方程2x2﹣3x=1，则b2﹣4ac=17．【分析】先将已知方程转化为一般式方程，然后将a、b、c的数值代入所求的代数式，并求值即可．
【解答】解：由原方程，得
2x2﹣3x﹣1=0，
∴二次项系数a=2，一次项系数b=﹣3，常数项c=﹣1，
∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=9+8=17；
故答案是：17．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．在求b2﹣4ac的值时，需要熟悉该代数式中的a、b、c所表示的意义．
16．（2013秋?邹平县校级期末）方程x2﹣4x﹣7=0的根是x1=2+，x2=2﹣．【分析】先求出b2﹣4ac的值，最后代入公式求出即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣7=0，
b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣7）=44，
x=，
x1=2+，x2=2﹣，
故答案为：；
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否正确运用公式解一元二次方程．
17．（2012秋?开县校级月考）一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是．【分析】利用公式法解此一元二次方程的知识，即可求得答案．
【解答】解：∵a=3，b=﹣4，c=﹣2，
∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）=40，
∴x===．
故答案为：．
【点评】此题考查了公式法解一元二次方程的知识．此题难度不大，注意熟记公式是关键．
18．（2012秋?周宁县期中）有一个数值转换机，其流程如图所示：若输入a=﹣6，则输出的x的值为无解．
【分析】将a=﹣6代入方程x2﹣3x﹣a=0中，利用公式法求出方程的解即可．【解答】解：输入的数a=﹣6＜0，代入得：x2﹣3x+6=0，
这里a=1，b=﹣3，c=6，
∵△=9﹣24=﹣15＜0，
则此方程无解．
故答案为：无解
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时，找出a，b及c的值，代入求根公式即可求出解．
19．（2012?张家港市模拟）已知a＜b＜0，且，则=．
【分析】根据题意得到a2﹣6ab+b2=0，把它看作为a的一元二次方程，利用求根公式得到a==（3±2）b，由于a＜b＜0，则a=（3﹣2）b，然后把a=（3﹣2）b代入所求的代数式中进行化简即可．
【解答】解：法①∵+=6，
∴a2﹣6ab+b2=0，
∴a==（3±2）b，
∵a＜b＜0，
∴a=（3﹣2）b，
∴====．
法②：原式通分得：a2+b2=6ab；则（a+b）2=8ab，（a﹣b）2=4ab
又a＜b＜0；故a+b=﹣，a﹣b=
所以
故答案为．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的求根公式为：x=（b2﹣4ac≥0）．也考查了二次根式的混合运算．
20．（2002?达州）方程x2﹣5x+3=0的解是．
【分析】观察方程，此题用公式法解答比较简单，首先确定a，b，c的值，判断方程是否有解，若有解直接代入公式求解即可．
【解答】解：根据求根公式可知：x==．
【点评】公式法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c=0的解为x=，需要熟练掌握．
21．（2010秋?仪征市校级月考）若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则=．【分析】把b看成常数，解关于a的一元二次方程，然后求出的值．
【解答】解：a2+ab﹣b2=0
△=b2+4b2=5b2．
a==b
∴=．
故答案是：
【点评】本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程，把b看成是常数，用求根公式解关于a的一元二次方程，然后求出的值．
三．解答题（共19小题）
22．（2015?东西湖区校级模拟）解方程：x2﹣3x+1=0．
【分析】先观察再确定方法解方程，此题采用公式法求解即可．
【解答】解：∵a=1，b=﹣3，c=1
∴b2﹣4ac=5
∴x=．
故，．
【点评】此题比较简单，考查了一元二次方程的解法，解题时注意选择适宜的解题方法．
23．（2015?武汉模拟）解方程：x2﹣5x+2=0．
【分析】找出a，b及c的值，得到根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：这里a=1，b=﹣5，c=2，
∵△=25﹣8=17＞0，
∴x=，
则x1=，x2=．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．
24．（2015?黄陂区校级模拟）解方程：x2﹣3x﹣7=0．
【分析】利用求根公式x=来解方程．
【解答】解：在方程x2﹣3x﹣7=0中，a=1，b=﹣3，c=﹣7．则
x===，
解得x1=，x2=．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．熟记公式是解题的关键．
25．（2008?北海）2x2+3x﹣1=0．
【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式，
确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．【解答】解：∵a=2，b=3，c=﹣1
∴b2﹣4ac=17＞0
∴x=
∴x1=，x2=．
【点评】解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a、b、c的值．
26．（2016春?泰山区期中）解下列方程
（1）用配方法解方程：2x2+5x+3=0；
（2）用公式法解方程：（x﹣2）（x﹣4）=12．
【分析】（1）根据配方法的步骤先两边都除以2，移项，配方，开方即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）把a=1，b=﹣6，c=﹣4代入求根公式x=计算即可．
【解答】解：（1）方程两边同除以2，得：x2+x+=0，
移项，得x2+=，
配方，得x2+x+（）2=+（）2，
（x+）2=，
x+=或x+=，
x1=﹣l；x2=；
（2）原方程可化为：x2﹣6x﹣4=0，
∵a=1，b=﹣6，c=﹣4；
∴x===，
∴x=3±，
x1=3+，x2=3﹣；
【点评】本题考查了配方法和公式法解一元二次方程，关键是能正确配方，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
27．（2015春?沂源县期末）解下列方程：
（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）
（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣4x=1，
配方得：x2﹣4x+4=5，即（x﹣2）2=5，
开方得：x﹣2=±，
解得：x1=2+，x2=2﹣；
（2）这里a=2，b=﹣2，c=﹣5，
∵△=8+40=48，
∴x==．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
28．（2015秋?渝北区期末）解方程：2x2﹣5x+1=0．
【分析】先观察再确定方法解方程，此题采用公式法比较简单．
【解答】解：∵a=2，b=﹣5，c=1，
∴b2﹣4ac=17，
∴x=，
∴x1=，x2=．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法，采用公式法解一元二次方程时，要注意公式的熟练应用．
29．（2015秋?大石桥市期末）解方程：
（1）x2﹣6x﹣6=0
（2）2x2﹣7x+6=0．
【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；
（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣6=0，
b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（﹣6）=60，
x=，
x1=3+，x2=3﹣；
（2）2x2﹣7x+6=0，
（2x﹣3）（x﹣2）=0，
2x﹣3=0，x﹣2=0，
x1=，x2=2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否选择适当的方法解一元二次方程，难度适中．
30．（2015秋?南京期末）解方程：2x2+3x﹣1=0．
【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：这里a=2，b=3，c=﹣1，
∵△=9+8=17，
∴x=．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
31．（2011?武汉）解方程：x2+3x+1=0．
【分析】根据方程的特点可直接利用求根公式法比较简便．
【解答】解：a=1，b=3，c=1
解一元二次方程(公式法)
应用拓展 某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题． （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: ①211(1)(2)0m m m ?+=?++-≠?或②21020m m ?+=?-≠?或③1020 m m +=??-≠? 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2 m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 134 ±= x 1=，x 2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=- 12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意． ②当m 2+1=0，m 不存在． ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意． 当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-?1时，其一元一次方程的根为x=- 13． 布置作业 1．教材P 45 复习巩固4． 2．选用作业设计:
公式法解一元二次方程教案-人教版
《公式法解一元二次方程》教案 教学目标 、知识技能 掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程． 、数学思考 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性． 、解决问题 培养学生准确快速的计算能力． 、情感态度 通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推导，渗透分类的思想． 重难点、关键 重点：求根公式的推导及 用公式法解一元二次方程． 难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解． 关键：掌握一元二次方程的求根公式，并应用求根公式法解简单的一元二次方程． 教学过程 一、复习引入 【问题】（学生总结，老师点评） .用配方法解下列方程 （）－ （）－ ．总结用配方法解一元二次方程的步骤。 （）移项； （）化二次项系数为； （）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （）原方程变形为（）的形式； （）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 【活动方略】 教师演示课件，给出题目． 学生根据所学知识解答问题． 【设计意图】 复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫． 一、 探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式（≠），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 【问题】 已知（≠）且－4ac≥，试推导它的两个根为2b a -+，2b a - 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把、、?也当成一个具体数字，根据
上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：－ 二次项系数化为，得 b a － c a 配方，得：b a （2b a ）－c a （2b a ） 即（2b a ）2244b ac a - ∵－4ac≥且4a> ∴2244b ac a -≥ 直接开平方，得：2b a 即2b a - ∴2b a -，2b a -- 【说明】 这里a ac b b x 242-±-= （042≥-ac b ）是一元二次方程的求根公式 【活动方略】 鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式． 【设计意图】 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式。 【思考】 利用公式法解下列方程，从中你能发现什么 （）2320;x x -+=（）2222 -=-x x （）24320x x -+= 【活动方略】 在教师的引导下，学生回答，教师板书 引导学生总结步骤：确定c b a ,,的值、算出ac b 42-的值、代入求根公式求解． 在学生归纳的基础上，老师完善以下几点： （）一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根是由一元二次方程的系数c b a ,,确定的；
一元二次方程求根公式
一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式
法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，
公式法解一元二次方程教案
公式法解一元二次方程 一、教学目标 （1）知识目标 1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. （2）能力目标 1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思 想． 2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。 (3)德育目标 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感． 二、教学的重、难点及教学设计 （1）教学的重点 1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤. 2.熟练地用求根公式解一元二次方程。 （2）教学的难点： 理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 （3）教学设计要点 1.情境设计 上课开始，通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤。利用昨天所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。 然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解？引出本节课的内容。 2.教学内容的处理 （1）回顾配方法的解题步骤，用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。 （2）总结用公式法解一元二次方程的解题步骤，并补充理解判别公式的分类与应用。 （3）在小黑板上补充课后思考题：李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 李强说:“此方程有两个不相等的实数根”,而萧晨反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由. 3.教学方法 在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形
公式法解一元二次方程及答案详细解析
公式法解一元二次方程及答案详细解析 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
21.2.2公式法 一．选择题（共5小题） 1．用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（） A．x1=3，x2=2 B．x1=﹣6，x2=﹣1 C．x1=6，x2=﹣1 D．x1=﹣3，x2=﹣2 2．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣ 4x2+3=5x，下列叙述正确的是（） A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3 C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣3 3．（2011春?招远市期中）一元二次方程x2+c=0实数解的条件是（） A．c≤0B．c＜0 C．c＞0 D．c≥0 4．（2012秋?建平县期中）若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解，则c2+c=（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2013?下城区二模）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的解是（） A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．0或2 二．填空题（共3小题） 6．（2013秋?兴庆区校级期中）用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时，应求出a，b，c的值，则：a=；b=；c=． 7．用公式法解一元二次方程x2﹣3x﹣1=0时，先找出对应的a、b、c，可求得 △，此方程式的根为． 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，用配方法解此方程，配方后的方程是．
三．解答题（共12小题） 9．（2010秋?泉州校级月考）某液晶显示屏的对角线长30cm，其长与宽之比为4：3，列出一元二次方程，求该液晶显示屏的面积． 10．（2009秋?五莲县期中）已知一元二次方程x2+mx+3=0的一根是1，求该方程的另一根与m的值． 11．x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值． 12．（2012?西城区模拟）用公式法解一元二次方程：x2﹣4x+2=0． 13．（2013秋?海淀区期中）用公式法解一元二次方程：x2+4x=1． 14．（2011秋?江门期中）用公式法解一元二次方程：5x2﹣3x=x+1． 15．（2014秋?藁城市校级月考）（1）用公式法解方程：x2﹣6x+1=0； （2）用配方法解一元二次方程：x2+1=3x． 16．（2013秋?大理市校级月考）解一元二次方程： （1）4x2﹣1=12x（用配方法解）； （2）2x2﹣2=3x（用公式法解）． 17．（2013?自贡）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0． 18．（2014?泗县校级模拟）用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． 19．（2011秋?南开区校级月考）（1）用公式法解方程：2x2+x=5 （2）解关于x的一元二次方程：． 20．（2011?西城区二模）已知：关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围；
用求根公式法解一元二次方程教学设计说明
“用求根公式法解一元二次方程”教学设计 一、使用教材 新人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册 二、素质教育目标 （一）知识教学点 1、一元二次方程求根公式的推导 2、利用公式法解一元二次方程 （二）能力训练点 通过配方法解一元二次方程的过程，进一步加强推理技能训练，同时发展学生的逻辑思维能力。 （三）德育渗透点 向学生渗透由特殊到一般的唯物辩证法思想。 三、教学重点、难点、关键点 1、教学重点：一元二次方程的求根公式的推导过程 2、教学难点：灵活地运用公式法解一元二次方程 3、教学关键点： （1）掌握配方法的基本步骤 （2）确定求根公式中a 、b 、c 的值 四、学法引导 1、教学方法：指导探究发现法 2、学生学法：质疑探究发现法 五、教法设计 质疑—猜想—类比—探索—归纳—应用 六、教学流程 （一）创设情境，导入新课：
前面我们己学习了用配方法解一元二次方程，想不想再探索一种 比配方法更简单，更直接的方法？ 大家一定想，那么这节课我们一同来 研究。 < 设计意图 > 数学是一种逻辑性较强的科目，并且有时计算量较 大，如果能简化计算，那是我们所期望的，逐步激发学生的学习欲望。 教师；下面我们先用配方法解下列一元二次方程 学生；（每组一题，每组派一名同学板演） 1．2x 2-4x-1=0 2. x 2+1.5=-3x 3．02 1 22=+-x x 4. 4x 2-3x+2=0 完成后小组进行交流，并进行反馈矫正。 学生:总结用配方法解一元二次方程的步骤 教师板书：（1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程 的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 教师：通过以上四个方程的求解，你能试着猜想一下上述问题的求 解的一般规律吗？ 学生：独立思考 < 设计意图 > 规律的探索与猜想不仅要体现数学知识的应用，而且 要注重在观察实践中抽象出规律。 （二）新知探索
一元二次方程的解法(公式法)
一元二次方程的解法(公式法)教案 ——小店一中潘卫生 教学内容 1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念； 3．利用公式法解一元二次方程． 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程． 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）?的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52 （老师点评）（1）移项，得：6x2-7x=-1 二次项系数化为1，得：x2-7 6 x=- 1 6 配方，得：x2-7 6 x+（ 7 12 ）2=- 1 6 +（ 7 12 ）2 （x- 7 12 ）2= 25 144 x- 7 12 =± 5 12 x1= 5 12 + 7 12 = 75 12 + =1 x2=- 5 12 + 7 12 = 75 12 - = 1 6 （2）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
二、探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式a x 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根 x 1=2b a -+x 2=2b a -- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c?也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：a x 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+ b a x=- c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0 直接开平方，得：x+2b a = 即x=2b a -± ∴x 1=2b a -，x 2=2b a - 由上可知，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时， ?将a 、b 、c 代入式子x=2b a -就得到方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1．用公式法解下列方程．
一元二次方程解法-公式法
第6课时 22.2.3 公式法 教学内容 1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念； 3．利用公式法解一元二次方程． 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程． 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）?的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程 一、复习引入 1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程 （1）x2=4 (2)(x-2) 2=7 提问1 这种解法的（理论）依据是什么？ 提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊 二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。） 2．面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。） （学生活动）用配方法解方程 2x2+3=7x （老师点评）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． (1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； （5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． 二、探索新知 用配方法解方程 （1）ax2－7x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0 (3)如果这个一元二次方程是一般形式a x2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的 步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=，x2=
公式法解一元二次方程(教案)
21.2.2公式法 教案设计（张荣权） 教学内容：用公式法解一元二次方程 教材分析：在解一元二次方程时，仅仅是直接开平方法、配方法解一元二次 方程是远远不够的。对于系数不特殊的一元二次方程，这两种方法就不方便了。而用求根公式法解较复杂的一元二次方程教方便了。因此，学习用公式法解一元二次方程很有必要，也是不可缺少的一个重要内容。而公式法是一元二次方程的基本解法，它为进一步学习一元二次方程的解法级简单应用起到铺垫作用。 教学目标： 知识与技能目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导。 2.会用求根公式解简单数字的一元二次方程。 3.理解一元二次方程的根的判别式，并会用它判别一元二次方程根的情况。 过程与方法：在教师的指导下，经过观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式，培养学生的合情推理与归纳总结能力。 情感态度与价值观：培养学生独立思考的习惯和合作交流意识。 教学重点、难点及突破 重点：1.掌握公式法解一元二次方程的步骤。 2.熟练的利用求根公式解一元二次方程。 难点：理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 教学突破 本节课我主要采用启发式、探究式教学法。教学中力求体现“试——究——升”模式。有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透数学思想方法。由于学生配方能力有限，所以，崩皆可借助于多媒体辅助教学，指导学生通过观察，分析，总结配方规律，从而突破难点。学生经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力，发挥学生的自觉性，主动性和创造性。 教学设想 通过复习配方法解一元二次方程，导入对一般形式的一元二次方程的解法探讨，通过提问引导学生观察思考，产生问题，进行小组合作探讨，发现结论。加深对应用公式法的理解。渗透由特殊到一般和分类讨论及化归的数学思想，运用解一元二次方程的基本思想----开方降次，重视相关的知识联系，建立合理的逻辑过程，突出解一元二次方程的基本策略。 教学准备 教师准备：课件精选例题 学生准备：配方法解一元二次方程、二次根式的化简 教学过程：
一元二次方程的解法—公式法
课题：1.2一元二次方程的解法 (4) 班级 姓名 【学习目标】 1、会用公式法解一元二次方程. 2、用配方法推导一元二次方程的求根公式，明确运用公式求根的前提条件是b 2 －4ac ≥0． 【重点难点】 重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程。 难点：掌握一元二次方程的求根公式及代入时的符号问题. 【新知导学】 读一读：阅读课本P 14-P 16 想一想: 1. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 2. 用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 因为0a ≠，方程两边都除以a ，得 把常数项移到方程右边，得 配方，得 即2224()24b b ac x a a -+= 当 0≥时 ，2422b b ac x a a -+=± 即42b b ac x a -±-= 。 3.在上述配方过程中，若240b ac -≥＜ 0时，方程有实数根吗？ 练一练： 1.方程4-x 2=3x 中a= ，b= ，c= ， b 2-4ac= 2. 用公式法解方程0232 =+-x x 【新知归纳】 一般的，对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax
（1） 当_____________时，它的实数根是_________________.这个公式叫一元二次方程的求根 公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法。 （2） 当_____________时，方程没有实数根。 【例题教学】 例1.用公式法解方程： （1）22330 x x -+= （2）x x 2322=- （3）a a a =-+)2)(2(51 （4）23(1)y y += 例2.已知y 1＝2x 2＋7x －1，y 2＝6x ＋2，当x 取何值时y 1＝y 2？ 【当堂训练】 1.用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ） A.x=21214412-± B. x=2 1214412-±- C. x= 21214412+± D. x=64814412-± 2.用公式法解下列方程： （１）2220x x +-=； （２）2 30x x -=
用公式法解一元二次方程教案精编版
优质课比赛教案 第23章 23.2 用公式法解一元二次方程 整体设计 教学分析 求根公式是直接运用配方法推导出来的，从数字系数的一元二次方程到字母系数的方程，体现了从特殊到一般的思路。用公式法解一元二次方程是比较通用的方法，它体现了一元二次方程根与系数最直接的关系，一元二次方程的根是由系数a，b，c决定的，只要将其代入求根公式就可求解，在应用公式时应首先将方程化成一般形式。 教学目标 知识与技能： 1、理解一元二次方程求根公式的推导过程 2、会用求根公式解简单系数的一元二次方程 过程与方法： 经历探索求根公式的过程，发展学生的合情推理能力，提高学生的运算能力并养成良好的运算习惯 情感、态度与价值观 通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，并让学生在学习中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。 重点： 掌握一元二次方程的求根公式，并能用它熟练地解一元二次方程 难点： 一元二次方程求根公式的推导过程 教学过程： 一、复习引入： 1、用配方法解下列方程： （1）4x2-12x-1=0；（2）3x2+2x-3=0 2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ 说明：教师引导学生回忆配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤，为本节课的学习做好铺垫。 3、你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）吗？ 二、问题探究： 问题1：你能用一般方法把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）转化为（x+m)2=n 的形式吗？
说明：教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论 交流，达成共识，最后化成（x+a b 2)2=2244a a c b - ∵a ≠0，方程两边都除以a,得x 2+ 0=+a c x a b 移项，得x 2+ a c x a b -= 配方，得x 2+ 22)2(-)2(a b a c a b x a b +=+ 即（x+=2)2a b 2244a ac b - 问题2：当b 2_ 4ac ≥0，且a ≠0时，2244a ac b -大于等于零吗？ 教师让学生思考，分析，发表意见，得出结论：当b 2-4ac ≥0时，因为a ≠0，说以4a 2 ＞0，从而得出04422≥-a ac b 问题3：在问题2的条件下，直接开平方你得到什么结论？ 让学生讨论可得x+a ac b a b 2422-±= 说明：若有必要可让学生讨论22224444a ac b a ac b -±=-±为什么成立 问题4：由问题1，问题2，问题3，你能得出什么结论？ 让学生讨论，交流，从中得出结论，当b 2-4ac ≥0时，一般形式的一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a ≠0）的根为x+a ac b a b 2422-±=,即x=a ac b b 242-±- 由以上研究结果得到了一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0）的求根公式：x=04(2422≥--±-ac b a ac b b ），这个公式就称为“求根公式”。利用它解一元二次方程叫做公式法。 说明和建议： （1)求根公式a 2ac 4-b b -x 2±=（b 2-4ac ≥0）是专指一元二次方程的求根公式，b 2-4ac ≥0是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）求根公式的重要条件。
解一元二次方程练习题公式法
解一元二次方程练习题——公式法 一．填空题。（每小题5分，共25分） 1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，方程_________． 2．方程a x2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有________，?若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________． 3．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________． 4．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________． 5．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2，则此长方形的周长为________． 二．选择题。（每小题5分，共25分） 6．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（） A．．． D． 7．不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A、k>-1 B、k>1 C、k≠0 D、k>-1且k≠0 9.下列方程中有两个相等的实数根的是（） A、3x2－x－1=0; B、x2－2x－1=0; C、9x2=4（3x－1）; D、x2＋7x＋15=0. 10．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）． A． 4或-2 B． -4或2 C． 4 D．-2 11．（20分）用公式法解方程 (1)x2+15x=-3x; (2)x2+x-6=0; (3)3x2-6x-2=0; (4)4x2-6x=0
23用公式法求解一元二次方程教学设计
第二章一元二次方程 ３．用公式法求解一元二次方程（一） 横山县第三中学柳金帛 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程. 学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力. 二、教学任务分析 公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。 其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。 为此，本节课的教学目标是： ①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。 ②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.
③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。 ④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力 三、教学过程分析 本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。 第一环节；回忆巩固 活动内容： ①用配方法解下列方程：(1)2x 2+3=7x (2)3x 2+2x+1=0 全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算 ②由学生总结用配方法解方程的一般方法: 第一题： 2x2+3=7x 解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 两边都除以一次项系数:2 023272=+-x x 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 0231649)47(2722=+-+- x x 即: 016 25)47(2=--x 1625)47(2=-x 两边开平方取“±” 得： 4547±=-x 4547±= x 写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=21
一元二次方程的解法公式法-教案
解：移项得：3832=+x x 化系数为1得：13 8 2=+x x 配方得： 2 2 2 2413438?? ? ??+=??? ??++x 2 23534?? ? ??=??? ??+x 开平方得 35 34±=+x 所以 3 1 1=x 32-=x §2．3 解一元二次方程(公式法) 一、 教学目标 1. 知识与能力 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程． 2. 能力训练要求 1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力． 2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程． 3. 情感感与态度 体会从一般到特殊的思维方式，养成严谨、认真的科学态度和学风 二 、教学重点与难点 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 三、教学过程 1、复习引入。 用配方法解下列方程 （1） 03832=-+x x （2）2742 -=-x x 解：化系数为1得： 2 1472-=- x x 配方得： 2 2 2 87218747??? ??+-=?? ? ??+-x x 6417872 =?? ? ?? -x 开平方得 8 1787±=- x 所以8 17 71+= x 81772-=x
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为()n m x =+2 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一 元二次方程无解． 从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a ，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多 这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式 2、探索新知 问题：刚才我们已经利用配方法求解了一个一元二次方程，那你能否利用配方法的基 本步骤解方程02=++c bx ax ()0≠a 呢? 解： 二次项系数化为1得：;02=++a c x a b x 移项，得： ;2a c x a b x -=+ 配方得： 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 2 22 442a ac b a b x -=?? ? ?? + 能直接开平方吗？当b 2-4ac ≥0时 ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2 2 44b ac a -≥0 直接开平方，得：x+2b a =±242b ac a - 即a ac b b x 242-±-= ∴x 1=242b b ac a -+-，x 2=242b b ac a ---
初中数学：《公式法解一元二次方程》练习(含答案)
初中数学：《公式法解一元二次方程》练习（含答案） 一、选择题： 1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 2．已知b＜0,关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2 4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0 二、填空题 5．一元二次方程x2+x=3中,a=______,b=______,c=______,则方程的根是______． 6．若x 1,x 2 分别是x2﹣3x+2=0的两根,则x 1 +x 2 =______． 7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是______．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根,则k的取值范围是______． 9．写出一个一元二次方程,使它有两个不相等的实数根______． 10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是______． 11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是______． 12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数,则x=______． 13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点,则k的取值范围是______．
一元二次方程求根公式及讲解
主讲：黄冈中学高级教师 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
二、重难点知识总结 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是
初中数学一元二次方程公式定理
1 平方与平方根 11 面积与平方 (1) 任意两个正数的和的平方,等于这两个数的平方和 (2) 任意两个正数的差的平方,等于这两个数的平方和,再减去这两个数乘积的2倍 任意两个有理数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和,再加上(或减去)这两个数乘积的2倍 12 平方根 1 正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数; 2 零只有一个平方根,它就是零本身; 3 负数没有平方根 14 实数 无限不循环小数叫做无理数 有理数和无理数统称为实数 2 平方根的运算 21 算术平方根的性质 性质1 一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身 性质2 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 22 算术平方根的乘、除运算 1 算术平方根的乘法 sqrt(a)sqrt(b)=sqrt(ab) (a=0,b=0) 2 算术平方根的除法 sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b) (a=0,b0) 通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去火把根号中的分母化去,叫做分母有理化(1) 被开方数的每个因数的指数都小于2;(2) 被开方数不含有字母我们把符合这两个条件的平方根叫做最简平方根 23 算术平方根的加、减运算 如果几个平方根化成最简平方根以后,被开方数相同,那么这几个平方根就叫做同类平方根 3 一元二次方程及其解法 31 一元二次方程 只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程 32 特殊的一元二次方程的解法 33 一般的一元二次方程的解法配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤是： 1 化二次项系数为1用二次项系数去除方程两边,将方程化为x^2+px+q=0的形式 2 移项把常数项移至方程右边,将方程化为x^2+px=-q的形式 3配方方程两边同时加上一次项系数一半的平方,是方程左边成为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数 4 有平方根的定义,可知 (1) 当p^2/4-q0时,原方程有两个实数根; (2) 当p^2/4-q=0,原方程有两个相等的实数根(二重根);
一元三次方程的求根公式及其推导
一元三次方程的求根公式及其推导 有三个实数根。有三个零点时，当有两个实数根。 有两个零点时，当有唯一实数根。 有唯一零点时，当。，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。 有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。 有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。 点的个数即方程零即方程则设实数根的判定： 程即可。因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0 )()(0)1281(81 1 )()(0 )()(0)1281(81 1)()(0 )()(0)1281(81 1 )()(3 3: 0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(0323 23221''33332332 32323=?<+=?=?=+=?=?>+=?--==- = ==<=?===?=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F p x p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC A B A B x A B C A B x A D Cx Bx Ax βαβαβαβα
33 23323232 33 232332313 223213232 32 33333 33333 3333333333333233233232321281121086 1 128112108610)1281(81 1)27(412811210861 12811210861181281918128190)1281(81 1)27(4027 27,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(81 1 0)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--?? ?? ?+--==++-==??? ????+--=++-=>+=--=-+?????-=+-=?? ????????-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=?=++=+=?=++>+=?+=?>+≥式，为： 实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。故由以 ，小于零时会出现虚数等于零时只能解出一个但却又无法直接解出（二或三个实数根， ，虽然我们清楚方程有若判别式顺序，则有，如果不考虑。则有， 若判别式的两根。 为一元二次方程，易知，。，即可令， 对比。即有，故， 由于。，就是设法求出下面的工作为两个待定的代数式。，的形式。其中，程的求根公式应为了一元三次方根公式的归纳，我得到及特殊一元高次方程求一元一次，一元二次以得到。通过对出的，通常由归纳思维式由演绎推理是很难解一元三次方程的求根公实根式的推导： ）（求根公式的推导：有三个实数根。时，方程有两个实数根。时，方程有唯一实数根。时，方程，则有以下结论： 。令一定有时， ，则当时方程很容易求解同时为不同时为为研究方便，不妨设