全国数学竞赛预赛试题分类：数列

2014数学预赛试题分类：数列

天津3．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，并且对任意正整数n 成立243n n S S +=+，则2a 的值是（） (A)．2(B)．6(C)．2或6(D)．2或-6

天津9．数列｛n a ｝满足11,2n n n a a a n +-=+≥．若78a =，则1210a a a ++

+等于．

河北11、设{n a }是等差数列，且满足：①n a ∈N *，②项数≥3，③d>0，记{n a }所有项的和为S.

（1）写出满足S=30的所有{n a }；

（2）求证：对大于8的合数m ，总存在{n a }使得S=m. 河北14、数列{n a }满足：2

11,11

=+n n a a a 。（1）求证：3

2≥

n a ；（2）求证：

102<

-n n a a . 山西1、将正整数数列1，2，3，…按如下方式自左至右分段，使得第一段有1×2个数，第二段有2

×3个数，…，第n 段有n ×(n+1)个数，…，则2014位于第段。

山西10、数列{n a }，{n b }满足条件：n n n n n n b a b b a a b a +=+===++1111,2,1；证明：对每个

正整数n ，下式成立：（1）

2,2221212><--n

n n n b a

b a ；（2）

2211-<-++n

n n n b a

b a 辽宁5．正项数列{}n a 满足

*1212

111

1()n n n n n n n a a a a a a ++++++=∈N ，136a a +=，1a ，2a ，3a 单调递增且成等比数列，n S 为

{}n a 的前n 项和，则[]2014S 的值是（其中表示不超过实数的最

大整数）（）

A ．5368

B ．5367

C ．5363

D ．5362

辽宁15．（本小题满分25分）

已知数列

{}n a 中，12a =，对于任意的*,p q ∈N ，有p q p q a a a +=+．

（1）求数列

{}n a 的通项公式；

（2）数列

{}n b 满足1

3124234(1)21212121

n n n n

b b b b b

a -=

-+-++-+++++*

()n ∈N ，求数

列

{}n b 的通项公式；

（3）设*3()n n

n C b n λ=+∈N ，是否存在实数λ，当*n ∈N 时，1n n C C +>恒成立，若存在，

求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

吉林5、若五项的数列{n a }：54321,,,,a a a a a 满足543210a a a a a <<<<≤，且对任意的i ，j （1≤i ≤j ≤5），均有i j a a -在该数列中。

①1a =0；②254a a =；③{n a }为等差数列；④集合A={j i a a +1≤i ≤j ≤5}含9个元素。

则上述论断正确的有（）个。A 、1B 、2C 、3D 、4 山东6、已知数列{n a }满足：)1()1(1112

2≥+++

=n n n a n

，且其前n 项和为n S ，则n S 的最大整数部分为。

山东14、数列{n a }中，)3(,,12

1321≥+=

===--+n a a a k a m a a a n n n n ，其中k 、m 均为正整数且

（k ，m ）=1.问k 为何值时，对任意的n ∈N ，a n 均为整数？

福建11．已知

{}n a 为递增的等比数列，且126a a +=，3424a a +=。2

(1)

n n a b a =

-，数列{}

n b 的前n 项和为n T ，求证：对一切正整数n 均有，3n T <。

江西1．如果2014是一个正整数等差数列的第八项，那么该数列首项的最小值是．江西6．等差数列

{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意的正整数n 都有53

n T n -=

+，

则

a b =．河南4、等差数列{n a }满足102

102

1≤+a a ，则191110...a a a S +++=的取值范围是。

河南12、递增数列1，3，4，9，10，12，13，…由一些正整数组成，它们或者是3的幂或者是若干

个不同的3的幂的和，求第2014项的值。

湖北1.已知正整数数列}{n a 满足n n n a a a +=++12，∈n *

N ．若15711=a ，则1a =. 湖北6.去掉集合{|10000,A n n n =≤∈*

}中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按

从小到大的顺序排成一个数列，这个数列的第2014项为.

湖北13.在单调递增数列}{n a 中，12a =，24a =，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，

22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．

（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}1{

n a 的前n 项和为n S ，证明：43(3)

n n S n >+，*n ∈N ．四川3、已

知

公

差

为

的

等

差

数

列

}{n a 满足：d>0，

正整数n ，都有

，则公差d 的取值范围是（）

四川15、已知k 为给定正整数，数列}{n a 满足

，其

中

是}{n a 的前n 项和，令

。

，求k 的所有可能值。

陕西2、已知等差数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且对于一切正整数n ，都有

2+-=n n b a n n ，则

T S 。陕西加2、已知数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且对任意n ∈N +，都有

0)()1(222=+--+-n n S n n S n n 。

甘肃1、在数列{n a }中，3,121==a a ，且)(*12

N n a a a n n n ∈-=++，则2014a =。

甘肃11、在数列{n a }中，11=a ，*

1,22N n n a a n n ∈+-=+.求数列{n a }的前n 项和n S . 黑11、已知数列{n a }满足n a =)10,(*

<<∈?p N n p n n

，下面说法正确的是（）

A 、①②

B 、③④

C 、②④

D 、②③ ①当p=

21时，数列{n a }为递减数列；②当2

时，数列{n a }为递减数列；④当p p -1为正整数是，数列{n a }必有两项相等的最大

项；

江苏4、已知等比数列{n a }的公比为q ，前n 项和n S >0（n=1，2，3，…），则q 的取值范围是。

江苏9、设数列{n a }的前n 项和为n S ，*

111,232,0N n a S S a n n ∈=-≠+。（1）证明数列{n a }为等比数列

（2）若1a 、)3(≥p a p 两项均为正整数，且存在正整数m ，使1

1-≥p m a ，1)1(-+≤p p

m a ，求n a 。

贵州9．（本小题满分16分）

已知数列

{}n a 中，11a =，且121n n a a +=+．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2

）设数列}

1)n a +的前n 项和为n S ，求证：22(1)(41)

n n

n n S +-≤．

安徽10.设数列{}n a 满足2113

1,,12n n n

a a a n a ++==≥．求证：

（1）当2n ≥时，n a 严格单调递减．（2）当1n ≥

时，1|n

n a +=，

这里2r =-

浙江4．已知等比数列{a n }：a 1=5,a 4=625，则

2014

1551

log log k k k a a =+∑=（） A ．

2014

2015

B ．

2013

2014

C ．

2012

4028

D ．

2013

4030

浙江20．设数列{a n }定义为a 1=a ,a n +1=1+121

n a a a ++???+-，n ≥1，求所有实数a ，使得0

湖南3．若

{}n a 是等差数列，首项10a >，201320140a a +>，201320140a a ?<，则使前n 项和0

n S >成立的最大自然数n 是（）A ．4025B ．4026C ．4027D ．4028

湖南10．已知一无穷等差数列中有3项（顺次排列但不一定相连）：13，25，41，则可以判断得出

2013

（填“是”、“不是”、“不能确定”）数列中的一项．

湖南16．（本小题满分20分）

已知数列

{}n x 满足：212n n n x x x ++=+，12x =，26x =；数列{}n y 满足：212n n n y y y ++=+，

13y =，29y =．

求证：存在正整数0n ，使得对任意0n n >都有n n x y >．

新疆1、已知一个等比数列前2014项之和为200，前4028项之和为380，则前6042项之和为。全国4、全国10

、

竞赛数列训练题

竞赛数列专题训练（1） 1．（2009年全国联赛）使不等式1111200712213 a n n n +++<-+++ 对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为． 2.正整数n 使得2 2005n +是完全平方数, ________． 3.（2008年全国联赛）设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1 (1) n n n S a n n -+= +，1,2,n = ，则通项 n a =________． 4.（2007年全国联赛）已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d ，b 1=d 2 ，且3 212 32221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________． 5.已知数列}{n a 满足,01=a ),2,1(1211 =+++=+n a a a n n n ，则n a =___ ． 6.已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ，则2013x = ． 7.（2007年湖北竞赛改编）若数列{}n a 满足：112,3n n a a a += -==2010a ____． 8.（2009年全国联赛）一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示） 9.设4012 2N = ，求不超过 1 N n = 10.（2007年全国联赛）设∑=-+=n k n k n k a 1) 1(1 ，求证：当正整数n ≥2时，a n +1

高中数学竞赛数列问题

高中数学竞赛数列问题一、高考数列知识及方法应用（见考纲）二、二阶高次递推关系 1．因式分解降次。例：正项数列{a n }，满足12+=n n a S ，求a n （化异为同后高次） 2．两边取对数降次。例：正项数列{a n }，a 1=1，且a n ·a n+12 = 36，求a n 三、线性递推数列的特征方程法定理1：若数列{a n }的递推关系为a n+2=λ1a n+1+λ2a n ，则设特征方程x 2=λ1x+λ2，且此方程有相异两根x 1，x 2（x 1≠x 2），则必有 a n =c 1x 1n +c 2x 2n ，其中c 1，c 2由此数列已知前2项解得，即 ???+=+=2 222112 2 2111x c x c a x c x c a 或由???+=+=22111 2 10x c x c a c c a 得到。（见训练及考试题）定理2：若方程x 2=λ1x+λ2有相等重根x 0，则有 a n =（c 1+c 2n ）x 0n ，其中c 1，c 2仍由定理1方程组解得。例如.：1，已知.数列{}n a 满足)(,11221+++∈+===N n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式 2，.数列{}n a 中，设,2,1321===a a a 且)3(32 1 1≥+= --+n a a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式 3，.数列}{n a 满足：.,2 36 457,12 10N n a a a a n n n ∈-+= =+ 证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)求数列}{n a 的通项公式。 4，已知.数列{}n a 满足121,2,a a n N +==∈都有2144n n n a a a ++=-，求数列 {}n a 的通项公式四、特殊递推的不动点法（ f （x ）= x 的解称为f （x ）的不动点）定理1：若数列{a n }满足递推：a n+1=a ·a n +b （a ，b ∈R ），则设x=ax+b ，得不动点1 0--= a b x 且数列递推化为：a n+1-x 0=a （a n -x 0），

2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. .

高中数学竞赛专题讲座数列

高中数学竞赛专题试题讲座——数列一、选择题部分 1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2 2 45 n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（ B ） ()A 1a ()B 2a ()C 3a ()D 4a 2（2006安徽初赛）正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a = （） A 、98 B 、99 C 、100 D 、101 3. （2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为（ A ） A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。则满足不等式|S n -n-6|<125 1 的最小整数n 是（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解：由递推式得：3(a n+1-1)=-(a n -1)，则{a n -1}是以8为首项，公比为- 3 1 的等比数列， ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)= 3 11] )31 (1[8+--n =6-6×(-31)n ，∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251，得：3n-1 >250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。 5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1= n n x x -+313，则 ∑=2005 1 n n x = （） A ．1 B ．-1 C ．2+3 D ．-2+3 解：x n+1= n n x x 3 3 133 - +，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6 π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1, x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有 ∑===2005 1 11n n x x 。故选A 。 6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n A ，n B 记

高中数学竞赛_数列【讲义】

第五章数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。二、方法与例题 1．不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2,

全国初中数学竞赛试题及解答

A B C D 全国初中数学竞赛试卷及解析一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的括号里） 1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a ，则M 与P 的大小关系是（） A 、P M B 、P M C 、P M D 、不确定答案：B 解析：∵3c b a M ，2b a N ，222c b a c N P ，12 2c b a P M ∵ c b a ∴012 2122 c c c c b a P M ，即0 P M ，即P M 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（a b ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（）答案：C 解析：因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。 3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁答案：A 解析：由题意知3×（甲－乙）151025 ∴甲－乙＝5。 4、一个一次函数图象与直线4 95 45 x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个答案：B 解析：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ，N y 525 ，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足041 N ，且0525 N ，∴54 1 N ，即1 N ，2，3，4，5 5、设a ，b ，c 分别是ABC 的三边的长，且 c b a b a b a ，则它的内角A 、B 的关系是

高中数学竞赛训练题--选择题(每题含详解)

2019年高考真题分类汇编(全)

2019年高考真题分类汇编第一节集合分类汇编 1．［2019?全国Ⅰ，1］已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?= A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 【答案】C 【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{} 42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ?=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2.［2019?全国Ⅱ，1］设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A. (-∞，1) B. (-2，1) C. (-3，-1) D. (3，+∞) 【答案】A 【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{} 2,3,1A x x x B x x ==<或，则{} 1A B x x ?=<．故选A ．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 3.［2019?全国Ⅲ，1］已知集合{}{} 2 1,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ?=（） A. {}1,0,1- B. {}0,1 C. {}1,1- D. {}0,1,2 【答案】A 【解析】【分析】先求出集合B 再求出交集. 【详解】由题意得，{} 11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ?=-．故选A ．【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 4.［2019?江苏，1］已知集合{1,0,1,6}A =-，{} 0,B x x x R =∈，则A B ?=_____. 【答案】{1,6}.

全国初中数学竞赛试题及答案79416

中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.） 1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那 22 ||()|| a a b c a b c ++-++可以化简为（）．（A）2c a-（B）22 a b -（C）a-（D）a 1（乙）．如果22 a=- 1 1 1 2 3a + + + 的值为（）．（A）2 -（B）2（C）2 （D） 22 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数 y = x b（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2） 2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x ＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果a b，为给定的实数，且1a b <<，那么

1121 a a b a b ++++，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A ）1 （B ） 214a - （C ）12 （D ）1 4 3（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=?，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（）．（A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4（乙）．如果关于x 的方程 2 0x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8 5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则 0123p p p p ，，，中最大的是（）．（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p 5（乙）．黑板上写有1 11123100 ，　，，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数 a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次

高中数学联赛数列基础练习题

高中数学联赛数列基础练习题 (考试时间:100分钟) 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设函数2()(1),([1,3],)f x x n x n N *=-+∈-∈的最小值为n a ，最大值为n b ，记22n n n c b a =-，则数列{n a } （ D ） A ．是公差不为零的等差数列；B.是公比不为1的等比数列; C.是常数列; D.不是等差数列也不是等比数列 2．等差数列{}n a 中，2n ≥，公差0d <，前n 项和是n S ．则有(C)． (A)1n S na ≥ (B)n n S na ≤ (C)1n n na S na << (D)1n n na S na << 3．（2004，3，37）22 11(1)(1) 23- - (21) (1)2003-的值是（） A ．20054006 B ．10012003 C ．10022003 D ．20074006 4．(高一希望311)自然数k 的各位数字和的平方记为1()f k ，且 11()[()]n n f k f f k -=，则(11)n f ，（n N *∈）的值域为（） A ．N * B. 5 C.{4,16,49,169,256} D.{2,4,7,13,16} 5．（高考分类题解60）若{n a }是等差数列，首项 11116 ,,55n n n a a a n N *++=+=∈，则12()lim n a a →∞ ++n …+a =（） A ．25 B.27 C.14 D. 425 6．（2005，11，41）数列{n a }的前n 项的和n s ，若1n a =+，则满足条件的数列有（） A ．1个 B.2个 C.多于2的有限个 D.无限个

高中数学竞赛讲义(五)──数列

高中数学竞赛讲义（五） ──数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n}的一般形式通常记作a1, a2,a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。其中a1叫做数列的首项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。定理1 若S n表示{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式 a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式： S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m 为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B 至少有一个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.

定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{a n}称为等比数列，q叫做公比。定理3 等比数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n 项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n ≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n=ax n-1+bx n-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则x n=c1a n-1+c2βn-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则x n=(c1n+c2) αn-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。二、方法与例题 1．不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。

2018年全国初中数学竞赛试题及解答

2018年全国初中数学竞赛试题及解答一、选择题（只有一个结论正确） 1、设a,b,c 的平均数为M ，a,b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若a>b>c ，则M 与P 的大小关系是（）（A ）M ＝P ；（B ）M ＞P ；（C ）M ＜P ；（D ）不确定。 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（b a 1,b>b 1, c>c 1,，则S 与S 1的大小关系一定是（）。（A ）S ＞S 1；（B ）S ＜S 1；（C ）S ＝S 1；（D ）不确定。二、填空题 7、已知: a 23 331a a a ++＝________。 8、如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝8，BC ＝ ∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD 的面积等于________。 9、已知关于的方程 (a-1)x 2 +2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数有_______个。 10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D ；B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为________米。

《高中数学竞赛》数列

竞赛辅导数列(等差数列与等比数列) 数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列{a n}的第n项a n与项数(下标)n之间的函数关系可以用一个公式a n=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。一、等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。等差数列{a n}的通项公式为：前n项和公式为：从(1)式可以看出，是的一次数函()或常数函数()，()排在一条直线上，由(2)式知，是的二次函数()或一次函数()，且常数项为0。在等差数列{ }中，等差中项：且任意两项的关系为：它可以看作等差数列广义的通项公式。从等差数列的定义、通项公式，前项和公式还可推出：若二、等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母表示。等比数列{a n}的通项公式是：前项和公式是：

在等比数列中，等比中项：且任意两项的关系为如果等比数列的公比满足0＜＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为：从等比数列的定义、通项公式、前项和公式可以推出：另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂，则{}是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)，“错位相减”(等比数列)。数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n项和。三、范例例1．设a p，a q，a m，a n是等比数列{a n}中的第p、q、m、n项，若p+q=m+n，求证：证明：设等比数列{}的首项为，公比为q，则说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：a1+k·a n-k=a1·a n 对于等差数列，同样有：在等差数列{ }中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：a1+k+a n-k=a1+a n 例2．在等差数列{}中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10= A.20 B.22 C.24 D28 解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知或得 5a8=120，a8=24 而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。

2017年高考试题分类汇编(集合)

2017年高考试题分类汇编（集合）考点1 数集考法1 交集 1.（2017·北京卷·理科1）若集合{}21A x x =-<<，{}13B x x x =<->或，则 A B = A. {}21x x -<<- B. {}23x x -<< C. {}11x x -<< D. {}13x x << 2.（2017·全国卷Ⅱ·理科2）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若 {}1A B =，则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3.（2017·全国卷Ⅲ·理科2）已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,4,6,8B =，则A B 中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 4.（2017·山东卷·理科1）设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B = A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(2,1)- D ．[2,1)- 5.（2017·山东卷·文科1）设集合{}11M x x =-<,{}2N x x =<,则M N = A.()1,1- B.()1,2- C.()0,2 D.()1,2 6.（2017·江苏卷）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若{}1A B =，则实数a 的值为______. 考法2 并集 1.（2017·全国卷Ⅱ·文科2）设集合{}{}123234A B ==，，，，，，则A B = A. {}123,4，， B. {}123，， C. {}234，， D. {}134，， 2.（2017·浙江卷1）已知集合{}11P x x =-<<,{}02Q x x =<<，那么P Q = A. (1,2)- B. (0,1) C.(1,0)- D. (1,2) 考法3 补集

高中数学竞赛讲义_数列

数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。二、方法与例题 1．不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2,

2017年全国高考英语试题分类汇编(共23份) (1)

2017全国高考汇编之定语从句 The exact year Angela and her family spent together in China was 2008. A. When B. where C. why D. which 【考点】考察定语从句【答案】D 【举一反三】Between the two parts of the concert is an interval, _______ the audience can buy ice-cream. A. when B. where C. that D. which 【答案】A 二I borrow the book Sherlock Holmes from the library last week, ______ my classmates recommended to me.. A.who B. which C. when D. Where 【考点】考察定语从句【答案】B 【举一反三】The Science Museum, we visited during a recent trip to Britain, is one of London’s tourist attractions.