选修2-2导数导学案
导数
§基本初等函数的导数、 导数运算法则
一、公式
C （
）
n
/
x
( ) / z
、 sin x
(
)
/ /
、 cosx ( ) x
/
e (
)
ln x /
( )
x /
a (
)
log a x /
(
)
二、运算法则
/
f x
g x (
)
/
f x
g x (
)
/
f x =(
g x
)
习题
1、求下列函数的导数
（1
）y 丄
x
(2)
5
3
/
y
x
(3) y x.x
2
(4) y 3x xcosx
2、对于任意的x, f ,/
x
4x 3, f 1
1,则 f x (
)
n
3、设 f x a 0x
n 1
a 〔x n 2
a ?x
……an 1
X a n ，则 f / 0
（
)
三、复合函数的导数
设复合函数y fgx , gx u,则y fu ,y ， 1、求下列函数的导数
2
(7) y In x 1
四、导数的几何意义：切线问题
(5) y 1 cos x 2x 2 e x
x (6) y e In x
x
(7) y 2e sin x
(1)
2x
35
(2) y
3 2x 3
(3) y sin x
(4) y cos 2 3x (5) y xsin 2x cos3x
(6) y 3e
2x
意义：曲线y f x 在点P x0, f X o处的切线的斜率k= 。
h //12 k| k2
补充知识点：
h 12 k[ k20
1、求曲线y f x 在点P x0, f X o处的切线方程----——点P x o, f x o在曲线上。解：k f/(x。)，直线的方程为：。
2、求曲线y f x 过点P x o, f x o的切线方程----- --点P x o, f x o不一定在曲线上。解：设切点为(a,b)则k f/(a)
因为(a,b)在y f x上
b f (a)
所以从而求出k
y y o f (a)(x x o)
例1、(1) y 2x21在点P (-1,3)处的切线方程。
(2) y x3 3x2 1在点P (1, 1)处的切线方程。
例2、(1)求过点P(1,1)的曲线y x3的切线方程。
3
(2)求过点P(1,2)的曲线y x 1的切线方程。
§12、2导数的应用----单调性
一、函数的单调性
(1)若 f /(x o ) 0 y f (x)在区间 a,b 是增函数 (2) 若 f /(x o )
0 y
f (x)在区间 a,b 是增函数
题型一：求函数的单调区间
例1、 求以下函数的单调区间
2
x 1
(1) f(x)
x 1
(2) f(x) x
2. x
sin x
(3)
f ( x )
c os x
题型二：已知单调性求参数的范围
f
max
(X )，其中a 是参数为常数，x 为变量。 f min (x)
3
x ax 在1, 上为增函数，则实数 a 的取值范围。
思考题2、若2, 为函数y 2x a 的单调增区间，则实数 a 的取值范围。
x
导数有关填空选择题-----构造函数
点拨：
1、 f / x g x f x g / x 可构造函数 _________________________
2、 f x xf x 可构造函数 _______________________________
知识点补充：恒成立问题
f (x) a f (x)
a
例2、已知函数y x
a
(a x
0),在 2, 上为增函数，求a 的取值范围。
例3、已知函数f (x) (x a)
(1)若 y f x 在(2, 上为增函数, 则实数 a 的取值范围。 (2)若 y f x 在(2, 上为减函数, 则实数 a 的取值范围。 (3)若 y f x 在(2,
上不单调，则实数 a 的取值范围。
思考题1、已知a 0, f(x)
3、f x xf / x 可构造函数
x
x 0成立的x 的取值范围 点的个数
(1)若曲线y f (x)在点(1, f(1))处的切线与直线 x 2y 0垂直，求实数a 的取值范围。
例题
1、 设函数f / x 是奇函数 f x 的导函数,
1 0,当 x 0时，xf / x f x
A 、
,1 0,1
B 、
1,0 1, 1,0
D 、 0,1
1,
已知函数y f x 是可导函数，当x 0时，有f / x
0,则函数F x xf x 1的零 x
定义在0, 上的函数f x ， f /
2 是他的导函数，且恒有
f x ta nx
A 、 ,2f
f -
3 4
C 、 . 3 f
f
3
6
4、已知函数y f x 是可导函数，且 f A 、f 2 e 2
f 0 , f 2014 e
2014
f 0
C 、f 2
e 2
f 0 , f 2014
e 2014
f 0
题型三：讨论函数的单调性
例
4、已知函数 f(x) ax (a 1)ln(x x
x 恒成立，则
B 、f 2
e 2
f 0 , f 2014 2014
e f 0
D 、f 2
e 2
f 0 , f 2014
2014
e f 0
1),(a 1)，讨论f (x)单调区间。
例5、已知a R ， f( x) x 2 e ax 讨论f (x)单调区间。
例6、已知函数f (x) x 1 alnx,a
x
R 讨论f (x)单调区间。
思考2、已知函数f (x) = al nx
2a 2
x(a 0)
6
(2)讨论f(X)单调区间。
§导数的应用二——极值与最值
一、定义
1、极大值：若f(x) f (X o)，则y max f (X o)
2、极小值：若f(X) f (X o)，则y min f (X o)
二、求极值的步骤
1、求定义域
2、令f/(X) 0 ,求根
3、判断在根的两侧导数的正负，画表格。
三、函数的最值
设y f (X)在区间a, b上连续，先求极值，在求 f a , f b比较大小即可。
例1、求下列函数的极值和最值
(1) f (X)=13X X3
(2) f (x) =X312X, x 3,3
3x3 ax2 3a2x 1 a 0
例2、已知函数f (x)
(1)求f/(x)；
(2)求函数f (X)的单调区间、极大值和极小值。
思考1、已知函数f (x) x2 1 2aln x,(a 0) 求f (x) 的极值。
题型二：三次函数的图像、极值与三次函数的根
例2、已知函数f (x) =x3 2x2 x 1在定义域内的零点的个数。
例3、已知函数f (x) =x3 3a2x 2(a 0)
( 1)求函数的极值
(2)当f(x)有3个零点时，求a的取值范围。
(3)当f (x)有2个零点时，求a的取值范围。
( 4)当f (x) 有 1 个零点时，求a 的取值范围。
思考2、若数f ( x) = x3 3x a有3个零点时，求a的取值范围。
2
1、已知f x 4lnx ax 6x b且x 2为f x的一个极值点, ( 1)求 a 的值( 2) f x 的单调区间
(3)若y f x 有 3 个不同零点，求 b 的取值范围。
题型三：导数中恒成立问题
22
1 、设函数f x tx
2 2t 2 x t 1
(1) 求f x 的最小值h t
(2) 若h t 2t m 对t 0,2恒成立，求实数 m 的取值范围。
2、已知函数f x ax 41nx bx 4 c x 0 ,在x 1处取得极值-3-c (1) 试确定b,c 的值 (2) 讨论f x 的单调区间
(1)求a,b 的值和丨的方程 (2)证明：f x g x 。
3
3、f x x ax 2
bx c 在 x
2 与x 1处都取得极值，
3
(1) 求 a,b 的值
(2)若对于x 1,2 ,不等式f x
c 恒成立，求c 的取值范围
作业
1、已知函数 f x
x 2
ae x ,g x
x sin
bx,直线丨与y fx 切于点0, f
2
y g x 切于点(1, f 1)。
0 ，且与曲线
(3) 若对任意的x 0,不等式f x
2c 2恒成立，求c 的取值范围
人教版数学选修2-2：导数及其应用测试题
《导数及其应用》 一、选择题 1.0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的: A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线2 1y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为 A. B. C. D. 3．在曲线y ＝x 2 上切线的倾斜角为π4 的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C.? ????14，116 D.? ?? ??12，14 4.若曲线y ＝x 2 ＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 5．函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6. 已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2 －2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值 范围是( ) A ．m <2或m >4 B ．－4
高中数学 第3章《导数及其应用》复习 精品导学案2 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学 第3章《导数及其应用》复习2导学案 苏 教版选修1-1 复习要求： 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间. 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值． 课前预习： 1．知识要点回顾： (1)函数的导数与单调性的关系： (2)函数的极值与导数： (3)函数的最值与导数 ①函数f(x)在[a ，b]上有最值的条件：如果在区间[a ，b]上函数y ＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． ②求y ＝f(x )在[a ，b]上的最大(小)值的步骤： （4）若函数f(x)在定义域A 上存在最大值与最小值，则①对任意x ∈A ，f(x)＞0? ＞0；②存在x ∈A ，f(x)＞0? ＞0. 2．判断： (1)函数f(x)在区间(a ，b)内单调递增，则f′(x)>0；( ) (2)函数的极大值一定比极小值大；( ) (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件；( ) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值。( ) 3．函数f(x)＝x ＋4x 的单调减区间是 4.函数f(x)＝xex 的极小值点是 5．已知f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是 课堂探究：
2.已知函数f(x)＝x－alnx． (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值． 3.已知函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6a x. (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值． 变式：已知函数f(x)＝(x－k)ex (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值． 3.设函数f(x)＝x3－3ax＋b (a≠0)． (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y＝8相切，求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
人教版选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数导学案
1.3.2《函数的极值与导数》导学案 制作马冰审核高二数学组2016-03-16 【学习目标】 1．了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用． 2．掌握函数极值的判定及求法． 3．掌握函数在某一点取得极值的条件． 4．增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力． 【预习导航】 已知y＝f(x)的图象(如图) [问题1]当x＝a时，函数值f(a)有何特点？ [问题2]试分析在x＝a的附近导数的符号． [问题3]f′(a)值是什么？ 【问题整合】 1.极小值点与极小值 2.极大值点与极大值 3.函数极值的求法 【问题探究】 探究活动一求函数的极值 例1求下列函数的极值： (1)f(x)＝ 1 3x 3－x2－3x； (2)f(x)＝x4－4x3＋5； (3)f(x)＝ ln x x. 探究活动二已知函数极值求参数 例2、设函数f(x)＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a，b，c的值，并求出相应的极值． 探究活动三极值的综合应用 例3 已知a为实数，函数f(x)＝－x 3 ＋3x＋a.
(1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)； (2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根？ 【课堂巩固练习】 1．求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 3 －12x ； (2)f (x )＝x 2 e －x . 2．已知函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋bx ＋c ，当x ＝－1时，取得极大值7， 当x ＝3时，取得极小值．求这个极小值及a ，b ，c 的值． 3．将例3中(2)改为： ①f (x )＝0恰有三个实数根；②若只有一个实数根． 试求实数a 的取值范围． 【总结概括】 【课后作业】 习题1.3A 组4,5
高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结
数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？
第三章 导数 导学案
§3.1.1 变化率问题 1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义； 2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化. 7880 复习1：曲线22 1259 x y +=与曲线 22 1(9)259x y k k k +=<--的（ ） A ．长、短轴长相等 B ．焦距相等 C ．离心率相等 D ．准线相同 复习2：当α从0 到180 变化时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一： 问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率 吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象? 问题2：高台跳水，求平均速度 新知：平均变化率： 2121()()f x f x f x x x -?=-? 试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ?，即 x ?= 或者2x = ，x ?就表 示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ?，即y ?= ；如果它们 的比值y x ??，则上式就表示为 ， 此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值. ※ 典型例题 例 1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1P 和(1,1)Q x y +?+?作曲线的割线，求出当0.1x ?=时割线的斜率. 变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点 (1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+?-+?，则y x ??= 例 2 已知函数2 ()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001] 小结：
导数及其应用学案+作业 (答案)
变化率与导数、导数的计算 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义：f ′(x 0)是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 二、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝lo g a x f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1x 三、导数的运算法则 1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3.????f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g (x )≠0)． 1.函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 1．用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x 2. [自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2 Δx
苏教版数学高二- 选修2-2导学案 《常见函数的导数》
1.2.1 常见函数的导数 导学案 一、学习目标 掌握初等函数的求导公式； 二、学习重难点 用定义推导常见函数的导数公式． 三、学习过程 【复习准备】 1.导数的相关知识 ①导数的定义；②导数的几何意义；③导函数的定义；④求函数的导数的流程图. （1）求函数的改变量 （2）求平均变化率 （3）取极限，得导数/ y ＝()f x '= 2.如何求切线的斜率? (0)PQ x k P ?→当时，无限趋近于点处切线的斜率 3.导数：函数在某点处的瞬时变化率 设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x0∈(a ，b)，若△x 无限趋近于零时，比值 00()()f x x f x y x x +?-?=??.无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在x ＝x 0处可导，并称
该常数A 为函数f(x)在x ＝x0处的导数，记作f/(x 0)． 4.由定义求导数（三步法） ①求函数的增量：=?y ②算比值（平均变化率）： =??x y ③取极限，得导数：0 x x y ='= 【情境引入】 本节课我们将学习常见函数的导数.首先我们来求下面几个函数的导数. （1）y=x; （2）y=x 2 ; （3）y=x 3 . 问题：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？ 问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ 【数学建构】 1.几种常见函数的导数: 问题引入1： (1)(23)x '-+= (4)x '= (2)(2)x '-= (5)(5)x '+= (3)3'= (6)(4)'-= 通过以上运算我们能得到什么结论? 公式一:
问题引入2： (1)x '= 2(2)()x '= 2(3)(3)x '= 1(4)()x '= 通过以上运算我们能得到什么结论? 公式二: 【知识应用】 例1 求下列函数的导数： （1）()'3x ;（2）'21x ?? ??? ;（3 ）' . 解： 拓展 例2 求下列函数的导数： 4(1)y x =; 3(2)y x -=; 1(3)y x =; (4)y = =0(5)sin 45y ; =(6)cos u v . 解：
导数学案(有答案)
3.1.1平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题． 1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________． 2．函数y＝f(x)的平均变化率Δy Δx＝ f(x2)－f(x1) x2－x1 的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象 上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________． 一、填空题 1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号) ①在[x0，x1]上的平均变化率； ②在x0处的变化率； ③在x1处的变化率； ④以上都不对． 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________. 3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝ ________. 4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________． 5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________． 6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________． 7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______． 8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________． 二、解答题 9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
新课标人教A版高中数学选修2-2导数及其应用知识点总结
高中数学选修2-2导数及其应用知识点总结 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：
6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个 根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤 （“以直代曲”的思想） 10.定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx b a -=?1 性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则0)(≥?b a dx x f ①推广：1212[()()()]()()()b b b b m m a a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±± ±=±± ±????
变化率与导数、导数的计算学案(高考一轮复习)
20XX 年高中数学一轮复习教学案 第二章 函数、导数及其应用 第11节 变化率与导数、导数的计算 一．学习目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义； 2．能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1 x 的导数； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 二．学习重、难点： 1．学习重点：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数； 2．学习难点：理解导数的几何意义. 三．学习方法：讲练结合 四．自主复习： 1．导数的概念 (1)函数在x ＝x 0处的导数 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是__________________________＝lim Δx →0 Δy Δx ， 称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 . (2)导函数：当上式中的x 0看作变量x 时，函数f ′(x )为f (x )的________． (3)导数的几何意义：f ′(x 0)是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的________，相应的切线方程是_____________________．
2．基本初等函数的导数公式 3.运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝_________________； (2)[f(x)·g(x)]′＝________________________； (3)[f(x) g(x) ]′＝_______________________ (g(x)≠0)．五．复习前测： 1．已知函数f(x)＝sin x＋ln x，则f′(1)的值为() A．1－cos1 B．1＋cos1 C．cos1－1 D．－1－cos1
人教新课标版数学高二-数学选修2-2导学案 1.3.1利用导数判断函数的单调性
1.3.1利用导数判断函数的单调性学案编号：GEXX1-1T3-3-1 【学习要求】1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 【学法指导】结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想. 一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系： 导数函数的单调性 f′(x)>0单调递 f′(x)<0单调递 f′(x)＝0常函数 探究点一函数的单调性与导函数正负的关系 问题1观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？ 问题2若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？ 问题3(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间. (2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？ 例1已知导函数f′(x)的下列信息： 当1
(1)f (x )＝2x (e x －1)－x 2； (2)f (x )＝3x 2－2ln x . 跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2 －ln x ； (2)f (x )＝e x x －2 ； (3)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x <2π). 探究点二 函数的变化快慢与导数的关系 问题 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？ 例3 如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象. 跟踪训练3 已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是 ( ) 【达标检测】 1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是 ( ) A.单调增函数 B.单调减函数 C.在????0，1e 上是减函数，在????1e ，6上是增函数 D.在????0，1e 上是增函数，在????1 e ，6上是减函数 2. f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是 ( )
配套学案：导数的计算
导数的计算（复习课） 【学习目标】 1.掌握基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则； 2.会求含有加、减、乘、除运算的函数导数； 3.会求简单复合函数的倒数. 【知识回顾】 1.基本初等函数的导数公式： （1）c '=___________（c 为常数）； （2）)('α x =________（α为常数）； （3）)('x a =________（0a ＞且1a ≠）； （4）)(log 'x a =______（0a ＞且1a ≠）； （5）)('x e =_____________； （6）)(ln 'x =_____________； （7）=')(sin x ___________； （8）)(cos 'x =____________． 2.设两个函数分别为f(x)和g(x), （1）=')]([x f c _____________; （2）[]='±)()(x g x f ___________； （3）[]='?)()(x g x f __________________; （4）='?? ????)()(x g x f ____________)0)((>x g ． 3. 复合函数()[]x f y ?=，设u φ＝(x ), 则))((x f ?'=_________________. (复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代) 【典例精析】 例1. 求曲线2 y x ＝过下列点的切线方程：（1）P （-1,1）；（2）Q(0，－1).联合例5后置处理
例2.求下列函数的导数： （1）y=3x ·lnx ； （2）y=lgx- 2x 1； （3）y= x x -1cos ； （4）2)2(-=x y .
高中数学选修22：第一章导数及其应用单元测试题.doc
数学选修 2-2 第一章 单元测试题 一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点() A．1 个B．2 个 C．3 个D．4 个 1 1 2．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在 1 同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是() C．8D．4 2 3．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( ) ππ3 A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π) 3 π 3 C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π] 1 4．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()
3 3 A．m≥2 B．m＞2 3 3 C．m≤2 D．m＜2 x 2 2 5．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 () f x 0＋3 －f x 0 Δx 6．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx ＝1， Δx→0 则 f ′(x0)等于( ) A．1 B．0 C．3 x＋9 7．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为() A．x＋y＝0 B．x＋25y＝0 C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0 D．以上皆非 8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－ 3b＜0 时，f ( x) 是() A．增函数 B．减函数 C．常数 D．既不是增函数也不是减函数
3.1 导数的概念及其运算导学案
§3.1 导数的概念及其运算 2014高考会这样考 1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导． 复习备考要这样做 1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程． 1． 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平 均变化率可表示为Δy Δx . 2． 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 学&科& (1)定义 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx → Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3． 函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx → f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4． 基本初等函数的导数公式
5. (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) g 2(x ) (g (x )≠0)． 6． 复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [难点正本 疑点清源] 1． 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数； (2)函数y ＝f (x )的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内每一点x 都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．这样就在开区间(a ，b )内构成了一个新函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数． 2． 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不
2020高考数学二轮复习 专题五 函数与导数 第3讲 导数及其应用学案
第3讲导数及其应用 [考情考向分析] 1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型． 热点一导数的几何意义 1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k ＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同． 例1 (1)(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( ) A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x 答案 D 解析方法一∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax， ∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a. 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立， 即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立， ∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1， ∴f′(0)＝1， ∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x. 故选D. 方法二∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数， ∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数， ∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1， ∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x. 故选D. (2)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋1的切线，也是曲线y＝ln(x＋2)的切线，则实数b＝________. 答案ln 2 解析设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋1和曲线y＝ln(x＋2)的切点分别为(x1，ln x1＋1)，(x2，ln(x2＋2))．∵直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋1的切线，也是曲线y＝ln(x＋2)的切线， ∴1 x1 ＝ 1 x2＋2 ，即x1－x2＝2.
二轮复习导数的应用导学案
《导数的应用》导学案 ●命题视角： ●真题感悟： 1.（2014.全国）若函数()ln =-f x kx x 在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ） A. (],2-∞- B. (],1-∞- C. [)2,+∞ D. [)1,+∞ 2.（201 3.课标）已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)3f =，且()f x 的导数()f x '在R 上恒有()2f x '<()x R ∈，则不等式()21f x x <+的解集为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞- C ．(1,1)- D ．(,1)-∞-∪(1,)+∞ 3.（201 4.辽宁）当[]2,1∈-x 时，不等式32430-++≥ax x x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. []5,3-- B. 96,8??--???? C. []6,2-- D. []4,3-- ●透析高考 热点突破 热点一 不等式的恒成立问题 例1 已知函数()ln a f x x x =-，其中a ∈R ． （1）当2a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）如果对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围．
变式训练1： 已知函数()()()()ln 11f x x x x ax a a R =---+∈. （1）若0a =，判断函数()f x 的单调性； （2）若1x >时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围.
热点二 利用导数证明不等式 例2 设函数()(1)ln(1),(1,0)f x x a x x x a =-++>-≥． （1）求()f x 的单调区间； （2）证明：当0m n >>时，(1)(1)n m m n +<+．
苏教版数学高二-数学选修2-2导学案 1.1导数
1.1 导数 1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数 【学习要求】1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数. 【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率、瞬时变化率的概念，可以从物理和几何两种角度理解导数的意义，深刻体会无限逼近的思想. 1.函数的变化率 2.函数f(x)在x＝x0处的导数 函数y＝f(x)在x＝x0处的称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数， 记作，即f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx＝. 引言那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一平均变化率的概念 问题1气球膨胀率我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度，如何描述这种现象呢？问题2高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在下列时间段内的平均速度v，并思考平均速度有什么作用？(1)0≤t≤0.5，(2)1≤t≤2. 问题3什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 问题4平均变化率也可以用式子Δy Δx表示，其中Δy、Δx的意义是什么？ Δy Δx有什么几何 意义？
例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5. (1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ； (2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ； (3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义. 跟踪1 (1)计算函数f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为 ①2；②1；③0.1；④0.01. (2)思考：当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 探究点二 函数在某点处的导数 问题1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ 问题2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？ 问题3 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？ 例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数. 跟踪2 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数. 例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8).计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 跟踪3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝65 98 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况. 【达标检测】 1.在导数的定义中，自变量的增量Δx 满足 ( )
导数的应用导学案
学案14导数在研究函数中的应用0导学目标：1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值． 自主梳理 1．导数和函数单调性的关系： (1)若f′(x)>0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是______函数，f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间； (2)若f′(x)<0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是______函数，f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间； (3)若在(a，b)上，f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零?f(x)在(a， b)上为______函数，若在(a，b)上，f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零?f(x)在(a，b)上为______函数． 2．函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程________的根； ③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________． 自我检测 1.已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则() A．f(x)在x＝1处取得极小值 B．f(x)在x＝1处取得极大值 C．f(x)是R上的增函数 D．f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数 2．(2009·广东)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是() A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 3．(2011·济宁模拟)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)()
高中数学北师大版选修2-2学案：2.2.1 导数的概念+2.2 导数的几何意义 含解析
§2 导数的概念及其几何意义 2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义 1.理解导数的概念及导数的几何意义.(重点、难点) 2.会求导函数及理解导数的实际意义.(重点) 3.掌握利用导数求切线方程的方法.(难点) [基础·初探] 教材整理1 函数f(x)在x＝x0处的导数 阅读教材P32“例1”以上部分，完成下列问题. 函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符 号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim Δx→0f（x1）－f（x0） x1－x0 ＝lim Δx→0 _ f（x0＋Δx）－f（x0） Δx . 设函数y＝f(x)可导，则lim Δx→0f（1＋Δx）－f（1） Δx 等于( ) A.f′(1) B.3f′(1) C.1 3 f′(1) D.以上都不对
【解析】由f(x)在x＝1处的导数的定义知，应选A. 【答案】 A 教材整理2 导数的几何意义 阅读教材P34～P36，完成下列问题. 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. 抛物线y＝x2＋4在点(－2，8)处的切线方程为________________. 【解析】因为y′＝lim Δx→0（x＋Δx）2＋4－（x2＋4） Δx ＝lim Δx→0 (2x＋Δx)＝2x， 所以k＝－4， 故所求切线方程为4x＋y＝0. 【答案】4x＋y＝0 [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：