二次函数的性质顶点式
《二次函数顶点式》教学设计
二次函数y ＝(x －h)2 +k 的图象 学习目标： 1．会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象； 2．掌握二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质； 3．会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题． 重点：会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象. 难点：掌握二次函数a (x －h)2＋k 的性质。 一、课前小测 1．函数24(2)y x =-的图象开口向______，顶点是_________，对称轴是_______， 当x ＝_________时，有最_________值是_________． 2．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口向下抛物线解析式__________________． 写出一个顶点坐标为（－3，0），开口向下抛物线解析式__________________． 二、探索新知 1、问题一：提出问题，创设情境 画出函数y ＝－1 2 (x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值 观察图象得： （1）函数y ＝－1 2 (x ＋1)2－1的图象开口向______，顶点是_________，对称轴是_______，当x ＝_________时，有最_________值是_________． （2）把抛物线y ＝－1 2 x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______ 个单位，就得到抛物线y ＝－1 2 (x ＋1)2－1． 3、问题二：应用法则 探索解题.
例1．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝1 2x 2相同的解析式为 （） A．y＝1 2(x－2) 2＋3 B．y＝ 1 2(x＋2) 2－3 C．y＝1 2(x＋2) 2＋3 D．y＝－ 1 2(x＋2) 2＋3 三、作业：A组： 1．填表 2 3．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________． B组： 1．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，的图象开口向______，顶点是_________，对称轴是_______，当x＝_______时，y有最________值是________． 2．将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________。 3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（） A B C D 4．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为___________________________．（任写一个）
二次函数的对称轴(学练结合)
二次函数的对称轴 二次函数的图像是关于某条直线对称的抛物线，这条直线就叫做对称轴。我们用公式这样表示对称轴，直线x=-b/2a，有图像可知，当二次函数图像上两点的纵坐标相等时，那么这两点必然关于对称轴对称，且对称轴为这两点横坐标之和的一半。形如：点 A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函数的图像上，若y1=y2，那么图像的对称轴为 (x1+x2)/2。抛物线的顶点必然通过对称轴。所以可以根据顶点坐标直接求出对称轴。例如已知二次函数的顶点坐标为（x1，y1），那么二次函数的对称轴为直线x=x1。 在平面直角坐标坐标系中，已知两点坐标便可求其连线的中点坐标，例如：已知点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则两点连线的中点为 C((x1+x2)/2,(Y1+Y2)/2),一般情况，出题者会结合一次函数，中垂线，三角形，二次函数进行综合考查。
例题演练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（） A．只能是x=﹣1 B．可能是y轴 C．在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧 2、已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0）的图象过点A（0，1）、B（8，2），则h的值可以是（） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 3、如图，已知二次函数y1=﹣x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b． （1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标； （2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围； （3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
二次函数顶点式练习题
二次函数专题训练 1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值 y= 。. 3、函数 y ＝12 (x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大. 4、 函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=2 1x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单 位得到. 5.已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是 。 6.如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ） A 、 x>3 B 、x<3 C 、x>1 D 、x<1 7.已知函数()3232 +--=x y . 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； 当x= 时，抛物线有最 值，是 . 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. 求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； 求出该抛物线与y 轴的交点坐标； 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； 该函数图象可由2 3x y -=的图象经过怎样的平移得到的 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.
※8..如图是二次函数y=a （x+1）2+2图象的一部分，该图在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 _________ ． 9.根据图像求二次函数的解析式. ※10.抛物线y =(x －1)2+n 与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴负半轴交于C （0，-3）。 (1) 求抛物线的解析式; （2）点P 为对称轴右侧抛物线上一点，以BP 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M 落在对称轴上，求P 点、M 点的坐标。 M y x P O C B A
二次函数顶点式练习
二次函数k h x a y +-=)(2 （顶点式）习题课 一、知识体系 1、解析式：()()02≠+-=a k h x a y 2、图像与性质： 对称轴：x=h 顶点：（h ，k ） 3、抛物线的平移： 自变量加减左右移（左加右减），函数值加减上下移（上加下减） 4、抛物线与直线的交点： 设立方程组c bx ax b kx c bx ax y b kx y ++=+????++=+=22，化简为一元二次方程，看△ （1）有两组不同解（△＞0）：有两个交点 （2）只有一组解（△=0）：只有一个交点 （3）无解（△＜0）：没有交点 5、抛物线的开口大小由a 决定： （1）a 越大，抛物线的开口越小 （2）a 越小，抛物线的开口越大 （3）a 相等时，两函数图像的形状和大小相同 二、知识巩固 一、复习 1、二次函数4)1(-22++=x y 的图象的开口方向________，顶点坐标是________， 对称轴是_________. 当x ______时,y 随着x 的增大而增大, 当x ______时, y 随着x 的增大而减少.当x =_____时，函数有最_______值是_________. 2、二次函数1)3(22-+-=x y 由1)1(22+--=x y 向_____平移_______个单位，再向_____平移_______个单位得到.
二、求函数表达式 例1、已知一个二次函数的图像的顶点在原点，且经过点（1，3），求这个二次函数的表达式. 例2、已知抛物线的顶点坐标是(-1,-2)，且经过点（0，1），求这个二次函数的表达式. 例3、已知二次函数当x=3时有最大值4，并且图象经过点（4，－3），求这个二次函数的表达式. 例4、已知抛物线的对称轴为直线1 x ,且经过（1，2）和（-2，5），求这个二次函数的表达式. 三、实际应用 例5、一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线． ⑴求实心球行进的高度y (米)与行进的水平距离x (米)之间的函数关系式； ⑵如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生 在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由． 3.624y x O
二次函数顶点式图像特点
二次函数顶点式图像及其特点教学设计 【教材】人教版九年级 22.1 二次函数的图象及其特点 （第4课时） 【教学对象】九年级学生 【授课教师】珠海市斗门区城南学校 孔志坚 【教材分析】 本节的学习内容是在前面学过二次函数的概念和二次函数y=ax 2、y=ax 2+h 的图像和性质的基础上，运用图像变换的观点把二次函数y=ax 2的图像经过一定的平移变换，而得到二次函数y=a(x-h)2+k (h ≠0，k ≠0)的图像。二次函数是初中阶段所学的最后一类最重要、图像性质最复杂、应用难度最大的函数，是学业达标考试中的重要考查内容之一。教材中主要运用数形结合的方法从学生熟悉的知识入手进行知识探究。这是教学发现与学习的常用方法，同学们应注意学习和运用。另外，在本节内容学习中同学们还要注意 “类比”前几节的内容学习，在对比中加强联系和区别，从而更深刻的体会二次函数的图像和性质。 【教学目标】 ◇ 知识技能 （1）会用描点法画出二次函数 ()2 h x a y -= 、()k h x a y +-=2 的图象， 通过图象了解它们的 图象特征和性质． （2）观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质，通过对比发现它们之间的关系。 ◇过程与方法 （1）在用描点法画出二次函数的图象过程中，体会数形结合的思想； （2）通过观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质，通过对比发现图像之间的关系，发展数学的化归思维； （3）在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思想的过程和探究的结果。 ◇情感态度与价值观 （1）通过画二次函数的图象，感受数学美，激发学习热情； （2）在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神。 【教学重点】观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质 【教学难点】观察对比图象发现它们之间的关系 【教学方法】引导探索、讨论交流 【教学手段】PPT 、几何画板 【教学过程设计】 一、教学流程安排
二次函数的图像(顶点式)
2、5次函数y=a(x-h)2+k 的图像 执笔人：刘红梅 时间：2009年12月3日 学习目标: 会用描点法画出函数y=a(x-h)2+k 的图像 学习重点: 1．会用描点法画出二次函数 的图像； 2．知道抛物线 的对称轴与顶点坐标； 学习难点:确定形如 的二次函数的顶点坐标和对称轴。 学习方法:三五三教学模式法。 一、自主探究： 1、在同一坐标系中画出函y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2, 的图像 解：列表： 描点连线： 2、观察图像完成下表： 1、观察函数y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2的图像，回答问题 （1）它们的形状_________，位置____________. (2)函数y= x 2与函数y=(x-1)2+2有什么联系？ 2、归纳总结： 1、二次函数y=a(x ±h)2+k 图像的性质 函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 y 随x 的增大而减小 y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2, 抛物线 开口方向 对称性 顶点坐标 最值 y 随x 的减小而减小 y=a(x+h)2+k （a>0） y=a(x-h)2+k (a<0)
2、函数y=a(x ±h)2+k （a ≠0）的图像可以看作是y=ax 2向左或向右平移_________ 个单位，再向上或向下平移___________个单位得到的. 三、巩固练习： 1、指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值及y 随x 增大而减小的x 取值范围。 （1）y=－6(x-2)2 (2)y=3x 2－6 (3)y=3－x 412 (4) y=x 5 1 2 (5) y=2(x+3)2+7 (6) y=4－2(x+4)2 2、抛物线的y=－4（x －6）2－3向左或向右平移_________ 再__________ 平移___个单位得到y=－4x 2. 四、延伸迁移： 如图，某公路的隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，，底部宽OM 的 为12米，建立如图所示的直角坐标系。 （1） 直接写出M 及抛物线顶点P 的坐标； （2） 求这条抛物线的解析式。 五、达标检测：1、课本53页知识技能1 2、抛物线y=3（x+h ）2 +k 的顶点坐标是（1，5），则h=_____ k=_____ 六、学习收获
二次函数的对称变换
二次函数的对称变换 学习目标：1.掌握二次函数关于x轴、y轴、原点对称的解析式的确定。 2.会研究二次函数关于某条直线，某个点的对称变换。 一、课前练习 1.点（1，-4）关于x轴对称点坐标，关于y轴对称点，关于原点对称。 2.点（x,y）关于x轴对称点坐标，关于y轴对称点，关于原点对称。 二、新课探究 类型一：二次函数关于x轴、y轴、原点的对称变换 问题一：画出y=x2-2x-3的草图方法： 问题二：画出y=x2-2x-3关于x轴对称的图像 方法： 问题三：请确定新抛物线的解析式 方法一：一般式 方法二：顶点式 问题四：观察两个解析式的区别与联系 角度一：一般式 角度二：顶点式
问题五：请用同样的方法研究二次函数y=x2-2x-3关于y轴和原点的对称变换 总结：一般式y=ax2+bx+c (a≠0)关于x轴对称的解析式为： 关于y轴对称的解析式为： 关于原点对称的解析式为： 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 关于x轴对称的解析式为： 关于y轴对称的解析式为： 关于原点对称的解析式为： 练习：1.y=2x2-3x关于y轴对称的解析式为, 2.y=-(x-3)2+3关于原点对称的解析式为, 3已知y=-2x2+x+1与y=ax2+bx+c关于x轴对称，则a= b= c= 类型二：二次函数关于某条直线或某个点的对称变换（给个开口向上的图像） 问题一：选取关于某条直线对称 问题二：选取关于某一点对称
总结：研究对称变换的方法 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
运用顶点式求二次函数的解析式
运用顶点式求二次函数的解析式 李保国 一、学习目标：1、进一步巩固用待定系数法求二次函数的解析式。 2、掌握顶点式求二次函数的步骤。 3、会用顶点式求二次函数的解析式。 二、预习提纲： （一）忆一忆 （1）y=3(x-1)2+1 对称轴______.顶点坐标______。 （2）y=ax2+bx+c 对称轴______.顶点坐标_______。2 （3）y=a(x-h)2+k 对称轴______.顶点坐标______。 （一组：预测性困难： 学生在记忆一般式的顶点坐标公式时有可能出错。 教师追问： 根据顶点式找顶点坐标的技巧是什么？ 点评： 括号内等于0求出x的值是顶点的横坐标，纵坐标是k的值。）(二) 学一学： 例：已知二次函数的顶点是（1，-3），且过P（2，0）点，求这个二次函数的解析式。 分析：求二次函数的解析式，知道了二次函数的顶点坐标和其中的一个点的坐标，因此设为顶点式来求二次函数的解析式比较简单 解：∵二次函数的顶点是(1,3)
∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-3 ∵抛物线过P（2，0）点 ∴0=a(2-1)2-3 ∴a=3 ∴y=3(x-1)2-3 =3x2-6x ∴二次函数的解析式为：y=3x2-6x 总结：运用顶点式求二次函数的解析式的步骤： ①设出顶点式，注意符号的变化。 ②代入点的坐标求a值。 ③把顶点式化为一般式。 （三）练一练： （1）已知抛物线过点（3，1），顶点为（2，3），求抛物线的解析式。 （2）已知抛物线的顶点为（-1，3）并过原点，求抛物线的解析式。 （三组：预测性困难： 学生有可能在求出二次函数的顶点式后忘记化成一般式。 教师追问： 二次函数图像过原点提供了什么？ 点评： 二次函数图像过原点，即（0，0）点的坐标适合函数的解析式。）（4）已知抛物线的图像如图所示，求抛物线的解析式。
1、二次函数的顶点和对称轴
精锐教育学科教师辅导讲义
二、二次函数的对称轴 1、对称轴的意义： （1）对称轴即代表顶点的横坐标，通过对称轴可以知道顶点的横坐标 （2）通过对称轴可以知道a 和b 之间的关系，同（一）中顶点横坐标的作用 （3）对称轴是一条直线，函数图像与这条直线必有一个交点，交点就是顶点。 （4）函数图像关于对称轴对称，意味着在对称轴两侧对称位置上的函数图像上的点函数值相等，横坐标到对称轴的 距离相等。 2、对称轴公式：a b x 2-= 必须牢记，格式要写对 3、注意2 ax y =和c ax y +=2 的对称轴是Y 轴，也就是直线0=x 4、对称轴一般由公式法得到要方便，配方法得到稍微要麻烦些。 练习： 1、若二次函数，当x 取，（≠）时，函数值相等，则当x 取+ 时，函数值为（ ） （A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c 2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右 侧部分与x 轴交点的坐标是 （A ）（2 1 ，0） （B ）（1，0） （C ）（2，0） （D ）（3，0） 3、已知抛物线2 (1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，， ，两点，则线段AB 的长度为（ ） Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4 4、抛物线c bx x y ++-=2 的部分图象如图所示，若0>y ，则的取 值范围是（ ） A.14<<-x B. 13<<-x C. 4-
二次函数练习顶点式练习题.doc
二次函数图像和性质练习 1、二次函数y=2x1 2-4的顶点坐标为,对称轴为。 2、二次函数y = -2(x + 3尸—1 由y = -2(x-1)2+1 向平移 个单位，再向平移个单位得到。 3、抛物线y = 3(x + 2)2—3可由抛物线y = 3(x + 2)2 +2向平移 个单位得到. 4、将抛物线y = -(x-3)2+2向右平移3个单位，再向上平移2个单位， 6 得到的抛物线是 5、把抛物线y = —3 — 1)2 —1向平移个单位，再向平移 个单位得到抛物线y = -(x + 2)2-3. 6、抛物线y = l(x + 4)2-7的顶点坐标是_________________ ,对称轴是直 2 线,它的开口向,在对称轴的左侧，即当XV 时, y随x的增大而；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而; 当x=时，y 的值最, 最值 是。 7、将抛物线y=3x2向左平移6个单位，再向下平移7个单位所得新抛物线的解析式为。 8、若一抛物线形状与y=-5x2+2相同，顶点坐标是(4, 一2),则其解析式是. 9、两个数的和为8,则这两个数的积最大可以为，若设其中一个数为x,积 为y,则y与x的函数表达式为. 10、一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积 最大, 边长分别为 . 11、若两个数的差为3,若其中较大的数为x,则它们的积y与x的函数表 达式为,它有最值，即当x= 时，y=_ 12、边长为12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x的小正方形铁片, 剩下的四方框铁片的面积y (cm2)与x (cm)之间的函数表达式为 13、等边三角形的边长2x与面积y之间的函数表达式为
二次函数的顶点式
二次函数的顶点式 一、教学目标： 22h)－＝a(xc＋bx＋通过配方化成顶点式、经历把二次函数的一般式1y＝axy＋k 的过程，推导出顶点坐标公式，并求其开口方向、对称轴、顶点坐标与最值。 2、在探索过程中，学生经历了知识的产生过程，从而培养勇于探究、积极进取的精神。 二、重难点： 重点：将二次函数一般式通过配方化成顶点式，并求其有关性质。 难点：运用配方法把二次函数一般式化成顶点式。 三、教学过程： （一）承上启下，自然导入 通过提问的方式进行复习，讲完第3、4题后，引导学生回忆二次函数y＝a(x2＋kh)的性质，再出示：－
（二）提出问题，启发思考 2－4x＋5化成y＝y师：下面，我们思考一个问题：如何把二次函数＝xa(x－2＋k的形式？ h)生：两边加上一次项系数一半的平方。 生：不对，这里只有一边。 生：加上并减去就可以了。 出示： 师：看看，解答过程正确吗？ 1 2+1，这里是完全平方差公式。y=(x-2) 学生很快发现了：应该是师：我们总结一下：二次项系数是1的二次函数应该如何配方？ 生：加上并减去一次项系数一半的平方。 （三）探索——我行 师：如果二次项系数不是1呢？ 出示课件：
学生进入了思考、讨论的状态…… 待学生完成后，出示： 2－6x＋5？3x师：我们把它这个结果化简一下，看能否得到y＝ 学生马上运算，不一会儿就纷纷表示：不能。 师：错在哪里？ 生：没有把二次项系数提取出来，配方时二次项系数要先化为1。 师：对！二次项系数要先化为1，这是用配方法的前提条件。做错的同学请重新
做一遍。接着出示： 2－6x＋5？y师：这个解答过程正确吗？我们把结果化简一下，看能否得到＝3x 学生马上运算，不一会儿就纷纷表示：不能。 师：错在哪里？ 2。1 没有乖以－生：运用乘法分配率时，3出示： 2
【精品讲义】二次函数一般式、顶点式、交点式
二次函数一般式、顶点式、交点式 这节课我们学什么 1. 会用待定系数法求二次函数的解析式； 2. 会平移二次函数2(0)y ax a =≠的图象得到二次函数2()y a x h k =-+的图象； 了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 3. 根据交点求解解析式．
知识点梳理 1、顶点式：()2y a x h k =-+的图像与性质 2、交点式：12()()y a x x x x =--的图像与性质 1x 、2x 分别是二次函数与x 轴的两个交点坐标，如果二次函数与x 轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为12()()y a x x x x =--，然后再根据条件求出a 即可； 3、一般式2y ax bx c =++的性质 对于一般式：2(0)y ax bx c a =++≠，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？ 将一般式配方成顶点式： 2y ax bx c =++=2 ()b c a x x a a ++=22222()44b b b c a x x a a a a ++-+ =222(())()22b b c b a x x a a a a +++- =222424b b ac a x a a -??+= ?? ? 所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线2b x a =-；顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ， 1． 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 2． 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；
用顶点式求二次函数解析式
一、 用顶点式求二次函数解析式。 例题：已知抛物线的顶点为（1,3）经过点（3,0） 解：设抛物线的解析式为k h x a y +-=2 )( 把顶点（1,3）代入得：3)1(2+-=x a y 把点（3,0）代入得：03)13(2 =+-a 解得：43 - =a ∴抛物线解析式为：3)1(4 32 +--=x y 练习1：已知抛物线的顶点为（-1,4）经过点（2，-5） 2．已知抛物线y ＝ax 2 经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式； 3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式． 4．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛 物线的解析式． 5.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 6．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 7．把抛物线y ＝(x －1)2 沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式． 8．已知二次函数m x x y +-=62 的最小值为1，求m 的值． 9．已知抛物线经过A （0，3），B （4,6）两点，对称轴为ｘ＝5 3 ， 求这条抛物线的解析式； 10． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。 二、 用三个点求二次函数解析式 例题：二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7） 解：设二次函数的解析式为：c bx ax y ++=2 把点（-1,10），（1,4），（2,7）代入得： ???? ?=++=++=+-724410c b a c b a c b a 解得：??? ??=-==5 32c b a ∴抛物线解析式为：5322 +-=x x y 练习11：二次函数的图象经过（0,0），（-1,-1），（1,9） 12.已知二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式
二次函数顶点式的教案
二次函数顶点式的教案 一．知识要点 1. 若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式（a≠0）求解析式。 2. 若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式，其中（h，k）为顶点坐标。 3. 若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点式，其中为抛物线与x轴交点的横坐标 二. 重点、难点： 重点：求二次函数的函数关系式 难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。 三. 教学建议： 求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。 典型例题 例1. 已知某二次函数的图象经过点A（－1，－6），B（2，3），C（0，－5）三点，求其函数关系式。 分析：设，其图象经过点C（0，－5），可得，再由另外两点建立关于的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可。 解：设所求二次函数的解析式为 因为图象过点C（0，－5），∴ 又因为图象经过点A（－1，－6），B（2，3），故可得到： ∴所求二次函数的解析式为 说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为，然后确定a、b、c的值即得，本题由C（0，－5）可先求出c的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。 例2. 已知二次函数的图象的顶点为（1，），且经过点 （－2，0），求该二次函数的函数关系式。 分析：由已知顶点为（1，），故可设，再由点（－2，0）确定a的值即可 解：，则 ∵图象过点（－2，0）， 说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标（h，k），一般设，再根据其他条件确定a 的值。本题虽然已知条件中已设，但我们可以不用这种形式而另设这种形式。因为在这种形式中，我们必须求a、b、c的值，而在这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母a的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式。 例3. 已知二次函数图象的对称轴是，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。 分析：依题意，可知顶点坐标为（－3，2），因此，可设解析式为顶点式 解：设这个二次函数的解析式为 ∵图象经过（－1，0）， ∴所求这个二次函数的解析式为 即： 说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴，或函数的最大（最小值），可设顶点式为解析式。 例4. 已知二次函数的图象如图1所示，则这个二次函数的关系式是__________________。图1
二次函数顶点对称轴,解析式
《二次函数的图象》教案 一、教学目标 (一)知识目标 1．使学生会用描点法画出二次函数的图象； 2．使学生会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴(对于不升学的学生，只要求会用公式确定抛物线的顶点和对称轴)； 3．使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念； 4．使学生会用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式． (二)能力目标 1．培养学生分析问题、解决问题的能力； 2．向学生进行配方法和待定系数法的渗透，使学生能初步掌握； (三)情感目标 1．向学生进行事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点教育．2．通过二次函数的进一步研究，让学生认识到二次函数的对称轴、顶点坐标与二次项系数、一次项系数及常数项之间的内在联系的数学美及和谐的数学美． 二、教学方法 教师采用比较法、观察法、归纳总结法 本节重点是求二次函数解析式及将二次函数的解析式配方，确定抛物线的顶点、对称轴等特征，进而画出这条抛物线，在学习中，学生不要死记硬背，要运用数形结合思想，熟练画出抛物线草图，结合图像研究函数的性质以及不同图像之间的相互关系． 三、重点·难点·疑点及解决办法 1．教学重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标求对称轴及用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式．因为它们是画出二次函数的图像的基础． 2．教学难点：配方法的推导过程，因为虽然这种方法在前面学习一元二次方程时介绍过，但是在配方的过程中需要考虑加、减的数，对学生有一定的难度． 3．教学疑点：顶点式与一般式如何转化 四、教学媒体 三角板小黑板 五、教学设计思路 1．出示一组练习，导入新课． 2．“如何画的图像?”教师提问，让学生去讨论、发现：要写成的形式，找出对称轴，引入由一般式化成顶点式，推导出顶点坐标公式． 3．学生练习，为了强化巩固． 六、教学步骤 提问：说出下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标： (1) (2) (3) (4) (5)(出示幻灯) 通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用．这几个问题可找层次较低的学生回答，由其他同学给予评价． 我们已画过二次函数的图像，画它的图象的第一步是干什么?(列表)列表时我们是怎样取值的呢?(先确定中心值)若我们要画二次函数的图象应怎么办呢? 学生讨论得到：把二次函数转化成的形式再加以研究． 提问：怎样能把二次函数转化成的形式呢?我们先来看几个练习题：(出示幻灯)
人教版初三数学上册二次函数顶点式
22.1.3 二次函数y=a(x-h) +k的图象和性质（3） 凤台四中牛井梅 教学目标： 1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。 2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。 重点难点： 重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的重点。 难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x －h)2＋k的性质是教学的难点。 教学过程： 一、提出问题 1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系? (函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的) 2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系? 3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 二、试一试 你能填写下表吗? y=2x2向右平移 的图象1个单位y=2(x－1)2向上平移 1个单位y=2(x－1)2＋1的图 象 开口方向向上 对称轴y轴 顶点(0，0) 问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗? 问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；
二次函数顶点式图像与性质
2.2二次函数的图象与性质（3） 教学目标 (一)教学知识点 1．能够作出函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能理解它与 y＝ax2的图象的关系．理解a，h，k对二次函数图象的影响． 2．能够正确说出y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (二)能力训练要求 1．通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解． 2．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力． (三)情感与价值观要求 1．经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 2．让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点 1．经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的作法和性质的过程． 2．能够作出y＝a(x—h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响． 3．能够正确说出y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．教学难点 能够作出y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能够理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响． 教学方法 探索——比较——总结法． 教具准备 投影片四张 第一张：(记作§2．4．1A) 第二张；(记作§2．4．1B) 第三张：(记作§2．4．1C)
第四张：(记作§2．4．1D) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境、引入新课 [师]我们已学习过两种类型的二次函数，即y＝ax2与y＝ax2＋c，知道它们都是轴对称图形，对称轴都是y轴，有最大值或最小值．顶点都是原点．还知道y＝ax2＋c的图象是函数y＝ax2的图象经过上下移动得到的，那么y＝ax2的图象能否左右移动呢？它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢？本节课我们就来研究有关问题． Ⅱ．新课讲解 一、比较函数y＝3x2与y＝3(x－1)2的图象的性质． 投影片：(§2．4A) (1)完成下表，并比较3x2和3(x－1)2的值，它们之间有什么关系？ (2)在下图中作出二次函数y＝3(x－1)2的图象．你是怎样作的？ (3)函数y＝3(x－1)2的图象与y＝3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？ (4)x取哪些值时，函数y＝3(x－1)2的值随x值的增大而增大？x取哪些值时，函数y＝3(x－1)2的值随x值的增大而减小？ [师]请大家先自己填表，画图象，思考每一个问题，然后互相讨论，总结．[生](1)第二行从左到右依次填：27，12，3，0，3，12，27，48；第三行从左到右依次填48，27，12，3，0，3，12，27． (2)用描点法作出y＝3(x－1)2的图象，如上图．
配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标
配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标 提取二次项系数 加上再减去一次项系数一半的平方 例1、试用配方法把二次函数①y =－2x 2+4x －4 ②5632+-=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式并完成下表： 练习；一、填空题： 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) c bx ax y ++=2??? ? ?++=a c x a b x a 2??? ? ??+??? ??-??? ??++=a c a b a b x a b x a 22222????????-+??? ??+=222442a b ac a b x a .44222a b ac a b x a -+??? ??+=.2:a b x -=它的对称轴是直线.44,22???? ? ?--a b ac a b 它的顶点是
5．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ . 6．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。 7．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 8．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线， 且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 9．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 10．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。 11．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝ 。 二、用配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标 1、y=x 2-x-2 2、y=12 1212++-x 3、y=12 1212+--x x 4、y=22++-x x
二次函数之配方法求顶点式以及与一元二次方程的关系
§6.2二次函数的图像与性质⑸ 【课前自习】 1. 根据y 2 2.抛物线y ＝2(x ＋2)2＋1的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x ＝ 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 3.抛物线y ＝－2(x －2)2－1的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x ＝ 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 4.抛物线y ＝－1 2(x ＋1)2－3与抛物线 关于x 轴成轴对称； 抛物线y ＝－1 2(x ＋1)2－3 与抛物线 关于y 轴成轴对称； 抛物线y ＝－1 2(x ＋1)2－3与抛物线 关于原点对称. 5. y ＝a (x ＋m )2＋n 被我们称为二次函数的 式. 一、探索归纳： 1.问题：你能直接说出函数y ＝x 2＋2x ＋2 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ . 2.你有办法解决问题①吗？ y ＝x 2＋2x ＋2的对称轴是 ，顶点坐标是 . 3.像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式，从而直接得到它的图像性质. 练习1.用配方法把下列二次函数化成顶点式： ①y ＝x 2－2x －2 ②y ＝x 2＋3x ＋2 ③y ＝2x 2＋2x ＋2
④y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 4.归纳：二次函数的一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可以被整理成顶点式： ， 说明它的对称轴是 ，顶点坐标公式是 . 练习2.用公式法把下列二次函数化成顶点式： ①y ＝2x 2－3x ＋4 ②y ＝－3x 2＋x ＋2 ③y ＝－x 2－2x 二、典型例题： 例1、用描点法画出y ＝1 2x 2＋2x －1的图像. ⑴用 法求顶点坐标： ⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： ⑷观察图像，该抛物线与y 轴交与点 ，与x 轴有 个交点. 例2、已知抛物线y ＝x 2－4x ＋c 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上 ，求抛物线的顶点坐标.
二次函数顶点坐标公式
函数在数学中占有很大的比例，但是函数的学习却很复杂。其考察的内容有很多方面，开口方向、对称轴及坐标公式都是考察的重点。下面为大家整理了二次函数顶点坐标的相关公式，希望能帮到大家。 一、基本简介 一般地，我们把形如y=ax²+bx+c(其中a，b，c是常数，a0)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。 主要特点 变量不同于未知数，不能说二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。未知数只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，变量可在一定范围内任意取值。在方程中适用未知数的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。 二次函数图像与X轴交点的情况 当△=b²-4ac;0时，函数图像与x轴有两个交点。 当△=b²-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。 当△=b²-4ac0时，函数图像与x轴没有交点。 二、二次函数图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。 轴对称 二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。 特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。 a,b同号，对称轴在y轴左侧. a,b异号，对称轴在y轴右侧. 顶点 二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )即(-b/2a, (4ac-b²/4a).当 h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x- h)²+k。 h=-b/2a，k=(4ac-b²)/4a。 开口方向和大小 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。 当a;0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则二次函数图像的开口越小。 决定对称轴位置的因素折叠 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a;0,与b同号时(即ab;0)，对称轴在y轴左;因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号 当a;0,与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a;0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab;0)，对称轴在y轴左;当a 与b异号时(即ab0 )，对称轴在y轴右。 事实上，b有其自身的几何意义：