大物(2)期末复习

练习一 静电场中的导体

三、计算题

1. 已知某静电场在 xy 平面内的电势函数为 U=Cx/(x 2

+y 2)3/2

,其中 C 为常

数 .求(1)x 轴上任意一点 ,(2)y 轴上任意一点电场强度的大小和方向 .

解： .

E x =

U/ x

= C[1/(x 2

+y 2)3/2

+x( 3/2)2x/(x 2

+y 2)5/2

]

= (2x 2 y 2)C /(x 2+y 2)

5/2

E y =

U/ y

= Cx( 3/2)2y/(x 2

+y 2)5/2

=3Cxy/(x 2

+y 2)5/2

x 轴上点 (y=0) E x =2Cx 2

/x 5

=2C/x 3

E y =0

E=2Ci/x 3

y 轴上点 (x=0) E x = Cy 2

/y 5

= C/y 3

E y =0

E= Ci/y 3

2．如图 ,一导体球壳 A(内外半径分别为 R 2,R 3),同心地罩在一接地导体球 B(半径为 R 1)上 ,今 给 A 球带负电 Q, 求 B 球所带电荷 Q B 及的 A 球的电势 U A .

静电场中的导体答案

解： 2. B 球接地 ,有 U B =U =0, U A =U BA

U A =( Q+Q B )/(4 0R 3)

U BA =[Q B /(4

0)](1/ R 2 1/R 1)

得

Q

B =QR 1R 2/( R 1R 2+ R 2R 3 R 1R 3)

0R 3)][ 1+R 1R 2/(R 1R 2+R 2R 3 R 1R 3)]

练习二 静电场中的电介质

三、计算题

1. 如图所示 ,面积均为 S=的两金属平板 A,B 平行对称放置 ,间距为 d=1mm,今给 A, B 两板分别带电 Q 1=×10－

9C, Q 2=×10－

9

C.忽略边缘效 应,

求： (1) 两板共四个表面的面电荷密度 1, 2, 3, 4;

(2) 两板间的电势差 V=U A － U B .

解： 1. 在 A 板体内取一点 A, B 板体内取一点 B,它们的电场强度是四

个表面的电荷产生的 ,应为零 ,有

E A = 1/(2 0)

2/(2 0)

3/(2 0)

4/(2 0)=0

U A =[ Q/ (4 = Q(R 2 R 1)/[4 0(R 1R 2+R 2R 3 R 1R 3)]

A Q 1

12

图

B Q 2

34

图

E A= 1/(2 0)+ 2/(2 0)+ 3/(2 0) 4/(2 0)=0而S(

1+ 2)=Q1 S( 3+ 4)=Q2

有

1234

=0

1+2+ 3 4=0

1+2=Q1/S

3+4=Q2/S

解得1= 4=(Q1+Q2)/(2S)=10 8C/m2

2= 3=(Q1 Q2)/(2 S)= 10 8C/m2

两板间的场强E= 2/ 0=(Q1 Q2)/(2 0S)

B

V=U A－U B E dl

A

=Ed=(Q1 Q2)d/(2 0S)=1000V

四、证明题

1. 如图所示，置于静电场中的一个导体，在静电平衡

后，导体表面出现正、负感应电荷.试用静电场的环路定理证

明，图中从导体上的正感应电荷出发，终止于同一导体上的负

感应电荷的电场线不能存在.

解： 1. 设在同一导体上有从正感应电荷出发，终止于负感应

电荷的电场线.沿电场线ACB 作环路ACBA,导体内直线BA

的场强为零,ACB 的电场与环路同向于是有

A

E dl E dl E 2 dl = E dl 0

l ACB B ACB

与静电场的环路定理E dl 0 相违背,故在

l 同一导体上不存在从正感应电荷出发，

终止于负感应电荷的电场线.

练习三电容静电场的能量

三、计算题

1. 半径为R1的导体球带电Q ,球外一层半径为R2相对电容率为r 的同心均匀介质球壳,其余全部空间为空气.如图所示.求:(1) 离球心距离为r1(r1R2)处的 D 和E；(2)离球心r1,

r2, r3,处的U；(3)介质球壳内外表面的极化电荷.

解：1. (1)因此电荷与介质均为球对称,电场也球对称,过场点作与

金属球同心的球形高斯面,有

D dS q0i

S

4 r2D= q0i 导体

图

B

A

当 r=15cm(R 1

C

得 D 2=Q/(4 r 2)=×10 8C/m 2

E 2=Q/(4 0 r r 2)= × 13

N0 /C

当 r=25cm(r>R 1+d ) q 0i =Q=× 10 8C

得 D 3=Q/(4 r 2)=×10 8C/m 2

E 3=Q/(4 0r 2)= × 14

0N/C

D 和

E 的方向沿径向 . (2) 当 r=5cm

r

R R d E 1

dr

E 2dr E 3dr

r

1

R 2

R d 3

=Q/(4 0 r R) Q/[4 0 r (R+d)]+Q/ [4

0(R+d)]

=540V

当 r=15cm

Rd

U 2= E dl E 2dr E 3dr

r r 2 R d 3

=Q/(4 0 r r) Q/[4 0 r (R+d)]+Q/ [4

0(R+d)]

=480V

当 r=25cm

U 3=

r

E dl

E 3dr =Q/(4 r

0r)=360V

(3)在介质的内外表面存在极化电

P e =

0 E=

0( r 1)E

= P e ·n

r=R 处 , 介质表面法线指向球心

=P e ·n =P e cos =

0( r 1)E

q=

S= 0( r 1) [Q/(4

0 r R

2

)]4 R 2

= ( r 1)Q/ r = ×108

C

r=R+d 处 , 介质表面法线向外

=P e ·n =P e cos0= 0( r 1)E

q = S= 0( r 1)[ Q/(4

0 r (R+d)

2

]4 (R+d)2

=( r 1)Q/ r =× 108

C

2.两个相距很远可看作孤立的导体球，半径均为 10cm ，分别充电至 200V 和 400V ，然后 用

一根细导线连接两球，使之达到等电势 . 计算变为等势体的过程中，静电力所作的功 . 解 ;2.球形电容器

C=4

0R

Q 1=C 1V 1=4 0RV 1

Q 2=C 2V 2= 4

0RV 2

W 0=C 1V 12

/2+C 2V 22

/2=2 0R (V 1

2

+V 22

)

两导体相连后 C=C 1+C 2=8 0R

Q=Q 1+Q 2= C 1V 1+C 2V 2=4 0R(V 1+V 2)

W=Q 2

/(2 C)= [4

0R(V 1+V 2)]2

/(16 0R)=

0R(V 1+V 2)

2

静电力作功 A=W 0 W

=2 0R (V 1

2

+V 22

)

0R(V 1+V 2)

2

= 0R(V 1 V 2)

2

=× 107

J

练习六 磁感应强度 毕奥—萨伐尔定律

三、计算题 1. 如图所示 , 一宽为 2a 的无限长导体薄片 , 沿长度 方向的电流 I 在导体薄片上均匀分布 上方距导体薄片为 a 的磁感强度 . 解： 1.取宽为 dx 的无限长电流元

dI=Idx/(2a) dB= 0dI/(2 = 0Idx/ (4 dB x =dBcos . 求中心轴线 OO 0Idx/ (4 dB y =dBsin B x dB x r) ar) =[ 0Id x/ (4 ar )](a/r ) r 2)= 0Idx/ [4 (x 2+a 2)] = 0Ixdx/[4 a(x 2+a 2

)] a 0Idx

a 2 2 a

4 x a =[ B y 0I/(4 )](1/a)arctan(x/a) a a dB y a 4 a 0x I 2xdx

a 2 0I/(8a ) =[ 0I/(8 a)]ln(x 2+a 2

) a a =0 2. 如图所示， 半径为 R 的木球上绕有密集的细导线， 此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面 . 设线圈的总匝数为 线圈的电流为 I. 求球心 O 的磁感强度 . 解：2. 取宽为 dL 细圆环电流 , dI=IdN=I[N/ ( R/2)]Rd =(2IN/ )d dB= 0dIr 2/[2(r 2+x 2)3/2

] r=Rsin x=Rcos dB= 0NIsin 2 B dB d /( R) 0

NI sin 2

d 2 0NI/(4R)

练习 七 毕奥—萨伐尔定律 (续) 磁场的高斯定理

三、计算题

1.在无限长直载流导线的右侧有面积为 S 1 和 S 2 的两个矩形回路 ,

回路旋转方向如图所示 , 两个回路与长直载流导线在同一平面内 , 且 矩形回路的一边与长直载流导线平行 . 求通过两矩形回路的磁通量及

通过 S 1回路的磁通量与通过 S 2 回路的磁通量之比 解： 1.取窄条面元 dS=bdr, 面元上磁场的大小为

B= 0I/(2 r), 面元法线与磁场方向相反 .有 2a 0I

1= 0

bdr cos

a 2r 4a

0I 2= 0

bdr cos 2a 2 r

0bI

ln2 2

20

bIln2

1/ 2=1

2. 半径为 R 的薄圆盘均匀带电，总电量为 Q . 令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线作匀

速转动，角速度为 ，求轴线上距盘心 x 处的磁感强度的大小和旋转圆盘的磁矩 解 ;2. 在圆盘上取细圆环电荷元 dQ= 2 rdr,

[ =Q/( R 2) ], 等效电流元为 dI=dQ/T= 2 rdr/(2 / )= rdr

(1)求磁场 , 电流元在中心轴线上激发磁场的方向沿轴线 ,且与 同向 ,大小为 dB= 0dIr 2/[2(x 2+r 2)3/2]= 0 r 3dr/[2( x 2+r 2)3/2]

r 3

dr

R

r 2d r 2 x 2

222

x d r x 0 2 r 2 x 2 3/2

2 2

3 2

rx

2 2

3 2

rx

22 0

r x

32

r 2

Q R 2 2x 2

2 R 2 R 2 x 2

2x

(2)求磁距 . 电流元的磁

矩

r 2dr

图

三、计算题

1. 如图所示，一根半径为 R 的无限长载流直导体，其中电流 I 沿 轴

向流过， 并均匀分布在横截面上 . 现在导体上有一半径为 R 的圆柱 形空腔，其轴与直导体的轴平行，两轴相距为 d . 试求空腔中任意一 点的磁感强度 .

解：1. 此电流可认为是由半径为 R 的无限长圆柱电流 I 1和一个同电流 密度的反方向的半径为 R 的无限长圆柱电流 I 2 组成.

2. 设有两无限大平行载流平面 , 它们的电流密度均为 (1) 载流平面之间的磁感强度； (2) 两面之外空间的磁感强度

电流②在空间产生的磁场为 B 2= 0J/2

在平面②的上方向左 ,在平面②的下方向右

(1) 两无限大电流流在平面之间产生的磁感强度方向都向左 ,故有 B=B 1+B 2= 0J (2) 两无限大电流流在平面之外产生的磁感强度方向相反 ,故有 B=B 1 B 2=0

练习九 安培力

I 1=J R 2 I 2= J R 2 J=I/[ (R 2 R 2

)] 它们在空腔内产生的磁感强度分别为 B 1= 0r 1J/2 B 2= 0r 2J/2 方向如图 .有 B x =B 2sin 2 B 1sin 1=( B y =B 2cos 2＋ B 1cos 1

0 J/2)( r 2sin 2 r 1sin 1)=0

=( 0J/2)(r 2cos 2＋ r 1cos 1)=( 0J/2)d 所以 B = B y = 0dI/ [2 (R 2－R 2

)] 方向沿 y 轴正向 B y

I

B

x

d

R

解 ;2. 两无限 产生的磁场 在平面①

的

① I 1 ②

I 2

大平行载流平面的截面如图 .平面电流在空

间 为 B 1= 0J/2 上方向右 ,在平面①的下方向左

r 3dr =

R 4/4= QR 2/4

练习八

安培环路定律

j,电流流向相反 . 求： 2R R O O

d

1. 一边长 a =10cm 的正方形铜导线线圈 (铜导线横截面积 S=, 铜的密度 =cm 3

), 放在均匀

外磁场中 . B 竖直向上 , 且 B = 10 3T, 线圈中电流为 I =10A . 线圈在重力场中 求:

(1) 今使线圈平面保持竖直 , 则线圈所受的磁力矩为多少 .

(2) 假若线圈能以某一条水平边为轴自由摆动 少.

解：1. (1) P m =IS=Ia 2 方向垂直线圈平面 . 线圈平面保持竖直 ,即 P m 与 B 垂直 .有 M m =P m ×

B

M m =P m Bsin( /2)=Ia 2

B =× 10 4

m N

(2) 平衡即磁力矩与重力矩等值反向

M m =P m Bsin( /2－ )=Ia 2

Bcos M G = M G1 + M G2 + M G3

= mg(a/ 2)sin + mga sin + mg(a/ 2)sin

=2( Sa)gasin =2 Sa 2

g sin Ia 2

Bcos =2 Sa 2

gsin tan =IB/(2 Sg)= =15

2. 如图所示，半径为 无限长直线电流的磁场中 求半圆线圈受到长直线电流

解： 2.在圆环上取微元

I 2dl= I 2Rd 该处磁场为 B=

0I 1/(2 Rcos )

I 2dl 与 B 垂直,有 dF= I 2dlBsin( /2) dF= 0I 1I 2d /(2 cos )

dF x =dFcos = 0I 1I 2d /(2 )

dF y =dFsin 0I 1I 2si n

d /(2 cos ) 2

F x

2

0I 1I 2

d

0I 1I 2/2

2

因对称 F y =0.故 F= 0I 1I 2/2 方向向右

练习十 洛仑兹力

,当线圈平衡时 ,线圈平面与竖直面夹角为多

R 的半圆线圈 ACD 通有电流 I 2, 置于电流为 I 1 的

直线电流 I 1 恰过半圆的直径 , 两导线相互绝缘 .

1. 如图所示，有一无限大平面导体薄板，自下而上均匀通有电流，已知其面电流密度为

i(即单位宽度上通有的电流强度)

(1) 试求板外空间任一点磁感强度的大小和方向.

(2) 有一质量为m，带正电量为q 的粒子，以速度v 沿平板法线方向向外运动. 若不计粒子重力.求：

(A) 带电粒子最初至少在距板什么位置处才不与大平板碰撞.

(B) 需经多长时间，才能回到初始位置.. 解：1. (1)求磁场.用安培环路定律得B= 0i/2在面电流右边 B 的方向指向纸面向里,在面电流左边 B 的方向沿纸面向外.

(2) F=qv × Bm=a qvB=ma n=mv 2/R

带电粒子不与平板相撞的条件是粒子运行的圆形轨迹不与平板相交,即带电粒子最初位置与平板的距离应大于轨道半径.

R=mv/qB= 2mv/( 0iq)

(3) 经一个周期时间，粒子回到初始位置.即

t=T=2 R/v= 4 m/( 0iq)

2. 一带电为Q 质量为m 的粒子在均匀磁场中由静止开始下落,磁场的方向(z 轴方向) 与重

力方向(y 轴方向)垂直, 求粒子下落距离为y 时的速率.并讲清求解方法的理论依据.

解：2. 洛伦兹力Qv×B垂直于v,不作功,不改变v的大小；重力作功.依能量守恒有mv2/

2=mgy，

得v=(2gy)1/2.

练习十一磁场中的介质

三、计算题

1. 一厚度为 b 的无限大平板中通有一个方向的电流, 平板内各点的电导率为, 电场强度

为E,方向如图所示, 平板的相对磁导率为r1,平板两侧充满相对磁导率为r2 的各向同性的均

匀磁介质, 试求板内外任意点的磁感应强度.

解： 1. 设场点距中心面为x,因磁场面对称以中心面为对称面过场点取矩形安培环路，有

H l dl

=ΣI0 2LH=ΣI0

(1)介质

内

,0

H=x E B= 0 r1H= 0r1x E

(2)介质

外, x >b/2. ΣI0=b lJ=b l E,有

H= b E/2B= 0r2H= 0r2b E/2

l

H

E×

H

2. 一根同轴电缆线由半径为 R 1 的长导线和套

在它外面的半径为 R 2 的同轴薄导体圆筒组成，中 间充满磁化率为 m 的各向同性均匀非铁磁绝缘介 质，

如图所示 . 传导电流沿导线向上流去 , 由圆筒 向下流回，电流在截面上均匀分布 . 求介质内外表 面的磁化电流的大小及方向 .

解： 2. 因磁场柱对称 取同轴的圆形安培环路，有 H dl =ΣI 0 在介质中 (R 1 r R 2)， ΣI 0=I ，有

2 rH= I H= I/(2 r )

介质内的磁化强度

M= m H = m I/(2 r)

介质内表面的磁化电流

J SR1= M R1×n R1 = M R1 = m I/(2 R 1) I SR1=J SR1 2 R 1= m I (与 I 同向 ) 介质外表面的磁化电流

J SR2= M R2×n R2 = M R2 = m I/(2 R 2) I SR2=J SR2 2 R 2= m I

( 与 I 反向 )

练习十二 电磁感应定律 动生电动势

三、计算题

1. 如图所示，长直导线 AC 中的电流

导线附近放一个与之同面的直角三角形 线框，其一边与导线平行，位置及线框 尺寸如图所示 . 求此线框中产生的感应 电动势的大小和方向 .

m = S

B dS

a 2x

b

Il

a b

a b ln b

=

2 b

a

0l

ab d I

ε

d m /dt=

b a b ln

2 b

a dt

ab

E b E

r

r

r

解： 1. 取顺时针为三角形回路电动势正向 dS=yd x=[( a+b x)l/b ]d x

,得三角形面法线垂直纸面向里 .取窄条面积微元 0

I

a b xldx

图图

dI /dt = 2 A/s 的变化率均匀增长

a

B

l

b

图

负号表示逆时针

2. 一很长的长方形的 U 形导轨，与水平面成 角，裸导线可在导轨上无摩擦地下滑， 导轨

位于磁感强度 B 垂直向上的均匀磁场中，如图所示 . 设导线 ab 的质量为 m ，电阻为 R ， 长度为 l ，导轨的电阻略去不计 , abcd 形成电路 . t=0 时， v=0. 求：(1) 导线 ab 下滑的速度 v 与 时间 t 的函数关系 ; (2) 导线 ab 的最大速度 v m . 解：2. (1) 导线 ab 的动生电动势为

i = l v

×B·dl=vBlsin( /2+ )=vBlcos

I i =εi /R= vBlcos /R 方向由 b 到 a. 受安培力方向向右 ,

大小为

22

F=

l (I i dl

×)B = vB 2l 2cos /R

F 在导轨上投影沿导轨向上 ,大小为

F = Fcos =vB 2l 2

cos 2

/R

重力在导轨上投影沿导轨向下 ,大小为 mgsin

mgsin vB 2l 2

cos 2

/R=ma=mdv/d t

练习十三 感生电动势 自感

三、计算题

1. 在半径为 R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场

的金属棒 MN 放在磁场外 且与圆柱形均匀磁场相切 , 切点为金属棒的中点 ,金属 棒与磁场 B 的轴线垂直 .如 图所示 .设 B 随时间的变化 率

dB/dt 为大于零的常量 . 求 :

棒上感应电动势的大小 , 并指出哪一个端点的电势 高.

×10

(2) 导线 ab 的最大速度 dt= dv /[ gsin t dv

gsin

mgR sin

B 2l 2

2

cos

vB 2l 2cos 2 /( mR)] vB 2l 2 cos 2 mR

B 2l 2 cos 2 t mR

1e

v m = mgRsin

2 2 2

B l cos

图

(分别用对感生电场的积分ε i = l E i ·dl 和法拉第电磁感应定律ε i =－d /dt 两种方法解 ). .

解： (1) 用对感生电场的积分 εi = l E i ·dl 解 :在棒 MN 上取微元 dx( R

E i =[R 2

/(2 r)](d B/ dt)

与棒夹角 满足 tan =x/R NN ε

i = E i dl = E i dxcos M i M

i

=[R 3

(dB/dt)/2](1/R)arctan(x/R) R

R

=－(－d mMONM /d t) =d mMONM /d t

而 mMONM =

B dS = R 2B/4

S

故

εi = R 2

(dB/dt)/4

N 点的电势高

2. 电量 Q 均匀分布在半径为 a,长为 L(L>>a)的绝缘薄壁长圆筒表面

上

心轴旋转 .一半径为 2a,电阻为 R 总匝数为 N 的圆线圈套在圆筒上 ,如图所示 .若圆筒转速按

= 0(1 t/t 0)的规律 ( 0,t 0 为已知常数 )随时间线性地减小 ,求圆线圈中感应电流的大小和流

向.

解：2. .等效于螺线管

B 内= 0 nI= 0 [Q /(2 )]/L= 0 Q /(2 L)

B 外 =0 = S B dS=B a 2= 0Q a 2

/(2 L)

εi =－d /dt=－[ 0Q a 2

/(2 L)]d /dt = 0 0Q a 2

/(2 L t 0) I i =εi

/R= 0 0Q a 2

/(2 LR t 0) 方向与旋转方向一致 .

练习十四 自感(续)互感 磁场的能量

R

R 2 dB dt dx R R 3 dB R dx 2r r2

dt R x 2 R 2

M

E i dl =

dl

M N

M E i dl +

E i

N

dl +O E i dl

,圆筒以角速度 绕中

×

×B

= R 2(dB/dt)/4 因εi =>0,

故 N 点的电势高 . (2) 用法

拉第电磁感应定律 沿半径作辅助线 OM,ON 组

εi =－d /dt 解: 成三角

形回路 MONM

M= m /I== 0Nhln(R/r)/(2 )

三、计算题

1. 两半径为 a 的长直导线平行放置 ,相距为 d,组成同一回路 ,求其单位长度导线的自感系

数 L 0.

解：1. 0≤r ≤a

取如图所示的坐标 ,设回路有电流为 I,则两导线间磁场方向向里 B 1= 0Ir/ (2

a 2

)+

0I/[2

(d r)]

a ≤r ≤d a B 2= 0I/(2 r)+ 0I/[2 (d r)] d a ≤r ≤d

B 3= 0I/(2 r)+

0I(d

r)/(2 a 2)

取窄条微元 dS=ldr,由 m =

B S

dS 得

0 0

Irl dr a 0Ildr

2 a 2 + 0 2 d r

+[

da

+

a da

+

a

Ildr d a 0Ildr

+

2 r a 2 d r 0Ildr

2r

da

+

a

0I d-r ldr

2 a 2

= 0Il/ (4 )+[ 0Il/ (2 0Il/ (2 )]ln[( d a)/a] +[ )]ln[ d/ (d a)]

0Il/ (2 )]ln[( d a)/a] +[ 0Il/ (2 )]ln[ d/ (d

a)]+ 0Il/ (4 )

= 0Il/ (2 )+( 0Il/ )ln( d/a )

由 L l = l /I,L 0= L l /l= l /( Il).得单位长度导线自感 L 0== 0l/(2 )+( 0l/ )ln(d/a )

2 内外半径为 R 、 r 的环形螺旋管截面为长方形 ,

共有 N 匝线圈 .另有一矩形导线线圈与其套合 ,如 图(1)所示 . 其尺寸标在图 (2) 所示的截面图中 ,求 其互感系数 .

解：2. 设环形螺旋管电流为 I, 则管内磁场大小为

B= 0NI/ (2

) r ≤ ≤R

方向垂直于截面 ; 管外磁场为零 . 取窄条微元

dS=hd ,由 m = B dS 得

S

NIhd

2

0NIhln(R/r)/(2

,大小为

a

ml = (1) (2)

图