分式方程的概念及解法(2)

八年级数学下册《分式第二讲分式方程》知识点及典型例习题.doc

【知识要点】 1. 分式方程的概念以及解法 ; 2. 分式方程产生增根的原因 3. 分式方程的应用题【主要方法】 2. 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数 ; 解分式方程的关健是化分式方程为整式方程 ; 方程两边同乘以最简公分母. 3. 解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 . 2019-2020 年八年级数学下册《分式第二讲分式方程》知识点和典型例习题题型一：用常规方法解分式方程【例 1】解下列分式方程（ 1） 1 3 ；（ 2） 2 1 0 ；（ 3） x 1 4 1 ；（ 4） 5 x x 5 x 1 x x 3 x x 1 x 2 1 x 3 4 x 提示易出错的几个问题： ①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根； ④忘记验根 . 题型二：特殊方法解分式方程【例 2】解下列方程（ 1） x 4 x 4 4 ；（ 2） x 7 x 9 x 10 x 6 x 1x x 6 x 8 x 9 x 5 提示：（ 1）换元法，设 x y ；（ 2）裂项法， x 7 1 1 . x 1 x 6 x 6 【例 3】解下列方程组 1 1 1 (1) x y 2 1 1 1 (2) y z 3 1 1 1 (3) z x 4 题型三：求待定字母的值【例 4】若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值 . x 3 x 3

【例 5】若分式方程 2 x a 1的解是正数，求 a 的取值范围 . x 2 提示： 2 a 0 且 x 2 ， a 2 且 a 4 . x 3 题型四：解含有字母系数的方程【例 6】解关于 x 的方程 x a c b x d (c d 0) 提示：（ 1） a, b, c, d 是已知数；（ 2） c d 0 . 题型五：列分式方程解应用题练习： 1．解下列方程：（ 1） x 1 2x 0 ；（2） x 2 4 ； x 1 1 2x x 3 x 3 （ 3） 2x 3 2 ；（4） 7 3 1 7 x 2 x 2 x 2 x 2 x x x 2 x 2 1 （ 5） 5x 4 2x 5 1 （6） 1 1 1 1 2x 4 3x 2 2 x 1 x 5 x 2 x 4 （ 7） x x 9 x 1 x 8 x 2 x 7 x 1 x 6 2．解关于 x 的方程：（ 1） 1 1 2 (b 2a) ；（ 2） 1 a 1 b (a b) . a x b a x b x 3．如果解关于 x 的方程 k 2 x 会产生增根，求 k 的值 . x 2 x 2 4．当 k 为何值时，关于 x 的方程 x 3 (x k 2) 1 的解为非负数 . x 2 1)( x 5．已知关于 x 的分式方程 2a 1 a 无解，试求 a 的值 . x 1 （二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例 1．解方程： 1 x 3 x 2 二、化归法例 2．解方程： 1 2 0 1 x 2 x 1

北师大版数学八年级下册5.4.2《分式方程的解法》教案设计

4 分式方程第2课时分式方程的解法教学目标【知识与技能】 1.知道解分式方程的步骤; 2.明确分式方程产生增根的原因及分式方程检验的方法；【过程与方法】经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想. 【情感态度】在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力. 【教学重点】掌握分式方程的解法【教学难点】掌握分式方程的解法、解分式方程要验根. 教学过程一.问题导引，初步认知我们已经学过一元一次方程，你还记得一元一次方程的解法吗？你能想象一下，如何得到分式方程的解吗？

二.思考探究，获取新知探究：分式方程的解法 1.解下列分式方程：【教学说明】通过观察，使学生发现可以将分式方程通过去分母转化成一元一次方程来求解.通过教师对例题讲解，让学生明确解分式方程的一般步骤. 【归纳结论】1.解分式方程的一般步骤：（1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为_____；（2）解这个整式方程；（3）检验 2.下列哪种解法准确？解分式方程解法一：将原方程变形为方程两边都乘以x-2,得：1-x=-1-2 解这个方程，得：x=4. 解法二：将原方程变形为方程两边都乘以x-2 ,得：1-x=-1-2(x-2) 解这个方程，得：x=2

你认为x=2是原方程的根？与同伴交流. 【归纳结论】增根概念：将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根；认识增根： ①增根是去分母后所得的根； ②增根使最简公分母的值为0； ③增根不是原方程的根. 三.运用新知，深化理解 A．2个 B.3个 C.4个 D.5个答案：B. （）是分式方程,（）是整式方程. 答案：B;A、C 3.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元.后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，

分式方程解法知识讲解

16.3《分式方程解法》说课稿《课标》指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”从教师的教学角度上看：教师是进行数学活动的组织者、引领者，是教学活动的主导；从学生的学习角度上看：数学活动是学生经历数学化过程的活动，是学生自己建构数学知识的活动，是学习活动的主体；从师生的合作角度上看：数学活动过程是教师和学生之间互动的过程，是师生共同发展的过程，即要促进学生发展，也要促进教师成长。教师作为数学教学主导，在设计数学活动时要遵循以下原则：一、根据学生的年龄特征和认知特点组织教学。二、重视培养学生的应用意识和实践能力。1、让学生在现实情境和已有的生活和知识经验中体验和理解数学。2、培养学生应用数学的意识和提高解决问题的能力。三、重视引导学生自主探索，培养学生的创新精神。1、引导学生动手实践、自主探索和合作交流。2、鼓励学生解决问题策略的多样化。四、教师对教学目标，难点，重点把握要恰当、具体。数的计算非常重要，计算是帮助我们解决问题的工具，只有在具体的情境中才能让学生真正认识计算的作用。首先应当让学生理解的是面对具体的情境，确定是否需要计算，然后再确定需要什么样的计算方法。口算、笔算、估算、计算器和计算机都是供学生选择的方式，都可以达到算出结果的目的。一、设计思想：数学来源于生活，数学教学应走进生活，生活也应走进数学，数学与生活的结合，会使问题变得具体、生动，学生就会产生亲近感、探究欲，从而诱发内在学习潜能，主动动手、动口、动脑。因此，在教学中，我们应自觉地把生活作为课堂，让数学回归生活，服务生活。培养学生的动手能力和创新能力，丰富和发展学生的数学活动经历，并使学生充分体会到数学之趣、数学之用、数学之美。

分式方程的解法及应用(提高)知识讲解

分式方程的解法及应用（提高）责编：杜少波【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；

新人教版八年级数学分式方程

分式方程（1）【学习目标】 1．了解分式方程的概念, 和产生无解的原因。 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解。【重点】会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解。【自主学习】 1、预习内容：自学教材第149页 2、预习检测： 1）中含有的方程叫做分式方程。 2）你能再写出几个分式方程吗？ 3）下列式子中，属于分式方程的是，属于整式方程的是。 ①1213=-+x x ②21412x x -=- ③12312=+x x ④51≥x 【合作探究】探究点一类比学习探究分式方程的解法 1、解下列方程：（1）415-=x x （2）1 45-=x x ；解：去分母(各项乘以公分母 ) 解:去分母(各项乘以最简公分母________ _) ?-=?415 x x 约分得:()()54?=? 约分得：()()x x ?=-?)1( 去括号：去括号：移项：移项：合并同类项：合并同类项：系数化为1：归纳：解分式方程的思路是将分式方程转化成，基本的方法是 (一般是方程两边同乘）。且解分式方程必须。例1解方程 x x 332=- 例2解方程2)(1(311+-=--x x x x ?-=?145x x

2、解分式方程 1223x x =+ 2510512-=-x x 22411x x =-- 21133x x x x =+++ 例3、若关于x 的方程 021 1=--+x ax 无解，求a 的值 3、课后作业 1、=a 时，关于x 的方程 53221+-=-+a a x x 的解为零； 2、若关于x 的方程 3232-+=--x m x x 无解，则m 的值为。 3、若代数式11 2--x 的值为零，则=x 4、若11-x 与1 2+x 互为相反数，则可得方程，解得=x 5、解方程：（1）1332+=-a a （2）88122-=--m m m （3） 22510x x x x -=+-

分式方程的概念-解法及应用

分式方程的解法及应用一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标： ● 分式方程的概念以及解法； ● 分式方程产生增根的原因； ● 分式方程的应用题。重点难点： ● 重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系． ● 难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析．学习策略： ● 经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养数学的应用意识。二、学习与应用（一）什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有的叫做方程．使方程两边相等的的值，叫做方程的解．（二）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质．用式子表示是： M B M A B A M B M A B A ÷÷=??=,（其中M 是不等于0的整式）． “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（三）等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或（除数不能为0），所得的结果仍是等式。（四）解下列方程：（1）9－3x ＝5x ＋5；（2）5 2221+-=--y y y 知识点一：分式方程的定义里含有未知数的方程叫分式方程。要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是；②含有；③分母里含有。（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有（不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是，不含有未知数的方程是方程，如：关于x 的方程 x x =-21和12723+=-x x 都是方程，而关于x 的方程x x a =-21和d c b x =+1都是方程。知识点二：分式方程的解法（一）解分式方程的基本思想把分式方程化为方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。（二）解分式方程的一般方法和步骤（1），即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。（2）解这个方程。（3）：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的。注：分式方程必须；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏。详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx5#233542

分式方程的概念及解法

分式方程的概念，解法知识要点梳理要点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。要点诠释： 1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2．解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。 (3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。 3. 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。规律方法指导 1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．经典例题透析：类型一：分式方程的定义 1、下列各式中，是分式方程的是（） A．B．C．D．举一反三：

分式方程的解法及应用(提高)

分式方程的解法及应用（提高）一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标： ●了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． ●会列出分式方程解简单的应用问题．学习策略： ●解分式方程去分母是关键； ●解分式方程的应用注意找等量关系，最后要验根. 二、学习与应用 1.一艘轮船在静水中的速度是20km/h,水流速度为v km/h，则轮船顺流航行的速度为，逆流航行的速度为，顺流航行100km所用的时间为，逆流航行60km所用的时间为 . 2. 解方程 21101 1 36 x x ++ -=时，去分母，去括号后为 . 3.将方程 11111 24396 x x x x +++=去分母后得到方程________. 要点一、分式方程的概念分母中含有的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对要点梳理——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID：#45981#405285 知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

分式方程解法与增根

分式方程（一） 1.分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母. 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数. 例题1 下列方程中，哪些是分式方程？ ①5（x+1）+x=10 ②21=y ③ 3 21x x -= +π ④42213+-+y y ⑤()x x 33221 =- ⑥ 1212=+y x 例题2 解下列分式方程（1） x x 311=-；（2） x x x 38741836---=- （3）112112++=++-x x x x ；（4） 11 4 112=---+x x x ；（5） 021211=-++-x x x x ；（6） 22 3 22=--+x x x ；（7） 1 71372 22 2 --+ =-- +x x x x x x （8） 2 1 23524245--+=--x x x x

（9） 01 1 2212 =-++--x x x x （10） 8 6871252652 22 +--=---+-+x x x x x x x x x （11） 12 752352 2+--=+--x x x x x x 例题3：解分式方程：（1） 4 1 215111+++=+++x x x x （2） 8 7 329821+++++=+++++x x x x x x x x （3） )(11b a x b b x a a ≠+=+ （4） ) 1999x )(1998x (1 .....)3x )(2x (1)2x )(1x (1)1x (x 1+++ ++++++++ 并求当x=1时,该代数式的值（5）若关于x 的分式方程9 13 23322 2---=+-x x x a 的解是x=4,则a 的值是多少？

56分式方程的解法及应用(提高)知识讲解

分式方程的解法及应用（提高）【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案. 【典型例题】

分式方程的概念解法及应用

分式方程的概念，解法及应用目标认知学习目标： 1．使学生理解分式方程的意义，掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法． 2．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧． 3．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 4．能够利用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系，体会方程与实际问题的联系； 5．通过实际问题的解决，使分析问题和解决问题的能力得到培养和训练，进一步体验“问题情景——建立模型——求解——解释和应用”的过程；重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系．难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析．知识要点梳理

要点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。要点诠释： 1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于

的方程和都是整式方程。要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2．解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。

(完整版)分式方程的解法及应用(基础)

分式方程及应用【典型例题】类型一、判别分式方程 1、下列方程中，是分式方程的是（）． A ．3214312x x +--= B ．124111x x x x x -+-=+-- C ．21305x x += D ．x a x a b +=，（a ，b 为非零常数）类型二、解分式方程 2、解分式方程（1） 10522112x x +=--；（2）225103x x x x -=+-．举一反三：【变式】解方程：21233x x x -=---．．类型三、分式方程的增根 3、m 为何值时，关于x 的方程 223242 mx x x x +=--+会产生增根？举一反三：【变式】如果方程11322x x x -+=--有增根，那么增根是________．（二）分式方程的特殊解法一、交叉相乘法例1．解方程：231+= x x 二、化归法例2．解方程： 01 2112=---x x 三、左边通分法

例3：解方程： 87178=----x x x 四、分子对等法例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+ 五、观察比较法例5．解方程： 417425254=-+-x x x x 六、分离常数法例6．解方程： 87329821+++++=+++++x x x x x x x x 七、分组通分法例7．解方程：4 1315121+++=+++x x x x （三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程 x m x x -=--221无解，求m 的值。例2．若关于x 的方程 11122+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。例3．若关于x 分式方程 432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。例4．若关于x 的方程 1151221--=+-+-x k x x k x x 有增根1=x ，求k 的值。．类型四、分式方程的应用例、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树? 举一反三：

人教版八年级上册分式方程练习及解析

第八讲分式方程考点综述：中考对于分式方程的主要要求包括分式方程的概念以及解法，会检验分式方程的根，分式方程的应用也是中考考查的重点和热点。典型例题：例1：解方程：（1）（2007连云港） 11322x x x -=--- （2）（2007德州）解方程：120112x x x x -+=+- （3）（2007宁波）解方程21124x x x -=-- 解：（1）方程两边同乘(2)x -，得1(1)3(2)x x =----．解这个方程，得2x =．检验：当2x =时，20x -=，所以2x =是增根，原方程无解（2）两边同乘以(1)(12)x x +-，得(1)(12)2(1)0x x x x --++=；整理，得510x -=；解得 15 x = ．经检验，15x =是原方程的根．（3）方程两边同乘(x-2)(x+2)，得 x(x+2)-(x 2-4)=1，化简，得2x=－3 x=－3/2，经检验，x=－3/2是原方程的根．例2：（2007沈阳）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45 ，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？解：设甲施工队单独完成此项工程需x 天，则乙施工队单独完成此项工程需45 x 天，根据题意，得 10x ＋1245x ＝1

解这个方程，得x ＝25 经检验，x ＝25是所列方程的根当x ＝25时，45 x ＝20 答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天．实战演练： 1.（2008安徽）分式方程112 x x =+的解是（） A . x=1 B . x =－1 C . x=2 D . x =－2 2.（2008荆州）方程21011x x x -+=--的解是（） A .2 B .0 C .1 D .3 3.（2008西宁）“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修x 米，所列方程正确的是（） A ．12012045x x -=+ B ． 12012045x x -=+ C ．12012045x x -=- D ．12012045x x -=- 4.（2008襄樊）当m = 时，关于x 的分式方程213 x m x +=--无解． 5.（2008大连）轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同．已知水流速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x 千米/时，可列方程为_________________________________． 6.（2008泰州）方程 22123=-+--x x x 的解是=x __________. 7.解方程：（1）（2008赤峰）2112323x x x -=-+ （2）（2008南京）22011 x x x -=+- 8.（2008咸宁） A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？

分式方程的概念-解法及应用

分式方程的解法及应用一、目标与策略爭抡明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：分式方程的概念以及解法；分式方程产生增根的原因；分式方程的应用题。重点难点：重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象岀数量关系. 难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析. 学习策略：经历“实际问题一一分式方程一一整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养数学的应用意识。二、学习与应用 “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾一一复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？*答：含有的叫做方程. 使方程两边相等的............... …的值，叫做方程的解. （二）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质?用式子表示是: A A M A A M（其中M是不等于0的整式）

（三）等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或 ................... （除数不能为0），所得的结果仍是等式。（四）解下列方程：（1）9—3x= 5x+ 5; （2）y y 12 y 2 2 5 I -- 知识要点一一预习和课堂学习■认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补w 充填在右栏。详细内容请参看网校资源ID : #tbjx5#233542 - 知识点一：分式方程的定义 .......... 里含有未知数的方程叫分式方程。要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是_______________ ;②含有 ____________ ;③分母里含（2 ）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有__________________ （不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是__________________ ，不含有未知数的方程是 _ 方程，女口：关于X的方程1 2 x和—卫7都是_____________ 方程，而关于X的 x x 2 2x 1 方程Lx 2 x和x 1d都是_______________________ 方程。 a be 粒：|知识点二：分式方程的解法（一）解分式方程的基本思想把分式方程化为_________ 方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。（二）解分式方程的一般方法和步骤（1）________ ，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。（2）解这个______ 方程。（3） _____ :把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的 ________________ 。注：分式方程必须_____________ ;增根一定适合分式方程转化后的整式方程，

分式方程的概念及解法

变式】方程中，x 为未知量，a,b 为已知数，且，则这个方程是( ) 分式方程的概念，解法知识要点梳理要点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。要点诠释： 1 ．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2 ．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数 ( 不是一般的字母系数 ) ，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2 ．解分式方程的一般方法和步骤 (1) 去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2) 解这个整式方程。 (3) 验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。 3. 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。规律方法指导 1 ．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为 0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．经典例题透析：类型一：分式方程的定义举一反三：1、下列各式中，是分式方程的是( A ． C ．和 B ． D ．

分式方程的解法及应用

分式方程的解法及应用经典例题透析类型一：分式方程的定义 1、下列各式中，是分式方程的是（） A．B．C．D．类型二：分式方程的解法 3、解方程： 4、已知分式方程的解为非负数，求的取值范围? 类型三：增根的应用 5、当m为何值时，关于x的方程会产生增根？会无解? 类型五：分式方程的应用（一）、工程类应用性问题 6、某项工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期3天，现两队合作2天后，留下的工程再由乙队独做，也正好在限期内完成，问该工程期限是多少天？（二）、行程中的应用性问题

普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．（三）、营销类应用性问题 8、某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每0.5kg少3元，比乙种原料每0.5kg多1元，问混合后的单价每0.5kg是多少元？【达标测评] 一、选择题（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内） 1．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇，若同向而行，则b小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（）． A．B．C．D． 2．当m为何值时，方程会产生增根( ) A. 2 B. －1 C. 3D．－3 3．方程的解是（）． A．1 B．-1C．±1 D．0 4．把分式方程的两边同时乘以（x-2），约去分母得（）． A．1-（1-x）=1 B．1+(1-x)=1 C．1-（1-x）=x-2 D．1+(1-x)=x-2 5．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务，设原计划每天固沙造林x公顷，列方程正确的是（）． A．B． C．D．二、填空题

培优专题分式方程及其应用(含答案)

12、分式方程及其应用【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。【分类解读】例1. 解方程：x x x --+=121 1 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x +-11，得 x x x x x x x x x 22221112123 2 32--=+---=--∴== ()()()，即，经检验：是原方程的根。例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为： x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分，得 1671236723836 9 2 ()()()() ()()()() x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原方程的根是x =- 92。例3. 解方程：121043323489242387161945 x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。解：由原方程得：3143428932874145 - -++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=--- 于是，所以解得：经检验：是原方程的根。 189861810878986810871 1()()()() ()()()() x x x x x x x x x x --=----=--== 例4. 解方程：612444444 0222 2y y y y y y y y +++---++-=2 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。解：原方程变形为：62222222022 2 ()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202 y y y y y y +-+-++-=()()

初中数学八年级上册《分式方程及其解法》优秀教学设计

15．3 分式方程第1课时分式方程及其解法 1．了解分式方程的概念．(重点) 2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用．(重点) 3．了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值．(难点) 一、情境导入 1．什么是方程？ 2．什么是一元一次方程？ 3．解一元一次方程的一般步骤是什么？我们今天将学习另外一种方程——分式方程．二、合作探究探究点一：分式方程的概念下列关于x 的方程中，是分式方程的是( ) A.3＋x 2＝2＋x 5 B.2x －17＝x 2 C. x π＋1＝2－x 3 D.12＋x ＝1－2x 解析：A 中方程分母不含未知数，故不是分式方程；B 中方程分母不含未知数，故不是分式方程；C 中方程分母不含表示未知数的字母，π是常数；D 中方程分母含未知数x ，故是分式方程．故选D. 方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)．探究点二：分式方程的解法【类型一】解分式方程解方程： (1)5x ＝7x －2；(2)1x －2＝1－x 2－x －3. 解析：分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根．解：(1)方程两边同乘x (x －2)，得5(x －2)＝7x ，5x －10＝7x ，2x ＝－10，解得x ＝－5，检验：把x ＝－5代入最简公分母，得x (x －2)≠0，∴x ＝－5是原方程的解； (2) 方程两边同乘最简公分母(x －2)，得1＝x －1－3(x －2)，解得x ＝2，检验：把x ＝2代入最简公分母，得x －2＝0，∴原方程无解．方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．【类型二】由分式方程的解确定字母的取值范围关于x 的方程2x ＋a x －1＝1的解是正数，则a 的取值范围是____________．解析：去分母得2x ＋a ＝x －1，解得x ＝－a －1，∵关于x 的方程2x ＋a x －1＝1的解是正数，∴x ＞0且x ≠1，∴－a －1＞0且－a －1≠1，解得a ＜－1且a ≠－2，∴a 的取值范围是a ＜－1且a ≠－2. 方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. 探究点三：分式方程的增根【类型一】求分式方程的增根若方程 3x －2＝a x ＋4x （x －2）有增

分式方程的概念及解法(2)

八年级数学下册《分式第二讲分式方程》知识点及典型例习题.doc

北师大版数学八年级下册5.4.2《分式方程的解法》 教案设计

分式方程解法知识讲解

分式方程的解法及应用(提高)知识讲解

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