广西南宁三中2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 理(普通班,含解析)

广西南宁三中2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 理（普通

班，含解析）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确选项） 1. 设集合{

}2

2,,A x x =，若1A ∈,则x 的值为

（ ） A. 1- B. ±1

C. 1

D. 0

【答案】A 【解析】

2111A x orx ∈∴== ，若211x x =?= ，不满足集合元素的互异性，

故21x =， 1.x =- 故结果选A.

2. 设i 为虚数单位，复数z =4

1i

-，则|z －i|=（ ）

C. 2

【答案】D 【解析】 【分析】

先对复数进行化简，求出z i -的值，再利用复数z a bi =+的模长计算公式z =算可得答案.

【详解】解：z =41i -=4(1)(1)(1)

i i i ++-=2(1+i )，所以|z －i |=|2＋i 故选：D .

【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数模的求解，考查学生的计算能力，属于基础题. 3. 设a ，b 都是不等于1的正数，则“log 0a b <”是“()()110a b --<”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】A 【解析】

分析：先判断p ?q 与q ?p 的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．然后判断“log a b ＜0”?“（a-1）（b-1）＜0”与“（a-1）（b-1）＜0”?“log a b ＜0”的真假即可得到答案．

详解：由前提条件log a b 有意义， 则a >0，a ≠1，b >0

则若log a b <0，则“(a ?1)(b ?1)<0 若“(a ?1)(b ?1)<0”，则“log a b <0” 故“log a b ”是“(a ?1)(b ?1)<0”的充要条件 故选：C

点睛：充分、必要条件的三种判断方法．

1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ?

q ”为真，则p 是q 的充分条件．

2．等价法：利用p ? q 与非q ?非p ， q ? p 与非p ?非q ， p ? q 与非q ?非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若A ? B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．

4. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且是增函数，若()11f =，则不等式()1f x <的解集为（ ） A. ()1,1-

B. ()1,0-

C. ()0,1

D.

(,1)(1,)-∞-+∞

【答案】A 【解析】 【分析】

由不等式()1f x <得()11f x -<<，利用()11f =，()()111f f -=-=-转化，然后利用单调性即可求解.

【详解】由不等式()1f x <得()11f x -<<，

()f x 是奇函数，∴()()111f f -=-=-， ()(1)(1)f f x f ∴-<<，

()f x 在R 上是增函数，

11x ∴-<<，

∴不等式()1f x <的解集为()1,1-.

故答案为：A.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解题的关键是转化对应的函数值. 5. 已知向量(),2(31),,a m b ==，若向量a 在向量b 方向上的投影为2-，则向量a 与向量

b 的夹角是（ ）

A. 30°

B. 60°

C. 120°

D. 150°

【答案】C 【解析】 【分析】

由已知结合向量数量积的定义可求m ，然后根据向量夹角公式即可求解．

【详解】解：由数量积的定义知向量a 在向量b 方向上的投影为

32

||cos ,22||

a b m a a b b ?+???=

==-，所以m =-，

所以621cos ,42

2||||a b a b a b ?-+??===-?，所以夹角,120a b ???=

故选：C

【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义及性质的简单应用，属于基础题．

6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A. 64种 B. 18种

C. 24种

D. 36种

【答案】D 【解析】 【分析】

先将4项工作分成3组，再按排列的方式安排给3个人做，即可求解. 【详解】4项工作分成3组,可得：246C =，

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：3

3636A ?=种． 故选：D.

【点睛】本题主要考查均匀分组问题，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.

7. (x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3

的系数为

A. -80

B. -40

C. 40

D. 80

【答案】C 【解析】

()()

()()5

55

222x y x y x x y y x y +-=-+-，

由()5

2x y -展开式的通项公式()

()

515C 2r

r

r

r T x y -+=-可得：

当3r =时，()5

2x x y -展开式中3

3

x y 的系数为()3

325C 2140??-=-；

当2r

时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2

2

35C 2180??-=， 则3

3

x y 的系数为804040-=. 故选C.

【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.

（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 8. 已知函数()1ln f x x x =--，对定义域内任意x 都有()2f x kx ≥-，则实数k 的取值范围是( ) A. 21,1e ?

?-∞-

???

B. 21,e ?

?-∞-

???

C. 21,e ??

-

+∞????

D.

211,e ??-+∞????

【答案】A 【解析】 【分析】 问题转化为11lnx k x x ≤+

-对()0,x ∈+∞恒成立，令()11lnx

g x x x

=+-，根据函数的单调性求出()g x 的最小值，从而求出k 的范围即可．

【详解】()1f x x lnx =--，若对定义域内任意x 都有()2f x kx ≥-，

则11lnx k x x

≤+

-对()0,x ∈+∞恒成立， 令()11lnx g x x x =+

-，则()22'lnx g x x

-=， 令()'0g x >，解得：2x e >， 令()'0g x <，解得：20x e <<， 故()g x 在(

)2

0,e

递减，在()2

,e +∞递增，

故()g x 的最小值是()

2

21

1g e

e

=-

， 故211k e

≤-

， 本题选择A 选项.

【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．

9. 已知双曲线()

22

2210,0x y a b a b

-=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，实轴的两个端点分别

为1A 、2A ，虚轴的两个端点分别为1B 、2B .以坐标原点O 为圆心，12||B B 为直径的圆

()O b a >与双曲线交于点M （位于第二象限），若过点M 作圆的切线恰过左焦点1F ，则双

曲线的离心率是（ ） A. 3 B. 2

C.

6

D.

7 【答案】A 【解析】 【分析】

作出图形，利用勾股定理得出1MF a =，利用双曲线的定义得出23MF a =，计算出

1

cos MFO ∠，然后在12MF F △中，利用余弦定理可得出关于a 、c 的齐次等式，进而可求得该双曲线的离心率的值.

【详解】由题意作出草图，如下：

1F M 与圆O 切于M ，1F M OM ∴⊥，且1OF c =，OM b =，故

22

11MF OF OM

a =-=.

由双曲线的定义知2123MF MF a a =+=.

在1Rt F MO 中，1

cos a

MFO c

∠=， 在12MF F △中，由余弦定理，得()()2

2

21223cos 22a c a a MF F a c

c

+-∠==

??，即2

2412c a =，故

离心率3e =

故选：A.

【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，同时也考查了利用双曲线的定义处理焦点三角形的问题，涉及了余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 10. 锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且2sin 2tan C a b B b

-=，则b

a 的取

值范围为（ ） A. 1

(,)2

+∞ B. ()0,2

C. 1(,2)2

D. (0,)+∞

【答案】C 【解析】 【分析】

先将原等式变形为2sin 2tan tan b C a B b B =-，再结合同角三角函数的商数关系和正弦定理，将角化为边，可得2cos 2c B a b =-；由余弦定理可推出3

C π

=

，23

A B π

+=

；结合锐角ABC ?，可解得(6A π∈，)2π

，从而有1tan A

∈，而2sin()sin 3sin sin A b B a A A

π

-==，根据正弦的两角差公式展开化简后即可得解． 【详解】

2sin 2tan C a b

B b -=，2sin 2tan tan b

C a B b B ∴=-， sin tan cos B

B B

=，2sin cos 2sin sin b C B a B b B ∴=-，

由正弦定理知，

sin sin sin a b c

A B C

==， 22cos 2bc B ab b ∴=-，即2cos 2c B a b =-，

由余弦定理知，2222cos 22a c b a b

B ac c

+--==，整理得222a b c ab +-=，

2221

cos 222a b c ab C ab ab +-∴===，

(0,)C π∈，3

C π

∴=

，23

A B π

+=

． 锐角ABC ?，A ∴、(0,)2

B π

∈，

2(0,)32B A ππ∴=

-∈，解得(6A π∈，)2

π

，

tan )A ∴∈+∞

，1tan A ∈，

∴21sin(

)sin sin 111322(,2)

sin sin sin tan 22

A A A

b

B

a

A

A A A π-+=

===+∈． 故选：C ．

【点睛】本题考查解三角形中的正弦定理和余弦定理的综合应用，还涉及正弦的两角差公式、

同角三角函数的商数关系等，利用正弦定理将角化边是解题的突破口，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

11. 已知函数2

()sin cos cos =+f x x x x ，x ∈R ，则下列命题中：①()f x 的最小正周期是π，

最大值是

12

；②()f x 的单调增区问是3,()88k k k Z ππππ??-

++∈????；③()(

)1sin 22f x f x x π

+-=+；④将()f x 的图象向右平移4

π

个单位可得函数2sin sin cos y x x x =+的图象；其中正确个数为（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】D 【解析】 【分析】

先将()f x

化为1()242f x x π?

?=

++ ??

?，

利用周期公式和正弦函数的图象和性质可判断①②④正确与否，利用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角变换公式可证③正确，从而可得正确的选项. 【详解】111()sin 2(1cos2

)222242f x x x x π??=

++=++ ??

?， 所以最小正周期为T π=，最大值为1

2

，故①正确； 令222242k x k π

π

π

ππ-

≤+

≤+

，k Z ∈，

则3+88

k x k ππ

ππ-≤≤， 故单调增区间为3,()88k k k Z ππππ??

-++∈?

???

，所以②正确；

22()sin cos cos sin cos cos 2222f x f x x x x x x x ππππ????????

+-=++--+- ? ? ? ?????????

222sin cos sin cos 1sin2x x x x x =++=+.故③正确；

将()f x 的图象向右平移

4

π

个单位后，所得图象对应的解析式为： 2sin cos cos 444y x x x πππ?????

?=--+- ? ? ??????

?，

即cos2+1

111sin 24sin 2cos222222

x x y x x ππ?

?- ?+????=-+=-+ ??? ()22112sin cos 12sin sin cos sin 22

x x x x x x +=-

-+=+， 故④正确. 故选：D.

【点睛】形如()2

2sin

sin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和

辅助角公式将其化为()()sin 2'f x A x B ω?'=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．与三角函数图象有关的平移中，注意利用“左加右减”（注意仅对x 作变换）来帮助记忆. 12. 在三棱锥A BCD -

中，AB BC CD DA ====

，BD =A BD C

--是钝角.若三棱锥A BCD -的体积为2.则三棱锥A BCD -的外接球的表面积是（ ） A. 12π B.

37

3

π C. 13π

D.

534

π 【答案】C 【解析】 【分析】

取BD 的中点O ，可得AOC ∠为二面角A BD C --的平面角且BD ⊥平面AOC ；利用三棱锥A BCD -体积可构造方程求得AC ，将三棱锥A BCD -补为长方体BMDG HCFA -，则长方体外接球即为三棱锥的外接球，通过求解长方体外接球表面积即可得到结果. 【详解】如图（1），取BD 的中点O ，连接,AO CO ， AB BC CD DA ===，AO BD ∴⊥，CO BD ⊥，

AOC

∴∠为二面角A BD C

--的平面角，BD⊥平面AOC.

取AC的中点E，连接OE，设AC2a

=，

在AOC

△中，732

AO OC

==-=，OE AC

∴⊥，

则222

24

OE a a

=-=-，

2

1111

23242

3326

A BCD AOC

V S BD AC OE BD a a

-

∴=?=????=???-=，

化简得：42

430

a a

-+=，解得：3

a=或1

a=，

当1

a=时，60

AOC

∠=，不合题意，舍去，23

∴=

AC.

如图（2），把三棱锥A BCD

-补形成长方体BMDG HCFA

-，使三棱锥A BCD

-的各棱分别是长方体的面对角线，

则三棱锥A BCD

-的外接球即为长方体BMDG HCFA

-的外接球.

设,,

BM x BG y BH z

===，则

(2

22

2

22

2

22

3

7

7

x y

x z

y z

?+=

?

??

+=

?

?

?+=

??

，解得：

6

6

1

x

y

z

?=

??

=

?

?=

??

∴外接球的直径为22213

AM x y z

=++=

∴四面体ABCD外接球的表面积为

13

413

4

Sππ

=?=.

故选：C.

【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，涉及到三棱锥体积的应用；解题关键是能够通过将三棱锥补为长方体，通过求解长方体的外接球来求得结果.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若

4

tan

3

α=，则cos2=

α___________.

【答案】725

- 【解析】 【分析】

利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式以及“1”的灵活变换，求得所给式子的值. 【详解】

4

tan 3

α=

， 2

2

2

22216

1cos sin 1tan 9cos 216

cos sin 1tan 19

ααααααα-

--===

+++ 725

=-，

故答案为：7

25

-

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，属于中档题.

14. 已知实数x ，y 满足约束条件02020

x y x y x y -≥??+-≤??-≤?

，则1

3z x y =-+的最大值为___________.

【答案】1 【解析】 【分析】

作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数1

3

z x y =-+对应的直线进行平移并观察z 的变化，即可得到最大值．

【详解】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分，

将目标函数1

3

z x y =-+

对应的直线进行平移并观察z 的变化， 通过观察发现，当直线经过42,33A ??

???

时，z 取得最大值，

max 421

1333

z ∴=

-+=. 故答案为：1.

【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．

15. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为__________． 【答案】

58

.

【解析】

分析：由题意结合几何关系计算公式整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意结合几何概型计算公式可知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率：

4015255

40408

p -=

==. 点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．

16. 已知函数()ln()x

f x e ax a =+-的值域为R ，其中0a <，则a 的最大值为___________. 【答案】﹣e 2 【解析】 【分析】

设g （x ）＝x e ax a +-，由题意得g （x ）能取到一切的正实数，即存在x ，使得g （x ）≤0，原问题转化为g （x ）min ≤0，然后利用导数求出函数g （x ）的单调性，进而得最小值，列出关于a 的不等式即可得解．

【详解】设g （x ）＝x e ax a +-，若f （x ）的值域为R ，则g （x ）能取到一切的正实数，即存在x ，使得g （x ）≤0，原问题转化为g （x ）min ≤0．

令g '（x ）＝e x

+a ＝0，0a <，解得x ＝ln （﹣a ）， 当x ＜ln （﹣a ）时，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减； 当x ＞ln （﹣a ）时，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增． ∴g （x ）min ＝g （ln （﹣a ））＝()

()ln ln a e

a a a -+--＝a [ln （﹣a ）﹣2]≤0，

∵a ＜0，∴ln （﹣a ）﹣2≥0，解得a ≤﹣e 2

． ∴a 的最大值为﹣e 2

． 故答案为：﹣e 2．

【点睛】本题考查对数函数的值域，还涉及利用导数研究函数的单调性与最值问题，构造新函数，将原问题转化为新函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程） 17. 设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知33S =-，77S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设42n a

n b n =?+，求数列{}n b 的前n 项和n T .

【答案】（1）3n a n =-（2）(1)

212

n n n +-+

【解析】 【分析】

（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由条件建立方程组解出1a 和d 即可； （2）3

142

2n n n b n n --=?+=+，利用等差等比数列的前n 项和公式计算即可.

【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵33S =-，77S =，

∴11133232177672

a d a d ?

+??=-????+??=??，解得121a d =-??=?，

∴2(1)13n a n n =-+-?=-； （2）由（1）得3

142

2n n n b n n --=?+=+，

∴()0

1

1

12222

(123)n n n T b b b n -=++?+?=++?+++++?+

12(1)(1)

211222

n n n n n n -++=+=-+

-. 【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.

18. 2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为研究学生网上学习的情况，某校社团对男女各10名学生进行了网上在线学习的问卷调查，每名学生给出评分（满分100分），得到如图所示的茎叶图.

（1）根据茎叶图判断男生组和女生组哪个组对网课的评价更高？并说明理由；

（2）如图是按该20名学生的评分绘制的频率分布直方图，求a 的值并估计这20名学生评分的平均值（同一组中的数据用该组区间中点值作为代表）；

（3）求该20名学生评分的中位数m ，并将评分超过m 和不超过m 的学生数填入下面的列联表： 超过m 不超过m 男生 女生

根据列联表，能否有85%的把握认为男生和女生的评分有差异？

附：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，

0.455

【答案】（1）男生对网课的评价更高，详见解析（2）0.045a =；平均值为74（3）中位数为

74.5，填表见解析；没有

【解析】 【分析】

（1）男生对网课的评价更高，可以根据中位数，平均值，不低于70分的人数得到答案. （2）根据比例关系得到0.045a =，再计算平均值得到答案.

（3）计算中位数，完善列联表，计算20.8 2.072K =<，对比临界值表得到答案. 【详解】（1）男生对网课的评价更高，理由如下：

①由茎叶图可知，评价分数不低于70分的男生比女生多2人（或33.3%），因此男生对网课的评价更高.

②由茎叶图可知，男生评分的中位数为77，女生评分的中位数为72，因此男生对网课的评价更高.

③由茎叶图可知，男生评分的平均分数为

68697074777879838696

7810

+++++++++=，

女生评分的平均分数为

55586364717375768186

70.210

+++++++++=，因此男生对网课的评价更高.

以上给出了3种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知这20名学生评分在[70,80)内的有9人，则9

100.04520

a =÷=， 这20名学生评分的平均值为：

(550.01650.02750.045850.02950.005)1074?+?+?+?+??=.

（3）由茎叶图知该20名学生评分的中位数为7475

74.52

m +==，

超过m

不超过m 男生 6 4 女生 4 6

22

2

()20(3616)0.8 2.072()()()()10101010

n ad bc K a b c d a c b d --===<++++???.

所以没有85%的把握认为男生和女生的评分有差异.

【点睛】本题考查了茎叶图，根据茎叶图计算平均值，独立性检验，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB BC ⊥，AB AC =

（1）求证：11A B A C =；

（2）若四边形11BCC B 为正方形，1A AB 为正三角形，M 是1C C 的中点，求二面角B AM C --的余弦值

【答案】（1）证明见解析；（2）57

【解析】 【分析】

（1）取BC 的中点为N ，通过线线垂直证明BC ⊥平面1AA N ，即可推出1BC A N ⊥，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证；（2）首先证明1A ABC -为正三棱锥，过点1A 作1A O ⊥平面ABC ，则O 为正ABC 的中心，取BC 上靠近点C 的三等分点为E ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：取BC

的

中点为N ，在ABC 中，AB AC =，所以AN BC ⊥,

又1BB BC ⊥，且11//AA BB ，所以1AA BC ⊥，

1AA ，AN ?平面1AA N ，1

AA AN A =，所以BC ⊥平面1AA N ，

又1A N ?平面1AA N ，所以1BC A N ⊥，

所以在1A BC 中，由1BC A N ⊥及BC 的中点为N ，得11A B A C =. （2）由四边形11BCC B 为正方形，得1

BB BC =，

由1A AB 为正三角形，得11A A AB A B ==，所以11A A AB A B BC AC ==== 又由（1）知11A B A C =，所以1A ABC -为正三棱锥，

过点1A 作1A O ⊥平面ABC ，则O 为正ABC 的中心，取BC 上靠近点C 的三等分点为E ， 则1OA ，OB ，OE 两两垂直，分别以射线OB ，OE ，1OA 为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，

设2OB =，则3

2223AC =?=(

)

2

2123222AO =-=

()2,0,0B ，()1,3,0A --，()

3,0C -，(10,0,22A ，()

0,23,0AC =，

()3,3,0AB =，(1

1,3,22AA =，

， ()

11

131530,23,022222AM AC CM AC AA ??=+=+=+= ??， 设平面BAM 的法向量(),,n x y z =，

则153

202330x y z x ?+

+=???+=?

，取1x =，得721,3,2n ??=- ? ???， 设平面CAM 的法向量(),,m x y z '''=，

则153

2022230x y z ?+

+=???='''?

'，所以0y '=，取2x '=，得22,0,2m ?=- ?? 7

2572cos ,491

13422

m n -

==++?+

设二面角B AM C --为θ，因为θ为钝角，所以57

cos 57

θ=-

， 即所求的二面角的余弦值为57.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、线面垂直的判定、空间向量法求二面角夹角的余弦值，属于较难题.

20. 已知函数()()ln 1,f x x x k x k R =-+∈ （1）若1k =-，求()f x 的最值；

（2）对于任意2

[2,]x e ∈，都有()2f x x k >--成立，求整数k 的最大值.

【答案】（1）最小值为1

e

-，没有最大值；（2）3. 【解析】 【分析】

（1）当1k =-时，利用导数求得()f x 的最值.

（2）利用分离常数法化简不等式()2f x x k >--，通过构造函数法，结合导数求得k 的范围，由此求得整数k 的最大值.

【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+.

()'1ln f x x =+，令'0f x

解得1

=x e

，

所以()f x 在区间10,e ?? ???

上()'

0f x <，()f x 递减；在区间1,e ??+∞ ???上()'0f x >，()f x 递增，

所以()f x 在1

=x e 处取得极小值也即是最小值为

11

11ln f e e

e e ??=?=- ???，无最大值.

（2）依题意对于任意2

[2,]x e ∈，都有()2f x x k >--成立，

即对于任意2

[2,]x e ∈，都有()ln 12x x k x x k -+>--，

即对于任意2

[2,]x e ∈，都有ln 1

x x x

k x +<

-成立.

令()2,[2,]ln 1

x x x

g x x x e ∈+=

-，则

()()()()()

'22

1ln 11ln ln 211x x x x x x x x x g x x x ?

?+?+--+ ?-+-??==--. 令()2

]ln 2,[2,h x x x e x =-∈+-，

(

)'111x h x x x

-=-+=，所以当2

[2,]x e ∈时()'0h x >，()h x 递增.

()2ln 222ln 20h =-+-=-<，()2222ln 240h e e e e =-+-=->，

所以存在2

02,x e ??∈??，使得()00h x =，即00ln 20x x -+-=，即00ln 2x x =-①，

()3ln332ln310h =-+-=-+<，()4ln 442ln 420h =-+-=-+>，

所以()03,4x ∈.

所以在区间()02,x 上，()0h x <，()'

0g x <，()g x 递减，

在区间(

)2

0,x e

上，()0h x >，()'

0g x >，()g x 递增，

所以()()000

0min 0ln 1

x x x g x g x x +==

-，将①代入上式得

()()()()2

00000000

00min

0002ln 3,4111

x x x x x x x x g x g x x x x x -++-=====∈---，

所以()()0min 3,4k g x x <=∈，所以整数k 的最大值为3.

【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式恒成立问题，属于难题.

21. 如图，椭圆22

221(0)x y C a b a b

+=>>：经过点P （1.），离心率e=，直线l 的方

程为x=4.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k .问：是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.