罗素悖论

罗素悖论

1.

【罗素悖论简介】

1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。触发了第三次数学危机。【什么是悖论】

解释

让我们先了解下什么是悖论。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。

主要形式

悖论有三种主要形式：

1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。

2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。

3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。

【罗素悖论定义】

把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有：

P={A∣A∈A}

Q={A∣A￠A}（￠：不属于的符号，因为实在找不到）

问，Q∈P 还是Q∈Q？

若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，但是Q中任何集合都有A￠A的性质，因为Q∈Q，所以Q￠Q，引出矛盾。若Q∈Q，根据第一类集合的定义，必有Q∈P，而显然P∩Q=Φ，所以Q￠Q，还是矛盾。

这就是著名的“罗素悖论”。罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖论等。

【罗素悖论例子】

《唐·吉诃德》

世界文学名著《唐·吉诃德》中有这样一个故事：

唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上，成了这个岛的国王。他颁布了一条奇怪的法律：每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么？”如果回答对了，就允许他在岛上游玩，而如果答错了，就要把他绞死。对于每一个到岛上来的人，或者是尽兴地玩，或者是被吊上绞架。有多少人敢冒死到这岛上去玩呢？一天，有一个胆大包天的人来了，他照例被问了这个问题，而这个人的回答是：“我到这里来是要被绞死的。”请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩，还是把他绞死呢？如果应该让他在岛上游玩，那就与他说“要被绞死”的话不相符合，这就是说，他说“要被绞死”是错话。既然他说错了，就应该被处绞刑。但如果桑乔·潘萨要把他绞死呢？这时他说的“要被绞死”就与事实相符，从而就是对的，既然他答对了，就不该被绞死，而应该让他在岛上玩。小岛的国王发现，他的法律无法执行，因为不管怎么执行，都使法律受到破坏。他思索再三，最后让卫兵把他放了，并且宣布这条法律作废。这又是一条悖论。

理发师悖论

由著名数学家伯特兰·罗素（Bertrand A.W. Russell，1872—1970）提出的悖论与之相似：

在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，

他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

理发师悖论与罗素悖论等价

理发师悖论与罗素悖论是等价的：

因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

【罗素悖论的影响】

十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”

可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”

1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。

罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论（后来归入所谓语义悖论）：

1、理查德悖论

2、培里悖论

3．格瑞林和纳尔逊悖论。

【问题的解决】

第一次数学危机

罗素悖论提出，危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”解决这一悖论在本质上存在两种选择，the Zermelo-Fraenkel alternative 和the von Neumann-Bernays al ternative。

第二次数学危机

1908年，策梅罗（Ernst Zermelo)在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。这一公理系统在通过Abraham Fraenkel的改进后被称为Zermelo-Fraenkel(ZF) axio ms。在该公理系统中，由于限制公理（The Axion Schema of Comprehension或S ubset Axioms)：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集；并且通过该公理，存在集合A={x ∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的。因此罗素悖论在该系统中被避免了。

第三次数学危机

除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼（von Neumann)等人提出的NBG系统等。在the von Neumann-Bernays alternative中，所有包含集合的collection都能被称为类(class)，因此某些集合也能被称为class，但是某些collecti on太大了（比如一个collection包含所有集合）以至于不能是一个集合，因此仅仅是个class。这同样也避免了罗素悖论。

公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。

巨大作用

以上简单介绍了数学史上由于悖论而导致的三次数学危机与度过，从中我们不难看到悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法

竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧，而罗素悖论在其中起到了重要的作用。

逻辑主义

理性不能回答关于其自身的问题，这个问题在康德时期就发现了。逻辑存在无法弥补的漏洞，却是人了解世界的唯一途径。到头来你会发现，不是否定理性就是否定信仰。因为所谓唯心唯物之争都是建立在这样不完备的逻辑体系上的纯粹理性科学。既然理性无法对其自身做出判断，那么选择立场就不能以理性为依据，从而变成一种实质上的迷信。当然如果你坚持要说自己的立场是合乎所谓的科学或实践的，那么其实你既不属于唯物也不属于唯心，本质上只是一种泛经验主义或者泛逻辑主义罢了。当然，这里的逻辑主义当然不是罗素的那个，只是一个形象点的称呼而已。

异己词悖论和罗素悖论还有其它的不同吗？

思考这个问题的动机原是这样：是否所有能导致两难推理的悖论（包括一些所谓的语义学悖论）都有相同结构？如果不是，能不能把它们按照逻辑结构来分类？从而能够更加清晰地看清每一类悖论产生的根源。比如罗素悖论，用符号表示出来，就可看出，它用了这样一个定义模式：x是S的，如果x不是x的。(稍微严格一点写成这样：xRS,如果非xRx.R为一个二元谓词。)而在定义S时，S本身又可以用它自己的定义来判定，即可以把定义中的x换成S，导致这样一个语句：S是S的，如果S 不是S的。注意在定义中的两个语句互为充要条件，所以原来的定义中就蕴含了一个“P等价于非P”的结论，从而导致两难推理。这种定义模式本身是逻辑中的漏洞，康托的朴素集合论正因为没有防范的机制而陷入了这个逻辑漏洞，才导致了集合论形式的罗素悖论。

罗素悖论已被消除，包含自己的集合是不可能存在的！

解决悖论的意义

虽然不能说逻辑类型论已经完全解决了上述悖论，但却可以说它极大地促进了逻辑的发展。因为在一定意义上，它正确地反映了客观外界的无限多样性。这种多样性可以以一种多层性的形式反映在人们思维中。作为人类思维的外在表现形式的语言势必在某种程度上间接反映着这种客观的多样性或多层性。当人们的语言层次或思维层次与客观外界的层次不协调时，就可能出现悖论，而通过对语言和思维的层次分析，可以帮助我们了解事物的各种规定性。当然，我们应当指出：客观世界的所谓“多层性”绝不像罗素的逻辑层次那样壁垒分明，而是呈现出极复杂的状态，而且，命题的层次说只是从思维的形式和结构方面来讲的，它仍是一种有待进一步检验的假说。

那么，人们试图解决悖论的种种努力究竟有什么意义呢？简单概括起来大概有以下三个方面：（1）从数学上看，悖论迫使人们从逻辑和哲学的角度对数学基础问题重新进行了全面而深入的研究，这种努力正是企图给数学以相对更加牢靠的基础；（2）从逻辑上看，单以二值逻辑来说，它的值必须或真或假，即不能即真又假，然而，逻辑悖论却破坏了矛盾律和排中律，使命题的值即真又假，无法确定，解决悖论的努力可以说是在企图维护形式逻辑的基本律；（3）从哲学上看，人们在解决悖论的努力使自己的认识不断深化，从而对相对静止的思维形式和结构，以及它们之间错综复杂的层次和关系做了更进一步的剖析。此外，上述努力对于反对诡辩论和相对主义也有一定的意义。

哲理数学关于罗素悖论及其他几个悖论的回答

以上各派学说，虽然从某种程度上回答了罗素的悖论，但对于大多数悖论，仍然无法进行回答。例如“我正在说谎”，这个悖论，传统的数学至今无法回答。

而真正要回答这一悖论，只有近几年发展起来的新兴学科——哲理数学能够做到。

哲理数学，被称为数学史上的第5次革命

数学迄今为止，已经历了四次革命：

1.由算术到代数、

2.由常量数学到变量数学、

3.由必然数学到或然数学、

4.由明晰数学到模糊数

而哲理数学的提出，无疑将会是一个更大的飞跃。

其实，如果我们仔细分析这些悖论产生的原因，我们会发现，是因为我们在推理过程中一直在使用一条很重要的定律——“排中律”，我们总是简单的把事物划分为两种状态，我们这两种状态是互不相同的，每件事物只能选择其中的一种状态。而又必须选择其中的一种。

我们习惯于使用“排中律”进行思考，这已经成为了一种思维定式，以至于有时我们自己都觉察不到我们在使用这条定律，而把它当成一种“理所当然”。

但是，排中律本身并不是“无懈可击”和“放之四海皆准”的。“排中律”本身存在很多的漏洞。

下面我将以一个简单的例子来说说，无限推广“排中律”所带来的问题。

首先，问大家一个问题：请将按照性别对人进行分类。

这个问题，我相信90%的人都能回答，而且答案基本上是一致的。那就是将人分为“男人”、“女人”两类。

接下来，我再问大家，请认真想一想，世界上只有这两种人吗？答案显然不是。

但是为什么在回答第一个问题时，大多数人没有回答出3类人或者4类人呢？这实际上就是“排中律”的思维定式在起作用！！！

“排中律”是我们简单的把事物看成是“非此即彼”和“非彼即此”的

而是我们忽略了那些“亦此亦彼”和“非此非彼”的事物。

事实上，正是“排中律”和“排中律”所形成的思维定式蒙蔽了我们的眼睛！

哲理数学正是打破了传统数学中“排中律”的桎梏，指出事物是可以亦此亦彼的。指出了矛盾的对立与统一，从而将哲学与数学联系起来。而传统数学只看到了对立，而忽略了统一。只看到了一分为二，没有看到合二为一。

认识到了“排中律”的局限性，回过头来再看这些悖论，这些悖论也就迎刃而解了。

以上文字参考孟凯韬先生的《哲理数学》一书。

罗素悖论一句话

A是非A.

A集合是由非A集合中的元素构成.

实际上

假设有另外两个集合B与非B.

如果A是B,

那么A是非A,也就是非B,

A就是非B,

A又是非非B,

因此,就会无限死循环下去,

相当于

1-1+1-1.......

到底是零,还是1.

因此罗素悖论是集合的规则导致,该集合必须无限循环下去的.

实际上,数学的三次危机

第一次无理数,

无限不循环小数.

第二次,无穷小

无穷小是零还是非零

第三次,无穷大,A是非A,导致无限循环.

因此,数学的三次危机本质上都是

实无限,还是虚无限.

无限之后到底是定值,还是不确定的.

【罗素悖论定义】

把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有：

P={A∣A∈A}

Q={A∣A￠A}（￠：不属于的符号，因为实在找不到）

问，Q∈P 还是Q∈Q？

这就是著名的“罗素悖论”。罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖论等。

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9世纪末，德国著名数学家康托建立了集合论。他企图从最普遍的概念出发来建立数学和逻辑大厦。康托提出，我们总可以根据事物的某一属性或规定性来定义一个集合。此外，还可以用另一种方法建立集合，我们只要给出一个个具体元素，总可以把这些元素的全体定义为

一个集合。

数学家们发现，只要规定了集合和组成它的元素，我们就能从集合论角度统一地说明数学和逻辑推理的基础。比如根据集合的包含关系就能推出形式逻辑基本格式三段论。一些数学家曾满心喜悦地认为，数学和逻辑的基础终于找到了。它们之所以合理，是因为它们反映了世界事物间最为普遍的关系:元素和作为这些元素总和的集合之间的从属关系以及它们组合的

结构。

然而，1903年罗素提出了一个著名的悖论:“我们令N为一切不属于自身的集合组成的集合，问N是否属于N？”根据上面的定义：N属于N，当且仅当N不属于N时”，这里出现了悖论。罗素悖论的前提正好是从集合论的最基本出发点推出的，而这个结论又与集合论矛盾。

罗素悖论的发现震撼了集合论的基础。

后来，罗素将这个数学悖论变成等价的“理发师悖论”，即某山村的一个理发师声称:“他将给所有不给自己刮脸的人刮脸，不给那些给自己刮脸的人刮脸。”

这在逻辑上并没有漏洞。但是当他考虑是否应该给自己刮脸时，却处于自相矛盾的两难之中。因为如果他不给自己刮脸，那么他将属于自己声明不给自己刮脸的那一类人，因此他可以给自己刮脸。反之，如果他给自己刮脸，那么他不属于自己声明的要让他来刮脸的那一类

人，他将不能给自己刮脸。

由于逻辑学家们对逻辑力量的偏信，他们大都不愿意承认逻辑的局限性和弱点。一位名叫奎因的著名逻辑学家面对理发师悖论，经过“仔细推敲”，在《科学美国人》杂志上发表了题为《自相矛盾》的文章，“解答”了这个问题。他沾沾自喜地为我们提供了这样的“答案”:这个村子根本不存在!啊，真是妙不可言的不承认主义。

现代数学已经指明:逻辑悖论的一个重要根源是在推理和定义过程中存在互为前提的循环圈，即排除不了自我相关的怪圈。为了建立严密而有效的逻辑思维大厦，必须把悖论从推理过程中排除出去。数学家突然发现，如果彻底消除悖论，那么由此构成的数学大厦就此失去了生动活泼的生命力，逻辑思维也就成了一个僵死而笨拙的体系。正如把逻辑之羊用笼子装起来，虽免受了悖论之狼的伤害，但羊群却不能在人类思维那广阔无垠的草原上自由地放牧

了。

正如数学家哥德尔所说的那样，由于自我相关造成的悖论存在，人们面临着二者择一的两难境地:要么在逻辑思维中可以是不一致的;要么导致产生另一个意想不到的结果。我们无

法用逻辑去证明所有用逻辑提出的问题。