【中考冲刺】圆内接四边形的性质
【中考冲刺】圆内接四边形的性质
【中考冲刺】圆内接四边形的性质
一、选择题（共15小题）
1．（2011?肇庆）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（）
2．（2010?北海）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=36°，则∠A的度数为（）
3．（2006?宁德）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（）
4．（2001?咸宁）如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE为85°，则∠ADC的度数为（）
5．（2010?台湾）如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，AB=18．今沿两对角线将四边形ABCD 剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB重合）形成一线对称图形戊，如图2所示，则图形戊的两对角线长度和（）
7．（2004?武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠C=80°，则∠A的度数是（）
8．（2004?丰台区）如图，ABCD为圆内接四边形，若∠A=60°，则∠C等于（）
9．（2003?泉州）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠BAD=110°，则∠BCD等于（）
10．（2003?海淀区）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上，若∠A=50°，则∠DCE等于（）
11．（2003?甘肃）如图，ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C=45°，则∠BAE等于（）
12．（2002?苏州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=160°，则∠BCD=（）
13．（2000?西城区）如图，ABCD为圆内接四边形，如果∠C=50°，那么∠A等于（）
15．（1999?成都）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，且∠ABC=115°，那么∠AOC等于（）
二、填空题（共14小题）（除非特别说明，请填准确值）
16．（2011?江津区）已知如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=30°，则∠D=_________．
17．（2005?滨州）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=110°，则∠BOD=_________度．
18．（2005?安徽）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=130°，则∠AOC的度数是_________度．
19．（2003?三明）如图：A、B、C、D是⊙O上的四个点，BD是直径，点E在AD的延长线上，只考虑小于平角的角，图上共有_________对相等的角（不添加辅助线）．
20．（2003?桂林）如图，在⊙O中，A、B、C三点在圆上，且∠CBD=60°，那么∠AOC=_________度．
21．（2003?大连）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=160°，则∠BAD的度数是_________度，∠BCD 的度数是_________度．
22．（2002?盐城）已知：如图，圆内接四边形ABCD中，∠BAD=65°，则∠BCD=_________度．
23．（2002?泉州）如图，已知ABCD为⊙O的内接四边形，∠B=40°，AD=CD，则∠ACD=_________度．
24．（2002?南宁）圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数的比是1：2：3，那么这四边形最大角的度数是_________度．
25．（2002?吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=110°，则∠BCD=_________度．
26．（2006?盐城）已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C=1：2，则∠BOD=_________度．
27．（2003?宁波）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120°，则∠BOD=_________度．
28．（2002?陕西）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=130°，则∠BOD的度数是_________度．
29．（1999?辽宁）在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=4：3：5，则∠D=_________度．
三、解答题（共1小题）（选答题，不自动判卷）
30．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是它的四条边AB、BC、CD、DA的中点，E、F、G、H四个点共圆吗？（友情提示：要找到一点，证明这四点到找到的这点（圆心）的距离相等即可）
【中考冲刺】圆内接四边形的性质
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题）
1．（2011?肇庆）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（）
2．（2010?北海）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=36°，则∠A的度数为（）
3．（2006?宁德）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（）
4．（2001?咸宁）如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE为85°，则∠ADC的度数为（）
5．（2010?台湾）如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，AB=18．今沿两对角线将四边形ABCD 剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB重合）形成一线对称图形戊，如图2所示，则图形戊的两对角线长度和（）
7．（2004?武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠C=80°，则∠A的度数是（）
8．（2004?丰台区）如图，ABCD为圆内接四边形，若∠A=60°，则∠C等于（）
9．（2003?泉州）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠BAD=110°，则∠BCD等于（）
10．（2003?海淀区）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上，若∠A=50°，则∠DCE等于（）
11．（2003?甘肃）如图，ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C=45°，则∠BAE等于（）
12．（2002?苏州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=160°，则∠BCD=（）
BAD=∠
13．（2000?西城区）如图，ABCD为圆内接四边形，如果∠C=50°，那么∠A等于（）
15．（1999?成都）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，且∠ABC=115°，那么∠AOC等于（）
二、填空题（共14小题）（除非特别说明，请填准确值）
16．（2011?江津区）已知如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=30°，则∠D=150°．
17．（2005?滨州）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=110°，则∠BOD=140度．
18．（2005?安徽）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=130°，则∠AOC的度数是100度．
19．（2003?三明）如图：A、B、C、D是⊙O上的四个点，BD是直径，点E在AD的延长线上，只考虑小于平角的角，图上共有二对相等的角（不添加辅助线）．
20．（2003?桂林）如图，在⊙O中，A、B、C三点在圆上，且∠CBD=60°，那么∠AOC=120度．
21．（2003?大连）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=160°，则∠BAD的度数是80度，∠BCD的度数是100度．
BAD=∠
22．（2002?盐城）已知：如图，圆内接四边形ABCD中，∠BAD=65°，则∠BCD=115度．
23．（2002?泉州）如图，已知ABCD为⊙O的内接四边形，∠B=40°，AD=CD，则∠ACD=20度．
=
DAC=（
24．（2002?南宁）圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数的比是1：2：3，那么这四边形最大角的度数是135度．
25．（2002?吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=110°，则∠BCD=125度．
BAD=∠
26．（2006?盐城）已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C=1：2，则∠BOD=120度．
27．（2003?宁波）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120°，则∠BOD=120度．
28．（2002?陕西）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=130°，则∠BOD的度数是100度．
29．（1999?辽宁）在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=4：3：5，则∠D=120度．
三、解答题（共1小题）（选答题，不自动判卷）
30．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是它的四条边AB、BC、CD、DA的中点，E、F、G、H四个点共圆吗？（友情提示：要找到一点，证明这四点到找到的这点（圆心）的距离相等即可）
圆的内接四边形教案及课后练习
S3.6 圆内接四边形 一、认识圆的内接四边形 1.知识要点 （1）我们以前学习过圆的内接三角形 圆的内接三角形：如果一个三角形的各个顶点在同一个圆上，那么这个三角形叫做圆 的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆。 （2）今天我们学习圆的内接四边形 圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的 内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。如右图中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边 形；⊙O 是四边形ABCD 的外接圆。 二、圆内接四边形的性质定理 1.知识要点 定理一：圆内接四边形的对角互补． 定理二：圆内接四边形的外角等于它的内对角（内角的对角）． 2.典型例题 S3.6.1如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD=110°，求∠BCD 的度数. S3.6.2如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P.若PB PA ＝12，PC PD ＝13，求BC AD 的值. 三、圆内接四边形的判定定理 1.知识要点 （1）定理：如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点在同一个圆上（简称四点共圆）． （2）推论：如果四边形的一个外角等于它内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
2.典型例题 S3.6.3如图，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC.求证：ABPQ四点共圆. S3．6 圆内接四边形练习 1.下列四边形中一定有外接圆的是（） A．对角线相等的四边形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形 2.过四边形ABCD的顶点D，B，C作一个圆，若∠A+∠C＞180°，则点A在( ) A．圆内B．圆外C．圆上D．不能确定 3.四边形ABCD内接于圆，∠A:∠B:∠C:∠D= 5:m:4:n，则m，n满足的条件是（） A．5m=4n B．4m=5n C．m+n=9 D．m+n=180° 4.如下图，圆心角∠AOB=120°，P是上任一点（不与A，B重合），点C在AP的延长线上，则∠BPC 等于（） A．45°B．60° C．75°D．85° 5.圆上四点，A、B、C、D分圆周为四段弧，:::=1:2:3:4,则圆内接四边形的最大内角为______． 6.如下图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=BC，∠ADC=138°，E是梯形外一点，若点E在梯形ABCD 的外接圆上，则∠AEB=________．
圆的内接四边形
例 圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数． 解：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为3x 、2x 、7x ． ∵ABCD 是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°， ∴x=18°， ∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°， 又∵∠B+∠D=180°， ∴∠D=180°一36°＝144°． 说明：①巩固性质；②方程思想的应用． 例如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形ABC 的外接圆相交于D ．求证：DB=DC ． 分析：要证DB=DC ，只要证∠BCD=∠CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决． 说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁． 例 如图，△ABC 是等边三角形，D 是上任一点，求证：DB+DC=DA ． 分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明． 证明： 延长DB 至点E ，使BE=DC ，连AE ． 在△AEB 和△ADC 中，BE=DC ． △ABC 是等边三角形．∴AB=AC ． ∵ 四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABE=∠ACD ． ∴△AEB ≌△ADC ． ∴∠AEB=∠ADC=∠ABC ． ∵∠ADE=∠ACB ， 又 ∵∠ABC=∠ACB ＝60°， ∴∠AEB=∠ADE=60°． ∴△AED 是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE ． ∵BE=DC ，∴DB+DC=DA ． 说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视． 例 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，CD AH ⊥，如果?=∠30HAD ，那么=∠B （ ） A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° E
《圆内接四边形》公开课教案
《圆内接四边形》公开课教案 一、教学目标： A 识记圆的内接四边形的概念 B 掌握圆内接四边形的性质 C 运用圆内接四边形的性质解决有关问题 二、前提测评： 1. 如图(1)，△ABC叫⊙O的_________三角形，⊙O叫△ABC 的____圆。 2. 如上图(1),若的度数为 1000,则BOC=___,A=___ 3. 如图(2)四边形ABCD中, B与1互补, AD的延长线与DC所夹2=600 , 则1=___,B=___. 4. 判断: 圆上任意两点之间分圆周为两条弧,这两条弧的度数和为3600( ) 三、达标教学(导读提纲) 1. 如图(3),四边形ABCD的各顶点都在⊙O上,所以四边形ABCD是⊙O的____四边形, ⊙O叫四边形ABCD的____圆. 2. 什么叫圆内接多边形?多边形的外接圆呢? 3. 你能解决下列问题吗?如上图: (1) ∵ 所对圆心角为1
所对圆心角为2, 2= 的度数+ 的度数=______度. BAD+BCD= 2+ 1=_______ (2)为什么DCE=A? 4. 如何概述归纳第3题的结论? 学生先讨论，教师然后归纳为： 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 例1：如图4，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1相交于点C，与⊙O2相交于点D，经过点B 的直线EF与⊙O1 相交于点E，与⊙O2相交于点F。求证：CE∥DF 分析：要证CE∥DF，可用下列三种方法： (1) 证内错角相等，两直线平行 (2) 证同位角相等，两直线平行 (3) 同旁内角互补，两直线平行 以上三种方法都行，但用方法(3)较好。 证明：连结AB ∵ABEC是⊙O1的内接四边形 BAD=E 又∵ADFB是⊙O2的内接四边形 BAD+F=1800
3.圆内接四边形的性质与判定
3．圆内接四边形的性质与判定 一、基础知识回顾 1．在同圆或等圆中,相等的圆心角所对 的相等，所对的 也相等。 2. 在同圆或等圆中, 如果两个圆心角、两条 、两条 、两个 中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 。 (1) 半圆(或直径)所对的圆周角是 ; 90o的圆周角所对的弦是 . (2) 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ; 相等的圆周角所对的弧也 . 二、知识延伸拓展 如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。例如，图1中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形；⊙O 是四边形ABCD 的外接圆。圆内接四边形有以下性质： 性质定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。 已知：如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCE 是四边形ABCD 的外角。 求证：（1）∠A+∠BCD=180o，∠B+∠D=180o； （2）∠DCE=∠A 。 证明：（1）∵ ， ， ∴ ∵ 和 的度数和是360 o ∴ 同理，∠B+∠D=180o。 (2) ∵∠DCE 是四边形ABCD 的外角， ∴∠DCE+∠BCD=180o 由（1）得∠A+∠BCD=180o ∴∠DCE=∠A 。 图1 E 图2 BAD ⌒ BCD ⌒ ⌒ ∠A 所对的弧是BCD ∠BCD 所对的弧是BAD ⌒ ⌒ ⌒ m m .2 1 ,21A BAD BCD BCD =∠=∠.1803602 1 )(212121?=??=+=+=∠+∠BAD BCD BAD BCD BCD A m ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
什么叫圆的内接四边形
一、教学案例实录 教学过程 : 1. 习旧引新 ⑴在⊙O 上 , 任到三个点 A 、 B 、 C, 然后顺次连接 , 得到的是什么图形 ? 这个图形与⊙O 有什么关系 ? ⑵由圆内接三角形的概念 , 能否得出什么叫圆的内接四边形呢 ( 类比 )? 2. 概念学习 ⑴什么叫圆的内接四边形 ? ⑵如图 1, 说明四边形 ABCD 与⊙O 的关系。 3. 探讨性质 ⑴前面我们已经学习了一类特殊四边形 ---- 平行四边形 , 矩形 , 菱形 , 正方形 , 等腰梯形的性质 , 那么要探讨圆内接四边形的性质 , 一般要从哪几个方面入手 ? ⑵打开《几何画板》 , 让学生动手任意画⊙O 和⊙O 的内接四边形 ABCD 。 ( 教师适当指导 ) ⑶量出可试题的所有值 ( 圆的半径和四边形的边 , 内角 , 对角线 , 周长 , 面积 ), 并观察这些量之 间的关系。 ⑷改变圆的半径大小 , 这些量有无变化 ? 由 (3) 观察得出的某些关系有无变化 ? ⑸移动四边形的一个顶点 , 这些量有无变化 ? 由 (3) 观察得出的某些关系有无变化 ? 移动四边形的 四个顶点呢 ? 移动三个顶点呢 ? ⑹如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢 ?( 让学生回答 ) 4. 性质的证明及巩固练习
⑴证明猜想 已知 : 如图 1, 四边形 ABCD 内接于⊙O 。求证 :∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC+∠ADC=180°。 ⑵完善性质 ①若将线段 BC 延长到 E( 如图 2), 那么 ,∠DCE 与∠BAD 又有什么关系呢 ? ②圆的内接四边形的性质定理 : 圆内接四边形的对角互补 , 并且任何一个外角都等于它的内对角。 ⑶练习 ①已知 : 在圆内接四边形 ABCD 中 , 已知∠A=50°,∠D-∠B=40°, 求∠B,∠C,∠D 的度数。 ②已知 : 如图 3, 以等腰△ABC 的底边 BC 为直径的⊙O 分别交两腰 AB,AC 于点 E,D, 连结 DE, 求证 :DE∥BC 。 ( 演示作业本 ) 5. 例题讲解 引例已知 : 如图 4,AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线 , 它与△ABC 的外接圆交于点 D 。 求证 :DB=DC 。 ( 引例由学生证明并板演 ) 教师先评价学生的板演情况 , 然后提出 , 若将已知中的“ AD 是△ABC 中的∠BAC 的平分线”改为“ AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线”, 又该如何证明 ? 引出例题。 例已知 : 如图 5,AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线 , 与△ABC 的外接圆交于点 D, 求证 :DB=DC 。 6. 小结 : 为了使学生对所学的内容有一个完整而深刻的印象 , 让学生组成小组 , 从概念 , 性质 , 方法 , 特殊性进行讨论 , 然后对讨论的结果进行归纳。
圆内接四边形教案
1. 知识结构 2. 重点、难点分析 重点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法． 难点：定理的灵活运用．使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的 外角和它的内对角的相互对应位置． 3. 教法建议 本节内容需要一个课时． （1）教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境（参看教学设计示例），组织学生自主观察、分析和探究； （2）在教学中以“发现——证明——应用”为主线，以“特殊——一般”的探究方法，引导学生发现与证明的思想方法． 一、教学目标： （一）知识目标 （1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念； （2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；
（3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明． （二）能力目标 （1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力； （2）通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维； （3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力． （三）情感目标 （1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情； （2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点． 二、教学重点和难点: 重点：圆内接四边形的性质定理． 难点：定理的灵活运用． 三、教学过程设计 （一）基本概念 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆． （二）创设研究情境 问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？
研究：圆的特殊内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形） 教师组织、引导学生研究． 1、边的性质： （1）矩形：对边相等，对边平行． （2）正方形：对边相等，对边平行，邻边相等． （3）等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行． 归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质． 2、角的关系 猜想：圆内接四边形的对角互补． （三）证明猜想 教师引导学生证明．（参看思路） 思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A与∠B均为平角∠BOD的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢? ∠A=，∠C=
圆内接四边形课后反思
圆内接四边形的性质与判定定理 在上《圆内接四边形的性质与判定定理》这节课的前一天我就把讲学稿发给学生，让他们进行课前预习。但是学生的自觉性不高，能按要求预习的学生不多，因此要加大力度培养学生预习的习惯。 在课堂上，课前我先进行前面内容的复习，然后学习圆内接四边形的定义，从特殊到一般探究圆内接四边形的性质。通过例1的学习，巩固练习1，加强学生对性质的应用。再从多种情况来探究圆内接四边形的判定定理，培养学生思维的严密性。例2有一定的难度，巩固2有部分人还不会画图。布置的作业题只有少部分人会做。对于我校生源差的学生而言，总体偏难。 学生反馈主要如下： 1、上课听老师讲了就懂，要自己动手做就不知如下手。 2、性质和判定定理都能记住，但是不会灵活应用。 反思后建议如下： 1、把握教学要求，控制教学难度。 2、切实重视基础知识、基本技能和基本方法，突出数学思想方法的渗透和理解。近年来数学试题的新颖性、灵活性越来越强，不少师生把主要精力放在难度较大的综合题上，认为只有通过解决难题才能培养能力，因而相对地忽视了基础知识、基本技能、基本方法的教学。教学中急急忙忙把公式、定理推证拿出来，或草草讲一道例题就通过大量的题目来训练学生。其实定理、公式推证的过程就蕴含着重
要的解题方法和规律，教师没有充分暴露思维过程，没有发掘其内在的规律，就让学生去做题，试图通过让学生大量地做题去“悟”出某些道理。结果是多数学生“悟”不出方法、规律，理解浮浅，记忆不牢，只会机械地模仿，思维水平较低，有时甚至生搬硬套；照葫芦画瓢，将简单问题复杂化。如果教师在教学中过于粗疏或学生在学习中对基本知识不求甚解，都会导致在考试中判断错误。不少学生说：现在的试题量过大，他们往往无法完成全部试卷的解答，而解题速度的快慢主要取决于基本技能、基本方法的熟练程度及能力的高低。可见，在切实重视基础知识的落实中同时应重视基本技能和基本方法的培养。 3、加强“过程性”，使数学思想方法的学习和数学能力培养落在实处。我们可以结合课堂内容，灵活采用谈话、读书指导、作业、练习等多种教学方法。在一堂课上，有时要同时使用多种教学方法。“教无定法，贵要得法”。只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运用，都是好的教学方法。 4、加强几何直观能力的培养。常用的数学思想方法有：转化的思想，类比归纳与类比联想的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想以及配方法、换元法、待定系数法、反证法等。这些基本思想和方法分散地渗透在中学数学教材的条章节之中。在平时的教学中，教师要在传授基础知识的同时，有意识地、恰当在讲解与渗透基本数学思想和方法，帮助学生掌握科学的方法，从而达到传授知识，培养能力
圆内接四边形的性质
11.2.5 圆内接四边形的性质 1、（1）圆的内接四边形对角互补。 如图：四边形ABCD内接于⊙o ，则有：∠A＋∠B=1800.∠B＋∠C=1800. (2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 如图：∠CBE是圆内接四边形ABCDD的一外角，则有：∠CBE=∠D. 2、圆内接四边形的判定。 （1）判定定理：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。（2）推论；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。 〖例1〗如图所示，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E，EG平分∠BEC，且与BC、AD分别相交于FG. 求证：∠CFG=∠DGF. 分析：已知四边形ABCD内接于圆，自然想到圆内接四边形的性质定理，即∠BCE=∠BAD,又EG平分∠BEC,故△CFE∽△AGE.
[证明]因为四边形ABCD是圆内接四边形。 所以∠ECF=∠EAG. 又因为EG平分∠BEC, 即∠CEF=∠AEG,所以△EFC∽△EGA. 所以∠EFC=∠EGA. 而∠DGF=1800-∠EGA,∠CFG=1800-∠EFC, 所以∠CFG=∠DGF. 3、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 几何语言：∵PT切⊙0于T,PBA是⊙0的割线. ∴PT2=PA·PB(切割线定理) 4、割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 几何语言：∵PT是⊙0的切线，PBA、PDC是⊙0的割线. ∴PO·PC=PA·PB (割线定理) 由上可知：PT2=PA·PB=PC·PD. 5、相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等） 证明：连结AB，CD由圆周角定理的推论，得∠A=∠C，∠B=∠D。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等） ∴△PAB∽△PCD ∴PA∶PC=PB∶PD，PA·PD=PB·PC
圆内接四边形与四点共圆-教案(有答案)
《圆内接四边形与四点共圆（选学）》教案设计 引言：圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切の联系,?这是因为顺次连结共圆四点就成为圆内接四边形。实际上,在许多题目の已知条件中，并没有给出圆，这时就需要通过证明四点共圆，把实际存在の圆找出来，然后再借助圆の性质得到要证明の结论。 确定四点共圆の办法有哪些呢？ 思路一：用圆の定义：到某定点の距离相等の所有点共圆。→若连在四边形の三边の中垂线相交于一点，那么这个四边形の四个顶点共圆。（这三边の中垂线の交点就是圆心）。 产生原因：圆の定义：圆可以看作是到定点の距离等于定长の点の集合。 基本模型： AO=BO=CO=DO ? A、B、C、D四点共圆（O为圆心） 思路二：从被证共圆の四点中选出三点作一个圆，然后证另一个点也在这个圆上，即可证明这四点共圆。→要证多点共圆，一般也可以根据题目条件先证四点共圆，再证其他点也在这个圆上。 思路三：运用有关性质和定理： ①对角互补，四点共圆：对角互补の四边形の四个顶点共圆。 产生原因：圆内接四边形の对角互补。 基本模型： ∠ = B）? A、B、C、D四点共圆 180 ∠D + + 180 = ∠ ∠D A（或0
②张角相等，四点共圆：线段同侧两点与这条线段两个端点连线の夹角相等，则这两个点和线段の两个端点共四个点共圆。 产生原因：在同圆或等圆中，同弧所对の圆周角相等。 方法指导：把被证共圆の四个点连成共底边の两个三角形，且两三角形都在这底边の同侧，若能证明其顶角（即：张角）相等(同弧所对の圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。 ∠? A、B、C、D四点共圆 = CAB∠ CDB ③同斜边の两个直角三角形の四个顶点共圆，其斜边为圆の直径。 产生原因：直径所对の圆周角是直角。 = ∠D C? A、B、C、D四点共圆 ∠ 90 = ④外角等于内对角，四点共圆：有一个外角等于其内对角の四边形の四个顶点共圆。 产生原因：圆内接四边形の外角等于内对角。 基本模型：
圆内接四边形性质定理
C D ·O B A E P 圆内接四边形性质定理证明： 如右图：圆内接四边形ABCD ，圆心为O ，延长BC 至E ，AC 、BD 交于P ，则： 一、圆内接四边形的对角互补：∠ABC +∠A DC=180°，∠BC D +∠B AD=180° 二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠D CE=∠BAD 三、圆内接四边形对应三角形相似：△B C P∽△ADP 四、相交弦定理：AP×CP=BP×DP 五、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD 一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法） 【证明】方法一： 利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。 如图，连接OB 、OD 则∠A= 21β，∠C=2 1α ∵α+β=360° ∴∠A+∠C= 2 1 ×360°=180° 同理得∠B+∠D=180° （也可利用四边形内角和等于360°） 【证明】方法二： 利用直径所对应的圆周角为直角。 设圆内接四边形ABCD 证明：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° 连接BO 并延长，交⊙O 于E 。连接AE 、CE 。 则BE 为⊙O 的直径 ∴∠BAE=∠BCE=90° ∴∠BAE+∠BCE=180° ∴∠BAE+∠BCE -∠D AE+∠DAE=180° 即∠BAE -∠DAE+∠BCE +∠DAE=180° ∵∠DAE=∠DCE（同弧所对的圆周角相等） ∴∠BAE -∠DAE+∠BCE+∠DCE=180° 即∠BAD+∠BCD=180° ∠A+∠C=180° ∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°） 【证明】方法三： 利用四边形内角和为360°及同弧所对的圆周角均相等 连接AC 、BD ，将∠A 、∠B、∠C 、∠D 分为八个角 ∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8 ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360（四边形内角和为360°） ∠4=∠1，∠7=∠2，∠8=∠5，∠3=∠6 （同弧所对的圆周角相等） ∴∠1+∠2+∠5+∠6= 2 1 ×360°=180° ∵∠1+∠2=∠A ∠5+∠6=∠C ∴∠A+∠C=180° C A B D ·O α β ·O B C D 1 2 4 3 5 6 7 8
圆内接四边形的性质判定定理习题及答案
圆内接四边形的性质与判定定理习题及答案
2.处理过程：让学生独立完成这两道自测题 成两组,每一组推荐一名同学说出解题思路和答案. 例1 (2011·课标全国卷)如图3,D,E分别为△ABC 的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于方程x2-14x+mn=0的两个根. (1)证明:C,B,D,E四点共圆; (2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径. 1.选题立意:本题考查三角形相似、四点共圆的基本知识与方法,考查推理论证能力及运算求解能力. 2.处理过程：第(1)小题是证明四点共圆问题，那么要证四点共圆,我们有那些方法呢?通过提问让学生在大脑中搜索相关知识,寻找最佳解题方案这样问题可以转化为证明Rt△ADE与 似,从而利用本节的推论来证明四点共圆 题是计算问题，关键是引导学生如何确定圆心的位置.根据圆的性质可知,圆心即为该圆弦的中垂线的交点，问题就转化为在矩形AFHG 半径了. 3.老师点评：证明四点共圆主要是利用圆内接四
能力锤炼: 能说的让学生说,学生能做的让学生做第(2)小题实际上是证明角相等问题,请一个学生用分析法来寻求证明思路.当学生“找路”有困难时，及时正确引导，同时注意引导方式3.老师点评：解答平面几何问题时不仅要用到几何定理，而且还要用到各种不同的推理形式，推理策略，有时还要使用“添加辅助线”之类的技巧性较高的方法.在几何学习中，除了运用逻辑推理外，还要应用观察、比较、类比、直觉、猜想、归纳、概括等合情推理. 如图6,已知△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外接圆劣弧AC ⌒ 上的点(不与A,C 重合),延长BD 到E. (1)求证:AD 的延长线平分∠CDE; (2)若∠BAC=30°,△ABC 中 BC 边上的高为2+ 3 , 求△ABC 外接圆的面积. 设计意图:检验所学习的知识，从而熟练掌握本节的重点，形成相应的数学能力.
初中数学_圆内接四边形教学设计学情分析教材分析课后反思
课题：《圆内接四边形》教学设计 单位： 设计者： 时间：
《圆内接四边形》教学设计 课标解读： 课标要求：圆内接四边形对角互补 1、如何在圆的教学中，让学生在直线型的图形研究的基础上进一步去体会研究几何图形的思维与方法，深刻领悟几何学的学科观点． 2、本节课了解圆内接多边形的概念，探究圆内接四边形的性质；让学生通过同弧或等弧的圆心角与圆周角的关系，体会用弧来刻画角的数量关系的研究方法． 教材分析：《圆内接四边形》是九年级下册第五章《圆》的第五节的内容．本课时的内容是在学生学习了圆周角和圆心角的关系以及圆内接三角形的基础上，进一步学习圆内接四边形的概念和性质．学生观察圆内接四边形的两组对角与其所对的弧之间的关系，发现每组对角所对的弧都恰好组成整个圆，从而根据圆周角定理，得圆内接四边形的对角互补.这一性质充分揭示了作为直线形的圆内接四边形与圆的内在联系，它是今后证明与圆有关的角互补的重要依据．依据同角的补角相等，得圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角，这个推论是证明与圆有关的角相等时经常用到． 学情分析：学生已经掌握了圆周角定理的内容，一方面：具备了研究圆内接四边形概念及性质定理的预备知识，但学生识图能力有待进一步提高，由于以往对四边形的研究都是限于在直线型当中，缺少将与四边形的边角关系有关的知识融合在圆中进行分析的能力，因而遇到如何研究圆内接四边形的性质时会无从下手.解决这一问题，教
师要注意引导学生将有关四边形的角的问题与圆中角的问题联系起来，从而转化到利用圆周角定理解决．另一方面：为了教给学生解题的方法，训练学生的解题思维，我在教学中采用问题探究式进行教学，创设问题情境，启发学生进行思考，运用学过的知识进行进行分析探究，寻找结论与已知之间的联系，自主探索出定理与结论．在运用时，为了训练学生的灵活运用的能力，我采用开放式提问的形式，训练学生的发散思维；采用一题多解，训练学生从不同角度进行思考，发现解决问题的方法；采用一题多变，训练学生解题的灵活性．从而提高学生分析几何问题解决几何问题的能力． 教学目标： 1.能类比圆内接三角形和三角形外接圆的概念说出圆内接四边形、圆内接多边形和多边形外接圆的概念； 2.经历探索圆内接四边形性质定理及推论的过程，发展推理能力，进一步积累研究几何图形的活动经验. 3.会运用圆内接四边形的性质定理及推论进行计算和证明，提高分析问题和解决问题的能力. 教学重点：圆内接四边形的性质定理运用. 教学难点：探索并证明圆内接四边形的性质定理．定理的灵活运用. 评价设计：1、学生能否类比圆内接三角形和三角形外接圆的概念探索圆内接四边形、圆内接多边形的概念.类比特殊四边形的性质探索圆内接四边形性质定理及推论
圆周角定理及圆的内接四边形-练习题 含答案
圆周角定理及圆的内接四边形 副标题 题号一二三总分 得分 一、选择题（本大题共5小题，共15.0分） 1.如图，A，B，C是上三个点，，则下列 说法中正确的是 A. B. 四边形OABC内接于 C. D. 【答案】D 【解析】解：过O作于D交于E ， 则， ，， ， ， ， ， ，故C错误； ， ， ， ，故A错误； 点A，B，C在上，而点O在圆心， 四边形OABC不内接于，故B错误； ， ， ，故D正确； 故选D． 过O作于D交于E，由垂径定理得到，于是得到，推出，根据三角形的三边关系得到，故C错误；根据三角形内角和得到， ，推出，故A错误；由点A，B， 1 / 7第1页，共7页
C 在上，而点O在圆心，得到四边形OABC 不内接于，故B错误；根据余角的性质得到，故D正确； 本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键． 2.如图，四边形ABCD 内接于，AC 平分，则下 列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：A 、与的大小关系不确定，与AD不一定相等，故本选项错误； B 、平分，，，故本选项正确； C 、与的大小关系不确定，与不一定相等，故本选项错误； D 、与的大小关系不确定，故本选项错误． 故选：B． 根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可． 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 3.如图，四边形ABCD 内接于，若四边形ABCO是平行 四边形，则的大小为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：设的度数，的度数； 四边形ABCO是平行四边形， ； ，；而， ， 解得：，，， 故选：C． 第2页，共7页
《圆内接四边形的性质与判定定理》教学反思
《圆内接四边形的性质与判定定理》教学反思本节课的教学基本按事前的设计来进行，各知识点的切入合符学生的认知水平和认知特点，整堂课能在老师的指导启发下，开展了有序的探究活动，充分激发学生的学习兴趣和学习热情，培养学生自主学习的能力，达到教学目标的三维性，但也有不少的不足之处值得今后注意的。具体反思如下： 一、成功经验 1、以旧带新将学生的思维集中在新的问题上。以问题：“同学们，大家都知道任一三角形都有外接圆，那么任一四边形都有外接圆吗？”引入新课，让同学们带着这一问题进行探究。 2、从失败走向成功。要探究：任一四边形是否有外接圆？可以先采用：由特殊到一般的思维方法。即是由特殊的正方形、矩形入手寻找其一般的规律，但事实证明这方法行不通，失败！我们还可以用什么方法探究呢？让同学们讨论，最后由老师总结，可采用逆向思维法，即若一个四边形内接圆，那么，这样的四边形有什么特征？这样同学们的思维以一下子被激发出来了，很快便得出两个性质定理。若这两个定理的逆命题成立，则我们便能回答是否任一四边形有外接圆？接着，同学们便进一步进行推理、论证、最后得出：圆内接四边形的判定定理。这样，同学们便尝到了成功的喜悦，整节课的教学目标便能很好地实施。 3、以反证法及穷举法（分类讨论）突破本节内容的难点。要证明性质定理的逆命题时，用直接法是较难的，自然引导同学们利用间接法：反证法或同一法。要证：A、B、C、D四点共圆。可假设D不在A、B、C确定的圆上，即只有两种情况：（1）D在圆外，（2）D在圆内。只要能证明这两种情况都不成立，问题就得到解决。这就带出了穷举法（分类讨论法）从而突破了难点。 4、本节课能充分地利用了多媒体作为教学的辅助手段，实物投影与课件有机结合，课件的制作只是起到节省抄题和作图的时间及辅助教学作用，不能代替教学，走出一些老师上课只按课件的播放顺序按健播放的误区，堂上老师着重分析，着重加强学生分析能力的培养，每一问题分析基本采用执果索因的分析方法，教会学生如何分析问题，让学生清晰地知道每一问题的解题思路，从而再转化为
圆内接四边形的性质与判定定理
圆内接四边形的性质与判定定理 一、 选择题 1. 下列关于圆内接四边形叙述正确的有 ①圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角；②圆内接四边形对角相等；③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；④在圆内部的四边形叫圆内接四边形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.圆内接四边形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 交于点E ，在下图中全等三角形的对数为 A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 3.圆内接四边形ABCD 中，39,25,60,52AB BC CD DA ====,则圆的直径为 A.62 B.63 C.65 D.66 T2 T4 T5 4.如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 为BD 的垂直平分线，60,ACB AB a ∠==o ，则CD = C.12a D.13 a 5.圆内接四边形ABCD 中，BA 与CD 的延长线交于点P ,AC 与BD 交于点E,则图中相似三角形有 A.5对 B.4对 C.3对 D.2对 6.如图，已知圆内接四边形ABCD 的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 面积为 A. 163 B.8 C.323 D. D T6 T7 T12 7.如图，在以BC 为直径的半圆上任取一点P ,过弧BP 的中点A 作AD BC ⊥于D.连接BP 交AD 于点E,交AC 于点F,则:BE EF = A.1:1 B.1:2 C.2:1 D.以上结论都不对 8.直线370x y +-=与20kx y --=与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k =
A.-3 B.3 C.-6 D.6 二、填空题 9.圆内接四边形ABCD 中，cos cos cos cos A B C D +++= . 10.三角形三边长为5,12,13,则它的外接圆圆心到顶点的距离为 . 11.圆内接四边形ABCD 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则D ∠= . 12.如图，AB 为半圆O 的直径，C 、D 为半圆上的两点，20BAC ∠=o ，则ADC ∠= . 三、解答题 13.如图，锐角三角形ABC 中，60A ∠=o ，BC 为圆O 的直径，⊙O 交AB 、AC 于D 、E ，求证：2BC DE =. B 14.求证：在圆内接四边形ABCD 中，AC BD AD BC AB CD ?=?+?. 15.在等边三角形ABC 外取一点P ,若PA PB PC =+，求证：P 、A 、B 、C 四点共圆. 16.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，M 为CD 中点，N 为AB 中点，AC BD ⊥于点E ，连接ON 、ME ，并延长ME 交AB 于点F.求证：MF AB ⊥. A D B C
圆内接四边形
圆内接四边形 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=130°，则∠AOC的大小是（） A．80°B．100°C．60°D．40° 【变式1】如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（） A．B．C．D． 【变式2】如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（） A．40°B．60°C．70°D．80° 【变式3】四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（） A．45°B．50°C．55°D．60° 【变式4】已知圆内接四边形ABCD，则∠A：∠B：∠C：∠D可能为（） A．1：2：2：3 B．2：2：3：1 C．3：6：5：2 D．2：3：2：3 2如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠BCE=65°，则∠BOD的大小为（）
A．65°B．115°C．130°D．135° 【变式1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（） A．55°B．50°C．45°D．40° 【变式2】如图，圆内接四边形ABDC，延长BA和DC相交于圆外一点P，∠P=30°，∠D=70°，则∠ACP=． 【变式3】如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F． （1）当∠E=∠F时，则∠ADC=°； （2）当∠A=55°，∠E=30°时，求∠F的度数； （3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小． 3如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，4），M是第三象限内上一点，∠
圆的内接四边形
圆的内接四边形 知识结构 2.重点、难点分析 重点：圆内接四边形的性质定理.它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法. 难点：定理的灵活运用.使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的 外角和它的内对角的相互对应位置. 3.教法建议 本节内容需要一个课时. (1)教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境(参看教学设计示例)，组织学生自主观察、分析和探究; (2)在教学中以发现证明应用为主线，以特殊一般的探究方法，引导学生发现与证明的思想方法. 一、教学目标： (一)知识目标 (1)了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念; (2)掌握圆内接四边形的概念及其性质定理; (3)熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明. (二)能力目标 (1)通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力;
(2)通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维;(3)通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力. (三)情感目标 (1)充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情;(2)渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点. 二、教学重点和难点: 重点：圆内接四边形的性质定理. 难点：定理的灵活运用. 三、教学过程设计 (一)基本概念 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆. (二)创设研究情境 问题：一般的圆内接四边形具有什么性质? 研究：圆的特殊内接四边形(矩形、正方形、等腰梯形)教师组织、引导学生研究. 1、边的性质： (1)矩形：对边相等，对边平行. (2)正方形：对边相等，对边平行，邻边相等. (3)等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行. 归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质.2、角的关系
【中考冲刺】圆内接四边形的性质
【中考冲刺】圆内接四边形的性质
【中考冲刺】圆内接四边形的性质 一、选择题（共15小题） 1．（2011?肇庆）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（） 2．（2010?北海）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=36°，则∠A的度数为（） 3．（2006?宁德）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（） 4．（2001?咸宁）如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE为85°，则∠ADC的度数为（） 5．（2010?台湾）如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，AB=18．今沿两对角线将四边形ABCD 剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB重合）形成一线对称图形戊，如图2所示，则图形戊的两对角线长度和（）
7．（2004?武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠C=80°，则∠A的度数是（） 8．（2004?丰台区）如图，ABCD为圆内接四边形，若∠A=60°，则∠C等于（） 9．（2003?泉州）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠BAD=110°，则∠BCD等于（） 10．（2003?海淀区）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上，若∠A=50°，则∠DCE等于（） 11．（2003?甘肃）如图，ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C=45°，则∠BAE等于（）
12．（2002?苏州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=160°，则∠BCD=（） 13．（2000?西城区）如图，ABCD为圆内接四边形，如果∠C=50°，那么∠A等于（） 15．（1999?成都）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，且∠ABC=115°，那么∠AOC等于（） 二、填空题（共14小题）（除非特别说明，请填准确值） 16．（2011?江津区）已知如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=30°，则∠D=_________． 17．（2005?滨州）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=110°，则∠BOD=_________度．
九年级数学：圆的内接四边形(参考教案)
初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案 编订：XX文讯教育机构
圆的内接四边形(参考教案) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 1. 知识结构 2. 重点、难点分析 重点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法． 难点：定理的灵活运用．使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的 外角和它的内对角的相互对应位置． 3. 教法建议 本节内容需要一个课时． （1）教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境（参看教学设计示例），组织学生自主观察、分析和探究； （2）在教学中以“发现——证明——应用”为主线，以“特殊——一般”的探究方法，
引导学生发现与证明的思想方法． 一、教学目标： （一）知识目标 （1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念； （2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理； （3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明． （二）能力目标 （1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力； （2）通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维； （3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力． （三）情感目标 （1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情； （2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点． 二、教学重点和难点: 重点：圆内接四边形的性质定理．
圆内接四边形性质定理
C D ·O B A E P 圆内接四边形性质定理证明： 如右图：圆内接四边形ABCD ，圆心为O ，延长BC 至E ，AC 、BD 交于P ，则： 一、圆内接四边形的对角互补：∠ABC+∠ADC=180°，∠BCD+∠BAD=180° 二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠DCE=∠BAD 三、圆内接四边形对应三角形相似：△BCP ∽△ADP 四、相交弦定理：AP×CP=BP×DP 五、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD 一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法） 【证明】方法一： 利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。 如图，连接OB 、OD 则∠A= 21β，∠C=2 1 α ∵α+β=360° ∴∠A+∠C=2 1 ×360°=180° 同理得∠B+∠D=180° （也可利用四边形内角和等于360°） 【证明】方法二： 利用直径所对应的圆周角为直角。 设圆内接四边形ABCD 证明：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° 连接BO 并延长，交⊙O 于E 。连接AE 、CE 。 则BE 为⊙O 的直径 ∴∠BAE=∠BCE=90° ∴∠BAE+∠BCE=180° ∴∠BAE+∠BCE-∠DAE+∠DAE=180° 即∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DAE=180° ∵∠DAE=∠DCE （同弧所对的圆周角相等） ∴∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DCE=180° 即∠BAD+∠BCD=180° ∠A+∠C=180° ∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°） 【证明】方法三： 利用四边形内角和为360°及同弧所对的圆周角均相等 连接AC 、BD ，将∠A 、∠B 、∠C 、∠D 分为八个角 ∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8 ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360（四边形内角和为360°） ∠4=∠1，∠7=∠2，∠8=∠5，∠3=∠6 （同弧所对的圆周角相等） ∴∠1+∠2+∠5+∠6=2 1 ×360°=180° ∵∠1+∠2=∠A ∠5+∠6=∠C ∴∠A+∠C=180° ∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°） 二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明 如图，求证：∠DCE=∠BAD ∠BCD+∠DCE=180°（平角为180°） ∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补） ∴∠DCE=∠BAD 三、圆内接四边形对应三角形相似 如上图，求证：△BCP ∽△ADP ，△ABP ∽△DCP 证明： ∵∠CBP=∠DAP ，∠BCP=∠ADP （一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。） 又∵∠APD=∠BPC （对顶角相等） C A B D ·O α β C D ·O B A E P ·O B C D 1 2 4 3 5 6 7 8