2021年九年级中考专题训练：锐角三角函数及其应用(含答案)
2021中考专题训练：锐角三角函数及其应用
一、选择题
1. 如图，在△
ABC 中，CA=CB=4，cos C=，则sin B 的值为 ( )
A .
B .
C .
D .
2. 在
Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝15，则∠A 的度数为 ( )
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
3. 如图，在
Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，则BC 的长是( )
A.4 3 B ．4 C ．8 3 D ．4 3
4. 如图，在△
ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝3
5，AC ＝5，则△ABC 的面积是( )
A.212 B ．12 C ．14 D ．21
5.
一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( ) A . 斜坡AB 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10°
C . AC ＝1.2tan 10° 米
D . AB ＝ 1.2
cos 10° 米
6. 如图，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转到AC′的位置，此时露在水面
上的鱼线B′C′为3 3 m，则鱼竿转过的角度是( )
A. 60°
B. 45°
C. 15°
D. 90°
7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，若BD是△ABC的角平分线，BD ＝8，则△ABC的三边长分别是()
A．6，63，12 B．23，6，4 3
C．4，43，8 D．43，12，8 3
8.
小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( )
A.
1
1－sinαB.
1
1＋sinα
C.
1
1－cosαD.
1
1＋cosα
二、填空题
9. 【题目】（2020·攀枝花）sin60︒=.
10. 【题目】(2020·湘潭)计算：sin45︒=________．
11. 如图，在△ABC中，BC＝6＋2，∠C＝45°，AB＝2AC，则AC的长为________．
12.
如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC＝BD＝15
cm，∠CBD＝40°，则点B到CD的距离为________cm(参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766.结果精确到0.1
cm，可用科学计算器)．
13.
如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC ＝2，则tan D＝________．
14. (2019•湖北随州)计算：(π–2019)0–2cos60°=__________．
15. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1
m，则旗杆高BC为__________m．(结果保留根号)
16. (2019·浙江宁波)如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的
B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为__________米．(精确到1米，参考
数据：2≈1.414，3≈1.732)
三、解答题
17.
如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶
端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B、C、E在同一水平直线上)，已知AB＝80 m，DE＝10
m，求障碍物B、C两点间的距离．(结果精确到0.1 m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
18.
如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P 在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说
明理由．(参考数据：3≈1.73)
19. 如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距20n mile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50 n mile，又测得点B与小岛D相距20n mile.
(1)求sin∠ABD的值;
(2)求小岛C，D之间的距离(计算过程中的数据不取近似值).
20. (2019•铜仁)如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B 岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h(结果取整数，3≈1.732)
21.
如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，
AB
︵＝BD ︵
，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E . (1)求证：∠1＝∠BCE ； (2)求证：BE 是⊙O 的切线；
(3)若EC ＝1，CD ＝3，求cos ∠DBA .
22. (2019•贵阳•8
分)如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原
理图，图中OP 为下水管道口直径，OB 为可绕转轴O 自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB=OP=100cm ，OA 为检修时阀门开启的位置，且OA=OB ．
(1)直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB 的取值范围； (2)为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB 位置时，在点A 处测得俯角∠CAB=67.5°，若此时点B 恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．(结果保留小数点后一位)
(2=1.41，sin67.5°=0.92，cos67.5°=0.38，tan67.5°=2.41，sin22.5°=0.38，cos22.5°=0.92，tan22.5°=0.41)
2021中考专题训练：锐角三角函数及其应用-答
案
一、选择题
1. 【答案】D [解析]过点A 作AD ⊥BC 于点D ，
∵cos C=，AC=4，∴CD=1， ∴BD=3，AD==.
在Rt △ABD 中，AB==2
，
∴sin B===，故选D .
2. 【答案】D
3. 【答案】D [解析] ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，cosB ＝BC
AB ，
即cos30°＝BC
8，
∴BC ＝8×3
2＝4 3.
4. 【答案】A
[解析] 如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D.
∵在△ABC 中，cosB ＝
22
， ∴∠B ＝45°，∴BD ＝AD. ∵sinC ＝AD AC ，sinC ＝3
5，AC ＝5， ∴AD 5＝35，
∴AD ＝3，∴CD ＝4，BD ＝3，
则△ABC 的面积是12·AD·BC ＝12×3×(3＋4)＝21
2.
5. 【答案】
B 【解析】∵斜坡AB 的坡角是10°，∴选项A 是错误的；∵坡度
＝坡比＝坡角的正切，∴选项B 是正确的；∵AC ＝ 1.2
tan10°
米，∴选项C 是错
误的；∵AB ＝ 1.2
sin10°
米，∴选项D 是错误的．
6. 【答案】C 【解析】∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝
32
6
＝22，∴∠CAB ′＝45°，∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝
33
6＝3
2，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.
7. 【答案】D
[解析] ∵∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°.
∵BD 是△ABC 的角平分线，
∴∠CBD ＝30°.
解Rt △BCD ，Rt △ABC ，即可得△ABC 的三边长．
8.
【
答
案
】
A
【解析】在Rt △PCB ′中，sin α＝PC
PB ′，∴PC ＝PB ′·sin α，又∵B ′D ＝AC ＝1，则PB ′·sin α＋1＝P A ，而PB ′＝P A ，∴P A ＝1
1－sin α.
二、填空题
9. 3【解析】由特殊角的三角函数值可知sin60︒=3
10. 【答案】2
11. 【答案】2
[解析] 过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，如图所示．
设AC＝x，则AB＝2x.
在Rt△ACD中，AD＝AC·sinC＝
2
2x，
CD＝AC·cosC＝
2 2x.
在Rt△ABD中，AB＝2x，AD＝
2
2x，
∴BD＝AB2－AD2＝
6 2x.
∴BC＝BD＋CD＝
6
2x＋
2
2x＝6＋2，
∴x＝2.
12. 【答案】14.1【解析】如解图，过点B作BE⊥CD于点E，∵BC＝BD＝15 cm，∠CBD＝40°，∴∠CBE＝20°，在Rt△CBE中，BE＝BC·cos∠CBE≈15×0.9 40＝14.1(cm)．
13. 【答案】22【解析】如解图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝3×2＝6，AC＝2，∴BC＝AB2－AC2＝62－22
＝42，∵∠D＝∠A，∴tan D＝tan A＝BC
AC＝
42
2＝2 2.
14. 【答案】0
【解析】原式=1–2×=1–1=0，故答案为：0．
15. 【答案】103＋1
【解析】如解图，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则AE＝CD＝10
m，在Rt△AEB中，BE＝AE·tan60°＝10×
3＝10 3
m，∴BC＝BE
＋EC＝BE＋AD＝(103＋1)m.
16. 【答案】567
【解析】如图，设线段AB交y轴于C，
在直角△OAC中，∠ACO=∠CAO=45°，则AC=OC．
∵OA=400米，∴OC=OA•cos45°=400
2
2
⨯=2002(米)．
∵在直角△OBC中，∠COB=60°，OC=2002米，
∴
2002
1
cos60
2
OC
OB===
︒4002≈567(米)
故答案为：567．
三、解答题
17. 【答案】
解：如解图，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，则四边形FBED为矩形，(1分) ∴FD＝BE，BF＝DE＝10，FD∥BE，(2分)
第12题解图
由题意得：∠FDC＝30°，∠ADF＝45°，∵FD∥BE，∴∠DCE＝∠FDC＝30°，(3分)
在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，DE＝10，∠DCE＝30°，
∵tan∠DCE＝DE
CE，(4分)
∴CE＝
10
tan30°＝103，(5分)
在Rt△AFD中，∠AFD＝90°，∠ADF＝∠FAD＝45°，
∴FD＝AF，
又∵AB＝80，BF＝10，
∴FD＝AF＝AB－BF＝80－10＝70，(6分)
∴BC＝BE－CE＝FD－CE＝70－103≈52.7(m)．(7分)
答：障碍物B、C两点间的距离约为52.7 m．(8分)
18. 【答案】
解：不会有触礁危险．理由如下：
如解图，过点P作PC⊥AB，由题意可得，∠PAB＝30°，∠PBC＝45°，(2分) 设PC＝x，则BC＝x，
∴tan∠PAC＝tan30°＝PC
AC＝
x
8＋x＝
3
3，
解得x＝83
3－3
＝43＋4≈10.92>10，(4分)
∴不会有触礁的危险．(6分)
19. 【答案】
解:(1)过D作DE⊥AB于E，在Rt△AED中，AD=20，∠DAE=45°，∴DE=20×sin45°=20.
在Rt△BED中，BD=20，
∴sin∠ABD===.
(2)过D 作DF ⊥BC 于F ，
在Rt △BED 中，DE=20，BD=20
，
∴BE==40. 易知四边形BFDE 是矩形，
∴DF=EB=40，BF=DE=20，
∴CF=BC -BF=30.
在Rt △CDF 中，CD==50，
∴小岛C ，D 之间的距离为50 n mile .
20. 【答案】
由题意得，∠A=30°，∠B=45°，AB=10km ，
在Rt △APM 和Rt △BPM 中，tanA=
h AM 3tanB=h BM =1， ∴333
h ，BM=h ， ∵AM+BM=AB=10，∴
33h+h=10， 解得h=15–3≈6．
答：h 约为6km ．
21. 【答案】
(1)证明：如解图，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，
∵AB ︵＝BD ︵，
∴AB ＝BD
在△ABF 与△DBE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠BDE ∠AFB ＝∠DEB AB ＝DB
， ∴△ABF ≌△DBE (AAS)，
∴BF ＝BE ，
∵BE ⊥DC ，BF ⊥AC ，
∴∠1＝∠BCE ；
(2)证明：如解图，连接OB ，
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ABC ＝90°，即∠1＋∠BAC ＝90°，
∵∠BCE ＋∠EBC ＝90°，且∠1＝∠BCE ，
∴∠BAC ＝∠EBC ，
∵OA ＝OB ，
∴∠BAC ＝∠OBA ，
∴∠EBC ＝∠OBA ，
∴∠EBC ＋∠CBO ＝∠OBA ＋∠CBO ＝90°，
∴∠EBO ＝90°，
又∵OB 为⊙O 的半径，
∴BE 是⊙O 的切线；
解图
(3)解：在△EBC 与△FBC 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠CFB ，∠ECB ＝∠FCB ，BC ＝BC ，
∴△EBC ≌△FBC (AAS)，
∴CE ＝CF ＝1.
由(1)可知：AF ＝DE ＝1＋3＝4，
∴AC ＝CF ＋AF ＝1＋4＝5，
∴cos ∠DBA ＝cos ∠DCA ＝CD CA ＝35.
22. 【答案】
(1)阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB 的取值范围为：90°≤∠POB≤0°；
(2)如图，∵∠CAB=67.5°，∴∠BAO=22.5°，
∵OA=OB ，∴∠BAO=∠ABO=22.5°，∴∠BOP=45°，
∵OB=100，∴OE=222， ∴PE=OP –OE=100–2，
答：此时下水道内水的深度约为29.5cm ．
2020-2021全国各地中考数学分类：锐角三角函数综合题汇编含答案
2020-2021全国各地中考数学分类：锐角三角函数综合题汇编含答案 一、锐角三角函数 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40o ，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60o ，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ︒≈︒≈︒≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ∆中， 3.20BF BC sin BCF ⋅∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ⋅∠≈＝， 在Rt ADE ∆E 中， 3 1.73tan 3AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=， 2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到 1cm ）？ 【答案】 【解析】 过A 作AF CD ⊥于F ，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值，又可证四边形ABCE 为平行四边形，故有EC=AB=25cm ，再再根据DC=DE+EC 进行解答即可． 3．如图，在平行四边形ABCD 中，平分 ，交 于点， 平分 ，交 于点 ， 与 交于点，连接 ， . （1）求证：四边形是菱形； （2）若 ， ， ，求的值.
2020-2021全国中考数学锐角三角函数的综合中考真题汇总附答案
2020-2021全国中考数学锐角三角函数的综合中考真题汇总附答案 一、锐角三角函数 1．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62 或 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE； （2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE； （3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得. 【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K， ∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO， ∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK， ∵△EFK是直角三角形，∴OF=1 2 EK=OE； （2）如图2中，延长EO交CF于K，
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°， ∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF， ∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF， ∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF， ∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE； （3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H， ∵|CF﹣AE|=2，3AE=CK，∴FK=2， 在Rt△EFK中，tan∠3 ∴∠FEK=30°，∠EKF=60°， ∴EK=2FK=4，OF=1 2 EK=2， ∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2， 在Rt△PHF中，PH=1 2 PF=1，3OH=23 ∴()2 2 12362 +-=
锐角三角函数-2021年中考数学真题专项汇编(含答案)
锐角三角函数——2021年中考数学真题专项汇编 1.【2021年天津，2】tan30︒的值等于( ) A. B. C. 1 D. 2 2.【2021年重庆，10】如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和ND .甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ， 测得山坡DF 的坡度1:1.25i =.若58ND DE =，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（参考数据：2 1.41,3 1.73≈≈）( ) A.9.0m B.12.8m C.13.1m D.22.7m 3.【2021年福建，3】如图，某研究性学习小组为测量学校A 与河对岸工厂B 之间的距离，在学校附近选一点C ，利用测量仪器测得60A ∠=︒，90C ∠=︒，2km AC =.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB 等于( ) A.2km B.3km C. D.4km 4.【2021年四川泸州，8】锐角ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，有以下结论：2sinA sinB sinC a c b R ===（其中R 为ABC 的外接圆半径）成立．在ABC 中，若75A ∠=︒，45B ∠=︒，4 c =，则ABC 的外接圆面积为( ) A.16π3 B.64π3 C.16π D.64π 5.【2021年福建，9】如图，AB 为O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC ,PD 与O 相切，
2021年全国各省市中考真题分类汇编：锐角三角函数(含答案)
2021年全国各省市数学中考分类汇编 锐角三角函数 一、选择题 1.(2021·山东省淄博市)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线， 过点E作EF⊥AB交AC于点F.若BC=4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（） A. 3 5B. √5 5 C. 4 5 D. 2√5 5 2.(2021·浙江省金华市)如图是一架人字梯，已知AB=AC=2米，AC与地面BC的夹角 为α，则两梯脚之间的距离BC为（） A. 4cosα米 B. 4sinα米 C. 4tanα米 D. 4 cosα 米 3.(2021·山东省泰安市)如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法： 先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D 处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C 的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i=1：2.4.根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：√3≈1.732）（） A. 136.6米 B. 86.7米 C. 186.7米 D. 86.6米 4.(2021·重庆市)如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡， 斜坡CD的坡度（或坡比）为i=1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE=50米（点A，
B ， C ， D ， E 在同一平面内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（ ） （参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19） A. 69.2米 B. 73.1米 C. 80.0米 D. 85.7米 5. (2021·广东省)如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P 、 Q 两点分别测定对岸一棵树T 的位置，T 在P 的正北方向，且T 在Q 的北偏西70°方向，则河宽（PT 的长）可以表示为（ ） A. 200tan70°米 B. 200tan70∘米 C. 200sin 70°米 D. 200 sin70∘米 6. (2021·湖北省随州市)如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的 墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙 面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底 端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα=cosβ=3 5， 则梯子顶端上升了（ ） A. 1米 B. 1.5米 C. 2米 D. 2.5米 7. (2021·广西壮族自治区桂林市)如图，在平面直角坐标系内有一点P （3，4），连接 OP ，则OP 与x 轴正方向所夹锐角α的正弦值是（ ） A. 34 B. 4 3 C. 35D. 4 5
2021年九年级中考专题训练：锐角三角函数及其应用(含答案)
2021中考专题训练：锐角三角函数及其应用 一、选择题 1. 如图，在△ ABC 中，CA=CB=4，cos C=，则sin B 的值为 ( ) A . B . C . D . 2. 在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝15，则∠A 的度数为 ( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 3. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，则BC 的长是( ) A.4 3 B ．4 C ．8 3 D ．4 3 4. 如图，在△ ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝3 5，AC ＝5，则△ABC 的面积是( ) A.212 B ．12 C ．14 D ．21 5. 一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( ) A . 斜坡AB 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10° C . AC ＝1.2tan 10° 米 D . AB ＝ 1.2 cos 10° 米
6. 如图，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转到AC′的位置，此时露在水面 上的鱼线B′C′为3 3 m，则鱼竿转过的角度是( ) A. 60° B. 45° C. 15° D. 90° 7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，若BD是△ABC的角平分线，BD ＝8，则△ABC的三边长分别是() A．6，63，12 B．23，6，4 3 C．4，43，8 D．43，12，8 3 8. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( ) A. 1 1－sinαB. 1 1＋sinα C. 1 1－cosαD. 1 1＋cosα 二、填空题 9. 【题目】（2020·攀枝花）sin60︒=.
2021年中考真题分类集训苏科九年级数学下锐角三角函数练习含答案解析
2021年中考真题锐角三角函数 一．解答题（共14小题） 1．（2021•江西）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB ＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数； （2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位） （参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，√2≈1.414）
2．（2021•临沂）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？ （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 3．（2021•白银）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，D，B在同一条直线上）． 数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°．问题解决：求宝塔CD的高度（结果保留一位小数）． 参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
2021年九年级中考数学复习知识点易错部分突破训练：锐角三角函数(附答案)
2021年中考数学复习知识点易错部分突破训练：锐角三角函数（附答案）1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，那么AB的长为（）A．5sin A B．5cos A C．D． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos∠A＝，则BC的长为（） A．8B．12C．13D．18 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，AB＝2，则AC长是（）A．B．C．D．2 4．已知α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则△ABC是（） A．锐角三角形B．直角三角形或钝角三角形 C．钝角三角形D．等边三角形 5．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tan B﹣）（2sin A﹣）＝0，则△ABC一定是（） A．等腰三角形B．等边三角形 C．直角三角形D．有一个角是60°的三角形 6．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan ∠BA3C＝…，依此规律写出tan∠BA7C＝，则n＝（）
A．40B．41C．42D．43 7．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（） A．B． B．C．D． 8．如图，矩形台球桌ABCD，其中A、B、C、D处有球洞，已知DE＝4，CE＝2，BC＝6，球从E点出发，与DC夹角为α，经过BC、AB、AD三次反弹后回到E点，则tanα的取值范围（） A．≤tanα＜B．＜tanα＜ C．tanα＝D．＜tanα＜3 9．碧津公园坐落在江北机场旁，它是一个风景秀丽、优美如画的公园．园中的碧津塔是一座八角塔，每个角挂有一个风铃，被评为重庆市公园最美景点．重庆一中某数学兴趣小组，想测量碧津塔的高度，他们在点C处测得碧津塔顶部A处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得碧津塔顶部A的仰角为37°，碧津塔AB所在平台高度EF为0.8米．A、B、C、D、E、F在同一平面内，则碧津塔AB 的高约为（）米（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
2021年九年级数学中考一轮复习锐角三角函数相关填空压轴题 培优提升专题训练(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习锐角三角函数相关填空压轴题培优提升专题训练（附答 案） 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC内部一点，且∠ADB+∠BAC＝240°，∠ADC＝2∠ABC，若3BD＝2CD，则tan∠ADC的值为． 2．如图2，有一块四边形的铁板余料ABCD，经测量AB＝50cm，BC＝108cm，CD＝60cm，且tan B＝tan C＝，若要从这块余料中裁出顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，则该矩形的面积为cm2． 3．如图，BE是△ABC的角平分线，F是AB上一点，∠ACF＝∠EBC，BE、CF相交于点G．若sin∠AEB＝，BG＝4，EG＝5，则S△ABE＝． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△ABC可运动（平移或旋转），且∠C＝90°，BC＝+4，tan A＝，若以点M（3，6）为圆心，2为半径的⊙M始终在△ABC的内部，则△ABC的顶点C到原点O的距离的最小值为． 5．如图，△ABC为等边三角形，点D在△ABC外，连接BD、CD．若∠ABD＝2∠ACD，tan∠ACD＝，BD＝，则CD＝．
6．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，tan A＝，D是AC中点，∠ABD＝∠FBD，BC＝6，CF ∥AB，则DF＝． 7．如图，C为射线AM上一点，以点C为直角顶点作∠BCD交射线AN于D，B两点，当tan A＝时，的最大值为． 8．如图，线段AC，BD交于点P，∠A＝30°，∠ACD＝120°，∠D＝15°，AB＝1，CD ＝，则BD的长为． 9．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于点K，若EC＝10，tan∠AED＝，则AK＝．
2021年中考数学一轮复习锐角三角函数及其应用考点突破练习题含答案.docx
2021年中考数学一轮复习：锐角三角函数及其应用 考点突破练习题 一'选择题 1. （2020-天津）2sin45。的值等于（ ） A. 1 B. V2 C. y/3 2. (2020-杭州)如图，在/XABC 中，ZC=90°,设/A, ZB,匕C 所对的边分 别为a, b, c,贝ij ( ) c^———— A. c=bsinB B. b=csinB C. a=btanB D. b=ctanB 3. （2020-扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、。都在 格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D.则sinZADC 的值为 （ ） 4. （2019«湖南湘西州）如图，在AABC 中，ZC=90° , AC=12, AB 的垂直平分线 EF 交AC 于点D,连接BD,若cosZBDC=|,贝UBC 的长是 C. 4^3 D. 2存 5. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A, B, P, Q 四点均在正方形网格 的格点上，线段AB, PQ 相交于点M,则图中ZQMB 的正切值是（） A - 2 6. （2020-咸宁）如图，在矩形A3CD 中，A B = 2, B C = 2^5, E 是BC 的中点, D. 2 B. 1 D. 2
将△A3E 沿直线AE 翻折，点3落在点F 处，连结CF,则c KF 的值为（ 7. （2019 •浙江金华）如图，矩形ABCD 的对角线交于点O.已知AB=m, ZBAC= Za,则下列结论错误的是 B. BC=m*tana 8. 如图，14A ABC 中，AB=AC, BC=U, E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直 平分线交边BC 于点D.设BD=x, tanZACB=y,贝lj （ ） A. x —y 2 = 3 B. 2x —y 2=9 C. 3x~y 2= 15 D. 4X -V 2=21 二' 填空题 9. 6tan 230°-V3sin60o -2sin45°=. 10. （2019 -浙江衢州）如图，人字梯AB, AC 的长都为2米，当a=50°时，人字梯 顶端离地面的高度AD 是 米（结果精确到0.1m.参考数据：sin50°^ C 'f D. 2右 ~T 2 sin a D. BD = m cos a
专题6锐角三角函数—6.6影响范围+答案-2021届鲁教版(五四制)九年级数学专题复习训练
三角函数之影响范围 【经典例题1】如图所示，一条渔船某时刻在位置A 观测灯塔B 、C(灯塔B 距离A 处较近)，两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l 小时45分钟之后到达D 点，观测到灯塔B 恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C 周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险? 【解析】船的行程图如图所示： 1小时45分=143小时=4 7小时， 在Rt △ABD 中， AD=16×4 7=28(海里)， ∠BAD=90°−65°45′=24°15′， ∵cos24°15′=AD /AB ， ∴AB=AD/cos24°15′=28/0.9118≈30.71(海里)， AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里) 在Rt △ACE 中， sin24°15′=CE /AC ， ∴CE=AC ⋅sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里)
∵17.54<18.6， ∴这条船不改变方向会有触礁危险。 【经典例题2】如图，海中有一小岛A ，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 【解析】如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由如下： 过点A 作AC ⊥BD ，垂足为C. 根据题意可知∠ABD=30°，∠ADC=60°， ∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ， ∴∠BAD=30°=∠ABD ， ∴DB=DA=12， 在Rt △ACD 中，∠ACD=90°，∠ADC=60°，sin ∠ADC=AC/AD ， ∴sin60°=AC/12， ∴AC=12×sin60°=12×23=63=108>64=8， ∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险。 【经典例题3】（2019年宜宾市）如图4所示，在某海滨城市O 附近海面有一股台风，据监测，当时强台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P 处，并以20
2021年九年级数学中考一轮复习知识点中考真题演练26：锐角三角函数(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习知识点中考真题演练：锐角三角函数（附答案）1．如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点．已知坡角为20°，山高BC＝2千米．用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（） A．B． C．D． 2．坡比常用来反映斜坡的倾斜程度．如图所示，斜坡AB坡比为（） A．1：3B．3：1C．D． 3．如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE 的中点，下列结论：①tan∠AEC＝；②S△ABC+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；④BM ＝DM．正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为（） A．B．C．D．2
5．直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4．（1）将△ABC如图1那样折叠，使点C落在AB上，折痕为BD；（2）将△ABD如图2那样折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．则tan∠DEA的值为（） A．B． C．D． 6．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（） A．+1B．﹣1 C．D． 7．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（） A．B． C．D． 8．如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE ＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4） A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
2021中考数学热点题型专练锐角三角函数含解析
热点17 锐角三角函数 【命题趋势】 锐角三函数是中考数学中必考内容之一,所占比例8—15分,题目数量2-3题。一般小题会有一个,一般为填空或计算,考查学生对几个特殊角的三角函数值的记忆情况。大题一般也会有一题,主要是考查锐角三角函数的实际应用,往往会结合仰角和俯角,坡度等概念进行设计问题,当然在其他解答题中也可能会用到三角函数,比如在计算一些线段长度,会与解直角三角形,或者与圆、四边形结合而形成难度中等的解答题。 【满分技巧】 一、整体把握知识结构 二．重点知识 1.Rt△ABC中 (1)△A的对边与斜边的比值是△A的正弦,记作sinA＝△A的对边 斜边 (2)△A的邻边与斜边的比值是△A的余弦,记作cosA＝△A的邻边 斜边 (3)△A的对边与邻边的比值是△A的正切,记作tanA＝△A的对边△A的邻边 (4)△A的邻边与对边的比值是△A的余切,记作cota＝△A的邻边△A的对边
2.特殊值的三角函数： 【限时检测】（建议用时：30分钟） 一、 选择题 1.如图,在5×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上,则sin△BAC 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】如图,过C 作CD △AB 于D ,则△ADC ＝90°, △AC ＝AD 2+CD 2 ＝5． △sin△BAC ＝CD AC ＝45 故选：D ．
2.如图,在△ABC 中,△C ＝90°,AC ＝12,AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ,连接BD ,若cos△BDC ＝,则BC 的长是（ ） A ．10 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】D 【解析】△△C ＝90°,cos△BDC ＝5 7 , 设CD ＝5x ,BD ＝7x , △BC ＝2 6 x , △AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D , △AD ＝BD ＝7x , △AC ＝12x , △AC ＝12, △x ＝1, △BC ＝2 6 ； 故选：D ． 3.如图,△ABC 中,AB ＝AC ＝10,tan A ＝2,BE △AC 于点E ,D 是线段BE 上的一个动点,则CD + BD 的最小值是
2023年中考数学解答题专项复习：锐角三角函数(附答案解析)
2023年中考数学解答题专项复习：锐角三角函数1．（2021•兰州）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 2．（2021•攀枝花）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施．中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措．如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，以及该斜坡AC的坡度i＝，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数） （参考数据：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60） 3．（2021•巴中）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、 B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，
2021年九年级数学中考分类训练：锐角三角函数实际应用 必刷题
2021年九年级数学中考分类训练：锐角三角函数实际应用 必刷题 1．如图1是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成，如图2是它的平面示意图，底座AD，连杆AB和托架BC始终在一个平面内．连杆AB可以绕着点A在5°﹣120°范围内旋转，托架BC可以绕着点B在5°﹣90°范围内旋转，连杆BA的长度为18厘米，托架CB的长度为8厘米．当连杆AB和托架BC旋转至图3位置，∠DAB＝∠ABC ＝60°，请你计算此时点C到底座AD的距离CM的长．（结果保留根号） 2．如图，在一条笔直公路BD的正上方A处有一探测仪，AD＝24m，∠D＝90°，一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD＝31°，2秒后到达C点，测得∠ACD＝50°．（参考数据：tan31°≈0.6，tan50°≈1.2） （1）求B，C两点间的距离（结果精确到1m）； （2）若规定该路段的速度不得超过15m/s，判断此轿车是否超速．
3．小强洗漱时的侧面示意图如图所示，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时身体前倾，下半身与地面的夹角∠FGK＝80°，上半身与下半身所成夹角∠EFG＝125°，脚与洗漱台距离GC＝15cm，点D，C，G，K在同一直线上． （1）求此时小强腰部点F到墙AD的距离． （2）此时小强头部点E是否恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方？若是，请说明理由； 若不是，则他应向前还是向后移动多少厘米，使头部点E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方？ （计算过程及结果的长度均精确到1cm．参考数据；sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41） 4．如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图．已知BC＝1米，∠MBC＝37°．从水平地面点D处看点C的仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B的仰角∠AEB＝53°，且DE＝2.4米． （1）求点C到墙壁AM的距离； （2）求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
专题训练24：锐角三角函数-2021年中考数学一轮复习知识点课标要求
2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练24：锐角三角函数（含答案） 一、知识要点： 1、锐角三角函数 正弦：c a A A =∠=斜边的对边sin ； 余弦：c b A A =∠=斜边的邻边cos ； 正切：b a A A A =∠∠= 的邻边的对边tan 。 常见三角函数值： 锐角 α 三角函数 30° 45° 60° αsin 21 22 2 3 αcos 2 3 22 21 αtan 33 1 3 2、解直角三角形 解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。除直角外，共5个元素(三边、两锐角)，若知道其中2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素。 二、课标要求： 1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A ，cos A ，tan A )，知道30°，45°，60°角的三角函数值。 2、会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。 3、能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。 三、常见考点：
1、30°，45°，60°角的三角函数值。 2、30°，45°，60°角的三角函数值与实数运算的结合。 3、解直角三角形。 4、用锐角三角函数的相关知识解决一些简单的实际问题。 四、专题训练： 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝ 2．如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）米．（≈1.7） A．145米B．135米C．125米D．120米 3．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上．则cos B 的值为（） A．B．C．D． 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，则Rt△ABC的三边a、b、c之比a：b：c为（）A．2：：3 B．1：：C．1：2：3 D．2：： 5．在△ABC中，BC＝2，AC＝2，∠A＝30°，则AB的长为（） A．B．2 C．或4 D．2或4 6．用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正确的是（） A． B． C． D．
湖南省2021年中考数学真题分项汇编—专题15 锐角三角函数(含答案解析)
专题15 锐角三角函数 一、单选题 1．（2021·湖南永州市·中考真题）下列计算正确的是（ ） A ．0(3)1π-= B ．1tan 302=︒ C 2=± D ．236a a a ⋅= 【答案】A 【分析】 根据零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法的计算法则分别计算即可． 【详解】 解：A 、0(3)1π-=，此选项正确； B 、tan 303 ︒=，此选项错误； C 2=，此选项错误； D 、235a a a ⋅=，此选项错误； 故选：A ． 【点睛】 本题考查零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法，熟知相关计算法则即定义是解决本题的关键． 2．（2021·湖南株洲市·中考真题）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB 垂直地面1l 于点A ，BE 与水平线2l 的夹角为()090αα︒≤≤︒，12////EF l l ，若 1.4AB =米，2BE =米，车辆的高度为h （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度． ①当90α=︒时，h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口； ②当45α=︒时，h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口； ③当60α=︒时，h 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口． 则上述说法正确的个数为（ ）
A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【答案】C 【分析】 ①,,A B E 三点共线，直接计算可得； ②做出辅助线，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数，求出h ； ③方法同②． 【详解】 如图过E 点作EM AB ⊥交AB 的延长线于点M ， 12////EF l l ∴MEB α∠= 则sin h AM AB BE α==+⨯ ①当90α=︒时,,,A B E 三点共线， 1.42 3.4 3.3h AE AB BE ==+=+=> ∴h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确． ②当45α=︒时， sin 1.42 1.4 1.41 2.81 2.92 h AB BE α=+⨯=+⨯≈+=< ∴h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确．
2020-2021九年级中考数学锐角三角函数解答题压轴题提高专题练习含详细答案
2020-2021九年级中考数学锐角三角函数解答题压轴题提高专题练习含详细答案 一、锐角三角函数 1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数 值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC•cos30°=3 ==米， 639 ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF中， BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，3△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．
【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62 或23 3 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE； （2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE； （3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得. 【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K， ∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO， ∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK， ∵△EFK是直角三角形，∴OF=1 2 EK=OE； （2）如图2中，延长EO交CF于K， ∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，
2020-2021中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题含详细答案
2020-2021中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题含详细答案 一、锐角三角函数 1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为»AC 上的动点，且 10 cos B =. (1)求AB 的长度； (2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由. (3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+. 【答案】(1) 10AB (2) 10AD AE ⋅=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长； （2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ，连接BG ，求得AF=3，FG= 1 3 ，继而即可求得AD•AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ， ∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=1 2BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10 cos 10 BF B == （2）连接DG ， ∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°， 又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ， ∴AD•AE=AF•AG ， 连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ， ∵22AB BF -=3， ∴FG= 13 ，
2020-2021中考数学锐角三角函数-经典压轴题及详细答案
2020-2021中考数学锐角三角函数-经典压轴题及详细答案 一、锐角三角函数 1．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm． （1）求∠CAO＇的度数． （2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？ （3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？ 【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°． 【解析】 试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果； （2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得 BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果； （3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°． 试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm， ∴sin∠CAO′=， ∴∠CAO′=30°； （2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD， ∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA， ∠CAO′=30°， ∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°， ∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12， ∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；
上海中考数学考点 专练11(锐角三角函数应用大题)
上海中考考点 专练11（锐角三角函数应用大题） 1．（2021·上海金山区·九年级一模）如图，在距某输电铁塔GH （GH 垂直地面）的底部点H 左侧水平距离60米 的点B 处有一个山坡，山坡AB 的坡度1:i =B 到坡顶A 的距离AB 等于40米，在坡顶A 处测得铁塔顶点G 的仰角为30（铁塔GH 与山坡AB 在同一平面内）． （1）求山坡的高度； （2）求铁塔的高度GH ．（结果保留根号） 【答案】（1）山坡的高度为20米；（2）铁塔的高度GH 为(40+米． 【详解】 解：（1）过点A 作AD 垂直HB ，交HB 的延长线于点D ． 即90ADB ∠=︒， 由题意得：i =60AB =（米）， ∴ AD BD =BD =， 又∴222AB AD BD =+，即)22240AD =+ ，∴20AD =（米）． 答：山坡的高度为20米． （2）作//AE BH 交GH 于点E ． ∴AD BH ⊥，GH BH ⊥，∴//AD GH ，即：四边形ADHE 是矩形， 由题意可知：30GAE ∠=︒，60BH =（米）， ∴BD ==， ∴60AE DH ==+， 在t R AGE ∆中，tan GE GAE AE ∠=， ∴20GE =+， 又∴20EH AD ==（米），∴40GH GE EH =+=+（米）， 答：铁塔的高度GH 为40+（米．
2．（2021·上海徐汇区·九年级一模）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB （如图所示），当无人机在限速道路的正上方C 处时，测得限速道路的起点A 的俯角是37︒，无人机继续向右水平飞行220米到达D 处，此时又测得起点A 的俯角是30，同时测得限速道路终点 B 的俯角是45︒（注：即四边形ABD C 是梯形） ． （1）求限速道路AB 的长（精确到1米）； （2）如果李师傅在道路AB 上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin370.60︒≈， cos370.80︒≈，tan370.75︒≈ 1.73≈） 【答案】（1）限速道路AB 的长约为1514米；（2）李师傅超速了，理由见解析． 【详解】 （1）如图，由题意得：37,30,45,//ECA CDA FDB CD AB ∠=︒∠=︒∠=︒，220CD =米， 过点C 作CM AB ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥于点N ，则四边形CDNM 是矩形， ,220CM DN MN CD ∴===米，37,30,45,//ECA CDA FDB CD AB ∠=︒∠=︒∠=︒， 45B FDB ∴∠=∠=︒，37CAM ECA ∠=∠=︒，30DAN CDA ∠=∠=︒， Rt BDN ∴是等腰直角三角形，BN DN =， 设BN DN CM x ===米，在Rt ADN △中，22AD DN x ==米，AN ==米， ) 220AM AN MN ∴=-=-米， 在Rt ACM △中，tan CM CAM AM ∠=，即tan 37︒=554.6x ≈（米）， 则1514AB AN BN x =+=+≈（米）， 答：限速道路AB 的长约为1514米； （2）因为1分20秒等于145 小时，1514米等于1.514千米，所以李师傅在道路AB 上行驶速度为11.51468.1345÷=