九年级中考数学锐角三角函数解答题压轴题提高专题练习附详细答案

九年级中考数学锐角三角函数解答题压轴题提高专题练习附详细答案

一、锐角三角函数

1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60︒︒,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处.

（1）求之间的距离

（2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）3

5

. 【解析】 【分析】

（1）解直角三角形即可得到结论；

（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==，

'30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC=

3

3

3，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】

解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ，

∴AB=sin 30AC

︒

=6012

=120（m ）

（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3

在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°，

∴DC=333∴3

∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC=

'A E DE 5032

35

答：从无人机'A 上看目标D 2

35

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.

2．如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．

（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；

（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）

（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）

【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D 处成功拦截. 【解析】 【分析】

（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可；

（2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】

（1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=. 在Rt ABC 中，sin AC B AB =

，所以3sin 3725155

AC AB ︒

=⋅=⨯=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.

（2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM 中，4

sin 15125

CM AC CAM =⋅∠=⨯

=，

3

cos 1595

AM AC CAM =⋅∠=⨯=.

在Rt ADM △中，tan MD

DAM AM

∠=，

所以tan 7636MD AM ︒=⋅=. 所以222293691724AD AM MD CD MD MC =

+=+==-=，.

设缉私艇的速度为v 海里/小时，则有24917

16v

=

，解得617v =. 经检验，617v =是原方程的解.

答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D 处成功拦截.

【点睛】

此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

3．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB 与底板OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO ＇后，电脑转到AO ＇B ＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm ，O ＇C ⊥OA 于点C ，O ＇C=12cm ． （1）求∠CAO ＇的度数．

（2）显示屏的顶部B ＇比原来升高了多少？

（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O ＇B ＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O ＇B ＇应绕点O ＇按顺时针方向旋转多少度？

【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm ；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针

方向旋转30°．

【解析】

试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；

（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得

BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；

（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．

试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，

∴sin∠CAO′=，

∴∠CAO′=30°；

（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，

∠CAO′=30°，

∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，

∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，

∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；

（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，

理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，

∴∠EO′F=120°，

∴∠FO′A=∠CAO′=30°，

∵∠AO′B′=120°，

∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，

∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．

考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．

4．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），

∠BPE=1

∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

2

（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；

（2）通过观察、测量、猜想：BF

PE

=，并结合图2证明你的猜想；

（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE

的

值．（用含α的式子表示）

【答案】（1）证明见解析（2）

1

2

BF

PE

=（3）

1

tan

2

BF

PE

α

=

【解析】

解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，

∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．

∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．

（2）BF1

PE2

=．证明如下：

如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．

∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．

∴NB=NP．

∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE．

∵∠BPE=1

2

∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．

∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900．

又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF="MF" ，即BF=1

2 BM．

∴BF=

12PE ， 即

BF 1

PE 2

=． （3）如图，过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．

由（2）同理可得BF=1

2

BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ．

∴

BM BN

PE PN

=． 在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴

BM =tan PE α，即2BF

=tan PE

α． ∴

BF 1

=tan PE 2

α． （1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．

（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出

BF 1

PE 2

=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=1

2

BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BN

tan =PN

α即可求得

BF 1

=tan PE 2

α．

5．如图，平台AB 高为12m ，在B 处测得楼房CD 顶部点D 的仰角为45°，底部点C 的俯角为30°，求楼房CD 的高度（3＝1．7）．

【答案】32．4米．

【解析】

试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．

试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，

根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．

∵AB⊥AC，CD⊥AC，

∴四边形ABEC为矩形，

∴CE=AB=12m，

在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE CE

，

∴BE=CE•cot30°=12×3=123，

在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，

得DE=BE=123．

∴CD=CE+DE=12（3+1）≈32.4．

答：楼房CD的高度约为32.4m．

考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．

6．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，

∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：

（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME 的度数．

（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．

（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．

【答案】（1）∠BME=15°；

（2BC=4；

（3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8，

当h≥2时，S=18﹣3h．

【解析】

试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；

（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；

（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC．

试题解析：解：（1）如图2，

∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．

∴OA=OB，

∴∠OAB=45°，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OCE=60°，

∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，

∴∠BME=∠CMA=15°；

如图3，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OBC=∠DEC=30°，

∵OB=6，

∴BC=4；

（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，

∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，

∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，

∵△CMN∽△CED，

∴，

∴，

解得FM=4﹣，

∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，②如图3，当h≥2时，

S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．

考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形

7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；

（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x 的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．

【答案】（1）45

2

；（2）详见解析；（3）使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有：0秒、

32 669-． 【解析】 【分析】

（1）根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2，由tan ∠B ′D ′A ′＝

'''''

=A B CE

A D CD 可求出CE ，即可计算△CED ′的面积，S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′； （2）分类讨论，当0≤x ≤

115时和当11

5

＜x ≤4时，分别列出函数表达式； （3）分类讨论，当AB ′＝A ′B ′时；当AA ′＝A ′B ′时；当AB ′＝AA ′时，根据勾股定理列方程即可． 【详解】

解：（1）∵AB ＝6cm ，AD ＝8cm ， ∴BD ＝10cm ，

根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10cm ，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2cm ， ∵tan ∠B ′D ′A ′＝

'''''

=A B CE A D CD ∴

682

=CE ∴CE ＝3

2

cm ，

∴S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′＝86345

22222

⨯-⨯÷=（cm 2）； （2）①当0≤x ＜115时，CD ′＝2x +2，CE ＝3

2

（x +1）， ∴S △CD ′E ＝32x 2+3x +32

， ∴y ＝12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32＝﹣32x 2﹣3x +452； ②当

115≤x ≤4时，B ′C ＝8﹣2x ，CE ＝4

3

（8﹣2x ）

∴()214y 8223x =⨯-＝83x 2﹣643x +1283

． （3）①如图1，当AB ′＝A ′B ′时，x ＝0秒； ②如图2，当AA ′＝A ′B ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +

185，A ′M ＝NB ＝245， ∵AN 2+A ′N 2＝36，

∴（6﹣245）2+（2x +185

）2＝36， 解得：x ＝

6695-，x ＝6695--（舍去）； ③如图2，当AB ′＝AA ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +

185，A ′M ＝NB ＝245， ∵AB 2+BB ′2＝AN 2+A ′N 2

∴36+4x 2＝（6﹣

245）2+（2x +185）2 解得：x ＝32

． 综上所述，使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有：0秒、32秒、6695

-．

【点睛】

本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．

8．如图，在平面直角坐标系中，直线DE 交x 轴于点E （30，0），交y 轴于点D （0，40），直线AB ：y ＝13

x +5交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，交直线DE 于点P ，过点E 作

EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．

（1）求边EF的长；

（2）将正方形EFGH沿射线FB 的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．

①当点F1移动到点B时，求t的值；

②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积．

【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；

【解析】

【分析】

（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-4

3

x+40，可

求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；

（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，1010=10；

②F点移动到F'10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE

上时，在Rt△F'NF中，NF

NF'

=

1

3

，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，

4

3

MH

EM

'

=，

t=4，S=1

2

×(12+

45

4

)×11=

1023

8

；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，

PK

F K'

=

1

3

，

PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PK

KG'

＝

3

1539

t

t

-

-+

＝

4

3

，t=7，S=15×（15-7）=120.

【详解】

（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），

∴

300

40

k b

b

+=

⎧

⎨

=

⎩

，

∴

4

3

40

k

b

⎧

=-

⎪

⎨

⎪=

⎩

，

∴y ＝﹣43x+40， 直线AB 与直线DE 的交点P （21，12），

由题意知F （30，15），

∴EF ＝15；

（2）①易求B （0，5），

∴BF ＝1010，

∴当点F 1移动到点B 时，t ＝101010÷＝10； ②当点H 运动到直线DE 上时，

F 点移动到F'10，

在Rt △F'NF 中，NF NF '=1

3，

∴FN ＝t ，F'N ＝3t ，

∵MH'＝FN ＝t ，

EM ＝NG'＝15﹣F'N ＝15﹣3t ，

在Rt △DMH'中，

4

3MH EM '=，

∴4

1533t

t =-，

∴t ＝4，

∴EM ＝3，MH'＝4，

∴S ＝1

45

1023

(12)11248⨯+⨯=；

当点G 运动到直线DE 上时，

F 点移动到F'的距离是10t ， ∵PF ＝310，

∴PF'＝10t ﹣310，

在Rt △F'PK 中，

13

PK F K ='， ∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9，

在Rt △PKG'中，

PK KG '＝31539t t --+＝43

， ∴t ＝7，

∴S ＝15×（15﹣7）＝120.

【点睛】

本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．

9．如图1，以点M （－1，0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直线y ＝－x －与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ．

（1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；

（2）如图2，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP : PH ＝3 : 2，求cos ∠QHC 的值；

（3）如图3，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT

交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN·

MK ＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）OE=5，r=2，CH=2

（2）；

（3）a=4

【解析】

【分析】

（1）在直线y＝－x－中，令y=0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH 是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长；

（2）连接DQ、CQ．根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cos∠QHC的值；

（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知，

∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论．

【详解】

（1）OE=5，r=2，CH=2

（2）如图1，连接QC、QD，则∠CQD =90°，∠QHC =∠QDC，

易知△CHP∽△DQP，故，得DQ=3，由于CD=4，

；

（3）如图2，连接AK，AM，延长AM，

与圆交于点G，连接TG，则

，

由于，故，；

而，故

在和中，；

故△AMK∽△NMA

;

即：

故存在常数，始终满足

常数a="4"

解法二：连结BM，证明∽

得

10．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5︒方向上，距离5千米处是村庄M，在点A北偏东53.5︒方向上，距离10千米处是村庄N；要在公路AB旁修建一个土特产收购站P(取点P在AB上)，使得M，N两村庄到P站的距离之和最短，请在图中作出P的位置（不写作法）并计算：

（1）M，N两村庄之间的距离；

（2）P到M、N距离之和的最小值.（参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75计算结果保留根号.）

【答案】(1) M，N两村庄之间的距离为29千米;(2) 村庄M、N到P站的最短距离和是55千米．

【解析】

【分析】

（1）作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．求出DN，DM，利用勾股定理即可解决问题．

（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长．

【详解】

解：作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．

（1）在Rt△ANE中，AN=10，∠NAB=36.5°

∴NE=AN•sin∠NAB=10•sin36.5°=6，

AE=AN•cos∠NAB=10•cos36.5°=8，

过M作MC⊥AB于点C，

在Rt△MAC中，AM=5，∠MAB=53.5°

∴AC=MA•sin∠AMB=MA•sin36.5°=3，

MC=MA•cos∠AMC=MA•cos36.5°=4，

过点M作MD⊥NE于点D，

在Rt△MND中，MD=AE-AC=5，

ND=NE-MC=2，

∴MN=22

+=29，

52

即M，N两村庄之间的距离为29千米．

（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长．

DN′=10，MD=5，在Rt△MDN′中，由勾股定理，得

MN′=22

510

+=55（千米）

∴村庄M、N到P站的最短距离和是55千米．

【点睛】

本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A，B重合)，作∠DPQ＝60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示线段DC的长：_________________；

（2）当t =__________时，点Q与点C重合时；

（3）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，求出t的值．

【答案】（1）；（2）1；（3）t的值为或或.

【解析】

【分析】

（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；

（2）利用AQ=AC，即可得出结论；

（3）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．

【详解】

（1）∵AP= , AB=4,∠A＝30°

∴AC= , AD=

∴CD=；

（2）AQ=2AD=

当AQ=AC时，Q与C重合

即=

∴t=1；

（3）①如图，当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，

∴∠PGF＝90°，PG＝PQ＝AP＝t，AF＝AB＝2.

∵∠A＝∠AQP＝30°，∴∠FPG＝60°，∴∠PFG＝30°，∴PF＝2PG＝2t，

∴AP＋PF＝2t＋2t＝2，∴t＝

②如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点N时，

∴∠QMN＝90°，AN＝AC＝，QM＝PQ＝AP＝t.

在Rt△NMQ中，

∵AN＋NQ＝AQ，∴

③如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点F时，

∴BF＝BC＝1，PE＝PQ＝t，∠H＝30°.

∵∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°＝∠H，∴BH＝BF＝1.

在Rt△PEH中，PH＝2PE＝2t.

∵AH＝AP＋PH＝AB＋BH，∴2t＋2t＝5，∴t＝.

即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为或或.

【点睛】

此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．

12．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为

，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度.（参考数据：,，）

【答案】旗杆的高度约为.

【解析】

【分析】

在Rt△BDC中，根据tan∠BDC=求出BC，接着在Rt△ADC中，根据tan∠ADC==即可求出AB的长度

【详解】

解：∵在Rt△BDC中，tan∠BDC==1，∴BC=CD= 40m 在Rt△ADC中，tan∠ADC==

∴tan50°= =1.19

∴AB7.6m

答：旗杆AB的高度约为7.6m.

【点睛】

此题主要考查了三角函数的应用

13．已知抛物线y＝﹣1

6

x2﹣

2

3

x+2与x轴交于点A，B两点，交y轴于C点，抛物线的对

称轴与x轴交于H点，分别以OC、OA为边作矩形AECO．

(1)求直线AC的解析式；

(2)如图，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形AOCP 面积最大时，求|PM﹣OM|的值．

(3)如图，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'．使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．