奥数数论：数的整除问题要点及解题技巧（六年级）
奥数数论：数的整除问题要点及解题技巧（六年级）
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
小学奥数教程之数的整除
学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思 维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。 数的整除 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定 量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要 的一讲，也是竞赛常考的知识板块。 本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性， 在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性 的数字乘积形式来分析其整除性质。另外一个难点是将数字的整除性上升到字 母和代数式的整除性上，这个对与学生的代数思维是一个良好的训练也是一个 不小的挑战。
知识梳理 1.常见数字的整除判定方法 （1）. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；（2）. 一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； （3）. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除. （4）. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除. 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 注： 在给学生讲解常见数字的判定性质时，要分系列来讲，例如有2系列，5系列，3系列和7,11,13系列，便于记忆。对于11的单独判定特性需要重点讲解。 2.整除性质 性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)． 注： 在理解这个性质时，我们要注意，反过来是不成立的，即两数的和(a+b)或差(a-b)能被c整除，这两个数不一定能被c整除．如5 ︱(26+24)，但526，524． 可以引入下面的问题 2∣12，12∣36．2能否整除36？显然，回答是肯定的．这是因为36是12的倍数，12又是2的倍数，那么36一定是2的倍数．由此我们又可以得出： 性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，
小学奥数 数论问题 第二讲 数的整除特性
第二讲数的整除特性 讲义 （一）整除的定义： 所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整数”就是说“商a/b是一个整数”；或者换句话说：存在这第三个自然数c，使得a=b×c，这时候我们就说“b整除a”或者“a能被b整除”，其中b叫a的约数，a是b的倍数，记做“b︱a” （二）整除的性质： （传递性）若c︱b，b︱a，则c︱a （可加性）若c︱a，c︱b，则c︱（a+b） （可乘性）若c︱a，d︱b，则cd︱ab （三）常见的整除特征： 尾数系：一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 数字和系：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 分段做差系： 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除. 课后习题 基础篇： 【闯关1】 493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。
【闯关2】 如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？ 提高篇： 【闯关3】 如果四位数x=6□□8能被236整除，那x除以236所得的商为________。 【闯关4】 从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？ 巅峰篇： 【闯关5】 试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．)
六年级奥数(精品)数论综合
第19讲数论综合 知识点精讲 一、特殊数的整除特征 1.尾数判断法 1)能被2整除的数的特征： 2)能被5整除的数的特征： 3)能被4（或25）整除的数的特征： 4)能被8（或125）整除的数的特征： 2.数字求和法： 3.99的整除特性： 4.奇偶位求差法： 5.三位截断法： 特别地：7×11×13=1001，abcabc=abc×1001 二、多位数整除问题 技巧：1>目的是使多位数“变短”，途径是结合数的整除特征和整除性质 2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。 三、质数合数 1.基本定义 【质数】—— 【合数】—— 注：自然数包括0、1、质数、合数. 【质因数】—— 【分解质因数】—— 用短除法和分拆相乘法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 分解质因数的标准表示形式：N=a1×a2×a3×……×a n，其中a1、a2、a3……a n都是合数N的质因数，且a1 【互质数】—— 【偶数】—— 【奇数】—— 2.质数重要性质 1)100以内有25个质数： 2)除了2和5，其余的质数个位数字只能是： 3)1既不是质数,也不是合数 4)在质数中只有2是偶数,其他质数都是奇数 5)最小的质数是2.最小的奇质数是3 6)有无限多个 3.质数的判断： 1)定义法：判断整除性 2)熟记100以内的质数 3)平方判断法： 例如：对2011，首先442<2011<452，然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数. 4.合数 1)无限多个 2)最小的合数是4 3)每个合数至少有三个约数 5.互质数 1)什么样的两个数一定是互质数？ 注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式.因此,要分解的合数应写在等号左边,如： 21=3?7,不能写成：3?7=21. 6.偶数和奇数 1)0属于偶数 2)十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数 3)除2外所有的正偶数均为合数 4)相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍数是他们乘积的一半 5)奇±奇=偶偶±偶=偶偶±奇=奇 数论（一）奇数与偶数 【知识点概述】 1.奇数和偶数的定义： 整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。 通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。 特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。 2.奇数与偶数的运算性质： 性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数 性质3：偶数个奇数的和或差是偶数 性质4：奇数个奇数的和或差是奇数 性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数 性质6：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性性质7：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶 性质8：奇数的平方可以写作4k+1 ，偶数的平方可以写作4k 【习题精讲】 【例1】下列算式的得数是奇数还是偶数？ (1) 29＋30＋31＋……＋87＋88 (2) （200＋201＋202＋......＋288）－（151＋152＋153＋ (233) (3) 35＋37＋39＋41＋……＋97＋99 【例2】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。 (1) 1□ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10 (2) 1□ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27 【例3】能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22 【例4】是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)=115? 【例5】是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？ 【例6】你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数? 【例7】任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？ 第1讲数的整除特征（一） 知识网络 数的整除性质主要有： （1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 （2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 （3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。 （4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。 （5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。 （6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。 （7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。 （8）个位上是0或者5的数都能被5整除。 （9）若一个整数各位数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。 （10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。 重点·难点 数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。 学法指导 能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。我们可以综合推广成一条：末n位数能被（或）整除的数，本身必能被（或）整除；反过来，末n位数不能被（或）整除的数，本身必不能被（或）整除。例如，判断253200、371601 能否被16整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被16整除。学习这一讲知识要学会举一反三。 经典例题 [例1]在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。 思路剖析 这个六位数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件： （1）各位数字和是3的奇数； （2）末两位数组成的两位数是4的倍数； （3）末位数为0或5。 按此条件很容易找到这个六位数。 解答 不妨设补上三个数字后的位数为，由于这个六位数被4、5整除，因为被4整除，所以c不能是5而只能是0，且b只可能是2、4、6、8、0。 小学奥数数论问题知识总结：数的整除性规律 小学奥数数论问题知识总结：数的整除性规律 【能被2或5整除的数的特征】一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除 【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3和9整除时，这个数便能被3或9整除。 例如，1248621各位上的数字之和是1+2+4+8+6+2+1=24 3|24，则3|1248621。 又如，372681各位上的数字之和是3+7+2+6+8+1=27 9|27，则9|372681。 【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。 例如， 173824的末两位数为24，4|24，则4|173824。 43586775的末两位数为75，25|75，则25|43586775。 【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。 例如， 32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。 3569824的末三位数为824，8|824，则8|3569824。 214813750的末三位数为750，125|750，则125|214813750。 【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的.数，与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小的差)能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。 例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即7|448，则7|75523。 又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的 小学奥数中的数论问题 在奥数竞赛中有一类题目叫做数论题，这一部分的题目具有抽象，思维难度大，综合运用知识点多的特点，基本上出现数论题目的时候大部分同学做得都不好。 一、小学数论究包括的主要内容 我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类： 整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征（小升初常考内容） 余数问题：（1）带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小） （2）同余的性质和运用 奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算 质数合数：重点是质因数的分解（也称唯一分解定理） 约数倍数：（1）最大公约最小公倍数两大定理 一、两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 二、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 （2）约数个数决定法则（小升初常考内容） 整数及分数的分解与分拆：这一部分在难度较高竞赛中常出现，属于较难的题型。 二、数论部分在考试题型中的地位 在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。在小学各类数学竞赛和小升初考试中，系统研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中，这一分值比例还将更高。 出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。 三、孩子在学习数论部分常常会遇到的问题 数学课本上的数论简单，竞赛和小升初考试的数论不简单。 有些孩子错误地认为数论的题目很简单，因为他们习惯了数学课本上的简单数论题，比如： 例1：求36有多少个约数？ 这道题就经常在孩子们平时的作业里和单元测试里出现。可是小升初考题里则是： 例2：求3600有多少个约数？ 很多孩子就懵了，因为“平时考试里没有出过这么大的数！”（孩子语）于是乎也硬着头皮用课堂上求约数的方法去求，白白浪费了大把的时间，即使最后求出结果也并不划算。 这道题其实用约数个数决定法则非常好求，而且省时省力！可是我们的出题老师却振振有词道：“这道题不超纲，也符合教委的精神，因为你就是用普通数学的方法也能做出来，无非多花一些时间而已！”殊不知考试的时间何其宝贵，这道题的解法其实已经将孩子的数学水平分出了高下！ 数论的定理背起来简单，但真正理解和掌握却很难。 数论的定理在很多好的奥数辅导书中都有概括，于是有些孩子拿起来蒙头就开始背，终于花了不少时间硬啃下来，却不食其中“滋味”，遇上数论的题目只能一条一条定理的硬套，结果很多题目还是不会做。这里的原因在于缺乏老师正确的引导，很多定理细心领会比死记更重要！孩子自身的领悟能力有限，站在老师的肩膀上才能看得更远！ 单个数论的知识点掌握起来较简单，但综合运用却很难。 数论的题有的时候会和其它知识点综合起来考察，比如和分数，和计数综合等等。这样的题学生往往感觉无从下手，也有一定难度，因此得分率很低。比如， 一、算术运算 1.加减乘除的运算规则及其运算顺序。 2.小数的加减乘除运算。 3.分数的加减乘除运算。 4.整数的四则运算。 5.平方和立方运算。 二、数的性质 1.能被2整除的数为偶数，不能被2整除的数为奇数。 2.能被3整除的数，其各个位数的和能被3整除。 3.能被9整除的数，其各个位数的和能被9整除。 4.能表示成两个数相乘的数为合数，否则为质数。 5.最大公约数与最小公倍数的概念与计算方法。 三、尺规作图 1.给定线段，利用尺规作出与之等长的线段。 2.给定角，利用尺规作出与之等大的角。 3.给定线段，利用尺规作出与之垂直的线段。 4.给定线段，利用尺规作出与之平行的线段。 5.给定两条线段，利用尺规作出两者的夹角。 四、图形的性质 1.平行四边形的性质。 2.矩形的性质。 3.正方形的性质。 4.直角三角形的性质。 5.等边三角形的性质。 五、几何画图 1.画一个已知角的平分角。 2.画一个已知角的倍角。 3.画一个已知线段的垂直平分线。 4.画一个已知线段的中垂线。 5.画一个已知线段的平行线。 六、容斥原理 1.容斥原理的概念和基本用法。 2.利用容斥原理求集合的元素个数或概率。 3.利用容斥原理求满足多个条件的整数个数。 七、排列组合 1.排列组合的基本概念和公式。 2.有重复的排列组合问题的解决方法。 3.利用排列组合解决实际问题。 八、方程与方程式的解 1.一元一次方程的解法及应用。 2.一元二次方程的解法及应用。 3.两个未知数的方程组的解法及应用。 4.利用方程式解决实际问题。 九、几何证明 1.直角三角形的性质证明。 2.平行四边形的性质证明。 3.矩形和正方形的性质证明。 4.等腰三角形和等边三角形的性质证明。 5.利用反证法证明几何命题。 十、数论知识 1.整除与倍数的基本概念。 2.质数与合数的性质及判别方法。 3.最大公约数与最小公倍数的计算方法。 4.带余除法及其应用。 5.同余关系及其基本性质。 以上是六年级奥数必备的知识点，掌握这些知识点可以帮助学生更好地应对奥数考试，提高解题能力和思维深度。 小学奥数论：整除和余数知识点总结及经典例题 1.数论——数的整除和余数 2.1基本概念和基本性质 2.1.1定义 整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 2.1.2表达式和读法 b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除； 2.1.3基本性质 ①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍 数； ②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c); ③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a 或b皆能整除c; ④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c， 且ab互质，则ab的积能整除c; ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 2.2数的整除的判别法 2.2.1末位判别法 2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除） 各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。 173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9； 简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。 2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除） 从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位 上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除； 81729033÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。余数的判断法与整数位的判断法一致。 2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除） 2.2.4.1基本用法 从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是 高斯小学奥数六年级上册含答案第15讲数论综合提高一 第十五讲数论综合提高 本讲知识点汇总： 一. 整除 1. 整除的定义 如果整数a除以整数b b 0，所得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b|a . 如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b 不整除a. 2. 整除判定 (1)尾数判断法 能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除； 能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除； 能被& 125整除的数的特征：末三位能被8或125整除. (2)截断求和法 能被9、99、999及其约数整除的数的特征. (3)截断求差法 能被11、101、1001及其约数整除的数的特征. (4)分解判定：一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互 质的整数，分别验证整除性. 3. 常用整除性质 (1)已知 a | b、a |c，则a | b c 以及a| b c . ( b>c) (2)已知ab |ac，则b |c . (3)已知 a | bc 且a,b 1，则 a | c ? (4)已知 a | c 且 b |c，贝V a, b c . 4. 整除的一些基本方法： (1)分解法： ①分解得到的数有整除特性； ②两两互质. (2)数字谜法： ①被除数的末位已知； ②除数变为乘法数字谜的第一个乘数. (3)试除法： ①除数比较大； ②被除数的首位已知 (4) 同除法： ①被除数与除数同时除以相同的数； ②简化后的除数有整除特性? 二、质数与合数 1. 质数与合数的定义 质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除 的数. 2. 分解质因数 分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式. 女口：100 225 , 28 0 235 7 ? 典型题型 一.整除 1. 基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字； (1)9的考点：乱切法； (2)11的考点：① 奇位和减偶位和；② 两位截断求和；③ 三位截断，奇段和减偶段 和. 2. 整除性质的使用； 3. 整除与位值原理； 4. 整除方法在数字谜中的应用. 二.质数合数 小学六年级奥数之数论的方法技巧 小学六年级奥数之数论的方法技巧 数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。 小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有： 1.带余除法：若a，b是两个整数，b>0，则存在两个整数q，r，使得 a=bq+r(0≤r 且q，r是唯一的。 特别地，如果r=0，那么a=bq。这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。 2.若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。 3.唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 其中p1 4.约数个数定理：设n的标准分解式为(1)，则它的正约数个数为： d(n)=(a1+1)(a2+1)…(ak+1)。 5.整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。因此，不等式x 下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。 一、利用整数的各种表示法 对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有： 1.十进制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0; 2.带余形式：a=bq+r; 4.2的乘方与奇数之积式：n=2mt，其中t为奇数。 例1红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字? 解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3，a2，a1，a0，则这个四位数可以写成 1000a3+100a2+10a1+a0， 它的各位数字之和的10倍是 10(a3+a2+a1+a0)=10a3+10a2+10a1+10a0， 这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是 990a3+90a2-9a0=1998， 110a3+10a2-a0=222。 比较上式等号两边个位、十位和百位，可得 a0=8，a2=1，a3=2。 所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8。 解：依题意，得 a+b+c>14， 说明：求解本题所用的基本知识是，正整数的十进制表示法和最简单的不定方程。 例3从自然数1，2，3，…，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除? 解：设a，b，c，d是所取出的数中的任意4个数，则 a+b+c=18m，a+b+d=18n， 其中m，n是自然数。于是 小升初奥数天天练数论-数的整除9 关于小升初奥数天天练数论-数的整除9 关于小升初奥数天天练数论——数的整除9 北京奥数网讯智康1对1付金海老师每日提供奥数天天练试题供咱们小升初的孩子练习，今日发布数论数的`整除9。 考点：数的整除--9 难度：4星 来源：数学解题能力展示 题目：一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是 答案：因为2007是9的倍数，所以，这个五位数一定是9的倍数，那么它的各位数字和一定是9的倍数．由于五位数的各位数字之和最大为45，所以，可以从9、18、27、36、45进行试值．如果数字和为9，那么这个五位数为，然而18063各位数字之和不为9，所以此时不成立； 如果数字和为18，那么这个五位数为，36126各位数字之和为18，所以此时成立； 如果数字和为27，那么这个五位数为，54189各位数字之和为27，所以此时成立； 如果数字和为36，那么这个五位数为，然而72252各位数字之和不为36，所以此时不成立；如果数字和为45，那么这个五位数为，然而90315各位数字之和不为45，所以此时不成立；综上可知，这个五位数为36126或54189． 分析：此题是利用了9的整除特点，再进行分类枚举来验证。本题看起来觉得无从下手，但是利用9的特点可以得到很多信心，数字3也有同样的效果，所以大家再遇到数论问题时，应该先想一想里面是否有3、9这样特殊的倍数。 本文作者：付金海智康1对1小学部负责人，知名小学数学老师 现任小学部负责人。2012年6名六年级学生分别考入人大附中、 北大附中、实验、四中、二中、八一等重点中学，所教学生曾获迎春杯一、二、三等奖，走美一、二、三等奖。 推荐课程：2014年数学解题能力展示（原迎春杯）复赛冲刺课程[查看详情] 温馨提示：小学五六年级是学生的一个成长阶段，打牢基础尤为重要。为此，同学们在学习过程中对数学知识点和奥数学习有任何疑问，均可向智康高考专家团寻求专业解答，直接与老师互动交流，我们将为每一位学生提供最为贴切的解决方案。 第1讲 数论初步 知识要点 研究整数性质的数学分支叫数论，它是数学竞赛中的一项重要内容.要解答这方面的问题，首先应熟悉关于整数的某些知识，此外还要掌握解决问题的基本方法和技巧，后者自然是更重要的，本讲主要介绍数的整除和余数问题. 对整数a 和b （b 不为0），如果存在一个整数q ，使a b q =⨯，则称a 被b 整除，否则就称a 不能被b 整除，例如：7289=⨯，于是72被8（或9）整除. 性质一 若c a |，c b |，则()c ma nb |±，这里m ，n 是任意整数. 性质二 若c a b |•，且()c b 1=，，则c a |. 性质三 若b a |，c a |，且()b c 1=，，则bc a |. 整除问题是各类数学竞赛中必考的热点问题，必须掌握好解决整除问题的方法与技巧. 如果两个整数a 与b 被正整数m 除时所得余数相同，即 a qm r =+， b pm r =+ 那么就称a 与b 关于模m 同余，其中p 、q 、r 都是整数，而且0r m ≤<. 在解决同余问题时，常把同余问题转化为整除问题来处理. 典例精讲 典例1 某种考试已举行的次数恰好是24次，共出了426道题，每次出的题数有25题或16题或20题，那么其中考25题的有多少次？ 解 16、20都被4整除，426除以4余2，25除以4余1，因此出25题的次数应当是2、6、10、...，剩下的题数才能被4整除.在出25题的次数为2时，426225376-⨯=，即3761616206=⨯+⨯，即出16题16次，出20题6次.在出25题的次数为6时，426625276-⨯=，而()16246288276⨯-=>，所以这种情况不能发生，出25题的次数当然也不能更多.因此考25题的有2次. 典例2 有些数既能表示成3个连续正整数的和，又能表示成4个连续正整数的和，还能表示成5个连续正整数的和，例如：30满足上述要求.因为 3091011=++，306789=+++，3045678=++++， 问：在1900至2200之间满足上述要求的数有哪些？ 解 3个连续正整数的和，一定能被3整除；4个连续正整数的和，能被2整除，且商 是奇数，也就是说，它被4整除后，余数一定是2； 5个连续正整数的和，一定能被5整除，3、4、5的最小公倍数是60.已知30是满足条件的数，所以30加上(或减去)60的整数倍后，所得的数仍满足条件.由于19006031÷=⋯⋯40,因此3060321950+⨯=是大于1900且满足条件的最小的数. 因此在1900至2200中满足条件的数是1950、2010、2070、2130、2190，共5个数. 典例3 (1)从1到3998这3998个正整数中，有多少个数能被4整除？ (2)从1到3998这3998个正整数中，有多少个数的数字和能被4整除？ 数的整除（ 1）性质、特征、奇偶性 教室：姓名：学号： 【知识要点】： 整除性质：（ 1）如果数 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和（a+b）或差（ a－ b）也能被 c 整除。 （2）如果数 a 能被自然数 b 整除，自然数 b 能被自然数 c 整除，则数 a 必能被数 c 整除。（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数 整除。 （4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整 除。反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。 整除特征：（ 1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。 （3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除。 （4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11 整除，则这个数能被11 整除。 （5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被 7（或 13）整除，则这个数能被7（或 13）整除。 奇偶性：（ 1）奇数±奇数 =偶数（ 2）偶数±偶数 =偶数（ 3）奇数±偶数 =奇数（ 4）奇数×奇数=奇数（ 5）偶数×偶数 =偶数（ 6）奇数×偶数 =偶数（ 7）奇数÷奇数 =奇数（ 8）【典型例 题】 例 1：一个三位数能被 3 整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17 的倍数，这样的三位数中，最大是几？ 解：在两位数中，是17 的倍数的数中最大的为17×5=85（ 17× 6=102） .于是所求数的前两位数字为 85.因为 8+5=13 ，故所求数的个位数字为2、5、8 时，该数能被 3 整除，为使该数最大，其个位数字应为8.最大三位数是858. 例 2： 1～ 200 这 200 个自然数中，能被 6 或 8 整除的数共有多少个？ 解：1～ 200 中，能被 6 整除的数共有33 个（ 200÷ 6=33），能被 8 整除的数共有25 个（ 200 ÷8=25 ） .但［ 6， 8］=24 ， 200÷ 24=88，即 1～ 200 中，有 8 个数既被 6 整除，又被8 整除。故总共有：33+25－ 8=50。 学习改变命运，思考成就未来！ 姓名 _______________ 一、 计算 1． 四则混合运算 ⑴ 运算顺序 ⑵ 分数、小数混合运算技巧 一般而言： ① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ② 乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 2． 简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 运算定律的综合运用 ① 连减的性质 ② 连除的性质 ③ 同级运算移项的性质 ④ 增减括号的性质 ⑤ 变式提取公因数 形如：1212......(......)n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷ 3． 估算 求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小 ① 通分 a. 通分母 b. 通分子 ② 利用倒数性质 若 111 a b c >>，则c>b>a.。定义新运算 5． 特殊数列求和 运用相关公式： ()2 1321+= ++n n n 131171001⨯⨯⨯=⨯=abc abc abcabc ()()b a b a b a -+=-22 二、 数论 1． 奇偶性问题 奇±奇=偶 奇×奇=奇 奇±偶=奇 奇×偶=偶 偶±偶=偶 偶×偶=偶 2． 位值原则 形如：abc=100a+10b+c 10．孙子定理（中国剩余定理） 11．辗转相除法 12．数论解题的常用方法： 枚举、归纳、反证、构造、配对、估计 三、几何图形 1．平面图形 ⑴多边形的内角和 N边形的内角和=(N-2)×180° ⑵等积变形（位移、割补） ①三角形内等底等高的三角形 ②平行线内等底等高的三角形 ③公共部分的传递性 ④极值原理（变与不变） ⑶三角形面积与底的正比关系 S1︰S2 =a︰b ；S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4 组合图形的思考方法 化整为零先补后去正反结合 四、典型应用题 1．植树问题 ①开放型与封闭型 ②间隔与株数的关系 2．方阵问题 外层边长数-2=内层边长数（外层边长数-1）×4=外周长数 外层边长数2-中空边长数2=实面积数 3．列车过桥问题 ①车长+桥长=速度×时间 小学奥数知识点(六年 级) https://www.360docs.net/doc/c119054158.html,work Information Technology Company.2020YEAR 学习改变命运，思考成就未来！ 姓名 _______________ 一、 计算 1． 四则混合运算 ⑴ 运算顺序 ⑵ 分数、小数混合运算技巧 一般而言： ① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ② 乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 2． 简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 运算定律的综合运用 ① 连减的性质 ② 连除的性质 ③ 同级运算移项的性质 ④ 增减括号的性质 ⑤ 变式提取公因数 形如：1212......(......)n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷ 3． 估算 求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小 ① 通分 a. 通分母 b. 通分子 ② 利用倒数性质 若 111a b c >>，则c>b>a.。定义新运算 5． 特殊数列求和 运用相关公式： ()2 1321+=++n n n 131171001⨯⨯⨯=⨯=abc abc abcabc ()()b a b a b a -+=-22 二、 数论 1．奇偶性问题 奇±奇=偶 奇×奇=奇 奇±偶=奇 奇×偶=偶 偶±偶=偶 偶×偶=偶 2．位值原则 形如：abc =100a+10b+c 3．数的整除特征： 10．孙子定理（中国剩余定理） 11．辗转相除法 12．数论解题的常用方法： 枚举、归纳、反证、构造、配对、估计 三、几何图形 1．平面图形 ⑴多边形的内角和 N边形的内角和=(N-2)×180° ⑵等积变形（位移、割补） ①三角形内等底等高的三角形 ②平行线内等底等高的三角形 ③公共部分的传递性 ④极值原理（变与不变） ⑶三角形面积与底的正比关系 S1︰S2 =a︰b ； S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4 组合图形的思考方法 化整为零先补后去正反结合 四、典型应用题 1．植树问题 ①开放型与封闭型 ②间隔与株数的关系 2．方阵问题 外层边长数-2=内层边长数（外层边长数-1）×4=外周长数 一、整除的定义： 当两个整数a 和b （b≠0），a 被b 除的余数为零时（商为整数），则称a 被b 整除或b 整除a ，也把a 叫做b 的倍数，b 叫a 的约数，记作b|a ，如果a 被b 除所得的余数不为零，则称a 不能被b 整除，或b 不整除a ，记作b a. 二、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整 除； 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、 11或13整除； 5. 如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除； 6. 如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有 两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 7. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被 7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 8. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被 13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 知识框架 数的整除 六年级奥数：第五讲整数问题之一整数是最基本的数;它产生了许多有趣的数学问题.在中、小学生的数学竞赛中;有关整数的问题占有重要的地位.我们除了从课本上学习整数知识以外;还必须通过课外活动来补充一些整数的知识;以及解决问题的思路和方法.. 对于两位、三位或者更多位的整数;有时要用下面的方法来表示： 49=4×10+9; 235=2×100+3×10+5; 7064=7×1000+6×10+4; ………………… 有时我们用a;b;...表示数字;例如abcde是个五位数;也就是 abcde=a×10000+b×1000+c×100+d×10+e 一、整除 整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b;商是整数且余数为0;我们就说a能被b整除;或b能整除a;或b整除a;记作b丨a.此时;b是a的一个因数约数;a是b的倍数. 1.整除的性质 性质1如果a和b都能被m整除;那么a+b;a-b也都能被m整除这里设a>b. 例如：3丨18;3丨12;那么3丨18+12;3丨18-12. 性质2如果a能被b整除;b能被c整除;那么a能被c整除.. 例如： 3丨6;6丨24;那么3丨24. 性质3如果a能同时被m、n整除;那么a也一定 能被m和n的最小公倍数整除. 例如：6丨36;9丨36;6和9的最小公倍数是18;18丨36. 如果两个整数的最大公约数是1;那么它们称为互质的. 例如：7与50是互质的;18与91是互质的. 性质4整数a;能分别被b和c整除;如果b与c互质;那么a能被b×c整除. 例如：72能分别被3和4整除;由3与4互质;72 能被3与4的乘积12整除. 性质4中;“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除;但不能被乘积48整除;这就是因为6与8不互质;6与8的最大公约数是2. 性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互 质;它们的最小公倍数是b×c.事实上;根据性质4;我们常常运用如下解题思路： 要使a被b×c整除;如果b与c互质;就可以分别考虑;a被b整除与a被c整除.六年级奥数-数论专题
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