初中数学讲义--平方根、立方根
平方根，立方根
教学目标：
1. 了解算术平方根、平方根、立方根的概念和性质；
2. 掌握算术平方根，算术平方根的非负性的应用．
3. 区分立方根和平方根.
知识要点：
1. 平方根的概念
（1）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．即：x2＝a，x叫a的平方根．
（2）数a（a≥0）的平方根记作±a，读作“正负根号下a”，其中a表示a的正的平
方根，－a表示a的负的平方根；“a”实际上省略了2
a中的2，2叫做根指数，a叫做被
开方数．
2. 平方根的性质
（1）正数有两个平方根，它们互为相反数．
（2）0的平方根只有一个，还是0．
（3）负数没有平方根．
3. 算术平方根
一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根还是0．
（1）算术平方根的定义表明，只要是非负数就一定有算术平方根．
（2）算术平方根是平方根的一种．
（3）非负数的算术平方根还是非负数．a(a≥0)，a≥0
4. 立方根的概念
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即：x3＝a，则x叫做a的立方
根，表示为3
a．
5. 立方根的性质
（1）一个正数有一个正的立方根．
（2）一个负数有一个负的立方根．
（3）0的立方根是0．
6. 互为相反数的立方根之间的关系：互为相反数．例如8的立方根为2，而－8的立方根为－2。
3
－a＝－3
a，也就是说一个负数的立方根，可以先求它的相反数的立方根，再取相反数．
7. 开方：（1）求一个数的平方根的运算叫开平方（2）求一个数的立方根的运算叫开立方．
8. 常见的非负数的类型：︱a︱，a2，a(a≥0)
9. 注意事项
（1）要加强对平方根和算术平方根概念的理解，进一步明确非负数a的算术平方根是a，而平方根是±a．
（2）计算化简时要谨慎细心，如求81的平方根，需先算出81＝9，求81的平方根就
是求9的平方根，而不是求81的平方根．
（3）真正领会负数没有平方根．
例1. （1）25的算术平方根是（）
A. 5
B. 5
C. －5
D. ±5
（2）9的平方根是（）
A. 3
B. ±3
C. －3
D. 81
（3）若︱x＋2︱＋y－3＝0，则xy的值为（）
A. －8
B. －6
C. 5
D. 6
（4）16的平方根是__________．
分析：（1）由平方根、算术平方根概念可知25的算术平方根表示为25，化简得5，故选A. （2）9的平方根表示为±9，得±3．对于（3）中利用非负数的性质得x＋2＝0，y －3＝0，x＝－2，y＝3，可求得xy＝－6，故选B. （4）一定注意不是求16的平方根，而是求16的平方根，应首先对16进行化简．
解：（1）A （2）B （3）B （4）±2
评析：根据平方根的意义得出：正数有两个平方根，它们互为相反数，而且其中正的平方根也是这个数的算术平方根，而且由算术平方根的意义可知，a表示非负数，在初中阶段常见非负数的类型有：a2、︱a︱、a（a≥0）．
例2. 求下列各式中的x的值．
（1）x2－676＝0；（2）9（3x＋1）2＝64．
分析：这是一道求平方根的题目．（1）x2－676＝0可化为x2＝676，x的值就是676的平
方根．（2）可将3x＋1看作一个整体来解，即（3x＋1）2＝64
9
，所以3x＋1是
64
9
的平方根，
从而可求出x．
解：（1）∵x2－676＝0，∴x2＝676．∴x＝±676＝±26．
（2）∵9（3x＋1）2＝64，∴（3x＋1）2＝64 9
，
∴3x＋1＝±64
9
＝±
8
3
，
当3x＋1＝8
3
时，x＝
5
9
；
当3x＋1＝－8
3
时，x＝－
11
9
．
评析：解带有平方的方程时，首先应将方程化为一边是完全平方，另一边是一个非负数的形式，然后两边同时开平方，开方时一定要注意不要漏掉负的平方根，同时根据题目的特点，本题利用了一个重要的数学思想——整体思想．
例3. 如果一个正数的平方根是a＋3和2a－15，求a的值和这个正数．
分析：由平方根的意义可知a＋3和2a－15互为相反数，故有a＋3＋（2a－15）＝0，从而可以解得a，进而求出这个正数．
解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，
所以（a＋3）＋（2a－15）＝0，解得a＝4．
当a＝4时，a＋3＝7，2a－15＝－7．
即这个正数的平方根分别是＋7和－7，所以原数为49．
评析：解决本题的关键是利用一个正数的平方根是互为相反数的关系得到a的一元一次方程，解方程求出a的值，从而求出这个正数．
例4. 比较大小：
（1）3和10 （2）251和14 （3）3
a－4和2－a
分析：（1）由于9＝3，而9＜10，所以3＜10；（2）由于51＞49＝7，易得251＞2×7；
（3）中由2－a中2－a≥0得到a的取值范围是a≤2，所以a－4＜0，那么3
a－4为负
数，因而3
a－4＜2－a．
解：（1）∵9＝3，9＜10，∴9＜10，即3＜10．
（2）∵51＞49， ∴51＞7， ∴251＞2×7， 即251＞14．
（2）由算术平方根的性质得2－a ≥0，2－a ≥0， ∴a ≤2，当a ≤2时，a －4＜0，
∴3
a －4＜2－a ．
评析：本题中比较两个数的大小，往往先转化为带有根号的形式，来比较被开方数的大小，当式子中含有字母时，不能直接比较它们的大小，可利用平方根和立方根的性质，分析字母的取值范围，从而解决问题．因此，挖掘题目中的隐含条件是解类似问题的关键．
例5. 对于题目：“化简并求值：1
a
＋
(1a －a )2，其中a ＝1
5
”，甲、乙两人的解答不同． 甲的解答是：1
a
＋
(1a －a )2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝495
， 乙的解答是：1
a
＋
(1a －a )2＝1a ＋a －1a ＝a ＝15
． 阅读后你认为谁的解答是错误的？为什么？
分析：将a ＝1
5
代入便知谁的解答正确．
解：乙的解答是错误的，因为当a ＝15时，1
a
＝5．
a －1a ＝1
5－5＜0，所以
(1a －a )2≠a －1
a
，而应是
(1a －a )2＝1
a
－A.
评析：在化简a 2时，一定要注意a 的符号，并且根据算术平方根的意义，a 2的结果应
为非负数．
例6. 利用计算器计算：
…，0.0625，0.625， 6.25，62.5，625，6250，62500，…计算后，分析结果，
你发现了什么规律？
分析：可分析开方前和开方后小数点的变化规律． 解：用计算器计算结果如下：
…，0.25，0.7906，2.5，7.906，25，79.06，250，…
分析计算结果可以发现：被开方数的小数点每向右（左）移动两位，算术平方根的小数点相应地向右（左）移动一位．
评析：可利用开平方时小数点的这一变化规律对一些数开平方．
【方法总结】
1. 利用算术平方根的定义求得各数的算术平方根，掌握算术平方根与平方根的关系；
2. 为开平方计算的需要，尽量熟记20以内正整数的平方并且注意被开方数中小数数位或整数数位中包含零的个数与算术平方根中小数数位或整数数位中包含零的个数的关系，根据题目特点，充分挖掘潜在的已知条件，从而使问题得以解决．
【课后作业】
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A ．25的平方根是5±
B ．22-的算术平方根是2
C ．8的立方根是2±
D ．
65是36
25
的平方根 2．如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ） A ．0 B ．正实数 C ．0和1 D ．1
3．（﹣3）2
的平方根是（ ）
A ．3
B ．﹣3
C ．±3
D ．9
4．若a 2=25，|b|=3，则a+b 的值是（ ）
A ．﹣8
B ．±8
C ．±2
D ．±8或±2 5．下列说法不正确的是（ ）
A ．的平方根是
B ．﹣9是81的一个平方根
C ．0.2的算术平方根是0.04
D ．﹣27的立方根是﹣3 6．16的算术平方根和25的平方根的和是（ ） A ．9 B ．﹣1 C ．9或﹣1 D ．﹣9或1
二、填空题
7．16的算术平方根是 ； 8．
的值等于 ，2的平方根为 ．
9．若x ，y 为实数，且
+|y+2|=0，则xy 的值为 ．
10．下列各数：0，﹣4，（﹣3）2，﹣32，﹣（﹣2），有平方根的数有 个． 11．如果一个数的平方根是（﹣a+3）和（2a ﹣15），则这个数为 ．
12．已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6，则这个数是．
三、解答题
13．解方程4（x﹣1）2=9
14．2a﹣3与5﹣a是同一个正数x的平方根，求x的值．
15．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，求a+2b的值．
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；负数没有平方根；一个正数有一个
正的立方根，一个负数有一个负的立方根.则25的平方根是±5；25
36
的平方根是±
5
6
；8的
立方根是2；－22=－4，则－22没有平方根.
2．A
【解析】
试题分析：根据立方根和平方根的性质可知，只有0的立方根和它的平方根相等，解决问题．解：0的立方根和它的平方根相等都是0；
1的立方根是1，平方根是±1，
∴一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是0．
故选A．
3．C
【解析】
试题分析：首先根据平方的定义求出（﹣3）2，然后利用平方根的定义即可求出结果．
解：∵（﹣3）2=9，
而9的平方根是±3，
∴（﹣3）2的平方根是±3．
故选：C．
4．D
【解析】
试题分析：根据平方根的定义可以求出a，再利用绝对值的意义可以求出b，最后即可求出a+b 的值．
解：∵a2=25，|b|=3
∴a=±5，b=±3，
则a+b的值是±8或±2．
故选D．
5．C
【解析】
试题分析：根据平方根的意义，可判断A、B，根据算术平方根的意义．可判断C，根据立方根的意义，可判断D．
解：A、，故A选项正确；
B、=﹣9，故B选项正确；
C、=0.2，故C选项错误；
D、=﹣3，故D选项正确；
故选：C．
6．C．
【解析】
试题分析：利用算术平方根及平方根定义求出值，进而确定出之和即可．
解：根据题意得：16的算术平方根为4；25的平方根为5或﹣5，
则16的算术平方根和25的平方根的和是9或﹣1，
故选C
7．2
【解析】
试题分析：16=4，本题实际上就是求4的算术平方根.
8．2；±．
【解析】
试题分析：根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根，即可得到结果．
解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2，即=2．
∵正数由两个平方根，
∴2的平方根是±．
故答案为：2；±．
9．﹣2
【解析】
试题分析：首先根据非负数的性质可求出x、y的值，进而可求出xy的值．
解：由题意，得：x﹣1=0，y+2=0；
即x=1，y=﹣2；
因此xy=1×（﹣2）=﹣2，
故答案为：﹣2．
10．3．
【解析】
试题分析：先求得各数的值，然后根据正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根解答即可．
解：（﹣3）2=9；
﹣32=﹣9；
﹣（﹣2）=2
∵正数和零有平方根，
∴有平方根的是：0，（﹣3）2，﹣（﹣2），共3个．
故答案为：3．
11．81．
【解析】
试题分析：依据正数的两个平方根互为相反数，列方程可求得a的值，然后可求得这个正数的平方根，最后依据平方根的定义可求得这个正数．
解：∵一个数的平方根是（﹣a+3）和（2a﹣15），
∴﹣a+3+2a﹣15=0．
解得：a=12．
∴﹣a+3=﹣12+3=﹣9．
∵（﹣9）2=81，
∴这个数为81．
故答案为：81．
12．
【解析】
试题分析:由于一个非负数的平方根有2个，它们互为相反数．依此列出方程求解即可．解：根据题意可知：3x﹣2+5x+6=0，解得x=﹣，
所以3x﹣2=﹣，5x+6=，
∴（）2=
故答案为：．
13．x
1=，x
2
=﹣
【解析】
试题分析:直接开平方法必须具备两个条件：
（1）方程的左边是一个完全平方式；
（2）右边是非负数．将右边看做一个非负已知数，利用数的开方解答．解：把系数化为1，得
（x﹣1）2=
开方得x﹣1=
解得x
1=，x
2
=﹣．
14．49 【解析】
试题分析:根据正数的平方根有2个，且互为相反数，求出a的值，即可确定出x的值．解：∵2a﹣3与5﹣a是同一个正数x的平方根，
∴2a﹣3+5﹣a=0，
解得：a=﹣2，
则x=49．
考点：平方根．
15．9
【解析】
试题分析:根据平方根的定义列式求出a的值，再根据算术平方根的定义列式求出b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解：∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1=9，
∴a=5，
∵3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴3a+b﹣1=16，
∴3×5+b﹣1=16，
∴b=2，
∴a+2b=5+2×2=9．
《平方根和立方根》导学案
导学案 七 年级 数学 学科 姓名 组名 201 年 月 日 编号 课题： 第六章《实数》小结 课型设置： 新课 学习目标： 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根； 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根； 3.了解有理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值； 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 一、引入： 本章我们学习了平方根和立方根，并通过开平方，开立方运算，认识了一些不同于有理数的数，在此基础上引入 无理数，使数的范围由有理数扩充到实数，随着数的扩充，数的运算也有了新的发展，在实数范围内，不仅能进行加、 减、乘、除四则运算，而且对0和任意正数能进行开平方运算，对任意实数能进行开立方运算.本节课我们一起对本章 的知识作系统整理和回顾. 【板块一】基本概念回顾 【学习指导】自研教材P60内容。思考如下问题： 问题1：绘制本章知识结构图. 问题2：数的概念是怎样从正数逐步发展到实数的？随着数的不断扩充，数的运算有什么发展？加法与乘法的运算律 始终保持不变吗？ 问题3：回顾平方根与立方根的概念，乘方运算与开方运算有什么关系？ 问题4：无理数和有理数的区别是什么？ 问题5：实数由哪些数组成？实数与数轴上的点有什么关系？ 【板块二】专题综合突破 无理数与有理数的有关问题： 下列各数中，3.14159，38-，0.131131113…，-π25，17 -，无理数有（ ） A 、1个 B 、 2个 C 、3个 D 、4个 与绝对值有关的化简： 已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示 化简()()22 2a a c b c a - +-+-
平方根和立方根知识点
平方根: 概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。就是 说，如果x 2 ＝a,那么x 就叫做a 的平方根。 如：23与－23都是529的平方根。 因为(±23)2 ＝529，所以±23是529的平方根。 问：（1）16，49，100，1 100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么? 概括2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没 有平方根。 知识点二： 概括3：求一个数a(a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方。 开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三： （1）625的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？ －7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？ （2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； (－0.4)2 ； 3 21(-（3）已知正方形的面积等于a, 3、例题讲解： 例1、求下列各数的平方根： (1)81； (2)1916； (3)0.09 例2、下列各数有平方根吗? 如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。 (1)－64； (2)0； (3)( - 例3、求下列各式的值： (1)10000； (2)144-；(4)0001.0-； (5)81 49±
平方根与立方根知识点
平方根与立方根知识点平方根 1.概念： （1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数 （2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。 （3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数 B零有一个平方根，它是零本身 C负数没有平方根 （4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号2a表示， a叫做被开方数，2叫做根指数,正数a的负的平方根用符号“﹣2a”表示，a的平方根合起来记作“±2a，其中“2”读作“二次根号”“2a”读作“二次根号下a ”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“±2a”读作“正、负根号a” （5）算术平方根：注： 1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质； 2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数； 3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1. 2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。要特别注意：a≠±a。 3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性： ①被开方数a是非负数，即a≥0. ②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。 4.平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：1定义不同 2个数不同：3表示方法不同： 联系：①具有包含关系： ②存在条件相同：
立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数 （2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。 （3）立方根的性质：A正数有一个正立方根 B负数有一个负立方根 C零的立方根是零 （4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号3a来表示，读作"三次根号a"，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1. 相关概念 某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 （a≥0,b≥0）。 非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根， 即（a≥0,b>0）。 开方运算 我们知道，当a≥0时，│a│=a；当a<0时，│a│=a.综上所述，有
算术平方根、平方根知识点
学科教师辅导讲义
知识点2：估算 估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结 确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-=m ，那么m 的取值围是（ ） A.10< 2.平方根与算术平方根的区别与联系 例2.求下列各数的平方根和算术平方根： （1）0.0009 （2）8125 （3）25-）（ 知识点4：平方根的性质 平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ± ，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根. 注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个. 例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（ ） A.2 B.-1 C.1 D.0 随堂巩固 一、选择题. 1. 4的算术平方根是（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.16 2.下列说确的是（ ） A.5是25的算术平方根 B.16是4的算术平方根 C.-6是()2 6-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中，与 最接近的是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A.2与3 之间 B.3与4 之间 C.4与5之间 D.5与6之间 5.81的平方根是（ ） A.3± B.3 C.9± D.9 6.下列语句正确的是（ ） A.-2是-4的平方根 B.2是()22-的算术平方根 C.()22-的平方根是2 D.4的平方根是2或-2 7.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（ ） A.-8 B.8± C.2± D.8±或2± 二、填空题 1.化简：（1）4 12= ； （2） = . 2.大于2且小于5的整数是 . 3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。 4.已知一个正数的平方根是23-x 和65+x ，则这个数是 5.已知m,n 为两个连续的整数，且n m <<11，则n m += . 3004.0 平方 根 立方立方根 52^3=140608 53^3=148877 54^3=157464 55^3=166375 56^3=175616 57^3=185193 58^3=195112 59^3=205379 60^3=216000 61^3=226981 62^3=238328 63^3=250047 64^3=262144 65^3=274625 66^3=287496 67^3=300763 68^3=314432 69^3=328509 70^3=343000 71^3=357911 72^3=373248 73^3=389017 74^3=405224 75^3=421875 76^3=438976 77^3=456533 78^3=474552 79^3=493039 80^3=512000 81^3=531441 82^3=551368 83^3=571787 84^3=592704 85^3=614125 86^3=636056 87^3=658503 88^3=681472 89^3=704969 90^3=729000 91^3=753571 92^3=778688 93^3=804357 94^3=830584 95^3=857375 96^3=884736 97^3=912673 98^3=941192 99^3=970299 100^3=1000000 3√0 = 0 3√1 = 1 3√2 = 1.260 3√3 = 1.442 3√4 = 1.587 3√5 = 1.710 3√6 = 1.817 3√7 = 1.913 3√8 = 2 3√9 = 2.080 3√10 = 2.154 3√11 = 2.224 3√12 = 2.289 3√13 = 2.351 3√14 = 2.410 3√15 = 2.466 3√16 = 2.520 3√17 = 2.571 3√18 = 2.621 3√19 = 2.668 3√20 = 2.714 3√21 = 2.759 3√22 = 2.802 3√23 = 2.844 3√24 = 2.884 3√25 = 2.924 3√26 = 2.962 3√27 = 3 3√28 = 3.037 3√29 = 3.072 3√30 = 3.107 3√31 = 3.141 3√32 = 3.175 3√33 = 3.206 3√34 = 3.240 3√35 = 3.271 3√36 = 3.302 3√37 = 3.332 3√38 = 3.362 3√39 = 3.391 3√40 = 3.420 3√41 = 3.448 3√42 = 3.476 3√43 = 3.503 3√44 = 3.530 3√45 = 3.557 3√46 = 3.583 3√47 = 3.609 3√48 = 3.634 3√49 = 3.659 3√50 = 3.684 3√51 = 3.708 3√52 = 3.733 3√53 = 3.756 3√54 = 3.780 3√55 = 3.803 3√56 = 3.826 3√57 = 3.849 3√58 = 3.871 3√59 = 3.893 3√60 = 3.915 3√61 = 3.936 3√62 = 3.958 3√63 = 3.979 3√64 = 4 3√65 = 4.021 3√66 = 4.041 3√67 = 4.062 3√68 = 4.082 3√69 = 4.102 3√70 = 4.121 3√71 = 4.141 3√72 = 4.160 3√73 = 4.179 3√74 = 4.198 3√75 = 4.217 3√76 = 4.236 3√77 = 4.254 3√78 = 4.273 3√79 = 4.291 3√80 = 4.309 3√81 = 4.327 3√82 = 4.344 3√83 = 4.362 3√84 = 4.380 3√85 = 4.397 3√86 = 4.414 3√87 = 4.431 3√88 = 4.448 3√89 = 4.465 3√90 = 4.481 3√91 = 4.498 3√92 = 4.514 3√93 = 4.531 3√94 = 4.547 3√95 = 4.563 3√96 = 4.579 3√97 = 4.595 3√98 = 4.610 3√99 = 4.626 3√100 = 4.642 教学目标1.了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质； 2.会求一个非负数的平方根、算术平方根； 3.掌握立方根的意义，会求一个数的立方根； 4.理解开立方与立方的关系。 重点、难点重点：算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质。 难点：算术平方根与平方根的区别与联系。 考点及考试要求以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主 教学内容 第一课时平方根与立方根知识梳理 课前检测 1、求下列各数的算术平方根： ⑴100 ⑵49 ⑶1 7 ⑷0.0001 ⑸0 64 9 2、求下列各式的值： （1） 4 （2）49 （3）( 11)2（4）62 81 a + 1 b - 1 a 知识梳理 3、算术平方根等于本身的数有 。 4、求下列各数的算术平方根. 0.0025 ， 121， 42 ， (- 1 )2 ，1 9 2 16 5、已知 + = 0, 求a + 2b 的值. 一. 平方根： 1. 算术平方根的概念及表示方法 如果一个正数 x 的平方等于a ，即 x 2 = a ，那么这个正数 x 叫做a 的算术平方根。当a ≥ 0 时， a 的算术平方根记为 ，读作“根号a ”， a 叫做被开方数。 2. 平方根的概念及其性质 （1） 平方根的定义 如果一个数的平方等于a ，即 x 2 = a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。即如果 x 2 = a ，那 a 典型例题 么 x 叫做a 的平方根。 （2） 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根。当a ≥ 0 时，a 的平方根表示为± 。 （3） 求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。 3. 用计算器求一个正数的算术平方根 用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根（或其近似值）。 二. 立方根： 1. 立方根的概念及表示方法 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。即如果 x 3 = a ，那么 x 叫做a 的立方根，记作 3 a 。正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0 的立方根是 0。 2. 开立方的概念 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。 3. 用计算器求立方根 很多有理数的立方根是无限不循环小数，我们可用计算器求出它们的近似值。 第二课时 平方根与立方根典型例题 知识点一：算术平方根 例 1. 下列各数有算术平方根吗？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。 （1）81； （2） -16 ； （3）0； （4） 25 ； （5） (-2)2 ； （6） (-2)3 。 4 思路分析：根据“正数和 0 都有算术平方根，负数没有算术平方根”知，（1）、（3）、（4）、（5） 课题：6.1 平方根、立方根（2） 第二课时 算术平方根 学习目标： 1．了解算术平方根的概念,会用根号表示数的算术平方根； 2. 会用平方运算求某些非负数的算术平方根； 3．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题． 学习重点： 会用平方运算求某些非负数的算术平方根，能运用算术平方根解决一些简 单的实际问题． 学习难点：区别平方根与算术平方根 一、学前准备 【旧知回顾】 1．下列说法正确的是………………………………………（ ） A ．81-的平方根是9± B ．任何数的平方根也是非负数 C ．任何一个非负数的平方根都不大于这个数 D ．2是4的平方根 2.一个数的平方根是它本身，则这个数是………………………（ ） A ．1 B ．0 C ．±1 D ．1或0 3．若a 的一个平方根是b ，则它的另一个平方根是 ． 4．已知3612=x ，则=x ；已知22)4 1(-=x ，则=x ． 【新知预习】 1、算术平方根的定义： 。记作： 2、平方根和算术平方根之间的关系 3、想一想，填一填： 1．填空： （1）0的平方根是_______，算术平方根是______. （2）25的平方根是_______，算术平方根是______. （3）64 1的平方根是_______，算术平方根是______. 二、探究活动 【初步感悟】 1、判断下列说法是否正确： （1）6是36的平方根；（ ） （2）36的平方根是6；（ ） （3）36的算术平方根是6；（ ） （4）()23-的算术平方根是3；（ ） （5）3-的算术平方根是3；（ ） 提醒：注意平方根与算术平方根之间的区别和联系。 【讨论提高】 （1）25的算术平方根是_______，平方根是_______； (－4)2的平方根是_________，算术平方根是 . （2）若0|5|)12(2=-+-y x ，则y x 5 16-的算术平方根___________ 【例题研讨】 例1． 求下列各数的平方根和算术平方根： ⑴225 ⑵1.69 ⑶4 12 ⑷16 ⑸30 例2．（1）=2)01.0( ；=2)5( ；=2)7( ； （2）=23 ；=25 ； （3）=-2)3( ；=-2)5( ； 思考：① =2)(a ，其中a 0. ②发现：当a ＞0时，2a ＝ ； 当a ＜0，2a ＝ ； 即2a ＝ 当a = 0时，2a ＝ 【课堂自测】 1．判断下列说法是否正确： （1）任意一个有理数都有两个平方根.（ ） （2）（－3）2的算术平方根是3.（ ） （3）－4的平方根是－2.（ ） （4）16的平方根是4.（ ） （5）4是16的一个平方根.（ ） （6）416±= （ ） ()()()??????????<-=>=0000a a a a a a 平方根与立方根知识点 1、平方根： （1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数 （2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。 （3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数 B零有一个平方根，它是零本身 C负数没有平方根 （4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示， a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读 作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”. （5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1. 2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是 ：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。要特别注意：a≠±a。 3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性： ①被开方数a是非负数，即a≥0. ②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。 4.平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：1定义不同2个数不同：3表示方法不同： 2、立方根： 1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数 （2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。 （4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号来表示，读作"三次根号a"，其中a叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。 注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1. 6.2立方根导学案（第1课时） 一：回顾旧知 1.一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的 或 这就是说，如果 a x =2 ,那么x 叫做 a 的 2.正数有 平方根，它们 0的平方根 ， 负数 。 3.求下列各数的平方根： （1） 49 （2）25 4 (3)10 6 1 ( 4) 0.0016 二：自主探究 探究一 : 自学课本第49页探究前的内容，并回答下面的内容： 1、现有一只体积为8cm 3 的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？ 2、如果一个数的立方等于－ 27 8 ，这个数是多少？ 3、说出立方根的定义：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数就叫做a 的（ ）， 也称为a 的三次方根；如果 x 叫做a 的立方根，数a 的立方根记作3a ，读作“（ ）” 例如：2的立方是8，所以___是____的立方根，记作283=，又如27 8 3 2 3 - =-）（，____是___的立方根，记作327 832-=- ；若a x =3 ，则x 叫做a 的_____，a 叫做x 的____。 练一练： 求下列各数的立方根：(1)64；(2)0.125；(3)0；(4)－1；(5)8 27 - . 4、开立方的定义： .5、开立方和立方互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求。 探究二： 自学课本第49页探究，根据立方根胡意义填空。你能发现正数.0.负数的立方根各有什么特点吗？ （1）因为23 ＝8，所以8的立方根是（ ）；(2)因为( )3 ＝0.064，所以0.064的立方根是（ ）； (3)因为( )3 ＝0，所以0的立方根是（ ）；4)因为( )3 ＝-8，所以-8的立方根是（ ）； (5)因为( )3 ＝827- ，所以8 27 -的立方根是（ ）. 性质： 正数的立方根是 正 数； 0的立方根是 0 ；负数的立方根是 负 数； 练一练：1.填空1)因为( )3 ＝27所以27的立方根是 ；(2)因为( )3 ＝－27，所以－27的立方根是 (3)因为( )3＝ 64125，所以64125 的立方根是 ；(4)因为( )3 ＝64125-，所以64125-的立方根是 . 2.判断对错：对的画“√”，错的画“×”. (1)1的平方根是1. (2)1的立方根是1. (3)－1的平方根是－1. （4）－1的立方根是－1(5)4的平方根是±2. (6)27的立方根是±3. 【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即： 如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 （5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根； 正数a 的负的平方根可用-a 表示． （6）a x =2 <—> a x ±= a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根 （1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2 个正数x 叫做a 的算术平方根．a “根号 a”，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。 （2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数； 当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如错误!未找到引用源。=5，错误!未找到引用源。=50。 （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5）a x =2 (x≥0) <—> a x = a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x （6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a “平方根”与“立方根”知识点小结 一、知识要点 1、平方根： ⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 ⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 。 2、立方根： ⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a （a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 二、规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 30a ≥0。 4、公式：⑴2=a （a ≥0）（a 取任何数）。 5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0 例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2)3(-； （3）49151 ； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值 （1）81± ； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. （5） 44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(- 例3、求下列各数的立方根： ⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729 二、巧用被开方数的非负性求值. 当a ≥0时，a 的平方根是± a ，即a 是非负数. 例4、若 ,622=----y x x 求y x 的立方根. 练习：已知 ,21221+-+-=x x y 求y x 的值. 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根. 练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 四、巧解方程 例6、解方程（1）（x+1）2 =36 （2）27(x+1)3=64 五、巧用算术平方根的最小值求值. 0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零. 例4、已知：y= )1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根. 23(2)0y z -++=，求xyz 的值。 用计算器求平方根与立方根 学习目标： 1.会用计算器求非负数的算术平方根、平方根.立方根.（难点） 2.根通过利用计算器开平（立），解决一些简单的实际问题.(重点） 学习重点：利用计算器开平（立）解决实际问题. 知识链接 1.计算:=-9 4±259 ；=44.1_____________. 2.计算: (1)327--=______；(2)3343 125 - =______；(3)3729.0-=______；(4)3216-=______. 二、新知预习 3.（1）如何用计算器计算平方根呢？ 按照要求用计算器求下列各数的值，并将结果填在表格中：（结果精确到0.001） 输入数 2 3 5 6 按键顺序 [来 源:https://www.360docs.net/doc/c39798895.html,] 计算结果 （2）如果用计算器计算立方根根呢？ NOTE ：2ndF 是第二功能键，按下此键后，计算器将按键盘上红字所显示的功能进行计算 输入数 3 2 3 3 3 5 3 6 按键顺序 [来 源学科网Z.X.X.K] 计算结果 三、自学自测 1.用计算器求下列各式的近似值：（精确到0.001） （1）7；（2）3 252；（3）32 25；（4）3 12?? ??? . 四、我的疑惑 _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 自主学习 §12.1 平方根与立方根 第一课时平方根（9月1日星期二） 教学目的： 1、使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根； 2、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法； 教学重点和难点： 重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法； 难点：平方根的概念； 关键：对符号“”意义的理解。 学法指导： 根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。 教法指导： 1、针对八年级学生的认知特点，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长，让学生学会学习。本堂课主要采用引探式和启发式的教学方法，教师引导为辅，学生自主思考解决问题为主。 2、数学概念的学习比较抽象、枯燥，用多媒体辅助教学，增加课堂的趣味性，提高学生的学习积极性。 教学过程： 一、引入新课： 我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的。例如已知正方形一边长是4厘米，那么它的一条对角线的长是多少厘米?解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方。这节课我们就要学习开方运算和平方根。 可以先预练1—20的平方计算。 二、新课学习： 1、知识设疑： （1）计算：42；(－4)2 (0.8)2；(－0.8) 2、知识形成： 知识点一： 我们可以设这个数为x ，则2x ＝16，问题归结为求x 以通过乘方运算来解决。 因为42＝16所以x ＝4 ；又因为(－4)2＝16，所以x ＝－4 。4或－4的平方都等于16，可以表示为(±4)2＝16。 因为4或－4的平方都等于16，我们把4概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，二次方根)。就是说，如果x 2＝a,那么如：23与－23都是529的平方根。 因为(±23)2＝529，所以±23是529问：（1）16，49，100，1 100根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么? 概括2：一个正数有两个平方根，是0本身；负数没有平方根。 知识点二： 概括：求一个数a(a ≥0)个数可以是正数、负数或者是0平方都是正数，0的平方是0。互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三： （1）625－7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？ （2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； (－0.4)2； 2 )32 1( ； －（3）已知正方形的面积等于a,那么它的边长等于多少？ 立方根导学案 【学习目标】1．了解立方根的概念，能够用根号表示一个数的立方根； 2．能用类比平方根的方法学习立方根及开立方运算，并区分立方根与平方根的不同． 【重 点】立方根的概念和求法。 【难 点】立方根与平方根的区别 一、自主学习 1.知识回顾： 1) 什么是平方根？什么是开平方？二者之间有怎样的关系？ 2) 正数有几个平方根？零有几个平方根？负数呢？ 2、知识准备： （-1）3= 13= 03= 23= （-2）3= 33= （-3）3= 3、导入新课： 传说很久以前，在古希腊的某个地方发生大旱，地里的庄稼都干死了，于是大家一起到神庙里去向神祈求．“我之所以不给你们降水，是因为你们给我做的这个正方体的祭坛太小，如果你们做一个容积为8立方米的祭坛，我就会给你们降下雨水．” 同学们，你知道容积为8立方米的祭坛，它的棱长应该是多少吗？如何解答这一问题呢？今天，我们就一起来学习——立方根。 二、探究学习 活动一： 了解立方根的概念 阅读课本第49——50页，解决下列问题．（自主完成后小组交流） 1、如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的 .（也叫做数a 的 ）. 换句话说,如果 ,那么x 叫做a 的立方根或三次方根. 记作： .读作“ ”， 其中a 是 ，3是 ，且根指数3 省略（填能或不能），否则与平方根混淆. 2、开立方 求一个数的 的运算叫做开立方， 与开立方互为逆运算 活动二：根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？ 因为328 ，所以8的立方根是（ ）； 因为（ ）3=0.125，所以0.125的立方根是（ ）； 因为（ ）3=0，所以0的立方根是（ ）； 因为（ ）3=－8，所以－8的立方根是（ ）； 因为（ ）3=－278，所以－27 8的立方根是（ ）． 思考：（1）正数的立方根是_____数，负数的立方根是_____数，0的立方根是_______． 【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即： 如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 - （5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根； 正数a 的负的平方根可用-a 表示． （6）a x =2 <—> a x ±= a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根 （1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这 个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号 a”，a 叫做被开方数． { 规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x = 。 （2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数； 当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如=5， =50。 } （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5）a x =2 (x≥0) <—> a x = 八年级数学师生共用导学案 11.1.3 立方根 导学目标 1、了解一个数的立方根概念，并会用根号表示一个数的立方根. 2、能用类比平方根的方法学习立方根，及开立方运算，并能区分立方根与平方根的异同． 导学过程 一、导学准备 1.类似平方根定义可知，若3 x a =，则 为 的立方根，记为 ，读作 ．其中，a 是 ，3是 ，根指数3不能省略.例如：2的立方等于8，－2的立方等于－8，所以8的立方根为 ，－8的立方根为 ，记为 . 2. 求一个数的立方根的运算，叫做 ，与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算.立方根是开立方运算的结果, 与 运算互为逆运算． 3.用科学计算器求一个的立方根的按键顺序为： . 二、合作探究 探究问题：求下列各数的立方根.（1）827 ；（2）－125；（3）－0.008. 讨论交流：1.在学习平方根运算时，首先是找一些数的平方值，然后再根据其逆运算过程确定某数的平方根.同样，我们来先算一算一些数的立方：3 2= ；()3 2-= ； 313?? ???= ；313??- ???= ；30.5= ；()30.5-= ；30= . 2.经计算发现正数、0、负数的立方值与其平方值有何不同之处？ 3.求平方运算时，平方运算的底数为相反数，但其平方值却相等，故一个正数的平方根有两个值.求立方运算时，当底数互为相反数，其立方值有何关系？一个数的立方根有几个？负数有无立方根？ 4.怎样来验算开立方的结果是否正确呢？ 5.你知道数的立方根和数的平方根有什么区别与联系？试完成下表. 问题拓展：1. 被开方数是互为相反数的两个数，其立方根仍互为相反数吗？ （1＝－22，由此得出 ；又＝－3＝ －3，由此得出 .＝ . （2）对比分析：当a ≥0，? 2.成立的条件是a ≥0中的被开方数a 的取值范围有限制吗？ 达标测评 1、（2010 山东东营） 64的立方根是( ) （A ）4 （B ）－4 （C ）8 （D ）－8 2、（2010 天津）比较2的大小，正确的是（ ） （A ）2< （B ）2< （C 2<<（D 2<< 3、已知A=m 是2m n +的立方根，B=2m -3m n ++的算术平方根，则11m n +的立方根是 . 6、下列四种说法：①负数有一个负的立方根；②1的平方根与立方根都是1；③4?的平方根 ）. （A ）1 种 （B ）2 种 （C ）3种 （D ）4种 70=，则,a b 的关系是（ ） A 、a b = B 、1a b = C 、,a b 互为相反数 D 、无法确定 8 = . 9、解方程：（1） 274x 3-2=0； （2） 12（x+3）3=4． 基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 （1）平方根的定义： 如果一个数 x 的平方等于 a ，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根．即： 如果 x 2 a ，那么 x 叫做 a 的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的 平方根 的运算 ，叫做 开平方．开平方 运算的 被开方数 必须是 非负数 才 有意义。 （3） 平方与 开平方互为逆运算 ： 3 的平方等于 9，9 的平方根是 3 一个正数有两个平方根， 即正数进行开平方 运算有两个结果； 一个 负数没有平方根， 即负数不能 进行开平方 运算 （4） 5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根； 正数a的负的平方根可用- a表示． 6）<—>xa a 是x的平方x是a的平方根2、算术平方根 （1）x 的平方是 a a 的平方根是x 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2 a，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根． a的算术平方根记为 a ，读作“根号 a”，a 叫做被开方数． 规定：0 的算术平方根是0. 也就是，在等式x2 a （x ≥ 0中），规定x a 。 2）a的结果有两种情况：当 a是完全平方数时，a是一个有限数； 当 a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。 3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也 扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方 根也缩小。 般来说，被开放数扩大（或缩小） a倍，算术平方根扩大（或缩小）a倍，例如 =5， =50。 4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 5）x2 a （x ≥ 0） <—> x a a是x的平方x的平方是a x是a的算术平方根a的算术平方根是x （6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平 方根是零。 a（a 0） 11.1.1 平方根 【学习目标】 1.了解一个数的平方根与算术平方根的意义。 2.会用根号表示一个数的平方根、算术平方根。 3.了解开方与乘方是互逆运算，会利用这个互逆运算关系，求某些非负数的 算术平方根。 【学习重难点】 会计算某些非负数的算术平方根。 【学习过程】 一、课前准备 1、复习平方数 = = 2222-）（= = = = 231 （ 2 31-??? ??25.0()25.0-探究交流：一对互为相反数的的数的平方有什么关系？ 2、填底数 因为 因为 有 = = 25()25- 探究交流：平方得25的数有几个？分别是什么？这两个数有什么关系? 它们的和等于多少呢? 二、学习新知 自主学习： 如图所示, 面积为25cm 2的正方形, 其边长为多少呢？ 25cm 2 =23=-2 )3(所以( )2=9 所以( )2=25 根据正方形的面积公式，应该是边长2 = 25 由此我们得出, 其边长应该为 如果：面积为16，则边长应该为______； 面积为9，则边长为________； 面积为a ，则边长又如何呢？可设边长为x ，则得到：__________。 新知概念1：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 叫做a 的平方根。 就是说, 当 x 2=a (a ≥0)时, 称x 是a 的平方根。而a 称为x 的平方数。 重点：怎么求一个数的平方根？ 在上面的问题中,我们知道因为 =25,所以5是25的一个平方根. 25探究交流:25的平方根只有一个吗?还有没有别的数的平方也等于25? 因为（ ）2=25，所以 也是25的一个平方根。 这就是说 和 都是25的平方根 探究交流:如何求一个数的平方根?求一个数的平方根的关键是什么呢? 例如:求25的平方根的关键是: 等于25,这个数就是25的平方根. 概括：⑴一个正数的平方根有 ,它们是互为 ⑵ 0的平方根是 , 就是它 ; ⑶ 没有平方根. 新知概念2：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根。 正数a 的算术平方根记作： 读作：根号a 它的另一个平方根记作： 读作：负根号a 一个正数a 的平方根表示为： 读作正负根号a 实例分析： 例1、求100的平方根 例2、将下列各数开平方： (1)49； (2) 25 4 a a 注意：0的算术平方根还是0初中常用立方_平方根_立方根表
(完整版)平方根与立方根一对一辅导讲义(可编辑修改word版)
6.1平方根与立方根导学案(2)
平方根与立方根知识点
6.2立方根导学案1课时
平方根和立方根知识点总结及练习
平方根立方根知识点归纳及常见题型上课讲义
用计算器求平方根与立方根 学案
12章平方根与立方根(教案)
立方根导学案1234
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华师大版数学八上《平方根和立方根》(第3课时)word导学案
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