矩阵的迹及其性质

第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)

第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质； 从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：n n ii i i 1 i 1 tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA)

性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质； 2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1 tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1 i 1 tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]

幂等矩阵的性质及应用(定稿)

JIU JIANG UNIVERSITY 毕业论文（设计） 题目幂等矩阵的性质及应用 英文题目Properties and Application of Idempotent Matrix 院系理学院 专业数学与应用数学 姓名邱望华 年级A0411 指导教师王侃民 二零零八年五月

幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。 [关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合

The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices. [Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence, linear combination

第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)

第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质； 从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：n n ii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA) 性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质； 2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1tr(P AP)tr(A)-=；

5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B) 这里等号成立的充要条件是A=cB,c 为一常数。特别当A 和B 为实对称阵或Hermit 矩阵时 0≤|t r(AB)|≤ 定理：设A 和B 为两个n 阶Hermite 阵,且A≥0，

正投影及其性质

29.1 投影 第2课时正投影 【学习目标】 （一）知识技能： 1.进一步了解投影的有关概念。 2.能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。 （二）数学思考：在探究物体与其投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展学生的空间观念。 （三）解决问题：通过对物体投影的学习，使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。 （四）情感态度：通过学习，培养学生积极主动参与数学活动的意识，增强学好数学的信心。 【学习重点】 能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。 【学习难点】 归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影。 【学习准备】手电筒、三角尺、作图工具等。 【学习过程】 【知识回顾】 正投影的概念：投影线于投影面产生的投影叫正投影。 【自主探究】 活动1 出示探究1 如图29.1—7中，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置： （1）铁丝平行于投影面； （2）铁丝倾斜于投影面： （3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有公共点）。 三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？ （1）当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1,线段与它的投影的大小关系为AB A1B1； （2）当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2,线段与它的投影的大小关系为AB A2B2； （3）当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是。 设计意图：用细铁丝表示一条线段，通过实验观察，分析它的正投影简单直观，易于发现结论。 活动2 如图，把一块正方形硬纸板P（记为正方形ABCD）放在三个不同位置： (1)纸板平行于投影面； (2)纸板倾斜于投影面； (3)纸板垂直于投影面。 三种情形下纸板的正投影各是什么形状？

M矩阵的性质、定理及证明

M 矩阵的性质、定理及证明 一、M 矩阵的概念 定义1 设n n ij a A ?=)(，且0≤ij a ，j i ≠，01≥-A ，称A 为M 矩阵。 定义2 设n n ij a A ?=)(，且0≥ij a ，若1-A 为M 矩阵，则称A 为逆M 矩阵。 引理1 如果n n ij a A ?=)(，且0≤ij a ，j i ≠，A 为M 矩阵的充要条件是A 可做三角分解，R L A ?=,其中L 为下三角阵，R 为上三角阵，L 和R 的主对角元都是正值。 二、M 矩阵的判定定理与证明 定理1 若n n ij a A ?=)(为M 矩阵，则R L A ?=，其中下三角阵L 和上三角阵R 的主对角线元素为正，且其余元素为非正值。 证明 若A 为M 阵，则当j i ≠，0≤ij a ；j i =，0>ij a 。由引理1，A 可做三角分解R L A ?=。设 ????????????=nn n n l l l l l l L 21222111000 ， ? ???? ? ??????=nn n n r r r r r r R 00 022211211 则?????? ??????+++++=nn nn n n n n n n n r l r l r l r l r l l r l r l r l r l r l r l r l A 1122 21211112212122221221112111112111111， 故0,,1111211≤n r l r l 。 因011>l ，故0,,112≤n r r ；因,0,0,,111111121>≤r r l r l n 故0,,121≤n r r ；因 022321231≤+r l r l ，故02221≤r l ，从而021≤l ；因023221321≤+r l r l ，故023≤r 。类

浅谈幂等矩阵的性质

万方数据

万方数据

浅谈幂等矩阵的性质 作者：侯君芳， 黄丽莉 作者单位：郑州旅游职业学院,河南郑州,450009 刊名： 科技风 英文刊名：TECHNOLOGY TREND 年，卷(期)：2009，""(13) 被引用次数：0次 相似文献(6条) 1.期刊论文高灵芝幂等矩阵秩试题求解及其结论的推广-中国科教创新导刊2008,""(31) 本文从高等代数课本中的一道习题入手,从不同的角度给出这道习题的不同解法,并把其结论进行了推广. 2.期刊论文邹本强.ZOU Ben-qiang特殊矩阵的特征值性质-重庆职业技术学院学报2006,15(5) 在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具,在讨论矩阵的性质时给出了矩阵特征值的定义,但对矩阵特征值的性质研究很少,对特殊矩阵的特征值性质的研究更少,而特殊矩阵的特征值对研究特殊矩阵有很重要的意义.我们在研究矩阵及学习有关数学知识时,经常要讨论一些特殊矩阵的性质.为此,本文围绕幂等矩阵、反幂等矩阵、对合矩阵、反对合矩阵、幂零矩阵、正交矩阵、对角矩阵、可逆矩阵等特殊矩阵给出了其主要性质并加以证明,为广大读者学习矩阵时提供参考. 3.期刊论文孙莉.陈传良.王品超分块矩阵的理论应用-曲阜师范大学学报(自然科学版)2002,28(1) 分块矩阵的理论在高等代数中有着广泛的应用,用这一理论解决问题简明而清晰,该文是本理论的具体应用. 4.期刊论文杨忠鹏.陈梅香.林国钦.Yang Zhongpeng.Chen Meixiang.Lin Guoqin关于三幂等矩阵的秩特征的研究-数学研究2008,41(3) 本文对已有的关于三幂等矩阵秩的等式作了进一步研究,指出其中有些可以作为判定三幂等矩阵的充要条件,即三幂等矩阵的秩特征等式.本文还证明了有无穷多种三幂等矩阵的秩特征等式形式. 5.期刊论文杨忠鹏.陈梅香.YANG Zhong-peng.CHEN Mei-xiang关于矩阵秩等式研究的注记-莆田学院学报2008,15(5) 最近一些文献应用自反广义逆和广义Schur补得到了一些重要的矩阵秩的恒等式.对这些结果,给出了只用分块初等变换的简单证法;作为应用对 k(k=2,3,4)幂等矩阵的秩等式作进一步讨论,还给出了打洞技巧在求秩上应用的例子. 6.期刊论文林志兴.杨忠鹏.LIN Zhi-xing.YANG Zhong-peng与给定矩阵A的可交换子环C(A)的一些探讨-莆田学院学报2010,17(2) 收集整理现在常用的高等代数与线性代数材料中与给定矩阵A可交换的矩阵所构成的全矩阵空间pn×n的子空间C(A)的习题.指出C(A)的交换性及用 A的多项式表示问题同C(A)的维数与n有密切关系,得到n(n≥3)阶幂等矩阵A或对合矩阵A的C(A)都是不可交换的结论. 本文链接：https://www.360docs.net/doc/c47995269.html,/Periodical_kjf200913005.aspx 授权使用：洛阳工学院（河南科技大学）(wflskd)，授权号：d7e0c32f-0155-4388-9ee0-9dde00edfb00 下载时间：2010年8月26日

矩阵基本性质

矩阵的基本性质 矩阵的第?第列的元素为。我们?或（）表?的单位矩阵。 1.矩阵的加减法 （1）,对应元素相加减 （2）矩阵加减法满足的运算法则 a.交换律： b.结合律： c. d. 2.矩阵的数乘 （1），各元素均乘以常数 （2）矩阵数乘满足的运算法则 a.数对矩阵的分配律： b.矩阵对数的分配律： c.结合律： d. 3.矩阵的乘法 （1），左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则 a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有 b.分配律： c.结合律： d.数乘结合律： 4.矩阵的转置, （1）矩阵的幂：,,…,

（2）矩阵乘法满足的运算法则 a. b. c. d. 5.对称矩阵：即；反对称矩阵：即 （1）设为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。 （2）设为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=。 （3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。 （4）对任意矩阵，则分别是对称矩阵和反对称矩阵且. （5） 6. Hermite矩阵：即；反Hermite矩阵，即 a. b. c. d. e. f.（当矩阵可逆时） 7.正交矩阵：若,则是正交矩阵 （1） （2）

8.酉矩阵：若,则是酉矩阵 （1） （2） （3）, （4） 9.正规矩阵：若,则是正规矩阵；若,则是实正规矩阵 10.矩阵的迹和行列式 （1）为矩阵的迹；或为行列式 （2）；注：矩阵乘法不满足交换律 （3） （4）,为酉矩阵，则 （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）,，则其中为奇异分解值的特征值 11.矩阵的伴随矩阵 （1）设由行列式的代数余子式所构成的矩阵

浅谈幂等矩阵的性质

2009年7月(上 ) ［摘要］幂等矩阵的种常规的正定性，虽然在几何学，物理学以及概率论等学科中都得到了重要的应用，但随着数学本身以及应用矩阵的 其他学科的发展，越来越不能满足人们的需要，现代经济数学等众多学科中的重要作用，使矩阵的次正定性研究不仅在理论上，而且在应用上都是有意义的。［关键词］幂等矩阵；高等代数；线性变换浅谈幂等矩阵的性质 侯君芳 黄丽莉 （郑州旅游职业学院，河南郑州 450009） 在高等代数的研究中，矩阵占有重要的地位，线性变换中的许多问题都是通过矩阵来解决的。幂等矩阵是一类特殊的矩阵，本篇文章探讨的就是幂等矩阵的性质，研究过程中运用的特殊符号说明如下：A T 矩阵A 的转置，A H 矩阵A 的共轭转置R （A ）矩阵A 的值域，N （A ）矩阵A 的核空间。 幂等矩阵 定义[1]设A ∈C n ×n ，若A 2=A 则称A 是幂等矩阵。定理1若P 是幂等矩阵，则 1）P T ，P H ，E-P T ，E-P H 是幂等矩阵。2）P （E-P)=（E-P ）P=03）Px=x 的充要条件是x ∈R （P ） 证明：1）P 2=P =>（P T ）2=（P 2）T =P T =>P T 为幂等矩阵P 2=P =>（P H ）2=（P 2）H =P H =>P H 为幂等矩阵 （E-P ）2=（E-P ）（E-P ）=E 2-EP-PE+P 2=E-2P+P 2=E-P 故E-P 为幂等矩阵 （E-P T ）2=（E-P T ）（ E-P T ）=E 2-EP T -P T E+（P T ）2 =E-P T 故E-P T 为幂等矩阵 （E-P H ）2=（E-P H ）（ E-P H ）=E 2-EP H -P H E+（P H ）2=E-P H 故E-P H 为幂等矩阵 2）P （E-P ）=PE-P 2=P-P 2=0（E-P ）P=EP-P 2=P-P 2=0故P （E-P ）=（E-P ）P=0 3）设x 满足Px=x ，则x ∈R （P ）。反之，若x ∈R （P ），则必存在y ∈C n ，使得Py=x ，于是，Px=P （Py ）=Py 结论的几何意义是P 的特征值为1的特征子空间就是P 的值域。定理2秩为r 的n 阶。矩阵P 是幂等矩阵的充要条件是存在C ∈C n ×n 使得 C -1PC= Er 0（1） 证明：必要性：设J 是P 的Jordan 标准形，C ∈C n ×n ，且 C -1PC=J=J 1J 2··J i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i s ，J i = λi 1λi 1··λi i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i n i ×n i J i 是Jordan 块。由于P 2=P ，则J 2i =J i （i=1，2，3…s ）。欲使J i 2=J i ，必须n i =1。因此J 是对角阵。又由P 2=P 。知λi =0或1，故r=rankJ=trP 。 充分性：由 Er 02 =Er 0知P 2 =P 。推论[1]rankP=trP 证明：由上题的（1）知幂等矩阵的特征值非1即0。且r=rankP 又有式（1）知 trP=λ1+λ2+…+λN =r 其中λ1，λ2…λN 是P 的n 个特 征值 矩阵的性质通常从以下几方面来研究：矩阵的秩，矩阵的相似对角化，矩阵的特征值对于幂等矩阵我们也从这几方面入手，讨论其具有的性质。 性质1若A 为n ×n 矩阵且A 2=A ，则A 相似于一对角阵 Er 证明：取一线性空间V （n 维）及一组基ε1，ε2…εn 定义一线性变换A ：V →V ，A α=A α则A （ε1，ε2，…εn ）=(ε1，ε2…εn )A 。由A 2=A ，则A 2=A 。A α∈A ∩A -1（0），设α=A β，β∈V ，A α=A 2β=β=α。又A α=0，则α=0，则AV+A -1（0）为直和。所以V=A +A -1（0）。在子空间AV 中取基η1η2…ηr ，在子空间A -1(0)取基ηr+1ηr+2…ηn ，则向量组η1，η2…ηr ηr+1…ηn 就是V 的一组基。又A η1=η1，A η2=η2…A ηr =ηr 且A ηr+1=0，A ηr+2=0…A ηn =0，A （η1，η2…ηn ）=（η1，η2…ηn ）Er 所以А相似于Er 性质2若А为n ×n 幂等矩阵，且R （ A 2 ）=R （A ）则有以下结论成立 1）Ax=0与A 2x=0同解 2）对于任意自然数P ，均有R （A p ）=R （A ） 证明：设R （A ）=r 显然Ax=0的解均为A 2x=0的解；设有一基础解系η1，η2…ηn-r 则此基础解系也为A 2x=0的解，并且线性无关，而 R （A 2 ） =r ，所以η1，η2…ηn-r 也为A 2x=0的基础解系，那么Ax=0与A 2x=0同解 若α为A 2x=0的解，则A 2α=0= >A 3α=0，则α为A 3E=0的解，反之，若α为A 3x=0的解，则A 3α=0即A 2A α=0，说明向量A α=0为方程组A 2x=0的解，由（1）则A α为Ax=0的解，则有A 2α=0，即α也为A 2x=0的解，所以A 2x=0与A 3x=0同解。因此，照 此方法类推，则必有R （ A p ）)=R （A ）。性质3若A 为n 阶方程，且R （A ）+（E-A ）=n ，则A 2=A 证明：设V 为n 维线性空间，其基ε1，ε2...εn 定义下述线性变换A ：V →V ，A （ε1，ε2...εn ）=（ε1，ε2...εn ）A （E-A ）（ε1，ε2...εn ）=（ε1，ε2...εn ）（E-A ），dim （AV ）=R （A ），dim [（E-A ）]=R （E-A ）由题设，则dimAV+dim （E-A ）=n (1) A α∈V ，α=A α+（α-A α）∈AV+（E-A ）V ，则V=AV+ （E-A ）V 则V=AV +（E-A ）V 。下证A 2=A ，其实A α∈V ，有A 2α-A α=A （A-E ）α∈AV ∩（E-A ）α={0}。因此A 2α=A ，则 A 2=A ，从而A 2=A 。 下面通过三个例题说明幂等矩阵的性质与应用 例1设A 为n ×n 矩阵，且R （A ）=r ，证明：A 2=A 当且仅当A=CB ，其中C 为n ×r 矩阵，秩为r ，B 为r ×n 矩阵，秩也为r ，且有BC=E r 。 证明：必要性：由于A 2=A ，由性质（1）则A 必（下转第13页）6

幂零矩阵迹的特征

幂零矩阵迹的特征 严文（061114228） （孝感学院数学与统计学院湖北孝感 432000） 摘要：2009年全国大学生数学竞赛题（第3题）：设V是复数域上向量空间， -=，那么f的所有特征值均为0，并且,f g是V上的线性变换，且满足fg gf f g和f之间存在相同的特征向量（对应的特征值不一定相等）．我们把它转换为矩阵，在矩阵中讨论特殊情况即AB BA =，求证A和B有公共特征向量，并且求出A和B的公共特征向量. 关键词：幂零矩阵；迹；特征值；特征向量 Features of Nilpotent matrix trace Y AN Wen (Department of Mathematics and Statistics,Xiaogan university,Xiaogan,Hubei 432000,China) Abstract：2009 National College Mathematics Competition Problems (3th item)：Based vector space V is the complex field,,f g are the linear transformation, and satisfies fg gf f -=, Then all the eigenvalues of f are 0, Between f and g there are the same feature vector (not necessarily equal the corresponding eigenvalue). We convert it to matrix and discussed in the special circumstances that BA AB=, V erify:A and B have public feature vectors, and eigenvectors obtained the public. Key words：Nilpotent matrix; Trace;Eigenvalue;Eigenvector.

投影法的基本性质

一、投影法的基本性質 在一定的投影條件下,求得空間投影面上的投影的方法,稱為投影法。 投影法分為中心投影法和平行投影法 1.中心投影法 空間形體各頂點引出的投射線都通過投影中心。投射線都相交於一點投影法,稱為中心投影法,所得的投影稱為中心投影。在中心投影法中,將形體平行移動靠近或遠离投影面時,其投影就會變小或變大,且一般不能反映空間形體表面的真實形狀和大小,作圖又比較復雜,所以中心投影法在機械工程中很少采用。 2.平行投影法 將投影中心移至無限遠處時,則投射線成為互相平行。這种投射線互相平行的投影法,稱為平行投影法,所得的投影稱為平行投影。在平行投影法中,投射線相對投影面的方向稱為投影方向。當空間形體平行移動時,其投影的形狀和大小都不會改變。平行投影法按投影方向的不同又分為斜投影法各正投影法 a.斜投影法投影方向傾斜於投影面時稱為斜投影法,由此法所得的投影稱為斜投影。 b.正投影法投影方向垂直於投影面時稱為正投影法,由此法所得的投影稱為正投影。 平行投影的基本性質 (1)同類性

一般情況下,直線的投影仍是直線,平面圖形的投影仍是原圖形的類似形(多邊形的投影仍為同邊數的多邊形)。 (2)真形性 當直線或平面平行於投影面時,其投影反映原線段的實長或平面圖形的真形。(3)積聚性 當直線或平面平行於投影方向時,直線的投影積聚成點,平面的投影積聚成直線。這種性質稱為積聚性,其投影稱為積聚性的投影 (4)從屬性 若點在直線上,則點的投影仍在該直線的投影上。 (5)平行性 若兩直線平行,則其投影仍相互平行。 (6)定比性 直線上兩線段長度之比或兩平行線段長度之比,分別等於其長度之比。 二、軸測投影圖和正投影圖 1.軸測投影圖按平行投影法把空間形體連同確定其空間位置的直角坐標 系一並投影到一個適當位置的投影面上,使其投影能現時反映形體三度 的空間形狀。這種投影法稱為軸測投影法,所得的投影圖稱為軸測投影圖, 簡稱軸測圖。 這种圖有較好的直觀性,容易看懂,但形體表面的形狀在投影圖上變形,致命

第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)

第五专题矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质； 从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义： n n ii i i1i1 tr(A)a == ==λ ∑∑，etrA=exp(trA) 性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B) λ+μ=λ+μ，线性性质；

2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1 tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1 i 1 tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)

正文部分

幂等矩阵的性质 数学与应用数学专业2009级王素云 摘要:本文对幂等矩阵的一些性质进行归纳总结及推广, 并将幂等矩阵与其他特殊矩阵进行了比较. 给出幂等矩阵的概念. 讨论幂等矩阵的主要性质, 并将其进行推广. 然后研究了幂等矩阵的等价性命题, 以及幂等矩阵的线性组合的相关性质. 再结合对合矩阵和投影矩阵更深入的研究幂等矩阵的性质, 分别讨论了幂等矩阵与对合矩阵, 幂等矩阵与投影矩阵的关系. 关键字: 幂等矩阵; 性质; 对合矩阵; 投影矩阵; 广义逆矩阵 Properties of Idempotent Matrix Suyun Wang, Grade 2009, Mathematics and Applied Mathematics Abstract In this paper, some properties of the idempotent matrix are summarized and extended, and idempotent matrices are compared with other special matrix. The concept of idempotent matrices are given. The main properties of the idempotent matrix are discussed and promoted . Then, the equivalent propositions of idempotent matrix and the nature of the linear combinations of idempotent matrices are studied. The involution matrix and the projection matrix are used to discuss the nature of the idempotent matrices much deeper. The relationship between the idempotent matrix and involution matrix, the idempotent matrix and the projection matrix are discussed. Key Words the idempotent; the nature; involution matrix; the projection matrix; generalized inverse matrix

相似矩阵的性质及应用

华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2013年11月6 日

摘要：若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题 进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。 关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值 英文题目：The properties and application of similar matrix Abstract:There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal

幂等变换和幂等矩阵的性质

幂等变换和幂等矩阵的性质 中文摘要:本文在已有文献资料的基础上，对幂等变换和幂等矩阵的性质作了归纳。 关键词:幂等变换，幂等矩阵，性质 正文: （一）定义及说明 定义1.设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且2σσ=，则称σ为V 上的幂等变换。 定义2.设A 是数域P 上的n 级方阵，若2A A =，则称A 为V 上的幂等矩阵。 因为数域P 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()()n L V P 对于线性变换的加法和数量乘法构成的P 上的线性空间与数域P 上的n 级方阵构成的线性空间n n P ?同构，即()()n n n L V P P ??。所以幂等变换σ对应于幂等矩阵A ,2A A =. （二）幂等变换的一个性质及其推广[1] 定理1.设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且2σσ=，则有 （1）()Ker σ={}()|V ξσξξ-∈,Im()σ={}()|V ξσξξ=∈ （2）()Im()V Ker σσ=⊕ （3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是σττσ= 将幂等变换的定义加以推广：设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且n σσ=，则称σ为V 上的幂等变换。 对于满足n σσ=的线性变换有类似性质 定理2. 设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且n σσ=（2n ≥），则有 （1）()Ker σ={}1()|n V ξσξξ--∈，Im()σ={} 1()|n V ξσξξ-=∈ （2）()Im()V Ker σσ=⊕ （3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是11n n σττσ--= 证明：已知n σσ=

矩阵相似的性质

1 矩阵的相似 1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】） 矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似 定义 1.1：设,A B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，就说A 相似于B 记作A B ∽ 1.2 相似的性质 （1）反身性A A ∽：；这是因为1A E AE -=. （2）对称性：如果A B ∽，那么B A ∽；如果A B ∽,那么有X ，使1B X AX -=，令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，所以B A ∽。 （3）传递性：如果A B ∽，B C ∽，那么A C ∽。已知有,X Y 使1B X AX -=， C 1Y BY -=。令Z XY =，就有111C Y X AXY Z AZ ---==，因此，A C ∽。 1.3 相似矩阵的性质 若,n n A B C ?∈，A B ∽，则： （1）()()r A r B =； 引理：A 是一个s n ?矩阵，如果P 是一个s s ?可逆矩阵，Q 是n n ?可逆矩阵， 那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ） 证明：设,A B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=,由引理2可知，秩 （B ）=秩（1 B C AC -=）=秩（AC ）=秩（A ） （2）设A 相似于B ，()f x 是任意多项式，则()f A 相似于()f B ，即 11()()P AP B P f A P f B --=?= 证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++ 于是，1 110()n n n n f A a A a A a A a E --=+++ 1 110()n n n n f B a B a B a B a E --=++ + 由于A 相似于B ，则k A 相似与k B ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵X ,使得

幂等矩阵的性质及其应用

幂等矩阵的性质及其应用 0 引言 幂等矩阵是一类性质特殊的矩阵，不仅在高等代数中有着重要的应用，在其它课程中，如计量经济学、统计学课程中也有着重要应用。在代数学中，线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决。但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的。因此本文对幂等矩阵的性质做出相关讨论。本文主要给出幂等矩阵特征值、特征子空间和Jordan标准型的基本性质，同时给出了一些相关的应用。 1 主要结果 首先给出幂等矩阵的定义和基本性质。 定义1：若n阶方阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵。 下面给出关于幂等矩阵的一些简单的性质。 定理1：幂等矩阵A的特征值只能是0或者1。 证明：设A为任意一个幂等矩阵。 由A2=A，可得 λ2=λ 其中λ为A的特征值。于是有 λ=1或0， 命题得证。 推论：可逆的幂等矩阵的特征值均为1。 证明：设A为一可逆的幂等矩阵。由A2=A可得 A2A-1=AA-1 即 A=E。 此时有 λE-E=0 即 λ=1 其中，λ为A的特征值。命题得证。 定理2：任意的幂等矩阵A都相似于对角阵，即存在可逆阵P，使得： P-1AP=E■ 00 0， 其中r=R（A）。 证明：A为任意幂等矩阵，J为其Jordan标准型，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J=■， 其中Ji=■。 由此可得J 2=J。于是有，Ji 2=Ji。 此时，Ji只能为数量矩阵λ■E。 又因为A2=A，所以λ■=0或1，且r=R（A）。命题得证。 定理3：幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域，特征值为0的特征子空间为其零（核）空间。 证明：（i）A为一n阶幂等矩阵。？琢为其特征值1对应的特征向量。 则有，A？琢=？琢。由此可得？琢属于A的值域。

矩阵性质

关于实正交矩阵的某些性质 华东师范大学数学系04级基地班高等代数与解析几何04学年第二学期大作业 10041510134裘鹏翔 正交矩阵是实数域上一类十分特殊的矩阵，具有很多特殊的性质，经过一个学期来学习，也积累收集了不少正交矩阵的性质，罗列如下： 定义：满足的方阵称为正交矩阵（orthogonal matrix）。 n阶正交矩阵的集合记为。 本文摘要： 1正交矩阵与运算的关系 1.1和：正交矩阵的和不一定是正交矩阵； 1.2差：正交矩阵的差也不一定是正交矩阵； 1.3乘积：正交矩阵的乘积是正交矩阵； 1.4数乘：正交矩阵数乘后一般不是正交矩阵； 1.5直积：正交矩阵的直积还是正交矩阵； 1.6圈积：正交矩阵的圈积还是正交矩阵； 1.7转置：正交矩阵的转置还是正交矩阵； 1.8逆：正交矩阵的逆还是正交矩阵； 1.9伴随：矩阵的伴随矩阵是正交矩阵的充分必要条件是这个矩阵是正交矩阵；2正交矩阵的特征 2.1迹：迹小于阶数； 2.2特征值：实数域上,复数域上模为1； 2.3不定性：正交矩阵是不定矩阵； 2.4对角化：正交矩阵在对角化中的作用； 3正交矩阵与特殊矩阵的关系 3.1与数量矩阵：只有的数量矩阵和正交矩阵的乘积还是正交矩阵； 3.2与整系数矩阵：如果n阶正交矩阵是整系数矩阵（即），则它共有！ 种； 3.3与实可逆矩阵：分解为正交矩阵和三角矩阵； 与上（下）三角矩阵：每个实可逆矩阵的分解等等； 3.4与对角矩阵：特征值全是实数的对角化等等； 3.5与对称矩阵：特征值全是实数的正交矩阵是对称的等等； 3.6与反对称矩阵：可对角化情况下的典范型； 4正交矩阵的特殊构造 4.1整系数与非整系数实（反）对称正交矩阵； 5附录 :正规矩阵正交准对角化概述（纯矩阵的证明方法） 5.1定理１；上三角标准定理；

矩阵迹的性质与应用

矩阵迹的若干个性质与应用 姓名：某某 指导老师：某某 摘 要：根据矩阵迹的定义,首先给出了矩阵迹的性质,然后依据方阵的F -范数定义Cauchy —Schwarz 不等式,给出了零矩阵,不相似矩阵,数幂矩阵,列矩阵,幂等矩阵及矩阵不等式的证法。矩阵的迹在解题中的应用给出了实例。 关键词：迹 矩阵 范数 特征值 1 引言 矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工具。本文在前人研究的基础上，首先介绍了矩阵迹的相关性质，然后给出了零矩阵，不相似矩阵，数幂矩阵，列矩阵，幂等矩阵及矩阵不等式的证法，最后对矩阵的应用给出实例。 2 预备知识 定义1 设 n n ij C a A ?∈=)(,则∑==n i ii a trA 1 称为A 的迹。 定义2 设 n n ij C a A ?∈=)(,记与向量范数2X A 相容的A 的F 一范数为: 2 112 1 )(∑∑===n i n j ij F a A )1(00>?≠F A A (2) C K A K KA F F ∈??=, (3) n F F F C B A B A B A ∈?+≤+,, (4) n n F F F C B A B A AB ?∈??≤,, (5) 22 X A AX F ?≤ 引理：矩阵迹的性质: 1 trB trA B A tr ±=±)( 证明：设 (a ),()ij n n ij n n A B b ??==则1 1 1 (),(),()()i n i n i n ii ii ii ii i i i tr A a tr B b tr A B a b ========±=±∑∑∑

幂等矩阵的性质毕业论文

幂等矩阵的性质 目录 中文摘要 (1) 英文摘要 (1) 1 引言 (1) 2 幂等矩阵的概念 (3) 3 幂等矩阵的性质 (4) 3. 1 幂等矩阵的主要性质 (4) 3. 2 幂等矩阵的等价性命题 (7) 3. 3 幂等矩阵的线性组合的相关性质 (11) 4 幂等矩阵与其他矩阵的关系 (14) 4. 1 幂等矩阵与对合矩阵 (14) 4. 1. 1 对合矩阵 (14) 4. 1. 2 幂等矩阵与对合矩阵的关系 (15) 4. 2 幂等矩阵与投影矩阵 (16) 4. 2. 1 投影矩阵 (16) 4. 2. 2 幂等矩阵与投影矩阵的关系 (17) 结束语 (19) 参考文献 (20) 致 (21) 英文原文 (22) 英文译文 (29)

幂等矩阵的性质 数学与应用数学专业2009级王素云 摘要:本文对幂等矩阵的一些性质进行归纳总结及推广, 并将幂等矩阵与其他特殊矩阵进行了比较. 给出幂等矩阵的概念. 讨论幂等矩阵的主要性质, 并将其进行推广. 然后研究了幂等矩阵的等价性命题, 以及幂等矩阵的线性组合的相关性质. 再结合对合矩阵和投影矩阵更深入的研究幂等矩阵的性质, 分别讨论了幂等矩阵与对合矩阵, 幂等矩阵与投影矩阵的关系. 关键字: 幂等矩阵; 性质; 对合矩阵; 投影矩阵; 广义逆矩阵 PROPERTIES OF IDEMPOTENT MATRIX Suyun Wang, Grade 2009, Mathematics and Applied Mathematics Abstract In this paper, some properties of the idempotent matrix are summarized and extended, and idempotent matrices are compared with other special matrix. The concept of idempotent matrices are given. The main properties of the idempotent matrix are discussed and promoted . Then, the equivalent propositions of idempotent matrix and the nature of the linear combinations of idempotent matrices are studied. The involution matrix and the projection matrix are used to discuss the nature of the idempotent matrices much deeper. The relationship between the idempotent matrix and involution matrix, the idempotent matrix and the projection matrix are discussed.