初中数学竞赛专题复习 第一篇 代数 第7章 三角函数试
第7章三角函数
§7．1锐角三角函数
7．1．1★比较下列各组三角函数值的大小：
（1）sin19?与cos70?；
（2）cot65?与cos40?；
（3）cos1?，tan46?，sin88?和cot38?．
解析（1）利用互余角的三角函数关系式，将cos70?化sin20?，再与sin19?比大小．
因为()
cos70cos9020sin20
?=?-?=?，而
sin19sin20
?
所以sin19cos70
?
（2）余切函数与余弦函数无法化为同名函数，但是可以利用某些特殊的三角函数值，间接比较它们
的大小．cot60cos45
?
因为
cot65cot60
?
?>?>，
所以cot60cos45
?
所以cot65cos40
?
（3）tan451
?=，显然cos1?，sin88?均小于1，而tan46?，cot38?均大于1．再分别比较cos1?与sin88?，以及tan46?与cot38?的大小即可．
因为()
cos38cot9052tan52
?=?-?=?，所以
tan52tan46tan451
?>?>?=．
因为()
cos1cos9089sin89
?=?-?=?，
所以sin88sin891
?
所以cot38tan46cos1sin88
?>?>?>?．
评注比较三角函数值的大小，一般分为三种类型：
（1）同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大小来确定三角函数值的大小．
（2）互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其大小．
（3）不能化为同名的两个三角函数，可通过与某
些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如30?，45?，60?的三角函数值．
7．1．2 ★化简求值：
（1）tan1tan2tan3tan89
????????
L；
（2sin83?；
（3）
22
22
tan sin
tan sin
αα
αα
?
-
；
（4cos79sin79
?-?；
（5）若tan 3α=求2sin sin 13sin cos αα
αα
-+的值．
解析（1）
原式=tan1tan2tan3tan44tan45cot 44cot 43cot3cot 2cot1?????????????????????L L ()()()tan1cot1tan 2cot 2tan 44cot 44tan 45=??????????????L
1111=???=L ．
（2
）原式1
cos7cos71cos7=?=??=?
． （3）原式()224422422
22sin sin sin sin cos 1sin sin sin 1cos sin cos α
αααααααααα
?====--． （4）原式
sin11cos11sin11cos11sin11cos110?-?=?-?-?-?=．
（5）原式222
2
sin cos sin sin cos sin 13sin cos sin cos 3sin cos αααααα
αααααα
--==+++ 222
2tan tan 336
tan 13tan 313319
αααα--===-++++?． 评注 同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式，在三角式变形、化简、求值及证明中是重要的依据．
7．1．3★试证明在锐角三角形中，任何一个角的正弦大于其他两个角的余弦． 解析 在锐角三角形里，显然有90A B ∠+∠=?，所以有9090A B ?>∠>?-∠．
由于在0?~90?范围内，当A ∠增加时，其正弦值是增加的，于是我们知道()sin sin 90cos A B B >?-=． 同理可以证明其他的五组．
7．1．4★下列四个数中哪个最大：
A ．tan48cot 48?+?
B ．sin48cos48?+?
C ．tan48cos48?+?
D ．cot 48sin48?+?
解析 显然0sin481
sin 48sin 48tan 48cos48?
?<=??
，
cos48cos48cot 48sin 48?
?<
=??
所以A 最大．
7．1．5★设x 为锐角，且满足sin 3cos x x =，求sin cos x x ． 解析
我们将sin 3cos x x =代入22sin cos 1x x +=，得到210cos 1x =，并且
x 是锐角，因此cos
x 所以sin x =
因此3
sin cos 10
x x =
． 7．1．6★★在ABC △中，3C A ∠=∠，27BC =，48AB =．证明：2A ∠是锐角，并计算cos2A 的值． 解析 若290A ∠?≥，则45A ∠?≥，3135C A ∠=∠?≥，于是180A B C ∠+∠+∠>?，矛盾．
为计算cos2A ，必须构造出一个以2A ∠为其一锐角的直角三角形．如图，过C 作CD 交AB 于D ，使
ACD A ∠=∠，则32BCD A A A ∠=∠-∠=∠．
A
B
C D
E
又CDB A ACD ∠=∠+∠ =2A BCD ∠=∠
所以27BD BC ==， 21AD AB BD =-=， 21DC AD ==．
作BE CD 丄于E ，则212CE DE ==
，故217cos2cos 5418
CE A BCE BC =∠===． 7．1．7
★已知sin cos αα+=，求sin cos αα的值． 解析
由sin cos αα+两边平方得
(
)2
2
sin cos αα+=
．
又22sin cos 1αα+=，所以
12sin cos 2αα+=， 得
1sin cos 2
αα=
． 评注 （1）当已知sin α与cos α之间和或差的值时，常常考虑运用22sin cos 1αα+=转化问题． （2）总结此题解答过程，该问题实际上是读者都熟悉的问题：
已知a b +=221a b +=，求ab 的值．
这里用三角函数式sin α、cos α来替代a 、b ，变化了一下问题的形式．因此，在解题时，弄清问题的本质是非常重要的．
7．1．8★已知m 为实数，且sin α、cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根．求44sin cos αα+的值． 解析
由
根
与
系
数的关
系知
1sin cos 3
αα=
．则有
()()2
2
44227sin cos sin cos 2sin cos 9
αααααα+=+-=
． 7．1．9★★设A 、B
是一个直角三角形的两个锐角，满足sin sin A B -．求sin A 及sin B 的值． 解析
由于90A B +=?，故由互余关系得
()sin sin 90cos B A A =?-=．
因此条件即为
sin cos A A -=
①
将上式平方，得
221sin cos 2sin cos 2
A A A A +-=
， 由正、余弦的平方关系，即有1
2sin cos 2
A A =
，所以 ()
2
223
sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 2
A A A A A A A A +=++=+=，
因sin A 、cos A 均为正数，故sin cos 0A A +>．因此由上式得
sin cos A A +=
②
由①、②得sin A =
，cos A =
sin B =． 评注
本题也可如下解答：由①得
sin cos A A = 两边平方，得
221
sin cos 2
A A A =+
， ③
因22sin 1cos A A =-，代入上式并整理，得
21
2cos 02
A A -=， ④
解得cos A =
．因cos 0A >
，故只有cos A =
sin A =． 7．1．10★若存在实数x 和y ，使得
22
2225sin cos , 4
3cos sin ,
4
x y a x y a ?+=???
?+=?? 求实数a 的所有可能值． 解析
把两式相加，得2358a a +=，解得1a =，或8
3
a =-（舍去）．
当1a =时，π4x =
，π
6
y =满足方程．故1a =． 7．1．11★★已知关于x 的一元二次方程 ()()22211120m x m x +--+=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数m 的值．
解析
设方程的两个实根1x 、2x 分别是直角三角形ABC 的锐角A 、B 的正弦．则
()22
222212sin sin sin cos 190x x A B A A A B +=+=+=+=?，
又122112m x x m -+=
+，1212
2
x x m =+， 所以()
2
2
2
21
1
1212211242122
m x x x x x x m m -??
+=+-=-= ?
++??． 化简得224230m m -+=，解得1m =或23．检验，当1m =时，
()()2
2114820m m =--+<△；
当23m =时，
()()2
2114820m m =--+△≥．
所以23m =．
评注本题是三角函数与一元二次方程的综合，基本解法是利用韦达定理和22sin cos 1αα+=列方程求解．要注意最后检验方程有无实数根．
7．1．12★★已知方程2450x x k -+=的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求k ． 解析
根据韦达定理，有12125 , 4
.4
x x k x x ?
+=-????=??
并且由于其两根是直角三角形的两个锐角的正弦，所以又有22
12
1x x +=． 于是有()
2
2
2
21
2
1212512244k x x x x x x ??
=+=+-=--? ???
．
解得9
8
k =
． 7．1．13★★★若直角三角形中的两个锐角A 、B 的正弦是方程20x px q ++=的两个根； （1）那么，实数p 、q 应满足哪些条件？
（2）如果p 、q 满足这些条件，方程20x px q ++=的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A 、B 的正弦？ 解析 （1）设A 、B 是某个直角三角形两个锐角，sin A 、sin B 是方程20x px q ++=的两个根，则
有
240p q =-△≥．
①
由韦达定理，sin sin A B p +=-,sin sin A B q =．又sin 0A >，sin 0B >，于是0p <，0q >． 由于()sin sin 90cos B A A =?-=．所以sin cos A A p +=-，sin cos A A q =， 所以
()
()2
2
sin cos 1sin cos 12p A A A A q -=+=+=+，
即221p q -=．
由①得21240q p q -=-≥，则12
q ≤．
故所求条件是
0p <，1
02
p <≤，221p q -=．
②
（2）设条件②成立，则24120p q q -=-≥，故方程有两个实根：
α==
，
β=
=
．
由②知p -=
p -，
所以0p p <--+，故0βα>≥． 又()2
222221p q αβαβαβ+=+-=-=，故01αβ<<≤． 所以，α、β为直角三角形两个锐角的正弦． 评注
一般地，有()sin 90cos αα?-=，()cos 90sin αα?-=．即在Rt ABC △中()90C ∠=?，
sin cos A B =，cos sin A B =．
7．1．14★★已知方程()24210x m x m -++=的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求m 的值．
解析 设题中所述的两个锐角为A 及B ，由题设得 ()2
41160 , 1cos cos , 2cos cos .4
m m m A B m A B ?=+-??
+?
+=
??
?
=??△≥ 因为cos sin B A =，故
()2
, 1cos sin , 2cos sin , 4
10m A A m A m m A ++==?=-???
?
??
?
??可△≥取任意实数①② ①式两边平方，并利用恒等式22sin cos 1A A +=，得()()
2
2
1cos sin 12sin cos 4
m A A A A ++=+=．
再由②得()2
1124
m m ++=，
解得m =
由cos 0A >，sin 0A >及②知0m >．
所以m =．
7．1．15★★不查表，求15?的四种三角函数值．
解析 30?、45?、60?这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几
何性质及勾股定理直接推出．同样，15?角的三角函数值，也可以利用直角三角形的性质将其推出． 如图所示．在ABC △中，90C ∠=?，30ABC ∠=?，延长CB 到D ，使BD BA =，则
1
152
D BAD ABC ∠=∠=∠=?．
A B
C
D
1
30°
15°
设1AC =，则2AB =
，BC =2BD =
，所以 2CD CB BD =+=+ 所以
)
1AD =
==
所以
sin15AC AD ?=
=，
cos15CD AD ?=
=
tan152AC CD ?=
=
cot152CD
AC
?==． 评注 将15?角的三角函数求值问题，通过构造适当的三角形，将它转化为30?角的三角函数问题，这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方法，是我们研究解决新问题的重要方法．根据互余三角函数关系式，我们很容易得到75?角的四种三角函数值． 7．1．16★★求22.5?角的正切值（不查表，不借助计算器）． 解析
4522.52
?
?=
，所以设法构造一个含22.5?角的直角三角形，用定义求值． 如图，Rt ABC △中，90C ∠=?，45B ∠=?，
延长CB 到D ，使BD BA =，则1
22.52D B ∠=∠=?．设AC b
=，
有AB =
，)
1DC DB BC b =+=
．
A
B C
D
故
tan 22.51AC
DC
?=
=．
7．1．17★★求sin18?的值．
解析 构造一个顶角A 为36?的等腰ABC △，AB AC =，如图，作内角平分线则36ABD DBC ∠=∠=?，设1AC =，BC x =．
A
B C
D
H
由于36DBA DAB ∠=∠=?，72BDC BCD ∠=∠=?，故CB BD DA x ===，而CAB △∽CBD △（36CAB CBD ∠=∠=?），故
AC BC BC DC =
，故11x
x x
=-
，有x
（舍去）． 再作AH BC ⊥于H ，则18CAH ∠=?
，CH =．
所以sin18? 评注 本题所构造的等腰三角形是圆内接正十边形的相邻顶点与圆心确定的三角形，利用它可以求出半径为R 的圆内接正十边形的边长．
7．1．18★已知直角三角形ABC 中，90C ∠=?，sin sin A B m +=，求证：21
sin sin 2m A B -=．
解析 因为90A B ∠+∠=?，所以sin cos B A =．从而2222sin sin sin cos 1A B A A +=+=． 又sin sin A B m +=，所以
()2
2sin sin m A B =+22sin sin 2sin sin A B A B =++，
即()
22222sin sin sin cos 1A B m A A m =-+=-．
7．1．19★★在ABC △中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且
101511
b c c a a b
+++==
，求sin :sin :sin A B C ．
解析 依题意，可将边转化为角．
设
sin sin sin a b c
k A B C
===，则 sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =． 于是题中条件化为 sin sin sin sin sin sin 101511B C C A A B
+++==
． 令上述比值为t ，那么 sin sin 10B C t +=， sin sin 15C A t +=， sin sin 11A B t +=．
所以有sin 8A t =，sin 7C t =，sin 3B t =，从而得sin :sin :sin 8:3:7A B C =． 7．1．20★★★若θ为三角形的最小内角，试求关于x 的方程
)
543284cos 0x x x θ-+
-+=的所有实根．
解析 原方程显然有根0x =，再求方程
)
43284cos 0x x x θ-+
-
①的实根．
θ为三角形最小内角，则060θ?
cos 12
θ<≤．
方程①可整理变形为 2
2
221122cos 022x x x θ?
???-+-+
-+= ? ??
???，
2
2
12202x x ?
?- ??
?≥，
21cos 02x θ?
?- ??
?≥．
令()2f x =-+
由(2
40=--<△知()f x 恒大于零，即不存在使方程①成立的实数x ．
故原方程仅有一个实根0x =．
7．1．21★★已知函数2cos 4sin 6y x x αα=-+对于任意实数x 都有0y >，且α是三角形的一个内角，求cos α的取值范围． 解析
由于方程没有实数根，()2
4sin 24cos 0αα-<．
并根据22sin cos 1αα+=，可以得到
22cos 3cos 20αα+->．
因此cos 0.5α>或cos 2α<-．
由于1cos 0α>>，所以1cos 0.5α>>． 7．1．22★★已知α、β是钝角，求证： （1）关于x 的方程
22cos 0x α-=
①有两个不相等的实根；
（2）若sin β是方程①的根，则cos β也是方程①的根． 解析
（1）因α是钝角，故cos 0α<，于是()()41cos 8cos 41cos 0ααα=+-=->△，
所以，方程①有两个不相等的实根．
（2）设r 是方程①的另一根，则sin r β≠．由韦达定理，得
sin r β+=
②
cos sin 02
r α
β=
<． ③ 由于sin 0β>，故0r <．由②、③两式得 ()()2
22sin sin 2sin 1cos cos 1r r r βββαα+=+-=+-=．
所以
cos r β==，即cos β也是①的根．
7．1．23★★已知()()2cos 4sin 6y x x αα=-+，对于任意实数x ，都有0y >，且是三角形的一个内角，求α的取值范围． 解析
因对任意实数x ，二次函数()()2cos 4sin 6y x x αα=-+y 恒大于0，所以cos 0α>，并且
()2
4sin 24cos 0αα=-<△，所以()
2161cos 24cos 0αα--<，整理得()()2cos 1cos 20αα-+>．
因cos 20α+>，故2cos 10α->,1cos 2
α>． 所以060α?<
7．1．24★★若x 、y 为实数，221x y +=，α为锐角，求证：sin cos x y αα+的绝对值不大于1． 解析
由221x y +=，22sin cos 1αα+=，得()()
2222sin cos 1x y αα++=，
即22222222sin cos cos sin 1x y x y αααα+++=，加一项减一项，得
22222222sin 2sin cos cos cos 2cos sin sin 1x xy y x xy y αααααααα+++-+=．
即()()2sin cos cos sin 1x y x y αααα2
++-=， 因为()2
cos sin 0x y αα-≥， 所以()2sin cos 1x y αα+≤， 故sin cos 1x y αα+≤．
7．1．25★已知090αβ?<<；（3）tan tan αβ<． 解析
用定义将三角比表示成直角三角形对应边的比，然后利用边的不等关系证明．
作1AOB α∠=，2A OB β∠=，使1
21AO A O ==，作11A H OB ⊥于1H ，22A H OB ⊥于2H ． B
C
A 1
A 2
H 1
H 2
由21A OB AOB ∠>∠得射线1OA 与线段22A H 相交，设交于C ，则12OA OA OC =>，所以1A 在OC 的延长线上，所以1H 在2OH 的延长线上，得12OH OH >．
又11A H
22A H =1122A H A H <．
因为11111sin A H A H OA α==，111cos OH OH OA α==，111tan A H OH α=，22222sin A H A H OA β==，2
22
cos OH OH OA β==，22
2
tan A H OH β=
，所以sin sin αβ<，cos cos αβ>，tan tan αβ<． 7．1．26★★ 已知090α?<
解析1 构造Rt ABC △，90C ∠=?，1AB =，CAB α∠=，如图，则sin sin BC AB αα==，cos cos AC AB αα==．
（1）由+BC AC AB +>，得co si s 1n αα+>；
（2）作高CH ，中线CD ，则CH CD ≤，1122CD AB =
=，211112244
ABC S AB CH AB CD AB =??==△≤（ABC △以中线CD ，高线CH 重合为面积最大）． C
A
B
D
H
αcos α
sin α
而11
sin cos 22
ABC S BC AC αα=
?=△，所以2sin cos 1αα≤． 有12sin cos 2αα+≤，即()2
sin cos 2αα+≤． 又sin cos 0αα+>
，所以sin cos αα+ 由（1），（2
）知，1sin cos αα<+． 解析2
()
2
sin cos 12sin cos 1αααα+=+>．
又由()()2
2
2sin cos 12sin cos sin cos 0αααααα-+=-=-≥，得()2
2sin cos αα+≥， 故有()2
1sin cos 2αα<+≤，由sin cos 0αα+>
，知1sin cos αα<+ 评注
解析1同时也证明了“斜边给定的直角三角形中，等腰直角三角形的面积最大”这一结论．
7．1．27★★★证明：对于任何实数x 、y ，有()22
sin sin sin sin sin sin 2x y x y ??
+
??
?
≥． 解析 因为对于任意x 、y ，都有
1sin 1x -≤≤，1sin 1y -≤≤，
所以22πsin sin π1sin sin 1222
x y x y +-<-<≤≤≤．
而函数sin x 在ππ
22x -≤≤上的值是随着x 的增加而增加的，故()22sin sin sin sin sin sin 2x y x y ??
+
??
?
≥．
7．1．28★★★若0a b >>，090α??≤≤，试证明sin sin a b a b αα+-不能介于a b a b -+及a b
a b
+-之间．
解析
假设
sin sin a b a b a b a b a b a b αα-++<<+--，则有sin sin a b a b
a b a b
αα++<
--． 由题意知0sin 1α≤≤，0a >，则sin a a α≤，即 sin a b a b α--≤， 又0b >，从而 2211sin b b
a b a b
α++
--≥， 即
sin sin a b a b
a b a b
αα++--≥
，所以假设不成立，即命题成立． 7．1．29★★★设221x y +=，且1x ≠-，1y ≠-，求证：()2111y x y x x y
x y
-=
-++++． 解析
本题如果直接用代数方法，通过代数式的运算证明等式成立，比较复杂．根据已知条件
221x y +=，联想到22sin cos 1αα+=，因此可设sin x α=，cos y α=，则将代数式转化为三角式，利
用三角函数有关公式进行变形，这样会简便一些． 设sin x α=，cos y α=，则
11y x x y -++cos sin 1sin 1cos αα
αα=-
++()()22cos cos sin sin 1sin 1cos αααααα+--=++ ()()
cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos αααααααα
-+=+++()()2cos sin 1cos sin 22sin 2cos 2sin cos αααααααα
-++=
+++
()()2
2
2cos sin 1cos sin 1sin cos 2sin 2cos 2sin cos αααααααααα-++=
+++++()()
()
2
2cos sin 1cos sin 1cos sin αααααα-++=
++
()()2cos 2sin 21cos sin 1y x x y
αααα
--==++++．
评注
在一些代数等式的证明中，如果已知条件
2
2
1x y +=或()2
2
0x y a a +=>，则可设cos , sin ;x y αα=??=
?或 ,
,
x y αα?=??=??
从而将代数式转化为三角等式的证明问题，我们称这种转化为三角代换法．由于三角函数的公式较多，
因此化为三角式后，运算化简常比较方便．
§7．2解直角三角形
7．2．1★★如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=?，AD 是A ∠的平分线，且CD ，DB =求ABC △的三边长．
A
B
C D
E
解析
由角平分线想到对称性，考虑过D 作DE AB ⊥，交AB 于E ，则由90C ∠=?
得CD DE =．
在直角三角形BDE 中，
1sin 2
DE B DB =
==，则60B ∠=?，所以
tan AC BC B ==
=
2sin AC
AB AC B
=
==，
BC CD DB =+=
故ABC △
的三边长分别为
，
7．2．2 ★★在Rt ABC △中（如图），D 、E 是斜边AB 的三等分点，已知sin CD x =，()cos 090CE x x =?<
A
B C D
E
F
P Q
G
解析 作DF AC ⊥于F ，EG AC ⊥于G ；DP BC ⊥于P ，EQ BC ⊥于Q ．令 BP PQ QC a ===，AG GF FC b ===． 则2DF a =，EG a =．
在Rt CDF △和Rt CEG △中，由勾股定理，得()2
222sin a b x +=，及()2
222cos a b x +=， 两式相加得()
2251a b +=，2215
a b +=．
所以3AB BD ===
7．2．3★★如图，ABC △中，90C ∠=?，10AB =，6AC =，AD 是BAC ∠的平分线，求点B 到直线AD 的距离BH ．
全国高中数学竞赛专题三角函数定稿版
全国高中数学竞赛专题三角函数精编W O R D 版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
三角恒等式与三角不等式 一、基础知识 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。 若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负 角，若不旋转则为零角。 定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|= r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重 合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原 点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余 切函数cot α= y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=α csc 1 ，co s α= α sec 1 ； 商数关系：tan α= α α αααsin cos cot ,cos sin = ； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α =co s α； 平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.
人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)
九年级讲义目录
专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题）
（3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.
初中数学竞赛 知识点和真题 第20讲 锐角三角函数
第20讲 锐角三角函数 没有精确的数学计算，没有多种测量和 几何作图，社会生产就无从进行。 ——凯洛夫 知识方法扫描 三角函数是基本初等函数之一，在科学技术许多领域中应用广泛，锐角三角函数体现了直角三角形中边和角之间的数量关系，因此它本身是几何和代数的一种结合体，用特殊角三角函数值和三角函数性质解题的方法称为三角法，用三角法解题通常要与构造直角三角形相结合。 ① 掌握锐角的三角函数即角的正弦，余弦，正切，余切的定义；同角三角函数间的关系，如α ααcos sin tan =,1cos sin 22=+αα等； ② 掌握三角函数值的取值范围，当0o≤α≤90o时，0≤sinα≤1, 0≤cosα≤1； ③ 会解直角三角形； ④ 要会利用当锐角变大时，其正弦值和正切值也变大，而余弦值和余切值变小的规律来处理关于比较同名函数值大小的问题； ⑤ 要会解答三角与代数，三角与几何的综合问题 经典例题解析 例1．已知,1cos cos 2=+θθ 求θθθθ8642sin sin sin sin 2+++的值。 解．1cos cos 2=+θθ ，θθθ22sin cos 1cos =-=∴。 +∴θ2sin 2θθθθθθθ432864cos cos cos cos 2sin sin sin +++=++ )cos (cos cos cos )cos (cos 222θθθθθθ++++= 211cos cos 12=+=++=θθ 例2．（1987年宁波市初中数学竞赛试题）若α为锐角，求证： 1114sin cos sin cos αααα ++>。 证明 1114s i n c o s s i n c o s αααα++- =111(1)(1)(2)sin cos sin cos αααα -+-+- =1sin 1cos 12sin cos sin cos sin cos αααααααα ---++
初中数学竞赛专题选讲-配方法(含答案)
初中数学竞赛专题[配方法] 一、内容提要 1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a 2 ±2ab+b 2 写成完全平方式 （a ±b ）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式. 常用的有以下三种： ①由a 2 +b 2 配上2ab ， ②由 2 ab 配上a 2 +b 2 ， ③由a 2 ±2ab 配上b 2 . 2. 运用配方法解题，初中阶段主要有： ① 用完全平方式来因式分解 例如：把x 4 +4 因式分解. 原式＝x 4 +4＋4x 2 －4x 2 =(x 2 +2)2 －4x 2 ＝…… 这是由a 2 +b 2配上2ab. ② 二次根式化简常用公式：a a =2，这就需要把被开方数 写成完全平方式. 例如：化简6 25-. 我们把5－2 6写成 2－232＋3 ＝2)2(－232＋2)3( ＝（ 2－3） 2 . 这是由2 ab 配上a 2 +b 2 .
③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a 2 ≥0， ∴当a=0时， a 2 的值为0是最小值. 例如：求代数式a 2 +2a －2 的最值. ∵a 2 +2a －2= a 2 +2a+1－3=(a+1)2 －3 当a=－1时, a 2 +2a －2有最小值－3. 这是由a 2 ±2ab 配上b 2 ④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方. 例如:：求方程x 2 +y 2 +2x-4y+5=0 的解x, y. 解：方程x 2 +y 2 +2x-4y+1＋4＝0. 配方的可化为 （x+1）2 +(y －2)2 =0. 要使等式成立，必须且只需? ??=-=+0201y x . 解得 ???=-=2 1 y x 此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.
初中数学竞赛专题：三角函数
初中数学竞赛专题：三角函数 §7．1锐角三角函数 7．1．1★比较下列各组三角函数值的大小： （1）sin19?与cos70?； （2）cot65?与cos40?； （3）cos1?,tan46?,sin88?和cot38?． 解析（1）利用互余角的三角函数关系式,将cos70?化sin20?,再与sin19?比大小． 因为() ?=?-?=?,而 cos70cos9020sin20 ??>, ??>?=． tan52tan46tan451 因为() ?=?-?=?, cos1cos9089sin89 所以sin88sin891 ??>?>?． 评注比较三角函数值的大小,一般分为三种类型： （1）同名的两个锐角三角函数值,可直接利用三角函数值随角变化的规律,通过比较角的大小来确定三角函数值的大小． （2）互为余函数的两锐角三角函数值,可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数,比较
初中数学竞赛专题分类解析第四讲：平行四边形和梯形讲义
初中数学竞赛公益讲座：平行四边形和梯形 2018/4/7 一、基础知识： 1）平行四边形：平移、中点、中心对称（旋转180度）2）特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形 3）梯形：梯形问题转化、分割、拼接 三角形或者平行四边形问题 二、例题分析 例1、如下左图，在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连 接DE，恰有AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度数。 例2、如上右图，在RT△ABC中，∠ACB是直角，CD⊥AB于D，AE平分∠ABC，交CD于K，F在BE上且BF=CE，求证：FK?AB。 例3、如下左图，△ABC内部一点P，满足∠PBA=∠PCA，作平行四边形PBQC，求证：∠QAB=∠PAC。
例4、如上右图，已知A、B是两个定点，C是位于直线AB某一侧的一个动点，分别以AC、BC为边，在△ABCDE外部作正方形CADI、CBEF，求证无论C点 在什么位置上，DE的中点M的位置不变。 例5、如下左图，梯形ABCD中，AB?CD，BC⊥CD，AB=2，CD=4，点E是BC上的一个动点，连接并延长EA到点F，使得EF:AE=2:1，连接并延长ED到点G，使得EG:ED=3:2，以EF和EG为临边作平行四边形EFHG，连接EH交AD于点P，1）求EH的最小长度；2）求证：P是定点。 例6、如上右图，四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，连接BF、CE交于点P，连接AF、DE交于点Q，若四边形EQFP是平行四边形，求证： 四边形ABCD是梯形。 例7、如下图，等腰梯形ABCD，对角线AC与BD交于点O，M 、N分别为腰AB和CD上的点，且AM=CN，连接MN分别交BD、AC于点P、Q，求证： MP=QN。
初中数学竞赛专题辅导--函数图像
初中数学竞赛专题选讲 函数的图象 一、内容提要 1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x 为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵 坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象. 例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线 ① l 上的任一点p 0(x 0,y 0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y 0=kx ② 若y 1=kx 1+b ，则点p 1(x 1,y 1) 在直线l 上. 2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元 一次方程kx －y+b=0, 那么直线l 就是以这个方程的解为坐标 的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象. 二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c 是常数，a ≠0,b ≠0) 叫做 直线方程. 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的 点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如： 二元二次方程y=ax 2+bx+c(a ≠0) (即二次函数)的图象是抛物线； 二元分式方程y= x k (k ≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. 3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律. 例如： ① 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值； ② 由图象的上升，下降反映函数 y 是随x 的增大而增大(或减小)； ③ 函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y>0,y<0,y=0. 图象所对应 的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解. ④ 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公 共解.等等 4. 画函数图象一般是： ①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界. ②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点). ③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式. 二、例题 例1. 右图是二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)， 试决定a, b, c 及b 2－4ac 的符号. 解：∵抛物线开口向下， ∴a<0. ∵对称轴在原点右边，∴x=－ a b 2>0且a<0, ∴b>0. ∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上， ∴截距c>0. ∵抛物线与横轴有两个交点， ∴b 2－4ac>0. 例2. 已知：抛物线f ：y=－(x －2)2+5. 试写出把f 向左平行移动2个单位后，所得的曲线f 1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f 2 的方程. 画出f 1和f 2的略图，并求：
九年级三角函数竞赛题(含答案)
锐角三角函数 古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=α αsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1． 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 2 1sin 21sin 21==； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)
（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用
第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个. 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=. 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和. 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111， 试求x 的值. 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值. 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==.
初中数学竞赛专题选讲《完全平方数和完全平方式》
初中数学竞赛专题选讲 完全平方数和完全平方式 一、内容提要 一定义 1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，25 4，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方. 2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的. 例如： 在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式. 在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式. 二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定 1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数. 2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除.. 若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数. 例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数. 三. 完全平方式的性质和判定 在实数范围内 如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0； 如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式. 在有理数范围内 当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式. 四. 完全平方式和完全平方数的关系 1. 完全平方式（ax+b ）2 中 当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数； 当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数. 2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数. 所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别. 五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系 1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中 ① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根； ② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数. 2. 在整系数方程x 2+px+q=0中 ① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根； ② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.
新编高中数学竞赛用三角函数公式大全
三角函数公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．． 一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：αααcos sin tan = 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．． 锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵απ +2、απ -2、απ+23、απ-2 3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．． 锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (?+?=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=- 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α αα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第1讲 走进追问求根公式
第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。 求根公式a ac b b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值。 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值。 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x 。 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==。
全国高中数学竞赛专题三角函数
全国高中数学竞赛专题三 角函数 This manuscript was revised on November 28, 2020
三角恒等式与三角不等式 一、基础知识 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。 若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负 角，若不旋转则为零角。 定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴 重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到 原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α =x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=α csc 1 ，co s α =α sec 1； 商数关系：tan α=α α αααsin cos cot ,cos sin = ； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α =co s α； 平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α （奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。 单调区间：在区间????? ? +-22,22ππππk k 上为增函数，在区间 ?? ????++ππππ232,22k k 上为减函数， 最小正周期：2π. 奇偶性：奇函数
初中数学竞赛专题选讲 一元二次方程的根(含答案)
初中数学竞赛专题选讲(初三.1) 一元二次方程的根 一 、内容提要 1.一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是：x=a ac b b 242-±－. (b 2－4a c ≥0) 2.根的判别式 ①实系数方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是： b 2－4a c ≥0. ②有理系数方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是： b 2－4a c 是完全平方式?方程有有理数根. ③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根?p 2－4q 是整数的平方数. 3.设 x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么 ①ax 12 +bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)； ②x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=a ac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b － , x 1x 2= a c (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4.方程整数根的其他条件 整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0?x 1=0 ， a+b+c=0?x 1=1 ， a －b+c=0?x 1=－1. 二、例题 例1.已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.
求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等 的实数根. 证明 （用反证法） 设 两个方程都没有两个不相等的实数根， 那么△1≤0和△2≤0. 即?? ? ??++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b 由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥4 5 ， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0， 即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的. 既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0. ∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. 本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数. 例2.已知首项系数不相等的两个方程： （a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数) 有一个公共根. 求a, b 的值. 解：用因式分解法求得： 方程①的两个根是 a 和 12-+a a ； 方程②两根是b 和1 2 -+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b. ∴公共根是a= 12-+b b 或b=1 2-+a a .
高中数学竞赛讲义_三角函数
三角函数 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正 弦函数s in α= r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=α sec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。单调区间：在区间 ?? ????+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间??????++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π时, y 取最小值-1。对称性：直线x =k π+2 π均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x =k π均为其对称轴，点?? ? ?? +0,2ππk 均为其对称中心。有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2π)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2π ，0）均为其对称中心。 定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β,s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β; tan (α±β)= .) tan tan 1()tan (tan βαβα ±
初中数学竞赛—奥数讲义计数专题：排列组合及答案
华杯赛计数专题：排列组合 基础知识： 1.排列：从n个对象中选出m（不超过n）个并进行排序，共有的方法数称为排列数，写成。 2.排列数的计算：约定：0!=1 排列数是由乘法原理得到的，因此排列可以看成是乘法原理的一种应用。 3.组合：从n个对象中选出m（不超过n）个，不进行排序，共有的方法数称为组合数，写成。 4.排列与组合的关系：。 5.组合数的计算： 6.排列数与组合数的一些性质： 例题： 例1.4名男生和3名女生站成一排: （1）一共有多少种不同的站法? （2）甲,乙二人必须站在两端的排法有多少种? （3）甲,乙二人不能站在两端的排法有多少种? （4）甲不排头,也不排尾,有多少种排法? （5）甲只能排头或排尾,有多少种排法? 【答案】（1）5040；（2）240；（3）2400；（4）3600；（5）略 【解答】
例2.在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共多少种？ 【答案】4186种 【解答】至少有3件是次品，分两种情况 第一种情况：3件是次品的抽法：从4件次品中中抽出3件是种，其中， ，然后，从46件正常品中抽2件，总共种。其中， 所以，3件是次品的抽法共种。 第二种情况：4件是次品的抽法共：种。 任意抽出5件产品，至少有3件是次品的抽法，是将上述两种情况加在一起， 所以，总共是4×23×45+46=23×182=4186种。 总结：有序是排列，无序是组合。 例3.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种？ 【答案】540种 【解答】可设三所学校为甲、乙、丙，三位医生去3所学校的分配方案：用排列数表示为 =3×2×1=6。用乘法原理表示为3！=6。 六名护士去学校甲有种选法，剩下4名护士去乙学校，有种选法，剩下两名自然去学校丙。 所以，不同的分配方法共有种。 例4.有多少个五位数，满足其数位上的每个数字均至少出现两次？ 【答案】819 【解答】 方法一： （1）出现一个数字的情况是9种； （2）出现两个数字，首位不能是0，共有9种情况， （i）首位确定之后，如果首位数总共出现3次，则从后面的4个数位中，选出两位，共种情况，剩下的两个数位，还需要选相同的数，因为可以是0，所以，有9种选择。所以，这种情况总共有×9=54种。 （ii）首位确定之后，如果首位数总共出现2次，则从后面的4个数位中，选出一位，总共种情况，剩下的三个数位，还需要选相同的数，因为可以是0，所以，有9种选择。所以，这种情况总共有×9=36种。 所以，出现两个数字的情况为（36+54）×9=810.
九年级数学竞赛讲座锐角三角函数附答案
【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 13 5，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，B C=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．
注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比． 【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=13 12，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC= AC AD =1312，引入参数可设AD=12k ，A C ＝13k ． 【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件； (2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦? 思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约
初中数学竞赛专题选讲-三点共线
初中数学竞赛专题选讲 三点共线 一、内容提要 1. 要证明A ，B ，C 三点在同一直线上， A 。 B 。 C 。 常用方法有：①连结AB ，BC 证明∠ABC 是平角 ②连结AB ，AC 证明AB ，AC 重合 ③连结AB ，BC ，AC 证明 AB ＋BC ＝AC ④连结并延长AB 证明延长线经过点C 2. 证明三点共线常用的定理有： ① 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ② 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 ③ 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 ④ 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半 ⑤ 两圆相切，切点在连心线上 ⑥ 轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上 二、例题 例1.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点P 是形内的任一点，PM ⊥AB ， PN ⊥CD 求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：过点P 作EF ∥AB ， ∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ∠1＋∠2＝180 ，∠3＋∠4＝180 ∵PM ⊥AB ，PN ⊥CD ∴∠1＝90 ，∠3＝90 ∴∠1＋∠3＝180 ∴ M ，N ，P 三点在同一直线上 例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直 线上 已知：平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD 和BC 的中点，O 是AC 和 BD 的交点 求证：M ，O ，N 三点在同一直线上 证明一：连结MO ，NO ∵MO ，NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线 ∴MO ∥AB ，NO ∥AB 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行
∴ M ，O ，N 三点在同一直线上 证明二：连结MO 并延长交BC 于N ， ∵MO 是△DAB 的中位线 ∴MO ∥AB 在△CAB 中 ∵AO ＝OC ，ON ，∥AB ∴BN ，＝N ，C ，即N ，是BC 的中点 ∵N 也是BC 的中点， ∴点N ，和点N 重合 ∴ M ，O ，N 三点在同一直线上 例3.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90 ，M ，N 分别是AB 和CD 的中点，BC ，AD 的延长线相交于P 求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：∵∠A ＋∠B ＝90 ， ∠APB ＝Rt ∠ 连结PM ，PN 根据直角三角形斜边中线性质 PM ＝MA ＝MB ，PN ＝DN ＝DC ∴∠MPB ＝∠B ，∠NPC ＝∠B ∴PM 和PN 重合 ∴M ，N ，P 三点在同一直线上 例4.在平面直角坐标系中，点A 关于横轴的对称点为B ，关于纵轴的对称 点是C ，求证B 和C 是关于原点O 解：连结OA ，OB ，OC ∵A ，B 关于X 轴对称， ∴OA ＝OB ，∠AOX ＝∠BOX 同理OC ＝OA ，∠AOY ＝∠COY ∴∠COY ＋∠BOX ＝90 X ∴B ，O ，C 三点在同一直线上 ∵OB ＝OC ∴ B 和C 是关于原点O 的对称点 例5.已知：⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B O 1 和⊙O 2于E ，F 。 求证：AE ，AF 和⊙O 1和⊙O 2的直径成比例 ,