多目标函数优化 (1)
多目标函数的建立与求解：
（1）多目标函数
实际中优化问题大多数是多目标优化问题,一般情况下,多目标优化问题的各个子目标之间是矛盾的,一个子目标的改善有可能会引起另一个或者另几个子目标的性能降低,也就是要同时使多个子目标一起达到最优值是不可能的,而只能在它们中间进行协调和折中处理,使各个子目标都尽可能地达到最优化。其与单目标优化问题的本质区别在于,它的解并非唯一,而是存在一组由众多最优解组成的最优解集合,集合中的各个元素称为最优解或非劣最优解。
(2)多目标函数对洗衣机的优化
这里为了使洗衣机能尽量提高净衣效能，而且能够尽量减小洗涤过程对衣物的机械损伤，我们分别对典型洗衣机的工作方式——滚筒和波轮洗衣机进行优化。因此此多目标优化问题描述为3个决策变量参数：转速、转停比、滚筒直径，分别记为x1、x2、x3;根据洗衣机程序参数优化过程中所确定的优化参数上下限值，我们得到了2组决策变量参数的约束条件； 2个目标函数，3个约束条件组成一个优化问题,决策变量与目标函数、约束条件是函数关系因此多目标优化问题的数学形式如下：
滚筒洗衣机多目标优化： Min
3121332123047014705.750.38330.6083 1.275300.510303030147010.1250.10830.08330.530100.510X X X X SA X X X X X ----????????=-?+?+?+? ? ? ? ??????????-??-??-?--??????????-?+?-?+?? ? ? ? ? ? ? ? ?????????????????
Max y2=31213321230470147041.98 1.5419 2.8002 5.2604300.510303030147010.22100.31490.65630.530100.510X X X X SA X X X X X ----????????=+?+?+?+? ? ? ? ???????
???-??-??-?--???????????+??+?? ? ? ? ? ? ? ? ?????????????????
s.t.440≤x1≤500
0.5≤x2≤1.5
20≤x3≤40
0≤SA ≤1
0≤SA ≤1
其中:xi 为决策向量,yi 为目标约束量
通过lingo 软件可以求得：当内筒直径为470mm ，转停比为1s/s ，转速为30rmp/min ，此时磨损率为5.71%，洗净率为42.08%，在这个状态下刚好得到最佳的磨损率与洗净率，使得滚筒洗衣机对衣物的净衣效能提高的同时，对衣物的损伤程度降低。
利用JMP 软件可以得出优化的结论图：
波轮洗衣机多目标优化： Miny3=
3121332123057515753.29770.31480.6019 1.2354250.510253030157510.03520.05210.06460.525100.510X X X X SA X X X X X ----????????=-?+?+?+? ? ? ? ??????
????-??-??-?--??????????-?+?-?+?? ? ? ? ? ? ? ? ?????????????????
Max y4=
31213321230575157559.68 1.5938 2.9188 2.7521250.510253030157510.38960.54380.21880.525100.510X X X X SA X X X X X ----????????=+?+?+?+? ? ? ? ??????
????-??-??-?--??????????-?+?-?+?? ? ? ? ? ? ? ? ?????????????????
s.t.550≤x4≤600
0.5≤x5≤1.5
20≤x6≤40
0≤y3≤1
0≤y4≤1
运用jmp 软件求解得到最优解为：当内筒直径为575mm ，转停比为1s/s ，转速为30rmp/min 时，此时的波轮洗衣机对衣物的磨损率为3.27%，洗净率为59.59%。在这个状态下刚好得到最佳的磨损率与洗净率，使得波轮洗衣机对衣物的净衣效能提高的同时，对衣物的损伤程度降低。
利用JMP 软件可以得出优化的结论图：
五种最优化方法
五种最优化方法 1.最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）； 4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。 1.2最优化问题的一般形式（有约束条件）： 式中f（X）称为目标函数（或求它的极小，或求它的极大），si（X）称为不等式约束，hj（X）称为等式约束。化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 2.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）是一种函数逼近法。 2.2原理和步骤
3.最速下降法（梯度法） 3.1最速下降法简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向； 3.2最速下降法算法原理和步骤
4.模式搜索法（步长加速法） 4.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤
5.评价函数法 5.1简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t. g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进
遗传算法多目标函数优化
多目标遗传算法优化 铣削正交试验结果 说明： 1.建立切削力和表面粗糙度模型 如： 3.190.08360.8250.5640.45410c e p z F v f a a -=（1） a R =此模型你们来拟合（上面有实验数据，剩下的两个方程已经是我帮你们拟合好的了）（2） R a =10?0.92146v c 0.14365f z 0.16065a e 0.047691a p 0.38457 10002/c z p e Q v f a a D π=-????（3） 变量约束范围：401000.020.080.25 1.0210c z e p v f a a ≤≤??≤≤??≤≤? ?≤≤? 公式（1）和（2）值越小越好，公式（3）值越大越好。π=3.14 D=8 2.请将多目标优化操作过程录像（同时考虑三个方程，优化出最优的自变量数值），方便我后续进行修改；将能保存的所有图片及源文件发给我；将最优解多组发给我，类似于下图（黄色部分为达到的要求）
遗传算法的结果:
程序如下: clear; clc; % 遗传算法直接求解多目标优化 D=8; % Function handle to the fitness function F=@(X)[10^(3.19)*(X(1).^(-0.0836)).*(X(2).^0.825).*(X(3).^0.564).*(X(4).^0. 454)]; Ra=@(X)[10^(-0.92146)*(X(1).^0.14365).*(X(2).^0.16065).*(X(3).^0.047691).*( X(4).^0.38457)]; Q=@(X)[-1000*2*X(1).*X(2).*X(3).*X(4)/(pi*D)];
多目标优化问题
多目标优化方法 基本概述 几个概念 优化方法 一、多目标优化基本概述 现今,多目标优化问题应用越来越广,涉及诸多领域。在日常生活与工程中,经常要求不只一项指标达到最优,往往要求多项指标同时达到最优,大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题。例如:在机械加工时,在进给切削中,为选择合适的切削速度与进给量,提出目标:1)机械加工成本最低2)生产率低3)刀具寿命最长;同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。 多目标优化的数学模型可以表示为: X=[x1,x2,…,x n ]T----------n维向量 min F(X)=[f1(X),f2(X),…,f n(X)]T----------向量形式的目标函数s、t、g i(X)≤0,(i=1,2,…,m) h j(X)=0,(j=1,2,…,k)--------设计变量应满足的约束条件多目标优化问题就是一个比较复杂的问题,相比于单目标优化问题,在多目标优化问题中,约束要求就是各自独立的,所以无法直接比较任意两个解的优劣。 二、多目标优化中几个概念:最优解,劣解,非劣解。 最优解X*:就就是在X*所在的区间D中其函数值比其她任何点的函数
值要小即f(X*)≤f(X),则X*为优化问题的最优解。 劣解X*:在D中存在X使其函数值小于解的函数值,即f(x)≤f(X*), 即存在比解更优的点。 非劣解X*:在区间D中不存在X使f(X)全部小于解的函数值f(X*)、 如图:在[0,1]中 X*=1为最优解 在[0,2]中 X*=a为劣解 在[1,2]中 X*=b为非劣解 多目标优化 问题中绝对最优 解存在可能性一般很小,而劣解没有意义,所以通常去求其非劣解来解决问题。 三、多目标优化方法 多目标优化方法主要有两大类: 1)直接法:直接求出非劣解,然后再选择较好的解 将多目标优化问题转化为单目标优化问题。 2)间接法如:主要目标法、统一目标法、功效系数法等。 将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题。 如:分层系列法等。
遗传算法程序代码--多目标优化--函数最值问题
函数最值问题：F=X2+Y2-Z2, clear clc %%初始化 pc=0.9; %交叉概率 pm=0.05; %变异概率 popsize=500; chromlength1=21; chromlength2=23; chromlength3=20; chromlength=chromlength1+chromlength2+chromlength3; pop=initpop(popsize,chromlength);% 产生初始种群 for i=1:500 [objvalue]=calobjvalue(pop); %计算目标函数值 [fitvalue]=calfitvalue(objvalue);%计算个体适应度 [newpop]=selection(pop,fitvalue);%选择 [newpop1]=crossover(newpop,pc) ; %交叉 [newpop2]=mutation(newpop1,pm) ;%变异 [newobjvalue]=newcalobjvalue(newpop2); %计算最新代目标函数值 [newfitvalue]=newcalfitvalue(newobjvalue); % 计算新种群适应度值[bestindividual,bestfit]=best(newpop2,newfitvalue); %求出群体中适应值最大的个体及其适应值 y(i)=max(bestfit); %储存最优个体适应值 pop5=bestindividual; %储存最优个体 n(i)=i; %记录最优代位置 %解码 x1(i)=0+decodechrom(pop5,1,21)*2/(pow2(21)-1); x2(i)=decodechrom(pop5,22,23)*6/(pow2(23)-1)-1; x3(i)=decodechrom(pop5,45,20)*1/(pow2(20)-1); pop=newpop2; end %%绘图 figure(1)%最优点变化趋势图 i=1:500; plot(y(i),'-b*') xlabel('迭代次数'); ylabel('最优个体适应值'); title('最优点变化趋势'); legend('最优点');
多目标优化的求解方法
多目标优化的求解方法 多目标优化(MOP)就是数学规划的一个重要分支,就是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。 多目标优化问题的数学形式可以描述为如下: 多目标优化方法本质就是将多目标优化中的各分目标函数,经处理或数学变换,转变成一个单目标函数,然后采用单目标优化技术求解。目前主要有以下方法: （1）评价函数法。常用的方法有:线性加权与法、极大极小法、理想点法。评价函数法的实质就是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。 (2)交互规划法。不直接使用评价函数的表达式,而就是使决策者参与到求解过程,控制优化的进行过程,使分析与决策交替进行,这种方法称为交互规划法。常用的方法有:逐步宽容法、权衡比替代法,逐次线性加权与法等。 (3)分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序,然后按这个排序依次进行单目标的优化求解,以最终得到的解作为多目标优化的最优解。 而这些主要就是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题, 如多目标进化算法、多目标粒子群算法与蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。 在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都就是多目标优化问题, 它的应用很广泛。 1)物资调运车辆路径问题 某部门要将几个仓库里的物资调拨到其她若干个销售点去, 在制定调拨计划时一般就要考虑两个目标, 即在运输过程中所要走的公里数最少与总的运输费用最低, 这就是含有两个目标的优化问题。利用首次适配递减算法与标准蚁群算法对救灾物资运输问题求解, 求得完成运输任务的最少时间, 将所得结果进行了比较。 2)设计 如工厂在设计某种新产品的生产工艺过程时, 通常都要求产量高、质量好、成本低、消耗少及利润高等, 这就就是一个含有五个目标的最优化问题; 国防部门在设计导弹时, 要考虑导弹的射程要远、精度要最高、重量要最轻以及消耗燃料要最省等,这就就是一个含有四个目标的最优化问题。Jo等人将遗传算法与有限元模拟软件结合
多目标函数的优化设计方法
第9章 多目标函数的优化设计方法 Chapter 9 Multi-object Optimal Design 在实际的机械设计中，往往期望在某些限制条件下，多项设计指标同时达到最优，这类问题称为多目标优化设计问题。与前面单目标优化设计不同的是，多目标优化设计有着多种提法和模式，即数学模型。因此，解决起来要比单目标问题复杂的多。 9.1 多目标最优化模型 9.1.1 问题举例 例9-1 生产计划问题 某工厂生产n （2≥n ）种产品：1号品、2号品、...、n 号品。 已知：该厂生产)...,,2,1(n i i =号品的生产能力是i a 吨/小时； 生产一吨)...,,2,1(n i i =号品可获利润i α元； 根据市场预测，下月i 号品的最大销售量为)...,,2(n i b i =吨； 工厂下月的开工能力为T 小时； 下月市场需要尽可能多的1号品。 问题：应如何安排下月的生产计划，在避免开工不足的条件下，使 工人加班时间尽可能的地少； 工厂获得最大利润； 满足市场对1号品尽可能多地要求。 为制定下月的生产计划，设该厂下月生产i 号品的时间为)...,,1(n i x i =小时。 9.1.2 基本概念 如图9.1所示，两个目标函数f 1,f 2中的若干个设计中，3，4称为非劣解，若 )(min{)(*x f x f j j ≤ S.t ．0)(≤x g u u=1,2,………….m 成立，则称* x 为非劣解。若不存在一个方向，同时满足： 0)(*≤*?s x f (目标函数值下降0)(*≤*?s x g (不破坏约束) 图9.1 则称* x 为约束多目标优化设计问题的K-T 非劣解。这样，多目标优化设计问题的求解过程为：先求出满足K-T 条件的非劣解，再从众多的非劣解确定一个选好解。 多目标优化的数学模型： T r x f x f x f X F V )](),........(),([)(m in 21=--
多目标优化问题
多目标优化方法 基本概述几个概念优化方法 一、多目标优化基本概述 现今，多目标优化问题应用越来越广，涉及诸多领域。在日常生活和工程中，经常要求不只一项指标达到最优，往往要求多项指标同时达到最优，大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题。例如：在机械加工时，在进给切削中，为选择合适的切削速度和进给量，提出目标：1)机械加工 成本最低2)生产率低3)刀具寿命最长；同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。 多目标优化的数学模型可以表示为： X=[x i,x 2,…,x n ] T ---------------------------------- n 维向量 min F(X)=[f i(X),f 2(X),…,f n(X)] T- --------- 向量形式的目标 函数 s.t. g i(X) < 0,(i=1,2,…,m) h j (X)=0,(j=1,2,…,k) ------ 设计变量应满足的约 束条件 多目标优化问题是一个比较复杂的问题，相比于单目标优化问题，在 多目标优化问题中，约束要求是各自独立的，所以无法直接比较任意两个解的优劣。 二、多目标优化中几个概念：最优解，劣解，非劣解。 最优解X*:就是在乂所在的区间D中其函数值比其他任何点的函数值要小即f(X *) 如图：在［0,1］ 中 X*=1为最优解 在［0,2］ 中X*=a为劣解 在［1,2］ 中X*=b为非劣解 多目标优化问 题中绝对最优解存 在可能性一般很 小，而劣解没有 意义，所以通常去 求其非劣解来解决 问题。 三、多目标优化方法 多目标优化方法主要有两大类： 1)直接法：直接求出非劣解，然后再选择较好的解 将多目标优化问题转化为单目标优化问题。 2)间接法女口：主要目标法、统一目标法、功效系数法等。 将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题。女口：分层系列法等。 1、主要目标法 求解时从多目标中选择一个目标作为主要目标，而其他目标只需满足一定要求即可，因此可将这些目标转化成约束条件，也就是用约束条件的形式保证其他目标不致太差，这样就变成单目标处理方法。 例如：多目标函数f 1(X),f 2(X),.?…,f n(X)中选择f k(X)作为主 要目标，这时问题变为求min f k(x) D={x|f min < f i(X)< f ma》,D为解所对应的其他目标函数应满足上下限。 2、统一目标法 通过某种方法将原来多目标函数构造成一个新的目标函数，从而将多目标函数转变为单目标函数求解。 ①线性加权和法 根据各目标函数的重要程度给予相应的权数，然后各目标函数与 多目标优化的求解方法 多目标优化（MOP）是数学规划的一个重要分支，是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。 多目标优化问题的数学形式可以描述为如下： 多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。目前主要有以下方法： （1）评价函数法。常用的方法有:线性加权和法、极大极小法、理想点法。评价函数法的实质是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。 （2）交互规划法。不直接使用评价函数的表达式，而是使决策者参与到求解过程，控制优化的进行过程，使分析和决策交替进行，这种方法称为交互规划法。常用的方法有：逐步宽容法、权衡比替代法，逐次线性加权和法等。 （3）分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序，然后按这个排序依次进行单目标的优化求解，以最终得到的解作为多目标优化的最优解。 而这些主要是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题, 如多目标进化算法、多目标粒子群算法和蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。 在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都是多目标优化问题, 它的应用很广泛。 1)物资调运车辆路径问题 某部门要将几个仓库里的物资调拨到其他若干个销售点去, 在制定调拨计划时一般就要考虑两个目标, 即在运输过程中所要走的公里数最少和总的运输费用最低, 这是含有两个目标的优化问题。利用首次适配递减算法和标准蚁群算法对救灾物资运输问题求解, 求得完成运输任务的最少时间, 将所得结果进行了比较。 2)设计 如工厂在设计某种新产品的生产工艺过程时, 通常都要求产量高、质量好、成本低、消耗少及利润高等, 这就是一个含有五个目标的最优化问题; 国防部门在设计导弹时, 要考虑导弹的射程要远、精度要最高、重量要最轻以及消耗燃料要最省等,这就是一个含有四个目标的最优化问题。Jo等人将遗传算法与有限元模拟软件结合应用于汽车零件多工序冷挤压工艺的优化。Chung等人也成功应用遗传算法对锻件工艺进行了优化。 3)投资 假设某决策部门有一笔资金要分配给若干个建设项目, 在确定投资方案时, 决策者总希望做到投资少收益大。Branke等人采用基于信封的多目标进化算法成功地解决了计划投资地选择问题。 4)模拟移动床过程优化与控制 一个工业化模拟移动床正常运行时, 一般有七股物料进、出吸附塔, 其中起关键作用的物料口将作为决策量引起目标值的变化。根据实际生产要求通常包括生产率、产品纯度、吸附剂消耗量等多个目标。模拟移动床分离过程由于其过程操作变量的强耦合性、工艺机理的复杂性及分离性能的影响因素繁多性, 需要众多学者对其操作优化和过程控制进行深入的研究。Huang等人利用TPS 算法解决了模拟移动床多个冲突目标的最大最小的问题, 并与NSGA2 算法的结果进行了比较。吴献东等人运用粒子群算法开发出一种非线性模拟移动床( SMB )色谱分离过程的优化策略。 5)生产调度 在离散制造生产系统中, 一个工件一般经过一系列的工序加工完成, 每道工序需要特定机器和其他资源共同完成, 各工件在各机器上的加工顺序(称技术约束条件)通常是事先给定的。车间调度的作用 多目标函数的建立与求解： （1）多目标函数 实际中优化问题大多数是多目标优化问题,一般情况下,多目标优化问题的各个子目标之间是矛盾的,一个子目标的改善有可能会引起另一个或者另几个子目标的性能降低,也就是要同时使多个子目标一起达到最优值是不可能的,而只能在它们中间进行协调和折中处理,使各个子目标都尽可能地达到最优化。其与单目标优化问题的本质区别在于,它的解并非唯一,而是存在一组由众多最优解组成的最优解集合,集合中的各个元素称为最优解或非劣最优解。 (2)多目标函数对洗衣机的优化 这里为了使洗衣机能尽量提高净衣效能，而且能够尽量减小洗涤过程对衣物的机械损伤，我们分别对典型洗衣机的工作方式——滚筒和波轮洗衣机进行优化。因此此多目标优化问题描述为3个决策变量参数：转速、转停比、滚筒直径，分别记为x1、x2、x3;根据洗衣机程序参数优化过程中所确定的优化参数上下限值，我们得到了2组决策变量参数的约束条件； 2个目标函数，3个约束条件组成一个优化问题,决策变量与目标函数、约束条件是函数关系因此多目标优化问题的数学形式如下： 滚筒洗衣机多目标优化： Min 3121332123047014705.750.38330.6083 1.275300.510303030147010.1250.10830.08330.530100.510X X X X SA X X X X X ----????????=-?+?+?+? ? ? ? ??????????-??-??-?--??????????-?+?-?+?? ? ? ? ? ? ? ? ????????????????? Max y2=31213321230470147041.98 1.5419 2.8002 5.2604300.510303030147010.22100.31490.65630.530100.510X X X X SA X X X X X ----????????=+?+?+?+? ? ? ? ??????? ???-??-??-?--???????????+??+?? ? ? ? ? ? ? ? ????????????????? s.t.440≤x1≤500 0.5≤x2≤1.5 20≤x3≤40 0≤SA ≤1 0≤SA ≤1 其中:xi 为决策向量,yi 为目标约束量 通过lingo 软件可以求得：当内筒直径为470mm ，转停比为1s/s ，转速为30rmp/min ，此时磨损率为5.71%，洗净率为42.08%，在这个状态下刚好得到最佳的磨损率与洗净率，使得滚筒洗衣机对衣物的净衣效能提高的同时，对衣物的损伤程度降低。 利用JMP 软件可以得出优化的结论图：多目标优化的求解方法
多目标函数优化 (1)