随机过程实验报告全

随机过程实验报告

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一、实验目的

通过随机过程的模拟实验，熟悉随机过程编码规律以及各种随机过程的实现方法，通过理论与实际相结合的方式，加深对随机过程的理解。

二、实验内容

（1）熟悉Matlab工作环境，会计算Markov链的n步转移概率矩阵和Markov链的平稳分布。

（2）用Matlab产生服从各种常用分布的随机数，会调用matlab自带的一些常用分布的分布律或概率密度。

（3）模拟随机游走。

（4）模拟Brown运动的样本轨道的模拟。

（5）Markov过程的模拟。

三、实验原理及实验程序

n步转移概率矩阵

根据Matlab的矩阵运算原理编程，Pn = P ^n。

已知随机游动的转移概率矩阵为：

P =

0.5000 0.5000 0

0 0.5000 0.5000

0.5000 0 0.5000

求三步转移概率矩阵p3及当初始分布为

P{x0 = 1} = p{x0 = 2} = 0, P{x0 = 3} = 1 时经三步转移后处于状态3的概率。

代码及结果如下：

P = [0.5 0.5 0; 0 0.5 0.5; 0.5 0 0.5] %一步转移概率矩阵

P3 = P ^3 %三步转移概率矩阵

P3_3 = P3(3,3) %三步转移后处于状态的概率

1、两点分布

x=0:1;

y=binopdf(x,1,0.55);

plot(x,y,'r*');

title('两点分布');

2、二项分布

N=1000;p=0.3;k=0:N;

pdf=binopdf(k,N,p);

plot(k,pdf,'b*');

title('二项分布');

xlabel('k');

ylabel('pdf');

gridon;

boxon

3、泊松分布

x=0:100;

y=poisspdf(x,50);

plot(x,y,'g.');

title('泊松分布')

4、几何分布

x=0:100;

y=geopdf(x,0.2);

plot(x,y,'r*');

title('几何分布');

xlabel('x');

ylabel('y');

5、泊松过程仿真

5.1 % simulate 10 times

clear;

m=10; lamda=1; x=[];

for i=1:m

s=exprnd(lamda,'seed',1);

x=[x,exprnd(lamda)];

t1=cumsum(x);

end

[x',t1']

5.2%输入：

N=[];

for t=0:0.1:(t1(m)+1)

if t

N=[N,0];

elseif t

N=[N,1];

elseif t

N=[N,2];

elseif t

N=[N,3];

elseif t

N=[N,4];

elseif t

N=[N,5];

elseif t

N=[N,6];

elseif t

N=[N,7];

elseif t

N=[N,8];

elseif t

N=[N,9];

else

N=[N,10];

end

end

plot(0:0.1:(t1(m)+1),N,'r-') 5.3% simulate 100 times

clear;

m=100; lamda=1; x=[];

for i=1:m

s= rand('seed');

x=[x,exprnd(lamda)];

t1=cumsum(x);

end

[x',t1']

N=[];

for t=0:0.1:(t1(m)+1)

if t

N=[N,0];

end

for i=1:(m-1)

if t>=t1(i) & t

N=[N,i];

end

end

if t>t1(m)

N=[N,m];

end

end

plot(0:0.1:(t1(m)+1),N,'r-')

6、泊松过程

function I=possion(lambda,m,n)

for j=1:m

X=poissrnd(lambda,[1,n]); %参数为lambda的possion 过程

N(1)=0;

for i=2:n

N(i)=N(i-1)+X(i-1);

end

t=1:n;

plot(t,N)

grid on

hold on

end

7、布朗运动

7.1一维布朗运动程序：

function [t,w]=br1(t0,tf,h)

t=t0:h:tf;

t=t';

x=randn(size(t));

w(1)=0;

for k=1:length(t)-1

w(k+1)=w(k)+x(k);

end

w=sqrt(h)*w;

w=w(:);

end

调用

t0=1;

tf=10;

h=0.01;

[t,w]=br1(t0,tf,h);

figure;

plot(t,w,'*');

xlabel('t');

ylabel('w');

title('一维Brown运动模拟图'); 7.2二维布朗运动：

function [x,y,m,n]=br2(x0,xf,y0,yf,h)

x=x0:h:xf;

y=y0:h:yf;

a=randn(size(x));

b=randn(size(y));

m(1)=0;

n(1)=0;

for k=1:length(x)-1

m(k+1)=m(k)+a(k);

n(k+1)=n(k)+b(k);

end

m=sqrt(h)*m;

n=sqrt(h)*n;

end

调用

x0=0;

xf=10;

h=0.01;

y0=0;yf=10;

[x,y,m,n]=br2(x0,xf,y0,yf,h);

figure;

plot(m,n);

xlabel('m');

ylabel('n');

title('二维Brown运动模拟图');

7.3三维布朗运动：

npoints =1000;

dt = 1;

bm = cumsum([zeros(1, 3); dt^0.5*randn(npoints-1, 3)]);

figure(1);

plot3(bm(:, 1), bm(:, 2), bm(:, 3), 'k');

pcol = (bm-repmat(min(bm), npoints, 1))./ ...

repmat(max(bm)-min(bm), npoints, 1);

hold on;

scatter3(bm(:, 1), bm(:, 2), bm(:, 3), ...

10, pcol, 'filled');

grid on;

hold off;

8、马尔科夫链

离散服务系统中的缓冲动力学

m=200;

p=0.2;

N=zeros(1,m); %初始化缓冲区

A=geornd(1-p,1,m); %生成到达序列模型, for n=2:m

N(n)=N(n-1)+A(n)-(N(n-1)+A(n)>=1);

end

stairs((0:m-1),N);

9、随机数游走

9.1 100步随机游走

n = 100; %选取步数。

x = rand(n,1); %生成均匀分布随机数。

y = 2*(x > 0.5) - 1; %转换这些数到为-1和+1。

z = cumsum(y); %计算y的累积和。

clf

plot(z) %画出z的第1, 2, 3, ...等的值。

9.2 5000步随机游走

n = 5000; %选取步数。

x = rand(n,1); %生成均匀分布随机数。

y = 2*(x > 0.5) - 1; %转换这些数到为-1和+1。

z = cumsum(y); %计算y的累积和。

clf

plot(z) %画出z的第1, 2, 3, ...等的值。

9.3复杂随机数游走

clear all;close all;clc

n=70000; %游走的步数。也是图像中像素个数，有些位置可能重复，所以白像素小于等于n

x=0; %初始x坐标

y=0; %初始y坐标

pix=zeros(n,2); %游走产生的像素坐标

neighbour=[-1 -1;-1 0;-1 1;0 -1;0 1;1 -1;1 0;1 1]; %当前像素邻域

for i=1:n

r=floor(1+8*rand()); %八邻域随机选一个来走

y=y+neighbour(r,1); %y方向游走

x=x+neighbour(r,2); %x方向游走

pix(i,:)=[y x]; %保存坐标

end

miny=min(pix(:,1)); %图像坐标不可能为负，所以找最小值再整体提升为正

minx=min(pix(:,2)); %同上

pix(:,1)=pix(:,1)-miny+1; %像素坐标整体变为正

pix(:,2)=pix(:,2)-minx+1;

maxy=max(pix(:,1)); %找最大坐标值，为开辟图像做准备

maxx=max(pix(:,2));

img=zeros(maxy,maxx); %根据maxy、maxx产生图像

for i=1:n %将游走的值赋给图像img(pix(i,1),pix(i,2))=1;

end

imshow(img)

9.4二维随机游动模拟

n=90000;

colorstr=['b' 'r' 'g' 'y'];

for k=1:4

z=2.*(rand(2,n)<0.5)-1;

x=[zeros(1,2); cumsum(z')];

col=colorstr(k);

plot(x(:,1),x(:,2),col);

hold on

end

Grid

9.5三维随机游动模拟

p=0.5;

n=9000;

colorstr=['b' 'r' 'g' 'y'];

for k=1:4

z=2.*(rand(3,n)<=p)-1;

x=[zeros(1,3); cumsum(z')];

col=colorstr(k);

plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),col);

hold on

end

Grid

四、实验结果

1、两点分布

2、二项式分布

3、泊松分布

4、几何分布

5、泊松过程仿真

5.1ans =

0.6509 0.6509

2.4061

3.0570

0.1002 3.1572

0.1229 3.2800

0.8233 4.1033

0.2463 4.3496

1.9074 6.2570

0.4783 6.7353

1.3447 8.0800

0.8082 8.8882 5.2

5.3

6、泊松过程

possion(2,1,500)

possion(2,10,500)

possion(2,100,500)

7、布朗运动

7.1一维布朗运动

7.2二维布朗运动

7.3三维布朗运动

8、马尔科夫平稳分布8.1 p=0.2

8.2 P=0.5

8.3 P=0.8

8.4 P=1

9、随机数游走

9.1 100步随机游走

9.2 5000步随机游走

9.3复杂随机数游走