5恒成立求参数范围(理)
恒成立求参数范围
1.能够分离参数:
例1.若函数x
x x g x x f 2)(,ln )(-== (1)求函数))(()()(R k x kf x g x ∈+=?的单调区间;
(2)若对所有的[,)x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立,求实数a 的取值范围.(1-≤e e a )
例2.已知函数()ln 2f x x =-.
(1)求()f x 的单调区间;
(2)若不等式
ln x m x ->恒成立,求实数m 的取值组成的集合.{1}
例3.设函数()2x f x e ax =--
(1)求()f x 的单调区间;
(2)若1a =,k 为整数,且当0x >时,()()10x k f x x '-++>,求k 的最大值。(2k =)
例4.已知函数()f x 满足121()(1)(0)2x f x f e
f x x -'=-+ (1)求()f x 的解析式及单调区间;
(2)若21()2f x x ax b ≥++,求(1)a b +的最大值。(2
e )
2.不能分离参数:
例1.已知函数2()()x k f x x k e =-
(1)求)(x f 的单调区间;
(2)若对于任意的(0,)x ∈+∞,都有1()f x e ≤
,求k 的取值范围(102k -≤<)
例2.设函数()(1)ln(1)f x x x =++,若对所有的0x ≥,都有()f x ax ≥成立,求实数a 的取值范围。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
编号:2007-HX-001 不等式恒成立、能成立、恰成立问题 [文档副标题] [日期] 福建省长乐第一中学教科室 [公司地址]
不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: (1)若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >,?()f x 的下界大于A (2)若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x 2 -2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时,都有f(x)≥a 恒成立,求a 的取值范围。 例2、已知(),22x a x x x f ++= 对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; 例 3、R 上的函数()x f 既是奇函数,又是减函数,且当?? ? ??∈2, 0πθ时,有() ()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立,求实数m 的取值范围. 例4、已知函数)0(ln )(4 4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --,其中a 、b 为常数. (1)试确定a 、b 的值; (2)讨论函数)(x f 的单调区间; (3)若对任意0>x ,不等式2 2)(c x f -≥恒成立,求c 的取值范围。 2、主参换位法 例5、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立,求实数a 的取值范围 例6、若对于任意1a ≤,不等式2 (4)420x a x a +-+->恒成立,求实数x 的取值范围 例7、已知函数32 3()(1)132 a f x x x a x = -+++,其中a 为实数.若不等式2()1f x x x a '--+>对任意(0)a ∈+∞,都成立,求实数x 的取值范围. 3、分离参数法 (1) 将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥(或()()g f x λ≤)恒成立的形式; (2) 求()f x 在x D ∈上的最大(或最小)值; (3) 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围。 适用题型:(1) 参数与变量能分离;(2) 函数的最值易求出。 例8、当(1,2)x ∈时,不等式2 40x mx ++<恒成立,则m 的取值范围是 .
含参不等式恒成立问题中求参数取值范围一般方法(教师版)
恒成立问题是数学中常见问题,也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中,已知一个变量的取值范围,求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、分离参数 在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若()a f x ≥恒成立,只须求出()max f x ,则()m ax a f x ≥;若()a f x ≤恒成立,只须求出()min f x ,则()m in a f x ≤,转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???,若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >,试确定a 的取值范围。 解:根据题意得:21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立, 即:23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立, 设()23f x x x =-+,则()2 3924f x x ??=--+ ??? 当2x =时,()max 2f x = 所以2a > 例2、已知(],1x ∈-∞时,不等式() 21240x x a a ++-?>恒成立,求a 的取值范围。 解:令2x t =,(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为:22 1t a a t +-<, 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立,只须求出()2 1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ? ???? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322 a ∴-<< 二、分类讨论 在给出的不等式中,如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边,则可利用分类讨论的思想来解决。 例3、若[]2,2x ∈-时,不等式2 3x ax a ++≥恒成立,求a 的取值范围。 解:设()2 3f x x ax a =++-,则问题转化为当[]2,2x ∈-时,()f x 的最小值非负。 (1) 当22a -<-即:4a >时,()()min 2730f x f a =-=-≥ 73 a ∴≤又4a >所以a 不存在;
函数不等式恒成立问题经典总结
函数、不等式恒成立问题解法(老师用) 恒成立问题的基本类型: 类型1:设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ,(对于任意实数R 上恒成立) (1)R x x f ∈>在0)(上恒成立00>?且a ; (2)R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????≤-≤?????><- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或, ],[0)(βα∈ 不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: (1)若不等式A x f >)(在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上A x f >min )(,即)(x f 的下界大于A (2)若不等式B x f <)(在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上B x f 2、主参换位法 例5.若不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立,求实数a 的取值范围. 例6.若对于任意1≤a ,不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立,求实数x 的取值范围. 例7.已知函数1)1(2 33)(2 3+++-= x a x x a x f ,其中a 为实数.若不等式1)('2+-->a x x x f 对任意),0(+∞∈a 都成立,求实数x 的取值范围. 3、分离参数法 (1)将参数与变量分离,即化为)()(x f g ≥λ(或)()(x f g ≤λ)恒成立的形式; (2)求)(x f 在D x ∈上的最大(或最小)值; (3)解不等式max )()(x f g ≥λ(或min )()(x f g ≤λ),得λ的取值范围. 适用题型:(1)参数与变量能分离;(2)函数的最值易求出。 例8.当)2,1(∈x 时,不等式042 <++mx x 恒成立,求m 的取值范围. 不等式恒成立求参数的取值范围 武汉市第四十九中学 李清华 邮政编码;430080 一、 教学目标 1、 知识目标;掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、 能力目标;培养学生分析问题解决问题的能力 3、 情感目标;优化学生的思维品质 二、 教学重难点 1、教学的重点;不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、教学的难点;不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择 三、 教学方法:高三复习探究课:学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩固 练习----学生变式探究---学生总结 四、 教学过程 1、 引人 高三数学复习中的不等式恒成立问题,涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,因此备受命题者的青睐,也成为历年高考的一个热点。我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。引入课题 2、新课 下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈,不等式 a x a x 24)4(2-+-+>0恒成立,求实数a 的取值范围(由学生完成) 由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法 解法一;分离参数 由原不等式可得:a(x-2) > -x 2+4x-4 , 又因为x ∈[-1,1] ,x-2∈[-3,-1] a<2-x 又因为x∈[-1,1],所以a<1. 解法二;分类讨论、解不等式 (x-2)[x-(2-a)]>0 当a=0时不等式恒成立 当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立 当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1 所以a<1时不等式恒成立 解法三;构造函数求最值 设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 当(4-a)/2∈[-1,1],即a∈[2,6]时 -a2<0 不成立,舍弃; 当a>6时,f(-1)=1-a+4+4-2a>0 a<3 不成立,舍弃; 当a<2时,f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1 综上得:a<1 解法四;构造方程用判别式韦达定理根的分布 设x2+(a-4)x+4-2a=0 方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1 △=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0 所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1 解法五;数形结合(用动画来演示 分离参数法解决不等式恒成立问题 [典例] (2014·天津调研)设函数f (x )=x 2 -1,对任意x ∈[32,+∞),f (x m )-4m 2f (x )≤f (x -1)+4f (m )恒成立,则实数m 的取值范围是________. [审题视角] 本题把函数问题与恒成立问题巧妙的结合起来,解题时先把参数分离,从而把恒成立问题转化为函数最值问题. [解析] 依据题意得x 2 m 2-1-4m 2(x 2-1)≤(x -1)2-1+4(m 2-1)在x ∈[32,+∞)上恒成立, 即1m 2-4m 2≤-3x 2-2x +1在x ∈[32,+∞)上恒成立. 即(1m 2-4m 2)≤(-3x 2-2x +1)min , 当x =32时函数y =-3x 2-2x +1取得最小值-53, 所以1m 2-4m 2≤-53,即(3m 2+1)(4m 2-3)≥0, 解得m ≤-32或m ≥32. [答案] (-∞,-32]∪[32,+∞) 对于给定区间上的不等式恒成立问题,一般可根据以下几步求解: 第一步:整理不等式,分离参数; 第二步:构造函数g (x ); 第三步:求函数g (x )在给定区间上的最大值或最小值; 第四步:根据最值构造不等式求参数; 第五步:反思回顾,查看关键点,易错点,完善解题步骤.该题需注意两点:①分离参数时一定要搞清谁是参数;②求g (x )最值的常用方法有:二次函数、均值不等式、单调性等. 1.(2014·广州模拟)若关于x 的不等式4x -2x +1-a ≥0在[1,2]上恒成立,求a 的取值范围. 解:由4x -2x +1-a ≥0可得a ≤4x -2x +1 令2x =t ,则4x =t 2,∵x ∈[1,2],∴t ∈[2,4] ∴a ≤t 2-2t ,要使关于x 的不等式4x -2x +1-a ≥0在[1,2]上恒成立 只需a ≤(t 2-2t )min ,而t 2-2t =(t -1)2-1 ∵t ∈[2,4] ∴t 2-2t ∈[0,8],∴a ≤0. 2.(2014·淄博模拟)若不等式(a -a 2)(x 2+1)+x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立,则a 的取值范围为( ) A .(-∞,1-32) B .[1+32,+∞) C .(-∞,1-32]∪[1+32,+∞) D .[1-32,1+32] 解析:∵x ∈(0,2],∵a 2 -a ≥x x 2+1=1x +1x .要使a 2-a ≥1x +1x 在x 个性化教案 学生姓名 年级 科目 数学 授课教师 日期 时间段 课时 2 授课类型 新课/复习课/作业讲解课 教学目标 教学内容 函数专题:含参不等式恒成立问题 个性化学习问题解决 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,知识点多,综合性强,解法灵活等。在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力,培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用 恒成立问题的基本类型: 类型1:若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1)0)(>x f 对R x ∈恒成立?? ?>?00a ; 2)0)( 不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: (1)若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >,?() f x 的下界大于A (2)若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时,都有f(x)≥a 恒成立,求a 的取值范围。 例2、已知(), 22x a x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; 例3、R 上的函数()x f 既是奇函数,又是减函数,且当? ?? ? ?∈2,0πθ时,有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒 成立,求实数m 的取值范围. 例4、已知函数 )0(ln )(4 4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --,其中a 、b 为常数.(1)试确定a 、b 的值; (2)讨论函数)(x f 的单调区间; (3)若对任意0>x ,不等式2 2)(c x f -≥恒成立,求c 的取值范围。 2、主参换位法 例5、若不等式a 10x -<对[] 1,2x ∈恒成立,求实数a 的取值范围 例6、若对于任意 1 a ≤,不等式2 (4)420x a x a +-+->恒成立,求实数x 的取值范围 例7、已知函数 32 3()(1)132a f x x x a x = -+++,其中a 为实数.若不等式 2 ()1f x x x a '--+>对任意(0)a ∈+∞,都成立,求实数x 的取值范围. 3、分离参数法 (1) 将参数与变量分离,即化为()() g f x λ≥(或 ()() g f x λ≤)恒成立的形式; (2) 求 () f x 在x D ∈上的最大(或最小)值; (3) 解不等式 ()max ()g f x λ≥(或 ()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围。 适用题型:(1) 参数与变量能分离;(2) 函数的最值易求出。 例8、当(1,2)x ∈时,不等式2 40x mx ++<恒成立,则m 的取值范围是 . 例9、已知函数321 ()3 3f x ax bx x =+++,其中0a ≠(1)当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?(2)已知0>a , 且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围. 函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结: 1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法 一、分离讨论思想: 例题1: 讨论下列函数单调性: 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1 2≠<<--b x x bx 二、判别法 例2:已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,求参数a 的取值范围. 解:要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,则只须满足: (1)???<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 (2)?? ???<-=-=-040)2(202a a 解(1)得???<<-<2 22a a ,解(2)a =2 ∴参数a 的取值范围是-2<a ≤2. 练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ,求实数a 的取值范围。 三、分离法参数: 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法,通过分离参数,用函数观点讨论主变量的变化情况,由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦,从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即: (1) 对任意x 都成立()min x f m ≤ (2)对任意x 都成立。 例3.已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 高中数学不等式的恒成立问题 不等式恒成立的问题既含参数又含变量,往往与函数、数列、方程、几何有机结 合起来,具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点 . 考题通常有两种设计方式: 一是证明某个不等式恒成立,二是已知某个不等式恒成立,求其中的参数的取 值范围 . 解决这类问题的方法关键是转化化归,通过等价转化可以把问题顺利解 决,下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。一、构 造函数法 在解决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,即构 造函数法,然后利用相关函数的图象和性质解决问题,同时注意在一个含多个变量 的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更加面目 更加清晰明了,一般来说,已知存在范围的量视为变量,而待求范围的量视为参数. 例 1已知不等式对任意的都成立,求的取值范围. 解:由移项得 :. 不等式左侧与二次函数非常相 的似,于是我们可以设则不等式对满足 一切实数恒成立对恒成立.当时, 即 解得故的取值范围是. 注:此类问题常因思维定势,学生易把它看成关于的不等式讨论,从而因计算繁琐出错或者中途夭折;若转换一下思路,把待求的x 为参数,以为变量,令 则问题转化为求一次函数(或常数函数)的值在内恒为负的问题,再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。 二、分离参数法 在不等式中求含参数范围过程中,当不等式中的参数(或关于参数的代数式) 能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数(或代数式)的 最值或范围可求时,常用分离参数法. 例2已知函数(为常数)是实数集上的奇函数,函数在区间上是减函数 . 都有在上恒成立,求实数的(Ⅰ)若对(Ⅰ)中的任意实数 取值范围 . 解:由题意知,函数在区间上是减函数. 在上恒成立 注:此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧 看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题:若对于取值范围内的任一个数都有恒成立,则;若对于取值范围内的任一个数都有恒成立,则. 三、数形结合法 如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时,可通过图象、 图形的位置关系建立不等式求得参数范围 . 例 3已知函数若不等式恒成立,则实数的取值范围是. 高考备考——深度总结函数恒成立求参数范围的解题秘笈 对于函数恒成立问题,是当今高考数学的主旋律。恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法。对于这类问题,都与函数、导数知识密不可分。 一般的解法是分析含有参数的函数在定义域内的单调性,且涉及到参数分情况讨论,这种解法计算量比较大,而且解题步骤比较复杂。本文给大家总结出解含参数恒成立问题的常用方法。解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法:①函数性质法;②分离参数法;③主参换位法;④利用线性规划。下面我就以近两年高考试题为例加以剖析: 一、函数性质法 1、二次函数: ①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>(或0<)在R 上恒成立,则有00a >???(或00 a ??); ②.若二次函数2 ()(0)0f x ax bx c a =++≠>(或0<)在指定区间上恒成立,可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。 例1.设函数3 2 9()62 f x x x x a =- +-. (1)对于任意实数,()f x m '≥恒成立,求的最大值; (2)若方程()0f x =有且仅有一个实根,求的取值范围. 【分析】对于(1)中()f x m '≥恒成立,可转化为 恒成立,即为二次函数大 于等于0在R 上恒成立,则有0 a >?? ? 【解析】(1) '2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--, 因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立, 所以 8112(6)0m ?=--≤, 得34m ≤- ,即的最大值为34 - (2) 因为 当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >; 所以 当1x =时,()f x 取极大值 5 (1)2 f a = -; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-; 故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52 a >. 例2. 设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ,其中a b ∈R ,. 关于恒成立问题的解题策略 整理人:凌彬 一、恒成立问题的基本类型 在数学解题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: ①在给定区间上某关系恒成立;②某函数的定义域为全体实数R ; ③某不等式的解为一切实数; ④某表达式的值恒大于a ,等等 ┅ 恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图像,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查综合解题能力,是历届高考的热点之一. 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型: ①一次函数型;②二次函数型;③变量分离型;④根据函数的奇偶性、周期性等性质; ⑤直接根据函数的图像. 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1:()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥; 思路2:()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤. 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题,可以通过题目的实际情况,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导,等等方法求函数()f x 的最值. 此类问题涉及的知识比较广泛,在处理上也有许多特殊性,希望大家多多注意积累. B 、赋值型——利用特殊值求解 等式中的恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能很快求得. 例1.由等式43243212341234(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++; 定义映射f :12341234(, , , )a a a a b b b b →+++,则f :(4,3,2,1)_____→ 解:取0x =,则412341a b b b b =++++,又由已知41a =,所以12340b b b b +++=. 例2.如果函数()sin 2cos2y f x x a x ==+的图像关于直线8x π=- 对称,那么____a = 解:取0x =及4x π=-,则(0)()4 f f π=-,即1a =-. 此法体现了数学中从特殊到一般的转化思想. 如何证明含参数的不等式恒成立 题型:已知含参数的函数()f x ,证明在某区间上()()()(x)f x g x f x g ><或恒成立(()g x 不含参数) 解题步骤: 第一步:构造函数()()()F x f x g x =-,将问题转化为()0()0F x F x ><或恒成立的问题,如果这里的()g x 不明显,我们先对含参函数进行讨论,找到合适的()g x 。 第二步:求出'()F x ,令'()0F x =,求出()F x 在区间上的最小值或最大值。 第三步:证明最小值大于0,或最大值小于0。 【例题】 1、(浙江高考)已知a R ∈,函数3()42f x x ax a =-+. (1)求()f x 的单调区间. (2)证明:当01x ≤≤时,()20f x a +->. 思路分析:()20f x a +->中含有绝对值,不方便求导,因此可考虑寻找函数()g x ,使 ()2()0f x a g x +-≥>. 解(1)由题意的' 2 ()122f x x a =- ①当0a ≤时,' ()0f x ≥恒成立,此时()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞. ②当0a >时,' ()12()()f x x x =,此时函数()f x 的单调递增区间为 (,)-∞+∞和,单调递减区间为???. (2)证明:由于01x ≤≤,当2a ≤时,33 ()2=4x 224x 42f x a ax x +--+≥-+. 当2a >时,333 ()2=4x 2(1)24x 4(1)24x 42f x a a x x x +-+--≥+--=-+. 设3()221,01g x x x x =-+≤≤,则()2()f x g x ≥,要证()20f x a +->,只要证明 ()0g x >即可。 '2()626(g x x x x =-=- +则有 所以min ()10g x g ==>, 当01x ≤≤时,32210x x -+>,故3 ()24420f x a x x +-≥-+>,即证。 【练习】 1、已知函数21()2 x f x ae x =- . (1)若()f x 在R 上为增,求a 的取值范围; (2)若1a =,求证0x >时,()1f x x >+。 2、已知函数()ln(1),()ln f x x x g x x x =+-= (1)求函数()f x 的最大值; (2)设0a b <<,证明:0()()2()()ln 22 a b g a g b g b a +<+-<- 高中数学不等式的恒成立问题 一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决。 基本结论总结 例1 对于x ∈R ,不等式恒成立,求实数m 的取值范围。 例2:已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,求参数a 的取值范围. 解:要使04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,则只须满足: (1)???<-+-<-0)2(16)2(4022 a a a 或 (2)?? ? ??<-=-=-0 40)2(20 2a a 解(1)得?? ?<<-<2 22 a a ,解(2)a =2 ∴参数a 的取值范围是-2<a ≤2. 练习 1. 已知函数])1(lg[2 2 a x a x y +-+=的定义域为R ,求实数a 的取值范围。 2.若对于x ∈R ,不等式恒成立,求实数m 的取值范围。 3.若不等式的解集是R ,求m 的范围。 4.x 取一切实数时,使3 47 2+++kx kx kx 恒有意义,求实数k 的取值范围. 例3.设22)(2 +-=mx x x f ,当),1[+∞-∈x 时,m x f ≥)(恒成立,求实数m 的取值范围。 关键点拨:为了使 在 恒成立,构造一个新函数 是解题的关键,再利用二次 函数的图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决。若二次不等式中x 的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。 解:m mx x x F -+-=22)(2 ,则当),1[+∞-∈x 时,0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时,0)(>x F 显然成立; 当0≥?时,如图,0)(≥x F 恒成立的充要条件为: ??? ? ??? -≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 例4 。已知1ax x )x (f 2+-=,求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。 解法1:数形结合 结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立? 25a 0 a 25)2(f 0a 2)1(f >?? ?<-=<-=得。所以a 的取值范围是),25 (+∞。 解法2:转化为最值研究 4a 1)2a x ()x (f 22- +-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25 ≤<所以。 2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 2 3 2a max <-==>>上的最大值在时即,得2a >,所以3a >。 综上:a 的取值范围是),2 5 (+∞。 注:1. 此处是对参a 进行分类讨论,每一类中求得的a 的范围均合题意,故对每一类中所求得的a 的范围求并集。 2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数; )m (m )x (f I x ,m )x (f min 为常数恒成立>?∈> 解法3:分离参数 ]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+ >?∈<+-。设x 1 x )x (g +=, 注:1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值,但由于将参数a 与变量x 分离,因此在求最值时避免了分类讨论,使问题相对简化。 2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。 仿解法1:?∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0 )2(f 0)1(f ≥?? ?≤≤得即),25 [:a +∞的范围是 读者可仿解法2,解法3类似完成,但应注意等号问题,即此处2 5 a = 也合题。 O x y x -1 不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: (1)若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >,?() f x 的 下界大于A (2)若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界 小于A 例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时,都有f(x)≥a 恒成立,求a 的取值范围。 例恒成立,试求实数a 的取值范围; 例数,且当 ? ?? ? ?∈2,0πθ时,有 f . 例4、已知函数 )0(ln )(4 4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --,其中a 、b 为常数.(1)试确定a 、b 的值; (2)讨论函数)(x f 的单调区间; (3)若对任意0>x ,不等式2 2)(c x f -≥恒成立,求c 的取值范围。 2例 例恒成立,求实数x 的取值范围 例若不等式2 ()1 f x x x a '--+>对任意(0)a ∈+∞, 都成立,求实数x 的取值范围.恒成立问题----不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用(例题+练习+答案)
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