(完整版)浅谈矩阵计算
![(完整版)浅谈矩阵计算](https://img.360docs.net/imgc8/1neidw20rekepps5z725lsv31x1ashc6-81.webp)
![(完整版)浅谈矩阵计算](https://img.360docs.net/imgc8/1neidw20rekepps5z725lsv31x1ashc6-52.webp)
浅谈矩阵计算
一丶引言
矩阵是高等代数学中的常见的工具。在应用数学,物理学,计算机科学中都有很大的作用。研究矩阵的计算,可以简化运算,并深入理解矩阵的性质。在数学中,矩阵(Matrix)是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合,最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中,矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用;计算机科学中,三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵,例如稀疏矩阵和准对角矩阵,有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用,请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域,也会出现无穷维的矩阵,是矩阵的一种推广。矩阵的研究历史悠久,发展也是历久弥新,拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。
作为解决线性方程的工具,矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中,用分离系数法表示线性方程组,得到了其增广矩阵。在消元过程中,使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧,相当于矩阵的初等变换。但那时并没有现今理解的矩阵概念,虽然它与现有的矩阵形式上相同,但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。
矩阵正式作为数学中的研究对象出现,则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上,矩阵的概念先于行列式,但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和(1683年)与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(1693年)近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年,加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。
矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1800年代,高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1844年,德国数学家费迪南·艾森斯坦(F.Eisenstein)讨论了“变换”(矩阵)及其乘积。1850年,英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特(James Joseph Sylvester)首先使用矩阵一词。英国数学家凯利被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时,许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了,这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说:“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的;它或是直接从行列式的概念而来,或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始,发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文,研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理,并验证了3×3矩阵的情况,又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况,而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯(F.G.Frohenius)于1898年给出的。1854年时法国数学家埃尔米特(C.Hermite)使用了“正交矩阵”这一术语,但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年,费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此,矩阵的体系基本上建立起来了。
无限维矩阵的研究始于1884年。庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906年,希尔伯特引入无限二次型(相当于无限维矩阵)对积分方程进行研究,极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上,施密茨、赫林格和特普利茨发展出算子理论,而无限维矩阵成为了研究函数空间算子的有力工具。
二、矩阵的介绍与基本运算
由m×n个数a ij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵,简称m ×n矩阵。只有一行的矩阵A=(a1,a2…a n)称为行矩阵或行向量,只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量。矩阵计算的合适出发点是矩阵与矩阵的乘法。这一问题在数学上虽然简单,但从计算上来看却是十分丰富的。矩阵相乘可以有好几种不同的形式,还将引入矩阵划分的概念,并将其用来刻画计
算上的几种线性代数的“级”。如果一个矩阵具有某种结构,则它常常可以加以利用。例如一个对称矩阵,只需要一个一般矩阵的一半空间即可储存。。在矩阵乘向量中如果矩阵有许多零元素,则可减少许多时间。矩阵计算是基于线性代数运算的,点积运算包括标量的加法和乘法。矩阵向量相乘由点积组成。矩阵与矩阵相乘相当于一系列的矩阵向量相乘。所有这些运算都可以用算法形式,或者用线性代数的语言来描述。
(1)基本矩阵运算包括
1)转置(R m ×n →R n ×m )
C=A T →cij=aji
2)相加(R m ×n +R m ×n →R m ×n )
C=A+B →cij=aij+bij
3)标量与矩阵的相乘(R ×R m ×n →R m ×n )
C=αA →cij=αaij
4)矩阵与矩阵的相乘(R m ×p ×R p ×n →R m ×n )
C=AB →cij=1r ik kj k a
b
=∑ 这些运算都是构建矩阵计算的基石对于任意的数
(2)逆矩阵
对于n 阶矩阵A ,如果有一个n 阶矩阵B ,使AB=BA=E ,则说矩阵A 是可逆的,并把矩阵B 称为A 的逆矩阵,简称逆阵。如果矩阵A 是可逆的那么A 的矩阵是唯一的。A 的逆阵记作A -1即若AB=BA=E ,则B=A -1。
·若矩阵A 可逆,则|A|≠0
·若|A|≠0,则矩阵A 可逆,且11A A A
-*=,其中A *为矩阵A 的伴随阵。 (3)矩阵的初等变换
下面三种变换称为矩阵的三种初等行变换:
·对调两行
·以数k ≠0乘某一行中的所有元素(第i 行乘k ,记作r i ×k)
·把某一行所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去
矩阵的初等列变换也是一样应用,初等行变换与初等列变换统称为初等变换,显然三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的变换。矩阵之间的等价关系有
·反身性 A~A
·对称性 若A~B,则B~A
·传递性 若A~B ,B~C ,则A~C
方阵A 的可逆的充分必要条件是~A E
(4)矩阵的秩
给定一个m ×n 矩阵A ,它的标准形F=000r
E ??????
m ×n 由数r 完全确定。这个数也就是A 的行阶梯形中非零行的行数,这个数便是矩阵A 的秩。但由于这个数的唯一性尚未证明。矩阵的秩的定义是这样表示的:在m 乘n 矩阵A ,任取k 行与k 列(k ≤m,k ≤n ),位于这些行列交叉处的k 2 个元素,不改变它们在A 中所处的位置次序而得的k 阶行列式,称为矩阵A 的k 阶子式(m ×n 矩阵A 的k 阶子式共有k k
m n C C ?个)
设在矩阵A 中有一个不等于0的r 阶子式D ,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0,那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式,数r 称为矩阵a 的秩,记作R(A),并规定零矩阵的秩等于0。由行列式的性质可知,在A 中当所有r+1阶子式全等于0时,所有高于r+1的子式也全等于0,因此把r 阶非零子式称为最高阶非零子式,而A 的秩R(A)就是A 的非零子式的最高阶数,由于R(A)是A 的非零子式的最高阶数,因此,若矩阵A 中有某个s 阶子式不为0,则R(A)≥s ;若A 中所有t 阶子式全为0,则R(A) 对于n 阶矩阵A ,由于A 的n 阶子式只有一个|A|,故当|A|≠0时R(A)=n ,当|A|=0时R(A) ·若A~B ,则R(A)=R(B) ·若可逆矩阵P,Q 使PAQ=B ,则R(A)=R(B) ·0≤R(A m ×n )≤min{m ,n} ·max{R(A),R(B)}≤R(A+B)≤R(A)+R(B),特别地,当B=b 为非零列向量时,有R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1 ·R(A+B)≤R(A)+R(B) ·R(AB)≤min{R(A),R(B)} ·若A m ×n B n ×1 =0,则R(A)+R(B)≤n ·设AB=0,若A 为列满秩矩阵,则B=0 三丶矩阵与线性方程组的联系与算法 (1) 一般线性方程组 求线性方程组Ax=b 是科学计算的中心问题。高斯消去法是处理A 是方的,稠密的以及无结构时的首选算法。 1)向前消去法 考虑以下2×2下三角方程组 1121220L L L ??????12x x ??????=12b b ?????? 如果L 11L 22≠0则未知数可依次确定:x 1=b 1/L 11,x 2=(b 2-L 21x 1)/L 22 这就是称之为向前消去法的算法的2×2形式。通过解Lx=b 的第i 个方程求出x i 即可得到此算法的一般形式 X i =(b i -11i ij j j L x -=∑)/L ii 如果对i=1:n 计算上式,则x 的所有分量都可求得。 2)向后消去法 解上三角方程组Ux=b 的类似算法叫向后消去法。x i 的计算公式为 x i =(b i - 1n ij j i u =+∑x i ) /u ii (2) 特殊线性方程组:正定方程组 如果对所有非零向量x ∈R n 都有x T Ax >0,则称矩阵A ∈R n ×n 是正定的。正定方程组是特殊Ax=b 问题中的重要一类。考虑2×2对称矩阵的情形,如 A=11122122a a a a ?????? 是正定的,则 X=(1,0)T →x T Ax=a 11>0 X=(0,1)T→x T Ax=a22>0 X=(1,1)T→x T Ax=a11+2a12+a22>0 X=(1,-1)T→x T Ax=a11-2a12+a22>0 由后两个方程推知|a12|≤(a11+a22)/2,由这些结果可知A中最大元素位于对角线上且为正。此结论是普遍成立的。一个对称正定矩阵有一条“重”对角线,尽管这样的矩阵不如对角占优矩阵那样明显地将重量集中在对角线上,但在计算中同样可以忽略掉选主元的过程,在这两点上二者是等效的。 1.1正定性 假设A∈R n×n是正定的,显然一个正定矩阵是非奇异的,否则可以找到一个非零向量x,使xTAx=0。则可以得到 1)如果A∈R n×n是正定的,X∈R n×k的秩为k,则B=X T AX∈R k×k也是正定的 2)如果A是正定的,则其所有的主子矩阵均为正定的。特别的,所有的对角元均大于零 3)如果A是正定的,则A的分解A=LDM T存在,且D=diag(d1,…,d n)的对角元均大于零 在实际中有几种典型情况会产生正定矩阵 ·二次型是由物理原理保证为正定的能量函数 ·矩阵A等于一个叉积X T X,其中X是列满秩的 ·A和A T均为对角占优的且每一个a ii都大于零 1.2非对称正定方程组 仅仅存在LDM T分解还不足以意味着它的计算就是可取的,因为分解中的因子可能会有大的不能接受的元素。例如,如果ε>0,则矩阵 A= m m ε ε ?? ?? -?? = 10 1 m ε ?? ?? ?? - ?? 2 m ε ε ε ?? ?? + ?? ?? ?? 1 01 m ε ?? ?? ?? ?? 是正定的,但如果m/ε?1,那么最好行选主元 1.3对称正定方程组 如果A∈R n×n是对称正定的,则存在唯一的一个对角元全部大于零的下三角矩阵G∈R n×n,满足A=GG T分解A=GG T被称为柯列斯基(Cholesky)分解,G被称为柯列斯基(Cholesky)三角矩阵,如果计算柯列斯基分解,然后解三角形方程组Gy=b和G T x=y,则b=Gy=G(G T x)=(GG T)x=Ax,可以通过利用方程A=GG T来得到计算柯列斯基三角阵的更有效的方法。 四丶对称特征值问题 具有丰富数学结构的对称特征值问题是数值线性代数中最漂亮的问题之一。对称矩阵的数学性质奠定了此计算的基础。雅可比(Jacobi)方法是文献中出现最早的矩阵算法之一。由于易于并行 计算和在某种条件下具有高精度,这种方法近来又引起人们的兴趣 (1)性质与分解 对称性保证了A的所有特征值都是实的且有一组由特征向量组成的正交基。 如果A∈R n×n是对称的,则存在一个实正交矩阵Q使得Q T AQ=Λ=diag(λ1 ,…,λn ) (2)Jacobi方法 求对称特征值问题的雅可比(Jacobi)方法近来引起人们的注意,是因为它们本质上是并行的,它们的做法如下:进行一系列正交相似变换不断校正A←Q T AQ,使得每一个新的A,虽然是满的,但比前一个A“更对角化”。最终,非对角线元素都小到可以认为是零。通过对雅可比法内在的基本思想进行观察后,我们提出一种并行雅可比过程。 考虑线性方程组A x = b时,一般当A为低阶稠密矩阵时,用主元消去法解此方程组是有效方法。但是,对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组(A的阶数很高,但零元素较多,例如求某些偏微分方程数值解所产生的线性方程组),利用迭代法求解此方程组就是合适的,在计算机内存和 运算两方面,迭代法通常都可利用A中有大量零元素的特点。雅克比迭代法就是众多迭代法中比较早且较简单的一种,其命名也是为纪念普鲁士著名数学家雅可比。 首先将方程组中的系数矩阵A分解成三部分,即:A = L+D+U,如图1所示,其中D为对角阵,L 为下三角矩阵,U为上三角矩阵。 之后确定迭代格式,X^(k+1) = B*X^(k) +f,(这里^表示的是上标,括号内数字即迭代次数),如图2所示,其中B称为迭代矩阵,雅克比迭代法中一般记为J。(k = 0,1,......)再选取初始迭代向量X^(0),开始逐次迭代。 五丶结束语 随着现代科学的发展,数学中的矩阵也有更广泛而深入的应用,矩阵在现实生活中的应用有很多。在经济生活中:可“活用”行列式求花费总和最少等类似的问题;可“借用”特征值和特征向量预测若干年后的污染水平等问题;在人口流动问题方面可以应用矩阵的高次幂,比如预测未来的人口数、人口的发展趋势;在密码学中:可用可逆矩阵及其逆矩阵对需发送的秘密消息加密和译密;在文献管理中比如现代搜索中往往包括几百万个文件和成千的关键词,但可以利用矩阵和向量的稀疏性,节省计算机的存储空间和搜索时间。 矩阵的应用越来越广泛,研究矩阵的计算十分必要,还有许许多多的规律和奥秘等待去探索。 剪力墙如何根据SATWE计算结果 配筋 假设此楼层为构造边缘构件,剪力墙厚度为200, 剪力墙显示“0”是指边缘构件不需要配筋且不考虑构造配筋(此时按照高规表7.2.16来配),当墙柱长小于3倍的墙厚或一字型墙截面高度不大于800mm 时,按柱配筋,此时表示柱对称配筋计算的单边的钢筋面积。 水平钢筋:H0.8是指Swh范围内的水平分布筋面积(cm2),Swh范围指的就是Satwe参数中的墙水平分布筋间距,是指的双侧的,先换算成1米内的配筋值,再来配,比如你输入的间距是200 mm ,计算结果是H0.8,那就用0.8*100 (乘以100是为了把cm2转换为mm2)*1000/200=400mm2 再除以2 就是 200mm2 再查板配筋表就可以了所以配8@200面积250>200 满足要求了!(剪力墙厚度为200,直径8间距200 配筋率 =2*50.24/(200*200)=0.25%,最小配筋率为排数*钢筋面 积/墙厚度*钢筋间距)。 竖向钢筋:计算过程1000X200X0.25%=500mm2,同样是指双侧,除以2就是250mm2,Φ8@200(面积251mm2)足够。 Satwe参数中的竖向配筋率是可根据工程需要调整的,当边缘构件配筋过大时,可提高竖向配筋率。 剪力墙边缘构件中的纵向钢筋间距应该和箍筋(拉筋)的选用综合考虑 一般情况下,墙的钢筋为构造钢筋,不过在屋面层短墙在大偏心受压下有时配筋很大 墙竖向分布筋配筋率0.3%进行计算是不对的。应该填0.25%(或者0.20%)。 如果填了0.3%,实际配了0.25%,则造成边缘构件主筋配筋偏小。墙竖向分 布筋按你输入配筋率,水平配筋按你输入的钢筋间距根据计算结果选筋。 规范规定的:剪力墙竖向和水平分布钢筋的配筋率,一、二、三级时均不应小于0.25%,四级和非抗震设计时均不应小于0.20%,此处的“配筋率”为水平截面全截面的配筋率,以200mm厚剪力墙为例,每米的配筋面积为:0.25% x 200 x 1000 = 500mm2,双排筋,再除以2,每侧配筋面积为250mm2,查配筋表,φ8@200配筋面积 为251mm2,刚好满足配筋率要求。 至于边缘构件配筋,一般是看SATWE计算结果里面的第三项:“梁弹性挠度、柱轴压比、墙边缘构件简图”一项里面的“边缘构件”,按此配筋,如果出现异常配筋,比如配筋率过大的情况,就用第十五项:“剪力墙组合配筋修改及验算”一项进行组合墙配筋计算, 求矩阵的基本运算 #include 求矩阵特征值算法及程序简介 1.幂法 1、幂法规范化算法 (1)输入矩阵A、初始向量( 0),误差eps; (2) k 1; (3)计算V(k)A(k 1); (4)m k max(V(k)) ,m k1max( V ( k 1)); (5) (k)V(k)/m k; (6)如果m k m k 1eps,则显示特征值1和对应的特征向量x(1) ),终止; (7)k k 1, 转(3) 注:如上算法中的符号max(V )表示取向量V 中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。 2、规范化幂法程序 Clear[a,u,x]; a=Input[" 系数矩阵A="]; u=Input[" 初始迭代向量u(0)="]; n=Length[u]; eps=Input[" 误差精度eps ="]; nmax=Input[" 迭代允许最大次数nmax="]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2}, Do[m1=Abs[x[[k]]]; If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[u]; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; k=0; While[t>eps&&k 精心整理边缘构件选筋规则 纵筋的选筋规则 1)按照纵筋的最大间距和最小间距计算确定边缘构件纵筋的允许根数范围; 2)按照纵筋的优选间距计算出优选纵筋根数(在根数范围内),根据该边缘构件需要的纵筋面积计算出纵筋直径规格,如果该规格在纵筋直径优选序列中且不小于最小构造直径要求则纵筋选配成功; 3)如果按优选间距未成功选配,则按纵筋直径优选序列进行选配。先对排在最前面的满足最小构 4)如果仍未配出,程序自动逐次增加两根纵筋并重选纵筋直径,直至能选配出箍筋或者纵筋根数达到构造最多根数。所以一般情况下,很少会有选配不出来箍筋的情况。 5)如果有选配失败的情况,软件将标记为N/A(NotAvailable,不可用)。 约束边缘构件非阴影区箍筋的选筋规则 约束边缘构件非阴影区只对配箍提出了要求,非阴影区的箍筋需要墙身的竖向分布筋来固定,所以其位置需要尽量与墙身的竖向分布筋协调。同时为了尽量利用墙身的水平分布筋替代非阴影区的封闭箍,还需要考虑非阴影区的箍筋间距与墙身水平分布筋的直径、间距协调问题。 所以本软件在约束边缘构件非阴影区箍筋的选筋中执行的是协调优选原则,具体来说: 1)非阴影区拉筋的水平间距(肢距)取200mm和相应墙身竖向分布筋间距的较小者,非阴影区长度200和竖向分布筋间距的较小者的整数倍且不小于计算值(参见04SG330P4); 2)如果墙身配筋强度等级和直径不小于边缘构件箍筋等级情况下,可以考虑用墙身水平分布筋替代封闭箍筋。 3 注意:(优先级低) 4 显大于2 尽量是 5 6 条件, 的钢筋, 箍钢筋条件,则完全标记为等级直径@竖向间距。如下右图中的Ф8@100表示:非阴影区长度为600mm,采用一级直径为8mm的钢筋,竖向间距同阴影区箍筋的间距为100mm,水平间距同墙竖向分布筋间距为150mm。这种情况下,是否还可以由墙身水平筋替代非阴影区封闭箍钢筋,由设计方和施工单位判断,比如右图示意情况下还可以部分利用墙身水平筋替代非阴影区封闭箍钢筋。 边缘构件箍筋计入墙水平分布筋原则 约束边缘构件和构造边缘构件均可以选择考虑墙水平分布筋。 《高规》第7.2.15明确提出约束边缘构件可以考虑墙水平分布筋的。 图集11G101-1给出了剪力墙水平分布筋计入约束边缘构件体积配箍率的做法。 第2章 MATLAB 矩阵运算基础 2.1 在MA TLAB 中如何建立矩阵?? ?? ??194375,并将其赋予变量a ? 2.2 请产生一个100*5的矩阵,矩阵的每一行都是[1 2 3 4 5] 2.3产生一个1x10的随机矩阵,大小位于(-5 5) 2.2 有几种建立矩阵的方法?各有什么优点? 可以用四种方法建立矩阵: ①直接输入法,如a=[2 5 7 3],优点是输入方法方便简捷; ②通过M 文件建立矩阵,该方法适用于建立尺寸较大的矩阵,并且易于修改; ③由函数建立,如y=sin(x),可以由MATLAB 的内部函数建立一些特殊矩阵; ④通过数据文件建立,该方法可以调用由其他软件产生数据。 2.3 在进行算术运算时,数组运算和矩阵运算各有什么要求? 进行数组运算的两个数组必须有相同的尺寸。进行矩阵运算的两个矩阵必须满足矩阵运算规则,如矩阵a 与b 相乘(a*b )时必须满足a 的列数等于b 的行数。 2.4 数组运算和矩阵运算的运算符有什么区别? 在加、减运算时数组运算与矩阵运算的运算符相同,乘、除和乘方运算时,在矩阵运算的运算符前加一个点即为数组运算,如a*b 为矩阵乘,a.*b 为数组乘。 2.5 计算矩阵??????????897473535与???? ??????638976242之和,差,积,左除和右除。 2.6 求?? ?? ??+-+-+-+-++=i 44i 93i 49i 67i 23i 57i 41i 72i 53i 84x 的共轭转置。 2.7 计算???? ??=572396a 与??????=864142b 的数组乘积。 2.8 “左除”与“右除”有什么区别? 在通常情况下,左除x=a\b 是a*x=b 的解,右除x=b/a 是x*a=b 的解,一般情况下,a\b ≠b/a 。 2.9 对于B AX =,如果??????????=753467294A ,???? ??????=282637B ,求解X 。 2.10 已知:???? ??????=987654321a ,分别计算a 的数组平方和矩阵平方,并观察其结果。 2.11 ??????-=463521a ,?? ????-=263478b ,观察a 与b 之间的六种关系运算的结果。 1、选择题 1)下列变量中 A 是合法的。 A. Char_1,i,j *y, C. X\y, a1234 D. end, 1bcd 2)下列 C 是合法的常量。 A. 3e10 B. 1e500 C. D. 10-2 3)x=uint8,则x所占的字节是 D 个。 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4)已知x=0:10,则x有 B 个元素。 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5)产生对角线元素全为1其余为0的2×3矩阵的命令是 C 。 A. Ones(2,3) B. Ones(3,2) C. Eye(2,3) D. Eye(3,2) 6)a= 123 456 789 ?? ? ? ? ?? ,则a(:,end)是指 C 。 A.所有元素 B. 第一行元素 C. 第三列元素 D. 第三行元素 7) a= 123 456 789 ?? ? ? ? ?? ,则运行a(:,1)=[] 命令后 C 。 变成行向量 B. a数组成2行2列 C. a数组成3行2列 D. a数组没有元素 8)a= 123 456 789 ?? ? ? ? ?? ,则运行命令 mean(a)是 B 。 A. 计算a的平均值 B. 计算a每列的平均值 C. 计算a每行的平均值数组增加一列平均值 9)已知x是一个向量,计算 ln(x)的命令是 B 。 A. ln(x) B. log(x) C. Ln(x) D. lg10(x) 10)当a=时,使用取整函数得到3,则该函数名是 C 。 B. round C. ceil D. floor 11)已知a=0:4,b=1:5,下面的运算表达式出错的是 D 。 A. a+b B. a./b C. a'*b D. a*b 12)已知a=4,b=‘4’,下面说法错误的是 C 。 A. 变量a比变量b占用的空间大 B. 变量a、b可以进行加减乘除运算 C. 变量a、b数据类型相同 D. 变量b可以用eval计算 13)已知s=‘显示“hello”’,则s 元素的个数是 A 。 A. 12 B. 9 C. 7 D. 18 14)运行字符串函数strncmp('s1','s2',2),则结果为 B 。 A. 1 B. 0 C. true D. fales 15)命令day(now)是指 C 。 A. 按日期字符串格式提取当前时间 B. 提取当前时间 C. 提取当前时间的日期 D. 按日期字符串格式提取当前日期 1.工程实例: 第一类:短肢墙的边缘构件 (一):构件信息 图一 横向墙的信息如下: 混凝土墙短肢墙加强区,截面参数(m)B*H=0.300*0.700 抗震构造措施的抗震等级NF=3AS=873.(图一取为9) 竖向墙肢的信息如下: 混凝土墙短肢墙加强区,截面参数(m)B*H=0.300*1.850 墙分布筋间距(mm)SW=200.0 抗震构造措施的抗震等级NF=3计算配筋为0 (二):边缘构件信息: 上部 中部 下部 图二 (三):配筋计算结果及过程 图二中,竖向墙肢上部(标注上部的地方)边缘构件配筋信息及计算过程: 第28号:约束边缘构件 抗震等级:3 楼层属性:加强层 竖向墙肢总长度1850,底部加强区三级短肢剪力墙的最小配筋率1%(高规规定),墙宽300,所以整个墙肢的配筋为: 1850*300*1%=5550(cm2) 图二中间部分按照分布筋配筋(分布筋配筋率为0.25%): (1850-400-400)*300*0.25%=787.5 剩下的部分两边边缘构件按面积分配,两边面积相同 所以上部边缘构件配筋面积为: (5550-787.5)/2=2381.25(cm2)(包括竖向分布筋和阴影区纵筋?) 图中横向墙肢的配筋:从构件信息中知道AS=873 横向墙肢总长700,计算的时候,aa取40 (350-40)*300*0.25%=232.5 计算配筋+分布筋=873+232.5=1105.5 两边分布筋相等,下面也是232.5 图二下部第15号:约束边缘构件 楼层属性:加强层 由2个边缘构件合并而成 (1)纵筋原始数据: 阴影区面积(cm2):2700.0:(300*300+300*600=270000) 构造配筋率(%): 1.00 构造配筋(mm2):2700.00 计算配筋(mm2):3487.15 3487.15=下部配筋面积+分布筋面积+横向墙右侧配筋=2381+873+232.5 (2)纵筋当前结果: 采用最大构造配筋率的计算结果:3900.00 构造钢筋取值:采用求和后,再调整的算法(3900.00) 有效阴影区面积(cm2):3900.0 构造配筋(mm2):3900.00 计算配筋(mm2):4593.07(=3487.15+1105) 主筋配筋率(%): 1.18 第二类:转角加洞口的边缘构件 异形柱框剪的工程,6层,按照规范此工程是3级框架,2级剪力墙,底部一层加强区,构造配筋率0.008Ac和6Φ14中较大值,为其他部位的构造配筋为0.006Ac和6Φ12,那PKPM 里的构造边缘构件的配筋率0.94怎么来的? 第3章线性代数基础 教案 课程名称:大数据数学基础(R语言描述) 课程类别:必修 适用专业:大数据技术类相关专业 总学时:80学时(其中理论58学时,实验22学时) 总学分:5.0学分 本章学时:12学时 一、材料清单 (1)《大数据数学基础(R语言描述)》教材。 (2)配套PPT。 (3)引导性提问。 (4)探究性问题。 (5)拓展性问题。 二、教学目标与基本要求 1.教学目标 通过矩阵的定义,了解矩阵的运算;通过引入二阶行列式和三阶行列式,了解克拉默法则,行列式的6个性质和按行(列)展开;掌握逆矩阵和矩阵的秩,以及矩阵的特征分解、矩阵的对角化和矩阵的奇异值分解等应用和计算。 2.基本要求 (1)掌握矩阵的运算。 (2)掌握运用行列式的性质进行计算的方法。 (3)掌握特征分解、奇异值分解的应用。 三、问题 1.引导性提问 引导性提问需要教师根据教材内容和学生实际水平,提出问题,启发引导学生去解决问题,提问,从而达到理解、掌握知识,发展各种能力和提高思想觉悟的目的。 (1)线性代数的知识主要有哪些? (2)线性代数与大数据有哪些联系? 2.探究性问题 探究性问题需要教师深入钻研教材的基础上精心设计,提问的角度或者在引导性提问的基础上,从重点、难点问题切入,进行插入式提问。或者是对引导式提问中尚未涉及但在课文中又是重要的问题加以设问。 (1)行列式与矩阵有什么联系? (2)向量与矩阵有什么联系? 3.拓展性问题 拓展性问题需要教师深刻理解教材的意义,学生的学习动态后,根据学生学习层次,提出切实可行的关乎实际的可操作问题。亦可以提供拓展资料供学生研习探讨,完成拓展性问题。 (1)除本章的知识点外,特征分解在大数据方面的具体应用有哪些? (2)除本章的知识点外,奇异值分解在大数据方面的具体应用有哪些? 四、主要知识点、重点与难点 剪力墙如何根据SATWE计算结果配筋 | 假设此楼层为构造边缘构件,剪力墙厚度为200, 剪力墙显示“0”是指边缘构件不需要配筋且不考虑构造配筋(此时按照高规表7.2.16来配),当墙柱长小于3倍的墙厚或一字型墙截面高度不大于800mm时,按柱配筋,此时表示柱对称配筋计算的单边的钢筋面积。 水平钢筋:H0.8是指Swh范围内的水平分布筋面积(cm2),Swh范围指的就是Satwe 参数中的墙水平分布筋间距,是指的双侧的,先换算成1米内的配筋值,再来配,比如你输入的间距是200 mm ,计算结果是H0.8,那就用0.8*100(乘以100是为了把cm2转换为mm2)*1000/200=400mm2 再除以2 就是200mm2 再查板配筋表就可以了所以配8@200面积250>200 满足要求了!(剪力墙厚度为200,直径8间距200 配筋率 =2*50.24/(200*200)=0.25%,最小配筋率为排数*钢筋面积/墙厚度*钢筋间距)。 竖向钢筋:计算过程1000X200X0.25%=500mm2,同样是指双侧,除以2就是250mm2,Φ8@200(面积251mm2)足够。 Satwe参数中的竖向配筋率是可根据工程需要调整的,当边缘构件配筋过大时,可提高竖向配筋率。 剪力墙边缘构件中的纵向钢筋间距应该和箍筋(拉筋)的选用综合考虑 一般情况下,墙的钢筋为构造钢筋,不过在屋面层短墙在大偏心受压下有时配筋很大墙竖向分布筋配筋率0.3%进行计算是不对的。应该填0.25%(或者0.20%)。如果填了0.3%,实际配了0.25%,则造成边缘构件主筋配筋偏小。墙竖向分布筋按你输入配筋率,水平配筋按你输入的钢筋间距根据计算结果选筋。 规范规定的:剪力墙竖向和水平分布钢筋的配筋率,一、二、三级时均不应小于0.25%,四级和非抗震设计时均不应小于0.20%,此处的“配筋率”为水平截面全截面的配筋率,以200mm厚剪力墙为例,每米的配筋面积为:0.25% x 200 x 1000 = 500mm2,双排筋,再除以2,每侧配筋面积为250mm2,查配筋表,φ8@200配筋面积为251mm2,刚好满足配筋率要求。 至于边缘构件配筋,一般是看SATWE计算结果里面的第三项:“梁弹性挠度、柱轴压比、墙边缘构件简图”一项里面的“边缘构件”,按此配筋,如果出现异常配筋,比如配筋率过大的情况,就用第十五项:“剪力墙组合配筋修改及验算”一项进行组合墙配筋计算, 矩阵的基本运算 (摘自:华东师范大学数学系;https://www.360docs.net/doc/c79942138.html,/)§3.1 加和减 §3.2矩阵乘法 §3.2.1 矩阵的普通乘法 §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 §3.3 矩阵除法 §3.4矩阵乘方 §3.5 矩阵的超越函数 §3.6数组运算 §3.6.1数组的加和减 §3.6.2数组的乘和除 §3.6.3 数组乘方 §3.7 矩阵函数 §3.7.1三角分解 §3.7.2正交变换 §3.7.3奇异值分解 §3.7.4 特征值分解 §3.7.5秩 §3.1 加和减 如矩阵A和B的维数相同,则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差.如果矩阵A和B的维数不匹配,Matlab会给出相应的错误提示信息.如: A= B= 1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 0 3 6 0 C =A+B返回: C = 2 6 10 6 10 14 10 14 0 如果运算对象是个标量(即1×1矩阵),可和其它矩阵进行加减运算.例如: x= -1 y=x-1= -2 0 -1 2 1 §3.2矩阵乘法 Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法,也有Kronecker乘法,以下分别介绍. §3.2.1 矩阵的普通乘法 矩阵乘法用“ * ”符号表示,当A矩阵列数与B矩阵的行数相等时,二者可以进行乘法运算,否则是错误的.计算方法和线性代数中所介绍的完全相同. 如:A=[1 2 ; 3 4]; B=[5 6 ; 7 8]; C=A*B, 结果为 C=×== 即Matlab返回: C = 19 22 43 50 如果A或B是标量,则A*B返回标量A(或B)乘上矩阵B(或A)的每一个元素所得的矩阵. §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 对n×m阶矩阵A和p×q阶矩阵B,A和B的Kronecher乘法运算可定义为: 由上面的式子可以看出,Kronecker乘积A B表示矩阵A的所有元素与 B之间的乘积组合而成的较大的矩阵,B A则完全类似.A B和B A均为np ×mq矩阵,但一般情况下A B B A.和普通矩阵的乘法不同,Kronecker乘 法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求.Kronecker乘法的Matlab命令为C=kron(A,B),例如给定两个矩阵A和B: A= B= 则由以下命令可以求出A和B的Kronecker乘积C: A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B) C = 1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8 设计人员问题,为什么构造边缘构件的配筋率与手工验算不符? 刘孝国答复 第八层边缘构件信息校核如下:(为什么手算与电算不符) 底下这个边缘构件两墙肢信息输入如下: SATWE结果输入图形文件如下: 水平墙肢计算内力及配筋设计过程: 竖向墙肢计算内力及配筋设计过程: 查看边缘构件结果如下: 具体详细的核算过程: 由于属于四级构造边缘构件,按照高规7.2.16的要求构造配筋率应该为0.004Ac和4Φ12的大值(如果是底部加强部位墙体,应该为0.005Ac和4Φ12的大值).由于该墙肢不属于底部加强部位,应该取值0.004Ac和4Φ12的大值,但是由于在计算的时候勾选了按照“7.2.16-4的构造边缘构件的较高要求执行”,因此,两个墙肢的约束边缘构件结果应该为0.004Ac和4Φ12的大值。 两个边缘构件有重叠部分,应该考虑重叠部分的作用,考虑细部的计算结果调整如下: 由于水平向墙体实际为200*750,按照两个边缘构件长度为200*400,两个边缘构件组成的墙体长度为800,则按照全截面构造配筋为:800.(直径根数与配筋率取大,按照配筋率面积为:0.005*2*200*400=800cm2,按照直径根数控制的面积为:452,取值大800); 竖向墙体为200*1700,边缘构件的面积为:200*400,其配筋面积为直径根数数与配筋率取大,则竖向那个墙体的其中一个边缘构件的配筋为:452cm2(直径根数与配筋率取大,按照配筋率面积为:0.005**200*400=400,按照直径根数的控制面积为:452,取值大452). 考试模拟样题—数据分析算法与模型 一.计算题 (共4题,100.0分) 1.下面是7个地区2000年的人均国内生产总值(GDP)和人均消费水平的统计数据: 一元线性回归.xlsx 一元线性回归预测.xlsx 要求:(1)绘制散点图,并计算相关系数,说明二者之间的关系; (2)人均GDP作自变量,人均消费水平作因变量,利用最小二乘法求出估计的回归方程,并解释回归系数的实际意义; (3)计算判定系数,并解释其意义; (4)检验回归方程线性关系的显著性(a=0.05); (5)如果某地区的人均GDP为5000元,预测其人均消费水平; (6)求人均GDP为5000元时,人均消费水平95%的置信区间和预测区间。(所有结果均保留三位小数) 正确答案: (1)以人均GDP为x,人均消费水平为y绘制散点图,如下: 用相关系数矩阵分析可求得相关系数为0.9981。从图和相关系数都可以看出人均消费水平和人均国内生产总值(GDP)有比较强的正相关关系。 (2)以人均GDP作自变量,人均消费水平作因变量,做线性回归分析,得到回归方程如下: y = 0.3087x + 734.6928 回归系数0.3087表示人均GDP每增加一个单位,人均消费水平大致增加0.3087个单位,人均GDP对人均消费水平的影响是正向的,人均GDP越高人均消费水平也越高。 (3)判定系数R方为0.9963,说明模型拟合效果很好。 (4)T检验和F检验的P值都小于0.05,线性关系显著。 (5)做预测分析可得,如果某地区的人均GDP为5000元,则其人均消费水平为2278.1066元。 (6)人均GDP为5000元时,由预测分析的结果可知,人均消费水平95%的置信区间为[1990.7491,2565.4640],预测区间为 [1580.4632,2975.7500]。 2.根据以下给出的数据进行分析,本次给出鸢尾花数据,其中包含萼片长、萼片宽、花瓣长、花瓣宽、以及花的类型数据,请根据以下问题进行回答。(本 1::关于约束边缘沿构件的长度lc是设计图籍的规定详见03G101-1 P49页(附图1),具体数值和抗震等级有关。具体的含义其实就是在这个LC长度范围内钢筋配筋的增加 2:bw表示剪力墙的厚度,bf表示二相交剪力墙的另一边墙的厚度,hc和bc分别为约束边缘端柱的截面高度和宽度尺寸。 这些符号详见附图2 举报 6.4.1抗震墙的厚度,一、二级不应小于160MM且不应小于层高的1/20,三、四级不应小于140MM且不应小于层高的1/25。底部加强部位的墙厚,一、二级不宜小于200MM且不宜小于层高的1/16;无端柱或翼墙时不应小于层高的1/12。 6.4.2抗震墙厚度大于140MM时,竖向和横向分布钢筋应双排布置;双排分布钢筋间拉筋的间距不应大于600MM,直径不应小于6MM;在底部加强部位,边缘构件以外的拉筋间距应适当加密。 6.4.3 抗震墙竖向、横向分布钢筋的配筋,应符合下列要求: 1 一、二、三级抗震墙的竖向和横向分布钢筋最小配筋率均不应小于0.25%;四级抗震墙小应小于0.20%;钢筋最大间距不应大于300MM,最小直径不应小于8MM。 2 部分框支抗震墙结构的抗震墙底部加强部位,纵向及横向分布钢筋配筋率均不应小于0. 3%,钢筋间距不应大于200MM。 6.4.4抗震墙竖向、横向分布钢筋的钢筋直径不宜大于墙厚的1/10。 6.4.5一级和二级抗震墙,底部加强部位在重力荷载代表值作用下墙肢的轴压比,一级(9度)时不宜超过0.4,一级(8度)时不宜超过0.5,二级不宜超过0.6。 6.4.6抗震墙两端和洞口两侧应设置边缘构件,并应符合下列要求: 1抗震墙结构,一、二级抗震墙底部加强部位及相邻的上一层应按本章第6.4.7条设置约束边缘构件,但墙肢底截面在重力荷载代表值作用下的轴压比小于表6.4.6的规定值时可按本章第6.4.8条设置构造边缘构件。 2部分框支抗震墙结构,一、二级落地抗震墙底部加强部位及相邻的上一层的两端应设置符合约束边缘构件要求的翼墙或端柱,洞口两侧应设置约束边缘构件;不落地抗震墙应在底部加强部位及相邻的上一层的墙肢两端设置约束边缘构件。 3一、二级抗震墙的其他部位和三、四级抗震墙,均应按本章6.4.8条设置构造边缘构件。 9 矩阵特征值计算 在实际的工程计算中,经常会遇到求n 阶方阵 A 的特征值(Eigenvalue)与特征向量(Eigenvector)的问题。对于一个方阵A,如果数值λ使方程组 Ax=λx 即(A-λI n )x=0 有非零解向量(Solution Vector)x,则称λ为方阵A的特征值,而非零向量x为特征值λ所对应的特征向量,其中I n 为n阶单位矩阵。 由于根据定义直接求矩阵特征值的过程比较复杂,因此在实际计算中,往往采取一些数值方法。本章主要介绍求一般方阵绝对值最大的特征值的乘幂(Power)法、求对称方阵特征值的雅可比法和单侧旋转(One-side Rotation)法以及求一般矩阵全部特征值的QR 方法及一些相关的并行算法。 1.1 求解矩阵最大特征值的乘幂法 1.1.1 乘幂法及其串行算法 在许多实际问题中,只需要计算绝对值最大的特征值,而并不需要求矩阵的全部特征值。乘幂法是一种求矩阵绝对值最大的特征值的方法。记实方阵A的n个特征值为λi i=(1,2, …,n),且满足: │λ1 │≥│λ2 │≥│λ3 │≥…≥│λn │ 特征值λi 对应的特征向量为x i 。乘幂法的做法是:①取n维非零向量v0 作为初始向量;②对于 k=1,2, …,做如下迭代: 直至u k+1 ∞ - u k u k =Av k-1 v k = u k /║u k ║∞ <ε为止,这时v k+1 就是A的绝对值最大的特征值λ1 所对应的特征向∞ 量x1 。若v k-1 与v k 的各个分量同号且成比例,则λ1 =║u k ║∞;若v k-1 与v k 的各个分量异号且成比例,则λ1 = -║u k ║∞。若各取一次乘法和加法运算时间、一次除法运算时间、一次比较运算时间为一个单位时间,则因为一轮计算要做一次矩阵向量相乘、一次求最大元操作和一次规格化操作,所以下述乘幂法串行算法21.1 的一轮计算时间为n2+2n=O(n2 )。 算法21.1 单处理器上乘幂法求解矩阵最大特征值的算法 输入:系数矩阵A n×n ,初始向量v n×1 ,ε 输出:最大的特征值m ax Begin while (│diff│>ε) do (1)for i=1 to n do (1.1)sum=0 (1.2)for j= 1 to n do sum=sum+a[i,j]*x[j] end for 剪力墙边缘构件计算简图与边缘构件配筋结果相差很大的原因 ?根据《SATWE软件说明书》第92页的解释,剪 软件说书第的解释剪力墙阴影区的计算主筋的原则如下: ?以上原则可以看出,SATWE软件计算边缘构件阴影区面积时是按照单肢墙计算暗柱面积并进行影区面积时是按照单肢墙计算暗柱面积,并进行叠加得到的。 ?但经常有设计院的朋友提出,SATWE软件配筋简图中显示的配筋面积相加后与边缘构件配筋简图中显示的配筋面积相差甚远,边缘构件简图中显示的配筋面积往往比配筋简图中经相加后得到的大很多,不知为何?在此,本人拟结合具体工程实例,与广大设计人员探讨一下剪力墙边缘构件配筋的计算过程。 ?工程实例一工程实例 ?某剪力墙结构,第二层局部墙肢平面简图如下: 此段墙体抗震等级为三级。由于其位处底 部加强区,根据《抗震规范》表6.4.5-3,得到抗震等级为三级的剪力墙结构约束边缘构件最小 配筋率为001A 和6Φ14者之间的较大值配筋率为0.01Ac和6Φ14二者之间的较大值。 根据《高规》7.1.8 注1可知,此段L形墙 体各肢截面高度与厚度之比均小于8,程序判断 为短肢剪力墙并以白色外边线显示由此根据墙体2为短肢剪力墙,并以白色外边线显示。由此根据 《高规》7.2.2-5的规定,短肢剪力墙的全部竖 向钢筋的配筋率,三级不宜小于1.0%。 右图所示为SATWE软件计算的此段剪力墙 在配筋简图中的计算结果。计算结果显示,墙体 1一端暗柱配筋面积为14,墙体2为0。根据 墙体1 《SATWE说明书》中的解释,0表示此段墙体构造 配筋。 墙体1和2计算结果文本文件显示如下: 第三节矩阵的基本运算 §3.1 加和减 §3.2矩阵乘法 §3.2.1 矩阵的普通乘法 §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 §3.3 矩阵除法 §3.4矩阵乘方 §3.5 矩阵的超越函数 §3.6数组运算 §3.6.1数组的加和减 §3.6.2数组的乘和除 §3.6.3 数组乘方 §3.7 矩阵函数 §3.7.1三角分解 §3.7.2正交变换 §3.7.3奇异值分解 §3.7.4 特征值分解 §3.7.5秩 §3.1 加和减 如矩阵A和B的维数相同,则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差.如果矩阵A和B的维数不匹配,Matlab会给出相应的错误提示信息.如: A= B= 1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 0 3 6 0 C =A+B返回: C = 2 6 10 6 10 14 10 14 0 如果运算对象是个标量(即1×1矩阵),可和其它矩阵进行加减运算.例如: x= -1 y=x-1= -2 0 -1 2 1 §3.2矩阵乘法 Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法,也有Kronecker乘法,以下分别介绍. §3.2.1 矩阵的普通乘法 矩阵乘法用“ * ”符号表示,当A 矩阵列数与B 矩阵的行数相等时,二者可以进行乘法运算,否则是错误的.计算方法和线性代数中所介绍的完全相同. 如:A=[1 2 ; 3 4]; B=[5 6 ; 7 8]; C=A*B , 结果为 C=×== 即Matlab 返回: C = 19 22 43 50 如果A 或B 是标量,则A*B 返回标量A (或B )乘上矩阵B (或A )的每一个元素所得的矩阵. §3.2.2 矩阵的Kronecker 乘法 对n ×m 阶矩阵A 和p ×q 阶矩阵B ,A 和B 的Kronecher 乘法运算可定义为: 由上面的式子可以看出,Kronecker 乘积A B 表示矩阵A 的所有元素与B 之间的乘积组合而成的较大的矩阵,B A 则完全类似.A B 和B A 均为np ×mq 矩阵,但一般情况下A B B A .和普通矩阵的乘法不同,Kronecker 乘法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求.Kronecker 乘法的Matlab 命令为C=kron(A,B),例如给定两个矩阵A 和B : A= B= 则由以下命令可以求出A 和B 的Kronecker 乘积C : A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B) C = 1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8 6 12 18 8 16 24 作为比较,可以计算B 和A 的Kronecker 乘积D ,可以看出C 、D 是不同的: A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; D=kron(B,A) D = 1 2 3 6 2 4 3 4 9 12 6 8 2 4 4 8 6 12 6 8 12 16 18 24 §3.3 矩阵除法 在Matlab 中有两种矩阵除法符号:“\”即左除和“/”即右除.如果A 矩阵是非奇异方阵,则A\B 是A 的逆矩阵乘B ,即inv(A)*B ;而B/A 是B 乘A 的逆矩阵,即B*inv(A).具体计算时可不用逆矩阵而直接计算. 通常: ???? ??4321???? ??8765???? ???+??+??+??+?8463745382617251???? ??50432219??????? ??=?=B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A C nm n n m m (2122221) 11211 ?????≠?1234?? ???132246?? ??? 矩阵运算 几何变换通常是用矩阵运算方法实现的,就是将描述模型或图形的几何信息的点列坐标矩阵乘以某种变换矩阵,从而获得一组新的点列坐标矩阵,再由这组新的点列坐标生成新的模型或图形。即如下形式: 形体的原点列坐标矩阵 几何变换矩阵 形体的新点列坐标矩阵 ????? ???????n n n z y x z y x z y x .........222111 × ??????????i h g f e d c b a = ????? ???????'''''''''n n n z y x z y x z y x ......... 222 1 1 1 因此,下面就矩阵运算的基本要点作简要介绍。 设有一个m 行n 列矩阵 A 其中 被称为第i 个行向量, 被称为第j 个列向量。 一) 矩阵的加法运算 设两个矩阵A 和B 都是m x n 的,把他们对应位置的元素相加而得到的矩阵叫做A 、B 的和,记为A + B 只有在两个矩阵的行数和列数都相同时才能加法。 二) 数乘矩阵 用数k 乘矩阵A 的每一个元素而得的矩阵叫做k 与A 之积,记为 kA 三) 矩阵的乘法运算 只有当前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数时两个矩阵才能相乘。 ,矩阵C中的每一个元素。 下面让我们用一个简单的例子来说明,设A为2x3的矩阵,B为3x2的矩阵,则两者的乘积为: 四) 单位矩阵 对于一个nxn的矩阵,如果它的对角线上的各个元素均为1,其余元素都为0,则该矩阵称为单位阵,记为In。对于任意mxn的矩阵恒有 五) 矩阵的转置 交换一个矩阵Amxn的所有的行列元素,那么所得到的nxm的矩阵被称为原有矩阵的转置,记为AT: 显然 但是对于矩阵的积: 六) 矩阵的逆 实验1 矩阵的基本运算 一、实验目的 1、熟悉MATLAB中关于矩阵的基本命令 2、掌握利用MATLAB进行向量、矩阵的输入,向量与向量的运算,矩阵与矩阵的运算,矩阵与向量的运算。 3、掌握利用MATLAB求矩阵的特征值,进行矩阵的初等变换;讨论向量组的线性相关性等运算 二、相关知识 为了进行矩阵的各种运算,首先要输入矩阵。 在MATLAB中,矩阵的输入方法主要有两种: 一种是在MATLAB的命令窗口中输入,这种方法适合输入一些阶数较低的矩阵; 对于一些阶数较高的矩阵,最好采用建立M文件的方法,便于多次利用,也方便在需要的时候可以修改数据。 在命令窗口输入的方法为:>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]; 注意:逗号表示同行元素,也可用空格代替,分号表示换行。 使用磁盘文件的方法,则需要建立一个以m为后缀的文本文件,可以用MATLAB提供的编辑器编辑,该编辑器提供了编辑环境和MATLAB程序的调试环境。 该编辑器的使用方法是在MATLAB主菜单中选File —>New —>M-File,就打开了一个编辑器的窗口。 文本文件的内容与在命令窗口中输入的相同。将文本文件放在一个特定的位置(某一个文件夹中),并将该位置加入到MATLAB的工作目录中,用File->Setpath来完成。 使用时,在命令窗口输入文件名,就可以使用该文件中的所有数据了。 注意:多个矩阵可以存放在一个文件中。 三、实验内容 1.已知矩阵A 、B 、b 如下: 建立一个名为sy1sj.m 的文件,将矩阵A 、B 、b 输入其中; 2.在1的基础上,建立文件sy1cx.m ,完成下列计算: 1)X11=A’,X12=A+B ,X13=A-B ,X14=AB ; 2)X21=|A|,X22=|B|; 3)X31=R(A),X32=R(B); 4)X4=A -1; 5)作矩阵C ,其元素为A 的元素乘以每个元素的行标再乘以每个元素的列标。 3.利用文件sy1sj.m 中的数据,完成下列运算,并将程序写在文件sy1_1.m 中: 1)求解矩阵方程XA=B 中的解矩阵X6; 2)求满足方程组AX=b’的解向量X7; 3)求X6的特征向量组,记为X8,相应的对角形记为D ; 4)计算X9=B 2(A -1)2; 4.利用文件sy1sj.m 中的数据,完成下列运算,并将程序写在文件sy1_2.m 中: 1)生成矩阵A 的行向量组:a1,a2,a3,a4,a5,a6; 2)生成矩阵A 的列向量组:b1,b2,b3,b4,b5,b6; 3)由A 的1、3、5行,2、4、6列交叉点上的元素生成A 的子矩阵A3; 4)生成一个12阶矩阵A4,其左上角为A ,右上角为6阶单位阵,左下角为6阶零矩阵,右下角为B ; 5)将A 对应的行向量组正交规范化为正交向量组A5,并验证所得结果; 6)求a1与a2的内积A7; 7)完成以下初等变换:将A 的第一、四行互换,再将其第三列乘以6,再将其第一行的10倍加至第五行; 8)求B 的列向量组的一个极大无关向量组A9,并将其余向量用极大线性无关向量组线性表示。 ????? ??????? ??? ?????-------------=0319 4811876381265428617411647056109 1143A ?? ? ?? ? ??? ? ?? ????? ???------=5036 4 22372536191291132815 1055120 11 8785169723 6421 B [ ] 1197531=b 第3章 矩阵特征值与特征向量的计算 一些工程技术问题需要用数值方法求得矩阵的全部或部分特征值及相关的特征向量。 3.1 特征值的估计 较粗估计ρ(A )≤ ||A || 欲将复平面上的特征值一个个用圆盘围起来。 3.1.1盖氏图 定义3.1-1 设A = [a ij ]n ?n ,称由不等式∑≠=≤-n i j j ij ii a a z 1 所确定的复区域为A 的第i 个盖氏图, 记为G i ,i = 1,2,…,n 。 >≤-=<∑≠=}:{1n i j j ij ii i a a z z G 定理3.1-1 若λ为A 的特征值,则 n i i G 1 =∈ λ 证明:设Ax = λx (x ≠ 0),若k 使得∞ ≤≤==x x x i n i k 1max 因为 k n j j kj x x a λ=∑=1 ?∑≠= -n k j j kj k kk x a x a )(λ ?∑∑∑ ≠=≠=≠≤≤= -n k j j kj n k j j k j kj n k j k j kj kk a x x a x x a a 11λ ? n i i k G G 1 =? ∈λ 例1 估计方阵????? ?? ?????----=41.03.02.05.013.012.01.035.03.02.01.01A 特征值的X 围 解: G 1 = {z :|z – 1|≤ 0.6};G 2 = {z :|z – 3|≤ 0.8}; G 3 = {z :|z + 1|≤ 1.8};G 4 = {z :|z + 4|≤ 0.6}。 注:定理称A 的n 个特征值全落在n 个盖氏圆上,但未说明每个圆盘内都有一个特征值。 3.1.2盖氏圆的连通部分 称相交盖氏圆之并构成的连通部分为连通部分。 孤立的盖氏圆本身也为一个连通部分。 定理3.1-2若由A 的k 个盖氏圆组成的连通部分,含且仅含A 的k 个特征值。 证明: 令D = diag(a 11,a 12,…,a nn ),M = A –D ,记 )10(00 0)(212211122211≤≤?? ?? ? ? ? ??+??????? ??=+=εεεε n n n n nn a a a a a a a a a M D A 则显然有A (1) = A ,A (0) = D ,易知A (ε)的特征多项式的系数是ε的多项式,从而A (ε)的特征 值λ1(ε),λ2(ε),…,λn (ε)为ε的连续函数。 A (ε)的盖氏圆为:)10(,}||||:{)(11≤≤?=≤ -=∑∑≠=≠=εεεεi n i j j ij n i j j ij ii i G a a a z z G 因为A (0) = D 的n 个特征值a 11,a 12,…,a nn ,恰为A 的盖氏圆圆心,当ε由0增大到1时,λi (ε)画出一条以λi (0) = a ii 为始点,λi (1) = λi 为终点的连续曲线,且始终不会越过G i ; 不失一般性,设A 开头的k 个圆盘是连通的,其并集为S ,它与后n –k 个圆盘严格分离,显然,A (ε)的前k 个盖氏圆盘与后n –k 个圆盘严格分离。 当ε = 0时,A (0) = D 的前k 个特征值刚好落在前k 个圆盘G 1,…,G k 中,而另n –k 个特征值则在区域S 之外,ε从0变到1时, k i i G 1 )(=ε与 n k i i G 1 )(+=ε始终分离(严格) 。连续曲线始终在S 中,所以S 中有且仅有A 的k 个特征值。 注:1) 每个孤立圆中恰有一个特征值。 2) 例1中G 2,G 4为仅由一个盖氏圆构成的连通部分,故它们各有一个特征值,而G 1,G 3构剪力墙如何根据SATWE计算结果正确配筋
求矩阵的基本运算
求矩阵特征值算法及程序
边缘构件选筋规则
MATLAB矩阵运算基础练习题
矩阵计算习题及答案
剪力墙边缘构件的配筋计算刘孝国
大数据数学基础(R语言描述) 第3章 线性代数基础 教案
剪力墙如何根据SATWE计算结果配筋
矩阵的基本运算
PKPM v3.1.6版本 结构 第八层2#号《 边缘构件手工结果校核 》
大数据CPDA考试模拟样题—数据分析算法与模型
约束边缘构件
并行计算-矩阵特征值计算--
边缘构件计算方法分析
三矩阵的基本运算
矩阵运算(工业机器人基础)
实验1-矩阵的基本运算
3矩阵特征值及特征向量的计算