中考数学专题“胡不归”经典讲解

胡不归

知识背景：

从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B （如图1所示：A 是出发地，B 是目的地，AC 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他气喘吁吁地赶到父亲眼前时，老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭，邻舍劝慰小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归?胡不归？这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢？倘有可能，他应该选择条怎样的路线呢？这就是风靡千年的“胡不归问题”.

由于在驿道和沙砾地的行走速度不一样，那么，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢？ 设在沙砾地行驶速度为1v ，在驿道行驶速度为2v ，显然1v ＜2v . 思路：不妨假设从C 处进入砂砾地.设总共用时为t,t=

1v BC +2v AC =1v 1(BC+2

1v v

AC). 因为1v ，2v 是确定的，所以只要(BC+

2

1

v v AC)最小，用时就最少。可以A 为顶点作一条射线ON ，使得∠MAN=α，且sin α=

2

1

v v ,过点C 作AN 的垂线，交于点E ，这样

2

1

v v AC=CE,当点B 、C 、E 在一条直线上时，即过点B 作AN 的垂线交AM 于点D ，交AN 于点F ，即(BC+

2

1

v v AC)的值最小为BF ，小伙子可以先在驿道上走到点D 处，然后再走砂砾地。这样时间可以更短。

总结：在驿道上从点A走到点D的距离，其实就相当于，在砂砾上走了DF的距离，而 AB>BF,所以从点A直接到点B，用的时间肯定比先从点A到D再从点D到B所有的时间。

“胡不归”模型建立：

如图所示，已知sin∠MBN=k，点 P为角∠MBN其中一边 BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA+k·PB”最小时，P点的位置如何确定? (构造的角的正弦值为PB线段的系数值)

分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”系数化为1，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ, “PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值，即A、P、Q三点共线时最小。

证明：直线外一点到直线上任意一点的距离垂线段最短，也就是点到直线的距离。

1

注意:当k值大于1时，则提取k，构造某角正弦值等于系数

k

解题策略：“胡不归”模型中涉及到两个定点，一个动点，且动点在直线上运动。

第一步：在系数不为1的线段的定端点处作一个角，使其的正弦值等

于此线段的系数.（注意题目中有无特殊角）

第二步：过动点作上一步的角的边的垂线，构造直角三角形.

第三步：根据两点之间线段最短，找到最小值的位置.

第四步：计算.

例题讲解：

如图四边形ABCD 是菱形，AB =6，且∠ABC =60°，M 为对角线BD （不含

B 点）上任意一点,则 AM +2

1BM 的最小值为 . 解题思路：此题点A,B 是定点，点M 在BD 上运动。可将

2

1

BM 化为系数为1的线段，题目出现了特殊角 ∠DBC =30°，只要过点M 作BC 的垂线交于点N ， 即可将

21BM 转化为MN ，即AM +21

BM=AM+MN ， 过A 点作BC 的垂线交BD,BC 分别于点M ，N. 此时AM +

2

1

BM 的最小值为AN. 证明：直线外一点到直线上任意一点的距离垂线段最短。 变式思考：(1)本题如要求“2AM +BM ”的最小值你会求吗？ 解题思路：可以将2AM +BM 提取一个2，即2AM +BM=2（AM+

2

1

BM ），同上述的解题思路。

变式：如图，AC 是圆O 的直径，AC=4，弧BA=120°，点D 是弦AB 上的

一个动点，那么OD+

21

BD 的最小值为______. 解题思路：此题可将21

BM 化为系数为1的线段，构造

“胡不归”模型之前，一定要在点B 处作一个角

使得sin∠B=2

1

,只要过点B 作AC 的平行线BK 。 过点D 作BK 的垂线交于点E,2

1

BM=DE,即

OD+2

1

BD=OD+DE,过点O 作BK 的垂线交于点M,当

E 点与M 点重合时，OD+21

BD ，最小值为OM.

如图，等腰△ABC 中，AB=AC=3，BC=2，BC 边上的高为AO ，点D 为射线AO 上一点，一动点P 从点A 出发，沿AD-DC 运动，动点P 在AD 上运动速度3个单位每秒，动点P 在CD 上运动的速度为1个单位每秒，则当AD= 时，运动时间最短为 秒.

解题思路: 求运动时间最短，可根据v s

t

,先表示出时间出来， 点P 在AD 上运动的时间为3

AD

,在DC 上运动的时间

为1CD ,所以总时间为t=AD 3

1+CD .建立“胡不归”

模型，过点D 作AB 的垂线交于点E ，因为sin∠BAO=31

,

所以AD 31

=DE 即t=DE +CD ,过点C 作AB 的垂线交

A0，AB 分别于点D ，E.此时DE +CD 最小值为CE ， 即可确定点D 的位置使得运动时间最短。

O

D D E

B A E C

填空题：

如图，在菱形ABCD 中，AB =6，且∠ABC =150°，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PA +2PB 的最小值为 .

等边三角形ABC 的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC 边在x 轴上，BC 边的高OA 在Y 轴上．一只电子虫从A 出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GC 到达C 点，已知电子虫在Y 轴上运动的速度是在GC 上运动速度的2倍，若电子虫走完全程菁优网的时间最短，则点G 的坐标为_________.

圆中胡不归模型：

如图，在△ACE 中，CA=CE ， CAE=30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上．

试说明CE 是⊙O 的切线；

若ACE △中AE 边上的高为h ，试用含 h 的代数式表示⊙O 的直径AB ； 设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当2

1

CD+OD 的最小值为6时，求⊙O 的AB 的长．

二次函数胡不归模型

如图，已知抛物线)4)(2(8

-+=

x x k

y （k 为常数，k>0）与x 轴从左至右依次交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +-=3

3

与抛物线的另一个交点为D ．

（1）若点D 的横坐标为－5，求抛物线的函数关系式；

（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标为多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？

如图，抛物线n mx x y ++=221与直线321

+-=x y 交于A 、B 两点，交x 轴于D 、

C 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （3，0）．

（1）抛物线的函数关系式为____________________，tan∠BAC=__________； （2）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位的速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒2个单位的速度运动到点A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（－1，0），B（0，－3），C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D．

求二次函数的表达式及其顶点坐标；

若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PD

PB+

2

1的最小值为__________．如图，已知抛物线）

)(

1

)(

3

(≠

-

+

=a

x

x

a

y，与x轴从左至右依次相交于A、B 两点，与y轴交于点C，经过点A的直线b

x

y+

-

=3与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为____________________；（2）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以

每秒

33

2个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？

【问题探究】

(1)如图①，点E 是正△ABC 高AD 上的一定点，请在AB 上找一点F ，使EF=2

1

AE ，并说明理由；

(2)如图②，点M 是边长为2的正△ABC 高AD 上的一动点，求2

1

AM+MC 的最小值；

【问题解决】

(3)如图③，A 、B 两地相距600km ，AC 是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路．点B 到AC 的最短距离为360km ．今计划在铁路线AC 上修一个中转站M ，再在BM 间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由A 到M 再通过公路由M 到B 的总运费达到最小值，请确定中转站M 的位置，并求出AM 的长．（结果保留根号）