高中物理《狭义相对论的其他结论 广义相对论简介》

第3节狭义相对论的其他结论

第4节

广义相对论简介

1．知道相对论速度变换公式、相对论质量和质能方程。

2．了解广义相对性原理和等效原理。

3．初步了解广义相对论的几个主要结论以及主要观测证据。

一、狭义相对论的其他结论

1．相对论速度变换公式：设高速行驶的火车的对地速度为v，车上的人以速

度u′沿着火车前进的方向相对火车运动，那么人相对地面的速度□01u＝u′＋v

1＋

u′v

c2

，若人和车的运动方向相反，式中u′取□02负值。

2．相对论质量

(1)经典力学中物体的质量是□03不变的，一定的力作用在物体上，产生一定的□04加速度，经过足够长的时间后，物体可以达到任意的速度。

(2)相对论中物体的质量随物体速度的增加而□05增大。物体以速度v运动时的质量m与静止时的质量m0之间的关系是：□06m＝m0

1－

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫v

c

2

。

3．质能方程：□07E＝mc，式中E是物体具有的能量，m是物体的质量。

二、广义相对论简介

1．广义相对论的基本原理

(1)广义相对性原理：在□01任何参考系中，物理规律都是相同的。

(2)等效原理：一个均匀的引力场与一个做□02匀加速运动的参考系等价。

2．广义相对论的几个结论

(1)光线弯曲：物体的□03引力使光线弯曲。

(2)引力红移：引力场的存在使得空间不同位置的□04时间进程出现差别，引

力越强，时间进程越慢，从而使矮星表面原子发光频率□

05偏低，看起来偏红。判一判

(1)物体的质量发生变化时，能量一定发生变化。()

(2)质量是物体的固有属性，因此在任何情况下都不会发生改变。()

(3)只有运动物体才具有能量，静止物体没有能量。()

提示：(1)√(2)×(3)×

想一想

(1)如果物体高速运动，速度的变换公式是什么？

提示：设参考系O′相对参考系O以速度v运动，某物体以速度u′沿着参考系O′前进的方向运动，则在参考系O中观测到它的速度u＝

u′＋v

1＋

u′v

c2

。

(2)物体的运动质量和静止质量谁更大一些？

提示：相对论质量公式m＝

m0

1－

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫v

c

2

，v越大，则m越大，并且m≥m0，即运动质量比静止质量更大一些。

课堂任务狭义相对论的其他结论

1．相对论速度变换公式

(1)速度变换公式

如图所示，火车对地面的速度为v，火车上的人以速度u′沿着火车前进的方向相对火车运动，那么他相对地面的速度为u＝

u′＋v

1＋

u′v

c2

。

(2)对公式的理解

①如果车上的人的运动方向与火车的运动方向相反，则u ′取负值。

②如果v ≪c ，u ′≪c ，则u ′v c 2可忽略不计，这时相对论的速度变换公式可近

似变为u ＝u ′＋v 。

③如果u ′与v 的方向垂直或成其他角度时，情况比较复杂，上式不适用。

2．相对论质量

(1)质速关系式：以速度v 高速运动的物体的质量m 和静止时的质量m 0有如下关系：m ＝m 0

1－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2。

(2)对质速关系式的理解

①式中m 0是物体静止时的质量(也称为静质量)，m 是物体以速度v 运动时的质量。这个关系式表明：物体的质量会随物体的速度的增大而增大。

②v ≪c 时，⎝ ⎛⎭

⎪⎫v c 2≈0，此时有m ＝m 0，也就是说：低速运动的物体，可认为其质量与物体运动状态无关。

③微观粒子的速度很高，因此粒子运动的质量明显大于静质量。

3．质能方程

E ＝mc 2，式中m 是物体的质量，E 是它具有的能量。

对质能方程的理解：

质能方程表达了物体的质量和它所具有的能量的关系：一定的质量总是和一定的能量相对应。

如果质量发生了变化，其能量也相应发生变化，ΔE ＝Δmc 2，这个方程常应用在核能的开发和利用上。

例1 现在有一个静止的电子，被电压为107 V 的电场加速后，质量增大了多少？其质量为多少？(m 0＝9.1×10－31 kg ，e ＝1.6×10－19 C ，c ＝3×108 m/s)

电子的能量变化时，如何求质量的变化？ 提示：由ΔE ＝Δmc 2可得Δm ＝ΔE c 2。

[规范解答] 由动能定理，加速后电子增加的动能为：

ΔE k ＝eU ＝1.6×10－19×107 J ＝1.6×10－12 J ，

由ΔE k ＝Δmc 2得电子增加的质量为：

Δm ＝ΔE k c 2＝1.6×10－12

(3×108)

2 kg ≈1.78×10－29 kg ， 此时电子的质量为：

m ＝m 0＋Δm ＝(9.1×10－31＋1.78×10－29) kg

＝1.871×10－29 kg 。

[完美答案] 1.78×10－29 kg 1.871×10－29 kg

相对论质速关系的理解及应用

由相对论的质速关系m ＝m 0

1－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2知，物体以速度v 运动时的质量m 大于静止时的质量m 0，且v 越大，m 与m 0相差越大。微观粒子的运动速度很高，它的质量明显大于静止质量，在粒子加速问题中注意考虑这一问题。

[变式训练1] 通过对相对论的理解回答下面两个问题，已知真空中光的速度为c ＝3.0×108 m/s 。

(1)当质量为m 0＝9.1×10－31 kg 的电子以0.99c 运动时，该电子的能量为多少？(计算结果保留三位有效数字)

(2)当一飞船以某一恒定的速度飞行时，其质量为静止质量的53，则该飞船的

速度多大？

答案 (1)5.81×10－13 J (2)0.8c

解析 (1)由相对论质速关系得

m ＝m 0

1－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2＝9.1×10－311－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.99c c 2 kg ≈6.451×10－30 kg

由爱因斯坦质能方程得电子能量为

E ＝mc 2＝6.451×10－30×(3.0×108)2 J ＝5.81×10－13 J 。

(2)设飞船的静止质量为m 0，飞行时的质量为m ，

则m m 0

＝53 由相对论质速关系得m ＝m 0

1－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2

整理可得飞船的速度v ＝0.8c 。

课堂任务 广义相对论简介

1．狭义相对论无法解决的问题

(1)万有引力理论无法纳入狭义相对论框架。

(2)惯性参考系在狭义相对论中具有特殊的地位。

2．广义相对论的基本原理

(1)广义相对性原理：在任何参考系中物理规律都是相同的。

(2)等效原理：一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价。

3．广义相对论的几个结论

(1)光线在引力场中偏转。

(2)引力场的存在使得空间不同位置的时间进程不同(引力红移)。

例2 在适当的时候，通过仪器可以观察到太阳后面的恒星，这说明恒星发出的光( )

A ．经过太阳时发生了衍射

B ．可以穿透太阳及其他障碍物

C ．在太阳引力场作用下发生了弯曲

D ．经过太阳外的大气层时发生了折射

(1)发生明显衍射现象的条件是什么？

提示：障碍物的尺寸比光的波长小或相差不多。

(2)光线是沿直线传播的，为什么能观察到太阳后面的恒星？

提示：光线在引力场作用下发生了弯曲。

[规范解答]根据爱因斯坦的广义相对论可知，光线在太阳引力场作用下发生了弯曲，所以可以在适当的时候(如日全食时)通过仪器观察到太阳后面的恒星，故C正确，A、B、D均错误。

[完美答案] C

[变式训练2](多选)在引力可以忽略的空间有一艘宇宙飞船在做匀加速直线运动，一束光垂直于飞船的运动方向在飞船内传播，下列说法中正确的是() A．船外静止的观察者看到这束光是沿直线传播的

B．船外静止的观察者看到这束光是沿曲线传播的

C．宇航员以飞船为参考系看到这束光是沿直线传播的

D．宇航员以飞船为参考系看到这束光是沿曲线传播的

答案AD

解析没有引力时，光沿直线传播，A正确，B错误；如果飞船做匀速直线运动，光到达飞船侧壁会偏向船尾，飞船上的人记录下的光的径迹仍是一条直线，飞船做匀加速直线运动时，光在垂直飞船运动方向传播的同时，飞船的速度也在不断增加，因此宇航员以飞船为参考系，记录下光的径迹是一条曲线，C错误，D正确。

A组：合格性水平训练

1．(物理学史)著名的科学家爱因斯坦在物理学的发展过程中做出了不可磨灭的贡献，下列不是他做出的贡献的是()

A．发现了黑洞的存在

B．创造了狭义相对论

C．提出了广义相对论

D．提出了质量和能量的关系

答案 A

解析黑洞并不是爱因斯坦发现的，因此选A。

2．(相对论质量)回旋加速器给带电粒子加速时，不能把粒子的速度无限制地增大，其原因是()

A．加速器功率有限，不能提供足够大的能量

B．加速器内无法产生磁感应强度足够大的磁场

C．加速器内无法产生电场强度足够大的电场

D．速度增大使粒子质量增大，粒子运行的周期与交变电压不再同步，无法再加速

答案 D

解析回旋加速器中带电粒子运动的周期为T＝2πm

qB

，当粒子速度比较小时，

可以认为其质量是不变的，那么其周期也不变。但当粒子的速度很大，接近光速时，其质量明显增大，周期也发生了明显变化，粒子运行的周期与交变电压不再同步，无法再加速，D正确。

3．(广义相对性原理和等效原理)(多选)下列说法中正确的是()

A．在任何参考系中，物理规律都是相同的，这就是广义相对性原理

B．在不同的参考系中，物理规律是不同的，例如牛顿运动定律仅适用于惯性参考系

C．一个均匀的引力场与一个做匀速运动的参考系等价，这就是著名的等效原理

D．一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价，这就是著名的等效原理

答案AD

解析根据广义相对论的广义相对性原理和等效原理，A、D正确。

4．(广义相对论)(多选)下列说法中正确的是()

A．物质的引力使光线弯曲

B．光线弯曲的原因是介质不均匀而非引力作用

C．在强引力的星球附近，时间进程会变慢

D．广义相对论可以解释引力红移现象

答案ACD

解析 根据广义相对论的结论可知A 、C 、D 正确，B 错误。

5．(相对论速度变换公式)(多选)在一列相对于地面的速度为v 的高速行驶的火车上，人以速度u ′沿着火车前进的方向相对火车运动，根据相对论速度变换公式，下列说法正确的是 ( )

A ．人相对于地面的速度小于人的速度和火车的速度之和

B ．人相对于地面的速度大于人的速度和火车的速度之和

C ．只要人和火车的速度足够大，人相对于地面的速度可以超过光速

D ．不管人和火车的速度多大，人相对于地面的速度都小于光速

答案 AD

解析 火车的速度为v ，人相对火车的速度为u ′，地面上的人看到火车上的

人相对地面的速度为u ＝u ′＋v 1＋u ′v c 2

，经分析可知，A 、D 正确，B 、C 错误。 6．(相对论速度变换公式)一列沿平直轨道高速运行的火车相对地面的速度为35c ，车上的人以c 5的速度沿着火车前进的方向相对于火车运动，

那么这个人相对地面的速度为( )

A.45c

B.25c

C.57c

D.75c

答案 C

解析 由相对论的速度变换公式知u ＝u ′＋v 1＋u ′v c 2＝c 5＋3c 51＋c 5×3c 5c 2

＝57c 。 7．(质能方程)已知电子的静止能量为0.511 MeV ，若电子的动能为0.25 MeV ，则它所增加的质量Δm 与静止质量m 0的比值近似为( )

A ．0.1

B ．0.2

C ．0.5

D ．0.9

答案 C

解析 由题意E ＝m 0c 2，即：m 0c 2＝0.511×106×1.6×10－19 J ，ΔE ＝Δmc 2，

即：Δmc 2＝0.25×106×1.6×10－19 J ，可得Δm m 0

＝0.250.511≈0.5，故只有C 正确。 8．(相对论速度变换公式)地球上一观察者，看见一飞船A 以速度2.5×108 m/s 从他身边飞过，另一飞船B 以速度2.0×108 m/s 跟随A 飞行。求A 上的乘客看到

B 的相对速度大小。

答案 1.125×108 m/s

解析 A 上的乘客看地面以－2.5×108 m/s 向后运动，在地面上看B 以

2.0×108

m/s 向前运动；则A 上乘客看B 的速度为u ＝u ′＋v 1＋u ′·v c 2＝－2.5×108＋2.0×108

1＋－2.5×108×2×108(3×108)2 m/s ＝－1.125×108 m/s 。

B 组：等级性水平训练

9．(广义相对论)(多选)下列说法中正确的是( )

A ．由于太阳引力场的影响，我们有可能看到太阳后面的恒星

B ．强引力作用可使光谱线向红端偏移

C ．引力场越强的位置，时间进程越快

D ．由于物质的存在，实际的空间是弯曲的

答案 ABD

解析 由广义相对论可知，物质的引力使光线弯曲，我们有可能看到太阳后面的恒星，实际的空间是弯曲的，A 、D 正确；在引力场中时间进程变慢，引力越强，时间进程越慢，物质发出的光谱线向红端偏移，C 错误，B 正确。

10．(广义相对论和狭义相对论)(多选)下列说法中正确的是( )

A ．广义相对论正确解释了万有引力

B ．麦克斯韦电磁场理论不符合狭义相对论

C ．万有引力理论无法纳入狭义相对论的框架

D ．狭义相对论是非惯性参考系之间的理论

答案 AC

解析 牛顿万有引力理论没有给出引力的传递速度，所以万有引力理论无法纳入狭义相对论框架，广义相对论将万有引力等效为时空弯曲，其几个结论已经过实验验证，A 、C 正确；麦克斯韦电磁场理论符合狭义相对论，B 错误；狭义相对论是以惯性参考系为基础的，D 错误。

11．(质能方程)(多选)一个物体静止时质量为m 0，能量为E 0；速度为v 时，质量为m ，能量为E ，动能为E k ，下列说法正确的是( )

A ．物体速度为v 时的能量为E ＝mc 2

B ．物体速度为v 时的能量为E ＝m v 2

C ．物体静止时能量E 0＝m 0c 2

D ．物体速度为v 时的动能

E k ＝mc 2

E ．物体速度为v 时的动能E k ＝(m －m 0)c 2

答案 ACE

解析 由爱因斯坦质能方程可知，物体速度为v 时的能量E ＝mc 2，A 正确，B 错误；物体静止时能量E 0＝m 0c 2，C 正确；物体速度为v 时的动能E k ＝mc 2－m 0c 2＝(m －m 0)c 2，D 错误，E 正确。

12．(相对论速度变换公式)一粒子以0.05c 的速率相对实验室参考系运动。此粒子衰变时发射一个电子，电子相对于粒子的速度为0.8c ，电子的衰变方向与粒子运动方向相同。求电子相对于实验室参考系的速度。

答案 0.817c

解析 由题意知：v ＝0.05c ，u ′＝0.8c ，

由相对论速度变换公式得u ＝u ′＋v 1＋u ′v c 2

≈0.817c 。 13．(综合)设想地球上有一观察者测得一宇宙飞船以0.60c 的速率向东飞行，5.0 s 后该飞船将与一个以0.80c 的速率向西飞行的彗星相碰撞。试问：

(1)飞船中的人测得彗星以多大的速率向它运动？

(2)从飞船中的时钟来看，还有多少时间允许它离开航线，以避免与彗星碰撞。 答案 (1)0.946c (2)4.0 s

解析 取地球为S 系，飞船为S ′系，向东为x 轴正向，则S ′系相对S 系的速率v ＝0.60c ，彗星相对S 系的速率u x ＝－0.80c

(1)由速度变换公式可得u x ′＝u x －v 1－v u x c 2

≈－0.946c 即彗星以0.946c 的速率向飞船靠近。

(2)由时间间隔的相对性有Δt ＝Δτ

1－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2＝5.0 s 解得Δτ＝4.0 s 。