上海育才初级中学数学整式的乘法与因式分解章末训练(Word版 含解析)

上海育才初级中学数学整式的乘法与因式分解章末训练（Word 版

含解析）

一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）

1．若A ＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A 的末位数字是( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8 【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：根据题意可得A=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）+1

=（24-1）（24+1）（28+1）+1

=（28-1）（28+1）+1

=216

根据21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；···因此可由16÷4=4，所以216的末位为6

故选C

点睛：此题是应用平方差公式进行计算的规律探索题，解题的关键是通过添加式子，使原式变化为平方差公式的形式；再根据2的n 次幂的计算总结规律，从而可得到结果.

2．（2017重庆市兼善中学八年级上学期联考）在日常生活中如取款、上网等都需要密

码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式44x y -，因式分解的结

果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =， 9y =时，则各个因式的值为()0x y -=， ()18x y +=， ()22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取20x

， 10y =时，用上述方法产生的密码不可能．．．是（ ） A ．201030

B ．201010

C ．301020

D ．203010

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

解：x 3-xy 2=x （x 2-y 2）=x （x+y ）（x-y ），

当x=20，y=10时，x=20，x+y=30，x-y=10，

组成密码的数字应包括20，30，10，

所以组成的密码不可能是201010．

故选B ．

3．若999999a =，9

90119

b =，则下列结论正确是（ ）

A ．a ＜b

B ．a b =

C ．a ＞b

D ．1ab =

【答案】B

【解析】 ()9

9999

99909990909119991111===99999

a b +??==?， 故选B.

【点睛】本题考查了有关幂的运算、幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数.

4．利用平方差公式计算(25)(25)x x ---的结果是

A ．245x -

B ．2425x -

C ．2254x -

D ．2425x + 【答案】C

【解析】

【分析】

平方差公式是（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2.

【详解】

解：()()()()()

2225252525425254x x x x x x ---=--+=--=-， 故选择C.

【点睛】

本题考查了平方差公式，应牢记公式的形式.

5．已知4821-可以被在0～10之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）

A ．1、3

B ．3、5

C ．6、8

D ．7、9

【答案】D

【解析】

248－1=(224+1)(224－1)= (224+1)(212+1)(212－1)= (224+1)(212+1)(26+1)(26－1)=

(224+1)(212+1)(26+1)(23+1) (23－1) , 23+1=9, 23－1=7,所以这两个数是7、9.

故选D.

点睛：平方差公式：a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）.

6．下面计算正确的是（ ）

A ．33645x x x +=

B ．236a a a ?=

C ．()4312216x x -=

D ．()()22222x y x y x y +-=- 【答案】C

【解析】

【分析】

A.合并同类项得到结果；

B.利用同底数幂的乘法法则计算得到结果；

C.利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果；

D.利用平方差公式计算得到结果，即可作出判断.

【详解】

A.原式=35x ，错误；

B.原式=5a ，错误；

C.原式=1216x ，正确；

D.原式=224x y -，错误.

故选C.

【点睛】

本题主要考查同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，平方差公式运算，熟知其运算法则是解题的关键.

7．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是 （ ）

A ．30

B ．20

C ．60

D ．40

【答案】A

【解析】

【分析】 设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，表示出阴影部分的面积，结合大正方形与小正方形的面积之差是60即可求解.

【详解】

设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，

则22

60x y -=，

∵S 阴影=S △AEC +S △AED =

11()()22

x y x x y y -+- =1()()2

x y x y -+ =221()2x y - =

1602

? =30.

故选A.

【点睛】

此题主要考查了平方差公式的应用，读懂图形和熟练掌握平方差公式是解此题的关键.

8．有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为()2a b +，则宽为（ ）

A ．12

B ．1

C ．()12a b +

D ．+a b

【答案】C

【解析】

【分析】

用长方形的面积除以长可得.

【详解】

宽为:()()()()22222a ab ab b

a b a b a b +++÷+=+÷+= ()12

a b + 故选：C

【点睛】

考核知识点：整式除法与面积.掌握整式除法法则是关键.

9．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）

A ．()()2224x x x +-=-

B ．2222()a ab b a b -+=-

C ．()11am bm m a b +-=+-

D ．()21(1)1111x x x x ??--=--- ?-??

【答案】B

【解析】

【分析】 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案．

【详解】

A ．属于整式的乘法运算，不合题意；

B ．符合因式分解的定义，符合题意；

C ．右边不是乘积的形式，不合题意；

D ．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；

故选：B ．

【点睛】

本题考查了因式分解的定义，即将多项式写成几个因式的乘积的形式，掌握定义是解题的

关键．

10．下列运算中正确的是( )

A ．236a a a ?=

B ．()325a a =

C ．226235a a a +=

D ．()()22224a b a b a b +--=

【答案】D

【解析】

【分析】

根据同底数幂的乘法，可判断A 和B ，根据合并同类项，可判断C ，根据平方差公式，可判断D ．

【详解】

A. 底数不变指数相加，故A 错误；

B. 底数不变指数相乘，故B 错误；

C. 系数相加字母部分不变，故C 错误；

D. 两数和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，故D 正确；

故选D.

【点睛】

本题考查了平方差公式、合并同类项以及同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握平方差公式、合并同类项以及同底数幂的乘法的运算.

二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）

11．x+

1x

＝3，则x 2+21x ＝_____． 【答案】7

【解析】

【分析】 直接利用完全平方公式将已知变形，进而求出答案．

【详解】

解：∵x +

1x ＝3， ∴（x +

1x ）2＝9， ∴x 2+

21x +2＝9， ∴x 2+2

1x ＝7． 故答案为7．

【点睛】

此题主要考查了分式的混合运算，正确应用完全平方公式是解题关键．

12．多项式18x n+1-24x n 的公因式是_______.

【答案】6x n

【解析】运用公因式的概念，找出系数的最大公约数是6，相同字母的最低指数次幂是x n ，可得公因式为6x n

．

故答案为：6x n .

13．已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，则22

x y +=__________.

【答案】40

【解析】

【分析】

根据22x y xy 96+=可知xy(x+y)=96，由x 、y 是正偶数可知xy≥4，x+y≥4，进而可知96 可分解成3种乘积的形式，分别计算即可得只有一种情况符合题意，即可求出x 、y 的值，根据x 、y 的值求得答案即可.

【详解】

∵22x y xy 96+=，

∴xy(x+y)=96，

∵x 、y 为正偶数，xy≥4，x+y≥4，

∴96=2?2?2?2?2?3=6?16=8?12=4?24

当xy(x+y)= 4?24时，无解，

当xy(x+y)= 6?16时，无解，

当xy(x+y)=8?12时，x+y=8，xy=12，

解得：x=2，y=6，或x=6，y=2，

∴x 2+y 2=22+62=40.

故答案为：40

【点睛】

本题考查因式分解，把96分解成所有约数的积再分情况求解是解题关键.

14．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》

中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了n

(a b)(n +为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律．

例如：0(a b)1+=，它只有一项，系数为1；系数和为1； 1(a b)a b +=+，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；

222(a b)a 2ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；

33223(a b)a 3a b 3ab b +=+++，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；?，

则n (a b)+的展开式共有______项，系数和为______．

【答案】n 1+ n 2

【解析】

【分析】

本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b ）n （n 为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b ）n-1相邻两项的系数和．因此根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b ）n 的项数以及各项系数的和即可．

【详解】

根据规律可得，（a+b ）n 共有（n+1）项，

∵1=20

1+1=21

1+2+1=22

1+3+3+1=23

∴（a+b ）n 各项系数的和等于2n

故答案为n+1，2n

【点睛】

本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a ，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．

15．分解因式2

12x 123y xy y -+-=___________

【答案】()232x 1y --

【解析】

根据因式分解的方法，先提公因式-3y ，再根据完全平方公式分解因式为：()()2

2212x 12334x 41321y xy y y x y x -+-=--+=--. 故答案为()2

32x 1y --.

16．若26x x k -+是一个完全平方式，那么k =_______________

【答案】9

【解析】

因为若26x k k -+是一个完全平方式，那么()2

22262333x k k x k x -+=-?+=-，那么答案是k=9.

故答案为：9.

17．若a ，b 互为相反数，则a 2﹣b 2=_____．

【答案】0

【解析】

【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．

【详解】∵a，b互为相反数，

∴a+b=0，

∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=0，

故答案为0．

【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．

18．分解因式6xy2－9x2y－y3 = _____________.

【答案】－y(3x－y)2

【解析】

【分析】

先提公因式-y，然后再利用完全平方公式进行分解即可得.

【详解】

6xy2－9x2y－y3

=-y(9x2-6xy+y2)

=-y(3x-y)2，

故答案为：-y(3x-y)2.

【点睛】

本题考查了利用提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法及步骤是解题的关键.因式分解的一般步骤：一提（公因式），二套（套用公式），注意一定要分解到不能再分解为止.

19．因式分解：3x3﹣12x=_____．

【答案】3x（x+2）（x﹣2）

【解析】

【分析】

先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可．

【详解】

3x3﹣12x

=3x（x2﹣4）

=3x（x+2）（x﹣2），

故答案为3x（x+2）（x﹣2）．

【点睛】

本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．

20．若2x+5y﹣3=0，则4x?32y的值为________．

【答案】8

【解析】∵2x+5y﹣3=0，

∴2x+5y=3，

∴4x?32y=（22）x·(25)y=22x·25y=22x+5y=23=8，

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，转化为以2为底数的幂是解题的关键，整体思想的运用使求解更加简便．