运行模态分析的频域空间域分解法及其应用

第27卷 第1期航 空 学 报

Vo l 27No 1 2006年 1月ACT A A ERON A U T ICA ET A ST RO N AU T ICA SIN ICA Jan. 2006

收稿日期:2005 06 20;修订日期:2005 10 01基金项目:中国博士后科学基金(2004035215)、江苏省博士后科研资

助计划、航空科学基金(04I52065)资助项目

文章编号:1000 6893(2006)01 0062

05运行模态分析的频域空间域分解法及其应用

王 彤,张令弥

(南京航空航天大学振动工程研究所,江苏南京 210016)

Frequency and S patial Domain Decomposition for Operational Modal Analysis and Its Application

WAN G To ng ,ZH AN G Ling mi

(Institut e o f V ibratio n Eng ineer ing,N anjing U niv ersity of A ero nautics and A stro nautics,Nanjing 210016,China)摘 要:提出了一种基于频域空间域分解(Fr equency and Spat ial D omain Decomposit ion,F SDD)的运行模态分析方法。该法将同时具有输入和输出的试验模态分析的经典方法 复模态指示因子(Complex M o de In dicator Funct ion,CM IF )法拓展到了仅有输出响应的运行状态模态分析。FSDD 法采用奇异值分解将信号空间和噪声空间分离开来,把奇异值曲线作为模态指示的依据,以奇异值向量作为加权函数得到每一阶模态的增强功率谱(P ow er Spectr um Density ,P SD),进而在频域内对增强P SD 曲线进行最小二乘拟合以得到准确的模态频率和阻尼参数。采用了一个二层楼仿真算例和在欧洲广为人知的瑞士Z24公路大桥实测算例来验证FSDD 算法。

关键词:模态参数识别;运行模态分析;频域空间域;最小二乘拟合中图分类号:V 214.4+2 文献标识码:A

Abstract:A frequency and spat ial domain deco mpo sitio n (FSDD )method fo r o per atio nal modal analy sis (O M A)is presented in t his paper ,which is an ex tension of Co mplex M ode Indicator Functio n (CM I F)method for ex perimental mo dal analysis (EM A ).Sing ular value deco mpo sitio n is ado pted to separ at e the signal space from t he noise space.T he sing ular values plot is a go od indicato r for lo cat ing modal fr equencies.T he singular vector s ar e employ ed as a weight function to obtain an enhanced power spectr um density (PSD),fr om which accurate mo dal frequency and damping r atio ar e g ot thro ug h the least square fitting in fr equency do main.A simulatio n case of a tw o sto rey building and an application case of t he famous Z24highw ay br idge are emplo yed to validate the FSDD algo rithm.

Key words:mo dal par amet ers identification;operational modal analy sis;frequency and spatial domain;least squar e fitting

模态分析发展至今已有30多年的历史,主要可归纳为3大类方法:一是基于计算机仿真的有

限元分析(Finite Element Analysis,FEA )法;二是基于输入(激励)输出(响应)模态试验的试验模态分析法(Experimental Mo dal Analy sis,EMA);三是基于仅有输出(响应)模态试验的运行模态分析(Operational M odal Analysis,OM A )法。FEA 属结构动力学正问题,随着计算机技术的快速发展得到了极大的提高,但受无法准确描述复杂边界条件、结构物理参数和部件连接状态等不确定性因素的限制,难以达到很高的精度。EM A 和OM A 属结构动力学反问题,基于真实结构的模态试验,因而能得到更准确的结果。

EM A 是传统的模态分析方法,通常在实验室内完成,试验状态易于控制,测量信噪比较高。

OM A 则通常在外场进行,尽管受到测量噪声大等不利条件的影响,但本身具有一系列突出的优点。首先,OMA 仅测量输出响应,不再需要昂贵的激励设备。事实上,对于大跨桥梁、高层建筑、大型坝体等结构,施加人工激励是非常困难的。其次,用于OM A 的输出响应往往是由于风、交通等自然激励引起的,天然具有多输入多输出(M ultiple Input/M ultiple Output,M IM O)的特性,因而能够识别近频甚至重频模态。第三,OM A 往往在结构的运行状态下进行,能够揭示结构的真实动力学特性,非常适合于大型结构的健康监测和故障诊断。例如,飞行中的飞机主要靠机翼支承,而实验室条件下主要由起落架支承,两种情况下的动力特性显著不同,只有OM A 才

第1期王 彤等:运行模态分析的频域空间域分解法及其应用

能获得飞机飞行状态下的真实动力特性。

对OM A的研究始于20世纪70年代,真正引起广泛关注则是在90年代中期,许多分析方法应运而生,诸如随机减量法[1]、基于ARMA模型的时序分析法[2]、自然激励识别技术(NExT)[3]、以及随机子空间(SSI)法[4]等。这些方法均属时域方法,其共同的缺点是难以确定结构的系统阶次,难于区分结构模态与噪声模态。在频域方面,峰值拾取(Peak picking,PP)法简单快捷,但是对近频模态的识别无能为力,且无法得到准确的阻尼结果。1999年Rune Brinker、Ling mi Zhang等在国际模态分析会议上提出了频域分解(Fre quency Domain Decom position,FDD)[5]法。该法在保留PP法简单快速优点的基础上,已能够识别近频乃至重频模态,目前在工程界应用很多。不过,该法在理论研究方面不够完善,且阻尼识别需进行反傅立叶变换,在时域内通过指数衰减法来实现,受截断误差的影响,精度不高。

本文提出了一种用于OM A的频域空间域分解(Frequency and Spatial Dom ain Decom posi tion,FSDD)法。该法可视作EM A的经典方法CM IF(Complex M ode Indicator Function)[6]在OM A中的拓展。CM IF建立在对多参考点频率响应函数(Frequency Response Function,FRF)矩阵的奇异值分解基础上,最初仅作为确定系统模态阶次的指示因子,而后进一步发展为一种两步式的MIM O的模态参数识别方法:第1步中,奇异值曲线的峰值点给出了系统的阻尼自然频率,相应的左奇异值向量与模态振型成比例,右奇异值向量则与模态参与向量成比例;第2步中,以上述的模态振型与参与向量作为加权函数,得到对应各模态的单自由度FRF,在频域里以单自由度算法识别得到准确的自然频率与阻尼比。从统一的观点来看,FSDD是CMIF在运行模态分析领域的一个新版本。与FDD相比,本文明确提出了增强功率谱密度(Pow er Spectrum Density, PSD)的概念,模态频率与阻尼在频域内从增强PSD中直接识别,无需对奇异值曲线进行反傅立叶变换,因而,可得到更为准确的识别结果。

本文详细阐述了FSDD方法的算法理论,并采用一个二层楼仿真算例和在欧洲广为人知的瑞士Z24公路大桥实测算例进行了验证。

1 算法理论

输出响应的功率谱矩阵可表示为

G yy(j )=H*(j )G xx(j )H T(j )(1)式中:H C m!l为FRF矩阵;G xx C l!l为输入谱矩阵。输入与输出谱矩阵增均为共轭对称矩阵。当所关心频段内输入力具有平直谱时,G xx是一个实常数对角矩阵,以下用符号C来表示之。交通和风引起的地脉动等宽带随机激励,或者自然界的脉冲激励,均可认为具有平直谱。

FRF矩阵可表示为部分分式的形式

H(j )=?N r=1R r j - r+R*r j - *r(2)式中: r是第r阶极点;R r是第r阶留数矩阵,是第r阶模态振型r和模态参与向量!r的乘积,即R r=r!T r。将式(2)代入式(1),响应谱矩阵即可变换为4项之和

G yy(j )=?N r=1A r j - r+A H r

-j - *r

+

A*r

j - *r

+

A T r

-j - r

(3)

式中:A r=?N k=1R*k CR T r

- *k- r

+

R k CR T r

- k- r

。

对比式(3)与式(2),可注意到响应谱矩阵的阶次是频率响应函数矩阵的两倍。频域识别算法的一个主要缺点是,系统方程的阶次较高,容易导致算法的数值求解不稳定。因此,假如采用传统的频域EMA算法(如有理分式正交多项式[7]和频域多参考点法[8]),并仅仅依靠提高拟合阶次来解决OM A问题,无疑是非常困难的。

通常情况下,一般结构的阻尼较小,即假设第r阶极点 r=-?r+j u r,则满足?r u r。此时,第r阶留数矩阵A r#d r*r T r,其中d r可证明是一个实数。另外,在第r阶模态频率 r的邻近谱线上,式(3)中最后两项的分母远大于前面两项的分母,因而可以近似忽略

G yy(j )

?

r

#?N

r=1

d r*r T r

j - r

+

d r*r T r

-j - *r

=#*diag2Re

d r

j - r

#T(4) 由于响应谱矩阵为共轭对称矩阵,将式(4)转置,即可得到

G T yy(j )

?

r

##diag2Re d r

j - r

#H(5) 另一方面,当直接对响应谱矩阵进行奇异值分解时,也可得到与式(5)相似表达式

G T yy(j )=U?U H(6)式中:U C m!N是奇异值向量组成的酉矩阵;?

R N!N为奇异值构成的实数对角矩阵。在多自由

63

航 空 学 报第27卷

度系统中,假设质量矩阵为单位阵,则模态振型在

经过归一化以后也是酉阵。因此,式(6)中的奇异

值向量与式(5)中的模态振型相对应,而奇异值则

等于2d r除以频率点到极点距离的实部。最大奇

异值所在的位置即为该阶阻尼自然频率。

在实际应用中,在所关心的窄频带内只有有

限的几个模态占主导地位。第r阶模态的增强

PSD可定义为

G^(j )=u H r G T yy u r(7)

将式(6)代入式(7),可知这是一个单自由度

PSD函数。在邻近谱线上,增强PSD函数恰由u r

对应的响应谱矩阵的奇异值组成。

G^(j )#2Re

d r

j - r

(8)

为了从增强PSD中得到较高精度的模态频率和阻尼,采用最小二乘法来求解。将极点的表达式代入上式中,经变换得到矩阵形式的增强PSD函数

A G^

G^

1

=- 2G^(9)

式中A=[?2r+u2r -2u r -2d r?r]。给定所关心范围内的所有频率点 i(i=1,2,%,L),即可求得行向量A的最小二乘解,进而可由向量A的各元素计算相应的模态频率与阻尼

f r=?2r+u2r=A(1)

%r=?r

?2r+u2r =1-

A2(2)

4A(1)

(10)

2 仿真算例

采用一个6自由度的两层楼模型进行仿真计算来验证FSDD算法。该模型的两个楼层被视为两个集中质量块,刚度平均分配到各层的支撑柱上,此外,还设定了一个系数用于调节两对近频模态(分别为X,Y方向的一弯和二弯模态)的耦合程度。在6个自由度上分别施加互不相关的白噪声力,并采用了基于协方差相等的ARM AV (Auto reg ressiv e Mo ving Av erag e Vector)模型的仿真技术[9]以产生随机响应。为了获得模型的振型动画,同时还采用了一些虚拟测点,虚拟测点的振型可由实测点的振型根据刚体运动性质确定。

仿真响应采样率为250H z,长度为61440点。图1为某典型的随机响应曲线,图2为响应谱矩阵的奇异值曲线。第1和第2阶模态非常靠近,接近重频,但在图2中,这两阶模态分别位于两条不同奇异值曲线的峰值点上,区别得很清楚。

图1 模型的仿真时间响应

Fig.1 A simu lated time res pon se of the bu ilding model

图2 响应谱矩阵的奇异值曲线

Fig 2 S ingular value plot of the b uilding model

图3和图4是第1,2阶近频模态的增强PSD 曲线及其拟合。很明显,第1阶模态占据了幅值较小的奇异值峰,而第2阶模态占据了幅值较大的奇异值峰。通过FSDD方法,该两阶模态均获得了较好的曲线拟合。

图3 第1阶模态的增强PSD曲线及其拟合(放大)

Fig.3 En han ced PSD of m ode1s t and its fitting curves

图4 第2阶模态的增强PSD曲线及其拟合(放大)

Fig 4 En han ced PSD of mode2nd and its fitting curves

表1中列出了两层楼模型所有6阶模态的理论值与识别值。可以看到,模态频率的识别非常准确,而阻尼的识别误差均在5%范围以内。同

64

第1期王 彤等:运行模态分析的频域空间域分解法及其应用 时也注意到,所有6阶模态的阻尼均为过估计,这是由于谱估计过程中的能量泄漏引起的。图5是各阶模态振型图。

表1 理论与识别模态参数比较

Table 1 Comparison of modal param eters from theory and

identification

模态频 率

理论/H z 实测/Hz 误差/%阻 尼

理论/H z 实测/H z 误差/%

115.9015.910.06 1.25 1.30 4.00215.9315.930.00 1.25 1.29 3.20332.6532.650.00 1.00 1.04 4.00441.6141.640.07 1.04 1.09 4.80547.1847.190.02 1.08 1.090.936

85.47

85.58

0.13

1.53

1.54

0.65

图5 两层楼模型的模态振型

Fig 5 Fig.5 M ode shapes of tw o s tor ey building

3 应用实例

采用FSDD 方法对瑞士的Z24公路桥进行了运行模态参数识别。Z24桥横跨于Bern 到Zur ich 的国家公路上,是一座典型的预应力混凝土厢梁桥,有4个桥墩,其主跨为30m,两个边跨为14m 。Z24桥于1998年秋进行了毁坏试验,此前科学家们进行了状态监测、破损检测等一系列实验工作。

本文中所采用的响应数据主要缘于桥下公路上过往车辆所产生的激励,属典型的自然激励。响应测量的采样率为33 3H z,总共测量了9组数据,每组测量耗时约11min,每组测量通道数为33(其中第5组为27通道),各组均包含有5个参

考通道(接驳两个单轴传感器和一个三轴传感器)。典型的时间响应曲线如图6所示。图7给出了平均奇异值曲线,清楚的指示出在0~16H z 频率范围内的6阶振动模态。图8和图9分别是其中第1,2阶模态的增强PSD 曲线及其最小二乘拟合情况。图10是FSDD 所识别6阶模态的振型图。

图6 Z24大桥的典型时间响应

Fig 6 A typical tim e res pon se of Z24Bridge

图7 Z24大桥的平均奇异值曲线

Fig 7 Averaged singular value plot of Z24Bridge

图8 Z24大桥第1阶模态的增强PSD 曲线及其拟合Fig 8 En han ced PSD of m ode 1s t and its fitting curves

图9 Z24大桥第2阶模态的增强PSD 曲线及其拟合Fig 9 En han ced PSD of mode 2nd and its fitting curves 65

航 空 学 报第27卷

图10 Z24大桥的6阶模态振型

Fig 10 Six mode s hapes of Z24Bridge

4 讨论与结论

(1)在公式推导过程中采用了输入力平直谱的假设,在全频带内满足该条件比较困难。然而,笔者真正关心的仅是特定模态及其相邻的谱线,最后的拟合也仅在这一窄频带内进行。在该窄频带内,总可以认为基本满足该假设。

(2)如在奇异值分解时包含多条相邻谱线的响应谱矩阵数据,则意味着在分解过程中进行更多次平均,这样往往可以得到更光滑的奇异值曲线和更好的模态振型估计。

(3)如仿真算例所见,功率谱估计的泄漏引起阻尼识别的偏度误差。增加FFT长度可减少此偏度误差,但由于总数据长度一定,同时又导致平均次数减少,致使方差误差增加。在实际工程应用中,足够长的采样数据将会增加FSDD识别结果的可靠性。在数据长度一定的情况下,应同时考虑偏度和方差误差,并采取折衷方案。

(4)在我国当前的飞行颤振试验中,往往采用小火箭脉冲激励或舵面扫频激励,实验设备费用高昂。采用基于大气紊流激励的运行模态分析方法将是一条新的可行途径。FSDD方法可望在紊流飞行颤振试验中发挥一定作用。

参 考 文 献

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作者简介:

王 彤(1978-) 男,浙江义乌人,南京航空

航天大学博士后研究人员。主要研究方向:动

态测试与参数识别。E m ail:w t78@https://www.360docs.net/doc/cd14277784.html,,

联系电话:025 ********。

张令弥(1938-) 男,浙江鄞县人,南京航空

航天大学教授,博士生导师。主要研究方向:

结构系统识别、计算模型修正、结构动态优化、

振动主动控制与智能结构。E mail:lmzae@

nu https://www.360docs.net/doc/cd14277784.html,

(责任编辑:李铁柏)

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