模态分析法

桥梁结构动态评估的模态分析法

文献综述

郑大青

一、模态分析在桥梁健康监测中的意义；

二、模态分析的基本原理及分类；

三、模态参数识别研究现状分析；

四、模态分析损伤识别现状分析；

五、目前模态分析在桥梁监测中存在的问题和不足。

一、模态分析在桥梁健康监测中的意义：

桥梁是国家基础设施的重要组成部分，关系到人们的生命和财产安全。因此，对桥梁进行监测并确定其结构健康状况具有重要的经济和社会意义。

传统的桥梁结构健康监测主要依靠无损检测技术或人工经验对某个特定的结构部件进行检测、查找，判断是否有损伤及损伤的程度，或者测量与桥梁结构性能相关的参数，比如变形、挠度、应变、裂缝等等，通过对这些参数分析，进而判定桥梁结构健康状况。在应用上面这些方法时存在一些缺陷，如测量之前需知道损伤的大体范围，或者被检测的结构部分是仪器可接近的；在对大跨度桥梁等体量大、构件多的结构监测时，存在不能测量桥梁内部等隐蔽部分、测量工作量大、工作效率相对较低、不能获取桥梁整体信息等不足。

为此，一些专家学者提出了基于模态分析的桥梁健康监测方法，如图1。此方法将结构动力学领域中的模态分析技术应用到桥梁健康监测中来，以多学科交叉研究为基础的，通过测试桥梁整个结构在外载作用下的响应来分析结构的固有频率、阻尼和模态振型等动力特性，进而诊断结构损伤位置和程度。因此，模态参数识别和之后的模态分析损伤识别是整个健康监测中2个重要的组成部分。

图1 模态分析健康监测流程图

测量桥梁结构

激励、响应等

信息 进行桥梁模态参数识别（固有频率、阻尼和模态振型等） 用模态分析损伤识别法进行安全评估

模态分析监测方法克服了传统监测法存在的一些缺点，它不受结构规模和隐蔽的限制；具有多学科交叉优势，能对结构全局进行检测，从而能够评价桥梁结构的整体健康状态。近年来，该方法发展迅速，日趋成熟。事实上，它已经成为桥梁结构在线健康监测的核心技术之一。因此，模态分析对桥梁健康监测具有重要意义。

二、模态分析的基本原理及分类：

由振动理论知：一个线性振动系统，当它按自身某一阶固有频率作自由谐振时，整个系统将具有确定的振动形态（简称振型或模态）。模态是工程结构的固有振动特性，每一个模态具有特定参数，即固有频率、阻尼比和模态振型等。此外，基于线性叠加原理，一个复杂的振动还可以分解为许多的模态叠加。一般地，以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法，称为模态分析。更确切地说，模态分析是研究系统物理参数模型、模态参数模型和非参数模型的关系，并通过一定手段确定这些系统模型的理论及其应用的一门学科。

模态分析实质上是一种坐标的线性变换，将振动系统以物理坐标和物理参数所描述的、互相耦合的运动方程组，能够变为一组彼此独立的方程（每个独立方程只含一个独立的模态坐标）；前者遵守牛顿定律，后者遵守能量守恒定律。变换的目的是为了解除方程的耦合，便于求解。由于坐标变换是线性变换，因而系统在原有物理坐标系中，对于任意激励的响应，便可视为系统各阶模态的线性组合，因此，模态分析法又称为模态叠加法。模态分析的主要优点就在于，它能用较少的运动方程或自由度数，直观、简明而又相当精确的反映一个比较复杂结构系统的动态特性，从而大大减少测量、分析及计算工作量。

模态分析技术从20世纪60年代后期发展至今以趋成熟，它是一项综合性技术，已经应用于多个工程领域，如航空、航天、造船、机械、建筑、桥梁等。模态分析技术发展至今主要可归纳为3大类方法:

一是基于计算机仿真的有限元分析(FEA)法：它以线性振动理论为基础，一种理论建模过程，属于结构动力学的正问题。

二是基于输入(激励)输出(响应)的实验模态分析法(EMA)：传统的模态分析法，又称模态分析的实验过程，属于结构动力学的逆问题（图2）。首先，实验测得激励和响应的时间历程，运用数字信号处理技术求得频响函数(传递函数)或脉冲响应函数，得到系统的非参数模型；其次，运用参数识别方法，求得系统模态参数；最后，确定系统的物理参数。

图2 实验模态分析法示意图

三是基于仅有输出(响应)的运行(工作)模态分析(OMA)法：也称为环境激励下的模态分析，OMA也属于结构动力学反问题，是基于真实结构的模态实验，单独利用工作状态下结构自身激励产生的响应信号，通过识别技术得到实际工况及边界下的模态参数，因而能真正反映结构在工作状态下的动力特性，它与实验模态分析法区别在于它不测量激励信号。图3是桥梁结构激励、系统、响应关系图。

图3 桥梁结构激励、响应示意图

三、模态参数识别研究现状：

由图1知道模态参数识别和模态分析损伤识别是整个模态分析监测中2个重要组成部分。而模态参数识别是损伤识别的基础，对该方法现状分析具有重要意义先，下面是模态参数识别的研究现状，第四节将对模态分析损伤识别现状分析。

传统的参数识别（EMA)是基于实验室条件下的频率响应函数进行的参数识别方法,它要求同时测得结构上的激励和响应信号,但在许多工程实际中,工程条件和实验室差别较大,对一些大型工程结构人为的激励(输入)不是一件容易的事，试验实施难度大、成本高。对于处于工作环境状态下的实际大型复杂结构，传统的模态测试无法实现不影响结构正常使用的在线试验，必须封闭现场或线路，更不用说对结构实现实时的安全监测。

近年来,利用环境激励引起的输出对结构物进行模态参数识别已大量应用于土木工程结构的系统辨别。这主要是因为“环境激励”具有无需激励设备,不打断结构的正常使用;试验简便,所需人力少,不受结构形状和大小的限制,试验费用低;安全性好,不会对结构产生局部损伤等优点。还可以实现对那些无法测得载荷的工程结构进行在线模态分析，而且利用实际工作状态下的响应数据识别的模态参数能更加准确的反映结构的实际动态特性，并已在桥梁、建筑、机械领域取得了实质性的进展。

经过这几十年的研究，特别是近几年来，人们已经提出了多种环境激励下的

模态参数识别方法。按识别信号域不同可分为：时域识别方法、频域识别方法和时频域识别方法；按激励信号分为：平稳随机激励和非平稳随机激励；按信号的测取方法分为：单输入多输出和多输入多输出；按识别方法特性分为：时间序列法、随机减量法、NExT法、随机子空间法、模态函数分解法、峰值拾取法、频域分解法及联合时频方法。

（1）峰值拾取法：

峰值拾取法最初是基于结构自振频率在其频率响应函数上会出现峰值，峰值的出现成为特征频率的良好估计的原理。对于环境振动，由于此时频率响应函数失去意义，可由环境振动响应的自谱来取代频率响应函数。此时，特征频率仅由平均正则化了的功率谱密度曲线上的峰值来确定，故称之为峰值法。功率谱密度是用离散的傅立叶变换(DFT)将实测的加速度数据转换到频域后直接求得。振型分量由传递函数在特征频率处的值确定。且每一传递函数相对于参考点就会给出一个振型分量。峰值法操作简单、识别速度快，在工程应用领域经常使用。许多情况下能很好的识别出固有频率，能够在线识别参数，经常用于桥梁的振动分析中，获得较满意的效果。

但该方法存在一些不足：得到的是工作挠曲形状而不是振型；阻尼的估计结果可信度不高；该方法对固有频率的识别十分主观，无法辨识密集模态，也无法辨识系统的阻尼比，仅适用于实模态或比例阻尼的结构；在某种情况下，如模态阻尼过大或测点十分接近节点时都有可能造成模态丢失。

（2）频域分解法：

频域分解法（FDD）是白噪声激励下的频域识别方法，是峰值拾取法的延伸，但它克服了峰值拾取法的一些本质的不足，它可以识别频率和阻尼比。其主要思想是：对响应的功率谱进行奇异值分解(SVD)，将功率谱分解为对应多阶模态的一组单自由度系统功率谱，即将响应分解为单自由度系统的集合，分解后的每一个元素对应于一个独立的模态。即使信号中含有强噪声污染，频域分解法也能很好地识别密集邻近的模态，该方法识别精度高，有一定的抗干扰能力。

但是频域分解法必须满足三个基本假设条件：首先,激励为白噪声;其次,结构的阻尼为弱阻尼;再次,当有密集模态时必须是正交的，不能识别一般的密集模态。（3）时频域方法；

上述一些识别方法都假设环境激励是白噪声或非白噪声平稳激励,它们对非平稳随机激励不能很好识别,而实际工程中很多环境激励是不能近似成平稳激励的,为此,人们开始研究对环境激励更具有鲁棒性的方法。因此，通过对信号进行时频变换直接识别参数的联合时频域方法出现了,该方法将一维信号映射成为时间—频率平面上的二维信号,使用时间和频率的联合函数来表示信号,旨在揭示信

号中包含多少频率分量以及每一分量是如何随时间变化的。

该方法可以识别多自由度非线性小阻尼机械系统的非线性模态参数,显然这种时频域的模态参数识别方法更接近实际情况,但目前能用于工程实际的实用的时频模态参数识别方法还极少。

（4）时间序列分析法：

时间序列分析法是一种利用参数模型对有序的随机数据进行处理的一种方法，它对一串随时间变化而又相互关联的动态信号进行分析、研究和处理。时间序列或动态信号是依时间顺序或空间顺序或依某种物理顺序先后排列的一列数据，这种有序性和大小反映了数据内部相互联系和变化规律，体现了产生这种数据的现象、过程或系统的有关特性和信息。适用于白噪声激励下的线性或者非线性参数识别。参数模型(差分方程)包括AR-自回归模型、MA-滑动平均模型和ARMA-自回归滑动平均模型。模态识别中的时序法主要使用AR模型和ARMA模型。AR模型只使用响应信号，ARMA模型需使用激励和响应两种信号，二者都使用平稳随机信号。ARMA模型法既可以用于自由振动响应模态识别，又可以用于强迫振动响应模态识别。

虽然时间序列法识别的精度对噪声、采样频率都比较敏感，识别模态无能量泄露且分辨率高。但该方法仅限用于白噪声激励的情况,识别的精度对噪声、采样频率都比较敏感,且时序模型的定阶也比较难,阻尼识别误差较大,不利于处理较大数据量，鲁棒性差。

（5）自然激励技术法（NExT法）：

是由美国SADIA国家实验室的JAMES和CARNE于1995年提出的，NExT 法的基本思想是白噪声环境激励下结构两点之间响应的互相关函数和脉冲响应函数有相似的表达式，求得两点之间响应的互相关函数后，运用时域中模态识别方法进行模态参数识别。NExT法仅适用于白噪声激励下对结构进行参数识别，对输出噪声有一定的抗干扰能力。识别的精度与数据平均次数有关，识别精度随着平均次数的增加而提高。NExT法由于采用相关函数作为识别计算的输入,因此对输出噪声有一定的抗干扰能力。

NEXT法由于在识别参数时没有自己的计算公式,完全借助于传统的模态分析方法的一些公式,所以会出现使用公式不同,识别的精度也不同;

（6）随机减量法：

随机减量法(RDT)是利用样本平均的方法,去掉响应中的随机成分,而获得初始激励下的自由响应。该方法假定一个受到平稳随机激励的系统,其响应是由初始条件决定的确定性响应和外荷载激励的随机响应两者的叠加而成。

随机减量法的主要思想:利用平稳随机振动信号的平均值为零的性质，通过

一定限制条件下的取样本和采样，再通过时域平均，将包含有确定性振动信号和随机信号两种成分的实测振动响应信号进行辨别，将确定性信号从随机信号中分离出来，可提取出相当于初始条件下的自由衰减响应信号。同时测得各测点的自由响应,通过3次不同延时采样,构造自由响应采样数据的增广矩阵,根据自由响应的数学模型建立特征方程,求解出特征对后再估计各阶。

该方法仅适用于白噪声激励的情况。随机减量技术法中存在阶数的确定困难、低阶模态参数识别精度低等缺点;

（7）互功率谱法：

又称跨点功率谱法，是目前基于环境激励的时域模态参数辨识工作中较为常用的一种方法，简单快捷。它是由峰值拾取法和移点测量法等发展而来，最初是基于结构自振频率在其频响函数上会出现峰值，峰值的出现成为特征频率的良好估计。对于环境振动，由于此时频响函数失去意义，将由环境振动响应与参考点响应间的自互功率谱来取代频率响应函数，利用结构的响应点输出的自功率谱以及与参考点输出之间的互功率谱幅值、相位、相干函数、传递率等来识别系统的模态参数。此时，固有频率仅由平均正则化了的功率谱密度曲线上的峰值来确定，振型分量由传递函数在特征频率处的值确定。

与其他方法相比，在满足各态历经平稳随机噪声激励下的条件下，它具有测试仪器简便，测试点的选取灵活，处理数据迅速，可重复测试的优点，对结构的前几阶固有频率的识别较为准确。特别地，无论结构处于平稳随机激励下与否，互功率谱法都可以测得结构的准确振型，这一点不仅具有实际的工程价值，而且还可以作为振型的验证标准，为基于环境激励下的其它模态识别方法作为参考。

由于互功率谱法能够得到较为准确的模态参数，而且在数据处理时间和实用性上有很大的优势，但是它也存在一些应用限制：选取峰值时，在一些真假峰值的辨别上，对人员的经验要求较高，因此受人为主观因素的影响。另一方面，在试验数据处理过程当中，对一些大型的复杂结构进行分析时，随着频率的靠后结构的模态逐渐趋于密集，识别时容易造成模态的丢失现象等。

（8）随机子空间法：

随机子空间法是1995年以来国内外模态分析方面的专家和学者讨论的一个热点。它基于线性系统离散状态方程的识别方法,利用脉动响应的相关函数建立Hankel矩阵,然后对hankel矩阵进行加权,然后进行奇异值分解求出可观矩阵,再根据可观矩阵求出离散状态空间矩阵和输出矩阵,从而进行参数识别。由于使用了输出信号的相关函数上是对输出信号采用了一次滤波,使得该方法能够被使用在受平稳随机激励作用的系统中。该方法充分利用了矩阵QR分解,奇异值分解SVD,最小二乘方法等非常强大的数学工具,使得该方法理论非常完善和算法非常

强大,可以非常有效地进行环境振动激励下参数识别,是目前最先进的结构环境振动模态参数识别方法。此外，还对随机子空间法进行改进，把输出信号的能量分解为响应信号和噪声信号，引入比例因子，提高了其计算精度和计算稳定性。此方法适用于稳态信号激励下线性结构的参数识别，并且对输出噪声有抗干扰能力，这是其优点.

本方法虽然先进，但也远远没有达到令人满意的地步，还有许多工作值得进一步去研究。比如，它将输入假定为白噪声随机输入, 而实际的环境激励往往是非平稳非白噪声输入，这种假定与结构的实际情况有一定的出入。此外，随机子空间识别方法的理论基础是时域的状态空间方程,而系统的状态空间方程仅适用于线性系统。因此，如何将该方法应用于非稳态信号激励下的参数识别问题,有待于进一步研究。

四、模态分析损伤识别法现状分析：

模态分析损伤识别法经过20年左右的发展，形成的模态损伤识别方法主要包括：固有频率法、位移模态振型法、应变模态振型法、曲率模态振型法、神经网络法等。近年来这些方法发展迅速，且日趋成熟。尽管如此，其中也存在一些问题，下面是它们的主要原理及特点分析：

（1）固有频率变化的结构损伤识别方法：

固有频率是结构物理参数的函数，结构物理参数的变化会引起结构固有频率的变化，此方法就是利用桥梁结构损伤前后的固有频率变化来进行损伤识别的。

由于固有频率与测量位置无关，而且比较容易测试，识别的精度比较高。因此，很多人对其做了研究，并将其用于实际工程当中，实践证明，固有率变化对于结构损伤诊断是可靠的。

但是存在的缺点：固有频率对结构早期损伤不太敏感，该方法对小损伤的情况也不敏感，只能探测较大程度的损伤，缺少空间上的信息，只能确定损伤的存在而很难确定损伤的位置和程度。

（2）位移模态法：

基于线性叠加原理，一个复杂的振动可以分解为许多不同阶模态振动的叠加，桥梁上的位移振动也不例外，也可以分解为不同固有频率下的各阶振动状态，即振型。此方法的原理是：采集输入或输出的加速度信号，经过数据处理获得桥梁系统的频率响应，进而由模态参数识别技术获得振型，通过分析损伤前后的相对应的位移振型分量进行损伤识别和定位。

它的优点有：振型包含结构的信息多，测量容易实现。实践证明，位移模态法是一种有效的损伤识别方法。但是，缺点：对小的损伤不够敏感，而且低阶不

够敏感。不同阶次的振型对损伤的敏感程度也不同。

（3）应变模态法：

应变模态是从位移模态衍生出的一种有效的损伤识别方法，应变是位移在空间上的微分。所以每一阶位移模态，则必有其对应的固有应变分布状态，即应变模态。应变模态表现为应变的振型，如果结构某处出现损伤，则该处损伤后的刚度就会降低，而应变变化增大，通过分析比较损伤前后的应变来进行损伤定位与识别。

此方法优点：结构的局部特性变化(如局部应力、局部结构损伤)比较敏感，能标定损伤的程度，它不受损伤位置、大小、阶数的影响，较位移振型敏感。

缺点：获取应变主要还是利用应变传感器，应变片贴在损伤位置附近时才起作用，稍微远离损伤(裂纹)区，应变模态己很难感受到损伤的存在；需贴上大量的应变片，事先知道可能的损伤位置；应变传感器容易老化，受温度影响等。（4）曲率模态法：

针对位移模态法不敏感，应变模态法获取应变的测量方式存在缺陷，很多专家学者提出了曲率模态方法。原理如下：

可见，曲率与应变存在着一一对应关系，在一个受弯曲的截面内，截面上某测点的应变和曲率存在如下关系：

（1）其中，ε为该测点应变，h为测点到中性轴的距离，ρ为中性轴弯曲时的曲率半径，c为对应的曲率。

而应变又是位移在空间上的微分，经过推导，曲率是位移空间上的二阶导数。因此，曲率模态一样都反映了结构的固有特性，是与位移模态相对应的固有振型的曲率分布状态。方法的原理是：应变对应着结构的刚度，所以结构的曲率模态可以作为检测结构刚度变化的依据。

曲率模态法的优点：对于结构的局部几何尺寸的变化和机械性能的变化如开槽、裂口或内部损伤等更为敏感、可以直接研究某个关键点的应力应变，如应力集中问题等，这是位移模态不能做到的。

由于应变模态测试的缺点，桥梁结构的振型测试比较容易，所以，在对曲率模态进行测量时，结构的曲率可以从振型的测试来间接测试。结构的位移和曲率存在着以下关系：

（2）其中x为测点的坐标，ρ为中性轴弯曲时的曲率半径，c为曲率，y为结构的

唯一振型。通过获取位移振型，进而获得曲率模态。

目前曲率模态分析法存在的问题：

1）大多都借助有限元仿真，一般在在实验室简单的简支梁或杆件等简化模型上进行损伤识别，而这些模型与实际桥梁差别较大的情况，同时，因为桥梁结构约束的复杂性，该方法在桥梁实际上的应用几乎没有；

2）对于复杂桥梁结构，需要测量大量数据，同时测量多数据时，数据之间会产生干扰，对后续数据处理产生误差，因而获取振型的方法效率不高；

3）目前没有直接测量曲率的仪器，只能通过测量振型来间接获取曲率模态，这就需要获取的位移模态准确、曲线光滑，否则得到的曲率模态就很乱，不利于损伤的判断。而位移模态与实验的操作方法及工艺直接相关，激励方式的选择、传感器位置的选取对获得良好的位移模态也有直接影响。因此，激励输入的方法有待优化和改进；

五、目前模态分析在桥梁监测中存在的问题和不足：

由于实际问题的复杂性，虽然环境激励模态参数识别技术己做了大量有益的工作，但仍然存在一些需要解决的关键问题。主要包括以下几个方面:

（1）虽然目前模态参数识别方法中很多已得到很好的应用，但是这些方法还只适应线性结构的系统，用线性模态分析来处理非线性系统问题时就会存在较大误差。然而，目前对非线性模态分析的研究远远未达到线性模态分析的成熟地步，还需进一步的探索，如什么样的结构满足线性条件，什么情况下可以简化为线性模型，非线性结构的模态分析理论是怎样的？

（2）大多数参数识别方法都将激励输入信号假设为白噪声或稳态信号，这给分析带来简便。但是，多数实际情况下的激励是非线性时变信号，是不满足假设条件的。所以，如何提高目前识别方法的鲁棒性，以满足不同类型的激励信号条件是需要解决的关键问题。

解决方法：在进行工程结构模态参数识别时，在模态参数识别前进行一个预先测试、采集和测评：在某种程度上确定输入信号是否具有平稳随机过程的特性，并在满足这些特性的条件下或者是某类特定时刻下进行输出响应信号的采集。还可以确定何种条件下可以认为是白噪声，何种情况下应该采用非白噪声信号分解。

（3）模态参数识别方法，即使是目前比较先进的参数识别方法，如随机子空间法，都还存在适用范围和条件假设的限制，没有彻底地解决系统的模态参数识别问题，还有着各自的局限性，理论上还需要完善和发展。

（4）由于桥梁结构的复杂性，工程人员应尽可能通过较少的传感器来获取最可

靠最全面的桥梁动力特性，这使得模态试验中传感器的定位和数目选择的设计成为关键，采集信号时参考点的选择（避免选到模态节点），采集信号的方法和流程等等，以及边界条件的确定等都是值得深入探讨的问题。

（5）现有的工作模态分析方法所得到的振型只是一个相对值的，还不能进行质量和刚度归一化。如何将工作模态分析与有限元分析相结合，并得到归一化振型，以获得能更加准确的反映结构在实际运行时的动态特性的分析模型，这方面的文献目前还很难见到。

绝对位移（振型）的求解：分别从安全性和舒适性的角度考虑，如何由加速度或速度的积分来求，积分的边界条件？（东方所做的可靠吗？）

（6）对时变的模态参数如何识别：各模态参数是时变的，它与桥梁结构的复杂性、桥梁受到各种环境激励影响、桥梁与车等构成动态的耦合系统、环境激励能量的大小等因素有关。而目前通常的环境激励参数识别法是考虑典型的具有代表性的工况来辨识结构的模态参数，况且，衡量标准目前还没有得到完善，需要进一步探讨常态运行模态下的参数识别方法。

此外，要分析环境激励响应信号频带覆盖模态频带的程度，即在什么样的激励工作状态下测定响应最好？如何来确定车载情况，使得测量具有重复性？（7）模态的识别精度：自然环境振动条件下的结构动力响应，具有幅值小、随机性强、容易受噪声影响和数据量巨大的特点，如何提高这些模态参数识别方法的精度，取到模态的第几阶就能够满足监测精度的要求？因为参数的精度会直接影响到后面的评估结果。

解决方法：充分利用信号处理技术, 如对获取的信号进行放大、抗混叠滤波、去噪等。或寻找新的识别方法,如利用时频分析方法的时变滤波与传统的识别方法结合使用,提高识别精度。

（8）判定标准的选择：要进行健康评估，就需要建立评定的参考标准，这些标准如何建立，何种条件下的经验数据满足实际要求？如果经验数据采集条件不一样，评定的结果会受影响，可否建立统一标准用来评定不同车载、工况条件下的安全性？

模态学习、总结的收获：

做科研需要敏锐的洞察力和嗅觉，需要很强的毅力和坚持不懈的努力；

先看课本，快速入门，再看文章，洞察方向。开始的时候要快快地看，了解，之后精读。看文章的时候，找该领域出名的专家、杂志，先大致了解其

发展历程，熟悉背景，然后结合自己科研需要学会创新。

多和老师、专家交流，多和同学讨论，一些想法产生了，最好把这些想法用文字及时记录下来。

需要强大的基础知识做后盾：数字信号、矩阵论、数理方程、建模、工程力学、结构力学等等。

最后，要对自己有信心！